Điều khiển h trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (luận văn thạc sĩ toán học)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN PHƯƠNG HẬU ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN TS NGUYỄN HỮU SÁU Thái Nguyên, 11/2020 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Một số bổ đề bổ trợ 12 1.3 Bài toán ổn định thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân phân thứ 13 1.4 Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên 17 Chương Điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 20 2.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 20 2.2 Ví dụ số 30 LỜI NÓI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [10, 11] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [11, 21] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [7] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [7, 21] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần Như biết, nhiều lý lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính, khơng xác việc mơ hình hóa, nhiễu loạn thường khơng thể tránh khỏi hệ thống mạng thần kinh mơ tả hệ phương trình vi phân bậc ngun bậc khơng ngun Do nghiên cứu hiệu suất suy giảm nhiễu thơng qua phương pháp kiểm sốt H∞ toán quan trọng nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Trong năm gần đây, toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước quốc tế [2, 4, 6, 22, 24] Sử dụng phương pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cộng [24] nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch trung tính Sau kết Xiang cộng [24] cải tiến Wang cộng [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính hệ không ổn định hữu hạn thời gian Ali Saravanan [4] đưa vài tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh khơng chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Bài tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh trung tính Markovian nghiên cứu Baskar cộng [6] Chú ý kết nói áp dụng cho lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên Gần đây, M.V Thuan cộng [20] nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính số tính chất đạo hàm, tích phân phân thứ Luận văn tập trung trình bày tính số tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần (xem [20]) Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau đây: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Ngồi ra, chúng tơi trình bày tốn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc ngun chúng tơi trình bày chương Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13, 14, 15, 17, 18] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [20] Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x Rn×r chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn không gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số α số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [13, 14, 15] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 ([15]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I tốn tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([15]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) −α =λ j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([15]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dt n−α x(t) t0 It dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := α số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngồi ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([15]) Cho α ≥ 0, n = α Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Hệ 1.1 ([15]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] RL α t0 Dt f (t) f (t0 ) = + Γ(1 − α) (t − t0 )α t t0 f (s)ds (t − s)α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville toán tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([14]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α tốn tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] dn Γ(n − α) dtn dn λ = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = t0 t (t − s)n−α−1 f (s)ds + t0 dn µ Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 g(s)ds t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([14]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It n := α số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) := T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân thứ cấp α 28 hệ đóng (2.7) đạt hiệu suất H∞ tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) tác động điều khiển ngược u(t) xác định u(t) = Y X −1 x(t), t ∈ [0, Tf ] Chứng minh Khi z(t) ≡ 0, điều kiện (2.22a) (2.22b) suy điều kiện (2.8a) (2.8b) Do đó, theo Định lý 2.1, hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) Để giải toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1), ta chọn hàm Lyapunov giống chứng minh Định lý 2.1 Khi đó, ta thu ước lượng đây: C α Dt V    x(t)    ξ(t) = f (x(t)) ,   ω(t) (x(t)) + z T (t)z(t) − γ ω T (t)ω(t) ≤ ξ T (t)Ψξ(t),   −1 −1 Ψ11 X D X W    Ψ= ∗ Ψ22 ,   ∗ ∗ Ψ33 Ψ11 = −X −1 A − AX −1 + X −1 BK + K T B T X −1 + + 2X −1 (2.23) Eb EbT X −1 + −1 T T K Hb Hb K 1X −1 Ea EaT X −1 + −1 T Ha Ha + X −1 Ed EdT X −1 + X −1 Ew EwT X −1 + LT L + C T C, Ψ22 = HdT Hd − I, Ψ33 = HwT Hw − I − γ I Bây nhân tương ứng hai vế Ψ X = diag{X, I, I} chuyển vị nó, đặt K = Y X −1 sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có điều kiện Ψ < tương đương với (2.22a) Suy C α Dt V (x(t)) + z T (t)z(t) − γ ω T (t)ω(t) < 0, ∀t ∈ [0, Tf ] (2.24) Lấy tích phân hai vế (2.24) với cận từ tới Tf , ta có Tf C α ITf DTf V Tf T γ ω T (t)ω(t)dt < z (t)z(t)dt − (x(t)) + 0 Sử dụng Mệnh đề 1.3 Định lý 1.7, ta thu đánh giá C α ITf DTf V (x(t)) (2.25) 29 α C α = IT1−α ITf DTf V (x(t)) f = IT1−α f α C α ITf DTf V (x(t)) = IT1−α (V (x(t)) − V ((0))) = IT1−α V (x(t)) − IT1−α V (x(0)) f f f Mặt khác, ta lại có 1−α ITf V (x(t)) = Γ(1 − α) Tf (Tf − s)−α xT (s)X −1 x(s)ds ≥ 0, ∀Tf ≥ 0 Với điều kiện ban đầu không, ta thu ước lượng sau 1−α ITf V (x(0)) = Γ(1 − α) Tf (Tf − s)−α xT (0)X −1 x(0)ds = 0, ∀Tf ≥ 0 α Suy IT1f C DTf V (x(t)) ≥ 0, ∀Tf ≥ với điều kiện ban đầu không Từ đo suy Tf z T (t)z(t) − γ ω T (t)ω(t) dt < J= Vậy hệ đóng (2.7) đạt hiệu suất H∞ tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) Định lý chứng minh hoàn tồn Nhận xét 2.2 Dựa hộp cơng cụ LMI Control Toolbox MATLAB, ta có bước sau để giải toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho hệ (2.1) Bước 1: Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.22a) thu ba số dương , , , ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n ma trận Y ∈ Rm×n Bước 2: Kiểm tra điều kiện (2.22b) Định lý 2.2 Nếu chuyển sang Bước trái lại ta quay lại Bước Bước 3: Ma trận điều khiển ngược K xác định K = Y X −1 Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn giải Trong trường hợp hệ (2.1) khơng có tham số không chắn, tức ∆A(t) ≡ 0, ∆D(t) ≡ 0, ∆W (t) ≡ 0, ∆B(t) ≡ 0, hệ (2.1) rút gọn thành   C α  t ≥ 0,  Dt x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t),   (2.26) z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ Rn 30 Dưới tác động điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.26) miêu tả   C α   Dt x(t) = (−A + BK)x(t) + Df (x(t)) + W ω(t),   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ Rn t ≥ 0, (2.27) Ta dễ dàng thu hệ sau Hệ 2.2 Giả sử Giả thiết 2.2, 2.3 thỏa mãn Cho trước số dương c1 , c2 , d, Tf ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n , số dương cho điều kiện thỏa mãn   N11 D W XLT XC T    ∗ −I  0      ∗  < 0, ∗ − I − γ I 0      ∗  ∗ ∗ −I   ∗ ∗ ∗ ∗ −I λ2 c1 + d T α < λ1 c2 , Γ(α + 1) f (2.28a) (2.28b) N11 = −AX − XAT + BY + Y T B T , hệ đóng (2.27) đạt hiệu suất H∞ tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) tác động điều khiển ngược u(t) xác định u(t) = Y X −1 x(t), 2.2 t ∈ [0, Tf ] Ví dụ số Trong mục này, chúng tơi trình bày ba ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết 31 Ví dụ 2.1 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ (Ví dụ [17])    C D0.8 x(t) = Ax(t) + W ω(t) + Bu(t), t (2.29)   x(0) = (x1 (0), x2 (0))T ∈ R2 ,       3 , B =  , W =  , A= 0.6 x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , u(t) = (u1 (t), u2 (t)) ∈ R2 , ω(t) = sin t ∈ R Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.29) mô tả    C D0.8 x(t) = (A + BK)x(t) + W ω(t), t (2.30)  T  x(0) = (x1 (0), x2 (0)) ∈ R , Để so sánh kết Định lý 2.1 với kết Y.J Ma cộng [17], ta xét hai trường hợp sau đây: Trường hợp I: Ta chọn c1 = 5, Tf = 0.1, R = I, d = Áp dụng Hệ 2.1, hệ đóng (2.30) bị chặn thời gian hữu hạn ứng với  (5, c2 , 0.1, I, 1) với  −2.500 −4.9939  x(t) c2 ≥ 5.9 điều khiển ngược ổn định hóa cho u(t) =  0.7454 −1.6250 Chú ý cơng trình Y.J Ma cộng [17], giá trị nhỏ c2 để hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn c2 = 15 Trường hợp II: Cho c1 = 5, c2 = 15, R = I, d = Áp dụng Hệ 2.1, hệ đóng (2.30) bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (5, 15, Tf , I, 1) với khoảng thời gian  < Tf < Tf max  = điều khiển ngược ổn định hóa cho −2.500 −4.9939  x(t) Chú ý cơng trình Y.J by u(t) =  0.7454 −1.6250 Ma cộng [17], giá trị lớn Tf để hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn Tf max = 0.1 Do đó, Định lý 2.1 hiệu kết Y.J Ma cộng [17] Kết mơ phỏng: • Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T ∈ R2 , c1 = 5, c2 = 5.9, Tf = 0.1, R = I, d = Hình 2.1 mơ quỹ đạo véc tơ trạng thái 32 16 x (t) x2(t) 14 12 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time(sec) 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Hình 2.1: Quỹ đạo trạng thái x1 (t) x2 (t) hệ mở Ví dụ 2.1 2.5 1.5 x1(t) x2(t) 0.5 −0.5 −1 −1.5 −2 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time(sec) 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Hình 2.2: Quỹ đạo trạng thái x1 (t) x2 (t) hệ đóng Ví dụ 2.1 x1 (t), x2 (t) hệ mở Hình 2.2 mơ quỹ đạo véc tơ trạng thái x1 (t), x2 (t) hệ đóng Hình 2.3 2.4 mô quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở hệ đóng Rõ ràng từ hình vẽ ta thấy hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (5, 5.9, 0.1, I, 1) • Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T ∈ R2 , c1 = 5, c2 = 15, Tf = 6, R = I, d = Hình 2.5 2.6 mơ quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở hệ đóng Rõ ràng, hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn ứng 300 xT(t)Rx(t) 250 200 150 100 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time(sec) 0.06 0.07 0.08 Hình 2.3: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Ví dụ 2.1 0.09 0.1 33 xT(t)Rx(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time(sec) 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Hình 2.4: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Ví dụ 2.1 98 x 10 xT(t)Rx(t) 0 Time(sec) Hình 2.5: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Ví dụ 2.1 xT(t)Rx(t) 0 Time(sec) Hình 2.6: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Ví dụ 2.1 34 với (5, 15, 6, I, 1) Ví dụ 2.2 Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ   C 0.49  x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t), t ≥ 0,  Dt   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ R2 , (2.31) x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , u(t) = (u1 (t), u2 (t)) ∈ R2 , z(t) ∈ R, ω(t) = 0.01 cos t ∈ R         0.5  , C = 0.5 0.1 , W =  , B =  , D =  A= Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.31) mơ tả       C 0.49 x(t) Dt = (−A + BK)x(t) + Df (x(t)) + W ω(t), t ≥ 0, z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ R2 (2.32) Các hàm kích hoạt chọn sau f (x(t)) = (tanh x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1} Cho c1 = 1, c2 = 2, Tf = ma trận R = I Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB, điều kiện (2.28a) (2.28b) Hệ 2.2 thỏa mãn với = 128.2634     7.6032 0.1030 −29.5516 2.9265 , Y =   X= 0.1030 8.9494 −0.2045 −24.7392 Theo Hệ 2.2, hệ đóng (2.32) đạt hiệu xuất H∞ tương ứng với (1, 2, 5, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2598 tác động điều khiển ngược ổn định hóa cho bởi:   −3.8918 0.3718  x(t), t ∈ [0, 5] u(t) =  0.0106 −2.7645 Kết mô phỏng: chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T ∈ R2 , c1 = 1, c2 = 2, Tf = 5, R = I, d = 0.0001 Hình 2.7 2.8 mô quỹ đạo 35 50 45 40 35 30 25 20 15 10 xT(t)Rx(t) 0 0.5 1.5 2.5 Time(sec) 3.5 4.5 Hình 2.7: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Ví dụ 2.2 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 xT(t)Rx(t) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.5 1.5 2.5 Time(sec) 3.5 4.5 Hình 2.8: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Ví dụ 2.2 xT (t)Rx(t) hệ mở hệ đóng Rõ ràng, hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (1, 2, 5, I, 0.0001) Ví dụ 2.3 Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ sau   C 0.96   x(t) = − [A + Ea Fa (t)Ha ] x(t) + [D + Ed Fd (t)Hd ]f (x(t)) Dt       +[W + Ew Fw (t)Hw ]ω(t) + [B + Eb Fb (t)Hb ]u(t), t ≥ 0,   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,        x(0) = x0 ∈ R2 , (2.33) 70 60 50 40 30 T x (t)Rx(t) 20 10 0 Time(sec) Hình 2.9: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Vi dụ 2.3 10 36 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 xT(t)Rx(t) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Time(sec) 10 Hình 2.10: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Vi dụ 2.3 x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2     0.1 0.5  , Ea =   , Ha = 0.5 0.6 , Fa (t) = sin t, A= 0.1 0.6     0.5  , Ed =   , Hd = 0.1 0.2 , Fd (t) = sin t, D= 2.5 0.8     0.2  , Ew =   , Hw = 0.1 0.3 , Fw (t) = cos t, W = 0.3      , Eb =   , Hb = 0.4 0.5 , Fb (t) = sin t, C = 1 B= Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.33) mơ tả           C 0.96 x(t) Dt = [−A − Ea Fa (t)Ha + BK + Eb Fb (t)Hb K] x(t) +[D + Ed Fd (t)Hd ]f (x(t)) + [W + Ew Fw (t)Hw ]ω(t), t ≥ 0,   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,        x(0) = x0 ∈ R2 (2.34)   0.01 sin t  Suy véc tơ nhiễu Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) cho ω(t) =  0.01 cos t đầu vào thỏa mãn Giả thiết 2.3 với d = 0.0001 Hàm kích hoạt f (x(t)) = (tanh x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 Ta quan sát thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1} Cho c1 = 1, c2 = 1.6, Tf = 10 ma trận R = I Cho trước γ = 1.2391 Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox 37 MATLAB, ta thấy điều kiện (2.22a) (2.22b) Định lý 2.2 thỏa mãn với = 14.1493, = 17.3301, = 14.7246     2.0174 −0.4117 −10.8208 −2.6891 , Y =   X= −0.4117 1.9908 −10.4999 −14.3833 Theo Định lý 2.2, hệ đóng (2.34) đạt hiệu xuất H∞ tương ứng với (1, 1.6, 10, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2391 tác động điều khiển ngược ổn định hóa cho bởi:   −5.8879 −2.5683  x(t), t ∈ [0, 10] u(t) =  −6.9733 −8.6667 Kết mô phỏng: Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T ∈ R2 , c1 = 1, c2 = 1.6, Tf = 10, R = I, d = 0.0001 Hình 2.9 2.10 mô quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở hệ đóng Rõ ràng, hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (1, 1.6, 10, I, 0.0001) 38 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Giới thiệu trình bày số tiêu chuẩn đơn giản cho tính ổn định tính bị chặn thời gian hữu hạn lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ; • Giới thiệu tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc ngun; • Trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ; • Trình bày 03 ví dụ số với mô để minh họa cho kết lý thuyết 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017 [2] Nguyễn Trường Thanh, Điều khiển H∞ hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 [3] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học Công nghệ, 2017 Tiếng Anh [4] M.S Ali and S Saravanan (2016), “Robust finite-time H∞ control for a class of uncertain switched neural networks of neutral-type with distributed time varying delays”, Neurocomputing, 177, pp 454–468 [5] F Amato, M Ariola and P Dorato (2001), “Finite-time control of linear systems subject to parametric uncertainties and disturbances”, Automatica, 37, pp 1459–1463 [6] P Baskar, S Padmanabhan S, M.S Ali (2018), “Finite-time H∞ control for a class of Markovian jumping neural networks with distributed time varying delays-LMI approach”, Acta Mathematica Scientia, 38(2), pp 561– 579 40 [7] A Boroomand and M.B Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In: International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890), Springer [8] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [9] L Chen, C Liu, R Wu, Y He and Y Chai (2016), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural Computing and Applications, 27(3), pp 549–556 [10] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1257–1272 [11] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Applications”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1273–1290 [12] X Dinh, J Cao, X Zhao and F.E Alsaadi (2017), “Finite-time stability of fractional-order complex-valued neural networks with time delays”, Neural Processing Letters, 46(2), pp 561–580 [13] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R CastroLinares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659 [14] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [15] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [16] M.P Lazarevi´c and A.M Spasi´c (2009), “Finite-time stability analysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach”, Mathematical and Computer Modelling, 49, pp 475–481 41 [17] Y.J Ma, B.W Wu and Y.E Wang (2016), “Finite-time stability and finitetime boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing, 173, pp 2076–2082 [18] Q Meng and Y Shen (2009), “Finite-time H∞ control for linear continuous system with norm-bounded disturbance”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14, pp 1043–1049 [19] C Rajivganthi, F.A Rihan, S Lakshmanan and P Muthukumar (2018), “Finite-time stability analysis for fractional-order Cohen–Grossberg BAM neural networks with time delays”, Neural Computing and Applications, 29(12), pp 1309–1320 [20] M.V Thuan, N.H Sau and N.T.T Huyen (2020), “Finite-time H∞ control of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and Applied Mathematics, 39, pp 1–19 [21] Z Shuo, Y.Q Chen and Y Yu (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [22] S Wang, T Shi, L Zhang, A Jasra and M Zeng (2015), “Extended finitetime H∞ control for uncertain switched linear neutral systems with timevarying delays”, Neurocomputing, 152, pp 377–387 [23] R.C Wu, Y.F Lu and L.P Chen (2015), “Finite-time stability of fractional delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, pp 700–707 [24] Z Xiang, Y.N Sun, M.S Mahmoud (2012), “Robust finite-time H∞ control for a class of uncertain switched neutral systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17, pp 1766–1778 [25] C Xu and P Li (2019), “On finite-time stability for fractional-order neural networks with proportional delays”, Neural Processing Letters, 50(2), pp 1241–1256 42 [26] X.J Yang, Q.K Song, Y.R Liu, Z.J Zhao (2015), “Finite-time stability analysis of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing, 152, pp 19–26 ... thứ Trong chương luận văn, trình bày tốn điều khiển H? ?? thời gian h? ??u h? ??n cho lớp h? ?? 20 Chương Điều khiển H? ?? thời gian h? ??u h? ??n lớp h? ?? nơ ron thần kinh phân thứ Chương này, chúng tơi trình bày... tiêu chuẩn đơn giản cho tính ổn định tính bị chặn thời gian h? ??u h? ??n lớp h? ?? điều khiển tuyến tính phân thứ; • Giới thiệu tốn điều khiển H? ?? thời gian h? ??u h? ??n cho lớp h? ?? điều khiển tuyến tính với... [20] nghiên cứu toán điều khiển H? ?? thời gian h? ??u h? ??n cho lớp h? ?? nơ ron thần kinh phân thứ cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính số tính chất đạo h? ?m, tích phân phân thứ Luận văn