Vận dụng thao tác tư duy phân tích giúp phát triển năng lực của học sinh trong việc giải toán hình học không gian lớp11

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: VẬN DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH GIÚP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 Giáo viên hướng dẫn: TS Hoàng Nhật Quy Sinh viên thực : Đồng Thị Tố Quyên Lớp : 14ST Đà Nẵng, tháng 05/2018 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, em xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến Sĩ Hoàng Nhật Quy, tận tình góp ý hướng dẫn suốt q trình em thực đề tài khố luận tốt nghiệp Em chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức năm em học tập Vốn kiến thức tiếp thu trình học khơng tảng q trình nghiên cứu khóa luận mà cịn hành trang q báu để em bước vào nghề nhà giáo cách vững tự tin tương lai Cuối xin cảm ơn bạn sinh viên lớp 14ST hỗ trợ em thực đề tài chân thành góp ý kiến để khóa luận tốt nghiệp em hoàn chỉnh Đà Nẵng ngày 02 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Đồng Thị Tố Quyên SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN………………………………………………………… MỤC LỤC……………………………………………………………….2 CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT……………… ……………… MỞ ĐẦU…………………………………….……………… ……… Lý chọn đềtài……………………………….………………….… 2.Mục đích nghiên cứu………………………… ………………… .5 Nhiệm vụ nghiên cứu……………………….…………………………5 4.Phương pháp nghiêncứu………………………………………… … 5 Phạm vi nghiêncứu………………………….…………………….… Đối tượng nghiên cứu……………………….…………………….… Cấu trúc đề tài…………………………… ….………….……….……5 Chương 1: CƠ SỞ LÝLUẬN……………….…… ………….……… 1.1 Giới thiệu thao tác tư phân tích………….………………….…6 1.1.1 Mô tả ……………………………………….………… ……… 1.1.2 Tác dụng dạy, học toán………………….……………….… 1.1.3 Biện phápthực hiện…………………………………… ……… 1.2 Giới thiệu lực toán học cần đạt học sinh THPT… …7 1.2.1 Mô tả…………………………………………………………….…7 1.2.2 Các yêu cầu lực toán học cần đạt học sinh THPT … 1.3 Các kiến thức hình học sử dụng đề tài …….….……… ….9 1.3.1 Các định nghĩa ………………………………… …………… …9 1.3.2 Các định lí quan hệ song song……………… ……………….10 1.3.3 Các định lí quan hệ vng góc …………………… …… … 11 Chương 2: VẬN DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH GIÚPPHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11………………… 14 2.1 Dạng 1: Các tốn tìm giao điểm, giao tuyến………………….….14 2.2 Dạng 2: Các tốn tìm thiết diện ………………… ………….… 19 2.3 Dạng 3: Các toán chứng minh yếu tố song song………… …29 2.4 Dạng 4: Các toán chứng minh yếu tố vng góc… ……… 31 2.5 Dạng 5: Tính góc khơng gian……………………… ……… 37 2.6 Dạng 6: Tính khoảng cách khơng gian…………………… ….42 KẾT LUẬN………………………………………………………… …51 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… ….52 SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khoá luận tốt nghiệp GT: Giả thiết KL: Kết luận GVHD: TS Hoàng Nhật Quy CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Sự phát triển kinh tế xã hội bối cảnh toàn cầu hóa đặt yêu cầu đổi tồn xã hội, đặt u cầu nghiệp giáo dục hệ trẻ đào tạo nguồn nhân lực Một định hướng việc đổi giáo dục chuyển từ giáo dục mang tính hàn lâm sang giáo dục trọng việc hình thành lực hành động, phát huy tính chủ động, sáng tạo người học Định hướng quan trọng đổi phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực sáng tạo, phát triển lực hành động, lực cộng tác làm việc người học Đó xu hướng quốc tế cải cách phương pháp dạy học nhà trường phổ thông Nghị hội nghị Trung ương khoá XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kĩ năng, phát triển lực” Hiện nay, chương trình Tốn trung học phổ thơng, hình học khơng gian dạy học hai khối 11 12 Hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tư sáng tạo cho học sinh Bộ môn yêu cầu người học phải có óc quan sát, hình dung, tưởng tượng, tư lơgic,… Để giúp học sinh hình thành phát triển tốt kỹ trên, địi hỏi giáo viên phải có phương pháp cụ thể Đó phương pháp phân tích, tổng hợp, suy luận lơgic giúp học sinh tự tìm lời giải thích hợp cho tốn Trong chương trình tốn hình lớp 11 nay, đa số em học sinh lớp gặp khó khăn giải tốn học hình học khơng gian phần kiến thức trừu tượng Muốn giải vấn đề đó, người học khơng cần kiến thức, phương pháp vững vàng mà phải rèn luyện tư duy, đồng thời phải có kĩ phân tích giả thiết tốn Với lí trên, tơi chọn đề tài:“Vận dụng thao tác tư phân tích giúp phát triển lực học sinh việc giải tốn hình học khơng gian lớp 11” SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Mục đích nghiên cứu: - Đưa số cách sử dụng thao tác tư phân tích để tìm lời giải tốn hình học khơng gian lớp 11 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận - Nghiên cứu cách phân tích giả thiết, phương pháp tư để tìm cách giải tốn hình học khơng gian lớp 11 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn việc dạy học hình học khơng gian lớp 11 - Nghiên cứu tài liệu phương pháp dạy học toán, tài liệu liên quan đến hình học khơng gian lớp 11 Phạm vi nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu thao tác tư phân tích để tìm lời giải tốn hình học khơng gian lớp 11 (Sách Hình Học 11 hành) Đối tượng nghiên cứu - Tìm lời giải cho tốn hình khơng gian 11 Cấu trúc đề tài Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1 Giới thiệu thao tác tư phân tích 1.2 Giới thiệu lực toán học cần đạt học sinh THPT 1.3 Các kiến thức hình học sử dụng đề tài Chương 2: Vận dụng thao tác tư phân tích giúp phát triển lực học sinh việc giải tốn hình học khơng gian lớp 11 2.1 Dạng 1: Các tốn tìm giao điểm, giao tuyến 2.2 Dạng 2: Các tốn tìm thiết diện 2.3 Dạng 3: Các toán chứng minh yếu tố song song 2.4 Dạng 4: Các toán chứng minh yếu tố vng góc 2.5 Dạng 5: Tính góc khơng gian 2.6 Dạng 6: Tính khoảng cách không gian SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Giới thiệu thao tác tư phân tích 1.1.1 Mơ tả: Phân tích dùng trí óc chia tồn thể thành phần thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm tồn thể 1.1.2 Tác dụng dạy, học toán: Trong dạy học Toán, thao tác tư phân tích giúp học sinh hiểu sâu đầy đủ thuộc tính, trường hợp riêng lẻ nằm khái niệm, định lý,… Đây thao tác sử dụng để tiến hành thao tác khác 1.1.3 Biện pháp thực hiện: Khi dạy học sinh giải tập toán, cần phải: - Nhìn bao quát cách tổng hợp, xem tốn cho thuộc loại nào? Phân tích cho cần tìm… - Thực phân tích tổng hợp xen kẽ Sau phân tích số ý tổng hợp lại xem ta có thu điều bổ ích khơng? Cịn thiếu yếu tố khơng? - Tách tốn cho thành nhiều toán thành phần, toán đặc biệt đơn giản hơn, cuối tổng hợp lại để có kết Sau ví dụ minh hoạ cho việc thực thao tác tư phân tích giải tốn Ví dụ: Cho a + b th Chứng minh (2)  Bước 1: Biến đổi kết luận Nhận thấy hai vế kết luận có chứa a b nên đưa vế để đặt thừa số chung t (2) th (3)  Bước 2: Làm cho giả thiết kết luận gần Chuyển tách (1) để đưa gần gũi với (3) t th (1) (4)  Bước 3: Tiếp tục phân tích trái giả thiết Tổng hai số mà không âm có ba khả xảy ra: t t t t Lúc (3) hiển - Khả 1: suy nhiên Bất đẳng thức chứng minh xong t t t t - Khả 2: hay t t t t Hai khả tương tự, ta cần xét đủ SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy t t t t t t t t t ta phân tích thành trường hợp sau: Từ điều kiện t h tt t (3) hiển nhiên t th t ê Ta có: (3) t Bất đẳng thức vì: t t nên t t t th t t t ê t; t t t Cách chứng minh dài số cách chứng minh khác, rõ ràng ta rèn luyện cho học sinh thao tác tư phân tích có hiệu 1.2 Giới thiệu lực toán học cần đạt học sinh THPT 1.2.1 Mô tả - Năng lực tư lập luận toán học: thể qua việc thực hành động so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái qt hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch; chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lý trước kết luận; giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện toán học - Năng lực mơ hình tốn học: thể qua việc sử dụng mơ hình tốn học gồm cơng thức, phương trình, bảng, đồ thị… để mơ tả tình đặt toán thực tế; giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập; thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế; cải tiến mơ hình cách giải không phù hợp - Năng lực giải vấn đề toán học: thể qua việc nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học; đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề sử dụng kiến thức kĩ tốn học tương thích bao gồm cơng cụ thuật toán để giải vấn đề đặt ra; đánh giá giải pháp đề khái quát hóa vấn đề tương tự - Năng lực giao tiếp toán học: thể qua việc nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thơng tin tốn học cần thiết trình bày dạng văn tốn học hay người khác nói viết ra; trình bày, diễn đạt (nói viết) nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác với người khác; sử dụng hiệu ngơn ngữ Tốn học (chữ số, chữ cái, ký hiệu,hình vẽ, liên kết SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy logic…) kết hợp với ngơn ngữ thơng thường trình bày giải thích đánh giá ý tưởng toán học tương tác (như thảo luận, tranh luận) với người khác - Năng lực sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn: thể qua việc biết tên gọi, tác dụng quy cách sử dụng, cách thức bảo quản đồ dùng phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học cơng nghệ phục vụ cho việc học tốn; sử dụng thành thạo, linh hoạt công cụ phương tiện học tốn đặc biệt phương tiện khoa học cơng nghệ để tìm tịi, khám phá giải vấn đề toán; ưu điểm, hạn chế cơng cụ phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lý 1.2.2 Các yêu cầu lực toán học cần đạt học sinh THPT - Năng lực tư lập luận toán học: thực nhuần nhuyễn thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm tương đồng khác biệt tình phức tạp biết khẳng định kết việc quan sát; biết sử dụng phương pháp lập luận quy nạp, suy diễn để nhìn cách thức khác để giải vấn đề; biết giải thích, chứng minh điều chỉnh giải pháp phương trình tốn học - Năng lực mơ hình tốn học:sử dụng mơ hình tốn học(cơng thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ,…) để mơ tả tình đặt tốn thực tế, từ đưa cách giải vấn đề đặt mơ hình thiết lập; đánh giá kết luận thu từ cách tính tốn có ý nghĩa, phù hợp với thực tế hay khơng;biết cách đơn giản hố u cầuthực tế (bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá…) để thiết lập toán giải hiểu cần phải điều chỉnh để phù hợp với thực tế - Năng lực giải vấn đề toán học:nhận biết tình có vấn đề, xác định, thu thập, xếp, giải thích đánh giá độ tin cậy thông tin, chia sẻ am hiểu vấn đề với người khác; đề xuất, lựa chọn cách thức, quy trình giải vấn đề, thực trình bày giải pháp cho vấn đề; đánh giá giải pháp thực hiện; phản ánh giá trị giải pháp khái quát hóa cho vấn đề tương tự - Năng lực giao tiếp toán học: nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thành thạo; tóm tắt thơng tin bản, trọng tâm nội dung, yêu cầu toán học nói viết ra; biết làm việc thành thạo với văn tốn học (phân tích, lựa chọn, trích xuất thơng tin cần thiết); thể cách xác hiệu suy nghĩ, lập luận, chứng minh, khẳng định tốn học ngơn ngữ thơng thường ngơn ngữ tốn học; thể tự tin, tơn trọng người đối thoại mơ tả, giải thích nội dung, ý tưởng toán học - Năng lực sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn: biết tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản công cụ, phương tiện học; sử dụng thành thạo máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện cơng nghệ, nguồn tài nguyên mạng SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Phương pháp: Từ toán ta rút phương pháp chứng minh: Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng 2.5 Dạng 5: Các tốn tính góc khơng gian Bài tốn 14: Góc hai đường thẳng chéo Bài toán: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Biết AB = CD = 2a; MN  a Tính góc AB CD Phân tích tốn: GT: M trung điểm cạnh BC N trung điểm cạnh AD AB = CD = 2a; MN =a KL: AB;CDh t ? A N O B D M C Theo định nghĩa góc hai đường thẳng ta tìm đường thẳng cắt song song với AB CD Ta nhận thấy AB thuộc mặt phẳng (ABC), CD thuộc mặt phẳng (ACD) , mà (ABC)ACD) = AC nên ta giao điểm đường thẳng thuộc AC Từ giả thiết toán ta thấy M trung điểm BC nên mặt phẳng (ABC), gọi O trung điểm AC, Suy MO đường trung bình ∆ABC OM // AB Tương tự ta có ON // CD Khi đó: AB CDh t OM ONh t MON SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 38 Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Dựa vào kiến thức học hình học phẳng, ta dễ dàng tính góc MON từ xác định góc AB CD Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Bài giải: Goi O trung điểm AC OM//AB, ON//CD  AB CD  OM ON MON Ta có: OM = ON =a gọi I trung điểm MN, ta có: MI  a a Suy ra: OI  OM  MI  Do OMI = 30 Vậy MOI = 60 Vì OMN cân nên ta có MON = 2MOI = 120 Do đó: t‴ h h = 180 - 120 = 60 Phương pháp: Muốn tính góc hai đường thẳng a b , ta thực hiện: - Lấy điểm O bất kì, xác định a’ qua O a’//a; b’ qua O b’//b - Khi đó, góc tạo a’ b’ gọi góc a b - Tính góc: Sử dụng tỉ số lượng giác góc tam giác vng dùng định lí hàm cơsin tam giác thường  Chú ý: Điểm O lấy hai đường thẳng Bài tốn 15: Góc đường thẳng mặt phẳng Bài tốn:Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA  ( ABCD) Tính góc SC (ABCD) ? SVTH: Đồng Thị Tố Quyên SA  a , Trang 39 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Phân tích tốn: GT: ABCD hình vng cạnh a SA  a SA  ( ABCD) KL: SC ABCD h = ? Theo định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng ta cần tìm hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) Dễ dàng thấy SC ABCD) = C Suy hình chiếu C lên (ABCD) C (1) Ta có SA (ABCD) Suy hình chiếu S lên (ABCD) A (2) Từ (1) (2) suy hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) AC Như góc SC (ABCD) góc SC AC Vì VìSA (ABCD) nên SA AC SAC vuông A Như góc SC AC góc SCA ∆SAC SC ABCD h = SCA Dựa vào kiến thức hình học phẳng ta dễ dàng tính góc SCA Bài giải: Ta có: SC ABCD) = C SA ABCD) Suy hình chiếu SC lên (ABCD) AC  SC ABCD h = SCA  SA  ( ABCD)  SA  AC ∆SAC vng A Ta có: tanSCA = t th = SVTH: Đồng Thị Tố Quyên = Trang 40 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy SCA  SC ABCD h = 45 Phương pháp: Tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) + Tìm giao điểm I = a P) + Tìm hình chiếu IH AI lên (P) + t h= t hh Bài tốn 16: Tính góc mặt phẳng mặt phẳng Bài tốn: Cho hình chópS.ABC, có đáylà tamgiácABC vngcân A có cạnhgócvnglà a , SA vnggócvới đáy,SA=a GọiIlà trungđiểm củaBC Tínhgócgiữahai mặt phẳng (SBC) và(ABC) Phân tích tốn: GT:∆ABC vng cân A AB  AC  a SA  ( ABC ) , SA  a KL: ‴hh t‴h h = ? SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 41 Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Theo định nghĩa góc hai mặt phẳng cách xác địnhgóc hai mặt phẳng ta tìm mặt phẳng (SBC)và (ABC) hai đường thẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng Dễ thấy (SBC) (ABC)=BC Mà theo đề ta có tam giác ABC vuông cân A nên tam giác SBC cân S Lại có I trung điểm BC nên SI  BC , AI  BC Như ‴hh t‴h h = th Bài giải: Ta có: (SBC) (SAB)=BC Theo đề ta có tam giác ABC vuông cân A nên tam giác SBC cân S Lại có I trung điểm BC nên SI  BC , AI  BC ‴hh t‴h h = th Như Tính góc SIA: Ta có SA  ( ABC )  SA  AI ∆SAI vng A t tan t = t Tính AI: ∆AIB vuông B ( AB)2  ( AI )2  ( BI )2 Phương pháp: + Tìm d (P)  Q  + Từ A thuộc d kẻ a vng góc với d (P), kẻ b vng góc với d (Q) + th t h = h 2.6 Dạng 6: Các tốn tính khoảng cách khơng gian Bài tốn 17: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian SVTH: Đồng Thị Tố Qun Trang 42 Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Bài tốn:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, AD b, AA' c Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD’ Phân tích tốn: GT:Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ AB t a AD t b AA' t c KL: d(A, BD’) Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD’ ta cần dựng điểm H hình chiếu vng góc A BD’ Khi d(A, BD’)=AH Ta thấy điểm A BD’ thuộc vào mặt phẳng (ABD’) nên ∆ABD’ ta hạ AH ‴ ' Khi đó: AH = d(A, ‴ ') (theo định nghĩa 7, mục 1.3.1) Bây để tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD ta tính độ dài đoạn AH AA'D'Dh , ta dễ dàng suy Từ giả thiết ABCD.A’B’C’D’ ta có AB đượcAB AD' nên ∆ABD’ vuông A Ta thấy AH đường cao ∆ABD’ vuông A nên ta sử dụng hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài AH hình học phẳng Trong ∆ABD’ từ giả thiết tã biết AB = a ta để ý thấy cạnh AD’ BD’ tính theo hai cạnh biết AD = b DD’ = AA’= c nên ta sử dụng hệ thức lượng AH.BD' = AB.AD' Bây xét ∆ADD’ vuông D nên ta sử dụng định lí Pytago để tính AD’: ' = AD' = t Bây ta cần tính BD’ Từ giả thiết ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật ta ABCDh, ta dễ dàng suy đượcDD' BD nên ∆BDD’ vng D có DD' Ta tiếp tục sử dụng định lí Pytago cho ∆BDD’ vng D, ta có: BD' = t‴ t ' = Cuối xét ∆ABD' vng A có: AH.BD' = AB.AD' SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 43 Khoá luận tốt nghiệp AH = t‴ t ' ‴ ' t Vậy d(A,BD’) = AH t GVHD: TS Hồng Nhật Quy Bài giải: Vì ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật nên AB DD' AA' D' D AB AB AD' Ta có: AD' AA'D'Dh ∆ABD’ vuông A Trong ∆ABD’, hạ AH ‴ ' Khi đó: AH=d(A, ‴ ') Trong ∆ADD’ vng D, theo định lí Pytago ta có: AD' t AA' D' D ABCDh '  DD' ABCDh BD DD' Ta có: ∆BDD’ vng D BD ABCDh Áp dụng định lí Pytago cho ∆BDD’ vng D ta có BD' t‴ t '  Xét ABD' có: AH.BD' AB.AD' AH t t‴ t ' ‴ ' t Vậy d(A,BD’) = AH t Phương pháp: Từ toán ta rút phương pháp tính khoảng cách: - Muốn tìm khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng hình chiếu vng góc M lên d(M, ) = MH ta xác định điểm H - Cách xác định hình chiếu vng góc: Việc dựng hình chiếu điểm đường thẳng khơng gian ta làm theo cách sau: + Dựng mặt phẳng qua M đường thẳng SVTH: Đồng Thị Tố Quyên cho Trên mặt phẳng đó, qua Trang 44 Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy M dựng đường vng góc từ M tới đường thẳng cắt H + Dựng mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng , lúc giao điểm đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu H M đường thẳng - Tính tốn: Sau xác định khoảng cách cần tìm, ta dùng hệ thức lượng tam giác, đa giác, đường trịn, định lí talet, pytago,… để tính tốn Bài tốn 18: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khơng gian Bài tốn: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA (ABCD), SA=2a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Phân tích tốn: GT:Hình chóp S.ABCD ABCD hình vng cạnh a SA (ABCD), SA=2a KL: d(A, (SBC)) Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) ta cần dựng điểm H hình chiếu vng góc A mặt phẳng (SBC) Khi d(A, (SBC)) = AH Ta thấy điểm A thuộc vào mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (SAB) cắt mặt phẳng SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 45 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy (SBC) theo giao tuyến SB nên ta xét hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Từ giả thiết SA (ABCD) ta có SA BC AB Từ suy BC (SAB) B BC ABCD hình vng Mặt phẳng (SBC) chứa đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (SAB) nên hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với Ta thấy SB giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với (SAB) (SBC) nên ta gọi H hình chiếu vng góc A mặt phẳng (SBC) Khi AH vng góc với mặt phẳng (SBC) AH thuộc mặt phẳng (SAB) vng góc với (SBC) nên AH phải vng góc với giao tuyến SB hai mặt phẳng Vậy ta hạ AH vng góc với SB H H hình chiếu vng góc A mặt phẳng (SBC) Khi d(A,(SBC)) = AH Bây ta tính AH Dễ thấy tốn cho SA=2a, AB=a ta cần tính AH đoạn thẳng thuộc mặt phẳng AB nên ta tính AH mặt phẳng (SAB) Từ giả thiếtSA (ABCD), ta có SA AB Khi SAB vng A có AH đường cao nên ta vận dụng hệ thức lượng tam giác vng để tính AH Ta áp dụng hệ thức lượng: t th t t t‴ t t Từ tìm AH kết luận khoảng cách cần tìm Bài giải: Kẻ AH Ta có t ‴h SB H ABCD t‴h h t BC (1) Vì ABCD hình vng nên AB Từ (1) (2) suy BC (SAB) Ta có th th SB BC th SVTH: Đồng Thị Tố Quyên SBCh BC (2) BC AH d(A, (SBC)) = AH Trang 46 Khoá luận tốt nghiệp Vì t GVHD: TS Hồng Nhật Quy ABCD nên t AB Suy SAB vng A có AH đường cao nên áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: t th t t t‴ AH = t t t t t t Vậy d(A, (SBC)) = AH = Phương pháp Từ toán ta rút phương pháp tính khoảng cách - Muốn tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) kí hiệu d(M, (P)) ta xác định điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng (P) d(M, (P)) = MH - Xác định hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P): + Dựng mặt phẳng (Q) qua M vuông góc với (P) + Xác định giao tuyến (P) (Q) d + Từ M hạ MH vuông góc với đường thẳng d (H ∈ d) H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) - Tính tốn sau xác định khoảng cách cần tính ta dùng hệ thức lượng tam giác vng, đa giác, đường trịn,… để tính tốn Bài tốn 19: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài tốn:Cho tứ diện ABCD có AB = a, tất cạnh lại 3a Tính khoảng cách AB CD Phân tích toán: GT:Tứ diệnABCD AB = a AD = AC = BC = BD = CD = 3a KL: d(AB, CD) SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 47 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Quan sát hình ta thấy AB CD hai đường thẳng chéo nên theo định nghĩa 11 (mục 1.3.1), để tính khoảng cách AB CD ta dựng đoạn vng góc chung AB CD Khi khoảng cách AB CD độ dài đoạn vng góc chung Từ giả thiết AD = AC = BC = BD = CD = 3a,ta suy ra: ACD BCD tam giác hai tam giác Để sử dụng tính chất tam giác ta gọi I trung điểm CD Khi đó, hai đường trung tuyến AI BI hai tam giác ACD BCD đường cao hai tam giác nên ta AI CD BI CD Suy CD (ABI) nên ta có CD vng góc AB Vậy CD AB hai đường thẳng chéo Vì ACD = BCD nên AI = BI ta suy ABC cân I Bây ta gọi J trung điểm AB trung tuyến IJ đường cao ABI cân I nê IJ AB Đến ta thấy IJ vng góc với AB CD I, J nên IJ đoạn vng góc chung AB CD Khi d(AB, CD) = IJ Từ giả thiết AB = a AD = AC = BC = BD = CD = 3a ta dễ dàng tính đoạn AI, AJ AIJ vng J nên áp dụng định lí Pytago ta tính IJ SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 48 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy AI chiều cao ACD cạnh 3a nên AI = Ta có AJ = t‴ = Áp dụng định lí Pytago AIJ vng J ta có: IJ = t tR = ᵈ Vậy d(AB, CD) = IJ = = t t Bài giải Gọi I, J trung điểm CD AB Vì AD = AC = BC = BD = CD = 3a ACD BCD tam giác cạnh 3a ACD = BCD Mà I làtrung điểm CD AI CD, BI Ta có AI BI CD CD CD IJ I CD AI = BI = CD (ABI) I (1) Vì AI = BI nên ABI cân I ta có J trung điểm AB IJ AB J (2) Từ (1) (2) suy d(AB, CD) = IJ Áp dụng định lí Pytago AIJ vng J ta có: IJ = t tR = ᵈ Vậy d(AB, CD) = IJ = = t t SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 49 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy Phương pháp Từ tốntrên ta rút phương pháp tính khoảng cách: - Muốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo a b kí hiệu d(a, b) ta xác định đoạn vng góc chung a b - Xác định đoạn vng góc chung a b - Tính tốn: Sau xác định đoạn vng góc chung, ta dùng hệ thức lượng tam giác, đa giác, đường trịn; định lí cos, định lí Pytago,… để tính tốn Nếu hai đường thẳng a b chéo vng góc với ta xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng Khi đó, đoạn vng góc chung dựng mặt phẳng (P) theo bước: - Dựng (hoặc tìm) mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b - Tìm giao điểm I đường thẳng b mặt phẳng (P) - Trong mặt phẳng (P) hạ IJ vng góc với a J Khi IJ đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 50 Khoá luận tốt nghiệp GVHD: TS Hoàng Nhật Quy KẾT LUẬN Qua đề tài này, lần khẳng định tầm quan trọng hình học khơng gian Tốn học nói chung Tốn học phổ thơng nói riêng Việc tiếp thu tốt phần địi hỏi người học có tính tưởng tượng phong phú, giáo viên cần trang bị cho em lớp dạng toán cách giải tương ứng Thao tác tư phân tích giúp học sinh có sở, kỹ vững vàng để tìm lời giải cho tốn hình học khơng gian lớp 11 Với phương pháp dạy học này, học sinh rèn luyện tư lơgic, óc sáng tạo, tính cẩn thận, xác q trình giải tốn Đặc biệt, thân học sinh trang bị cho kỹ tự học, tự phân tích để tìm lời giải thích hợp cho nhiều toán khác Đề tài giải số nội dung cụ thể sau: - Làm rõ thao tác tư phân tích; tác dụng thao tác tư phân tích dạy, học tốn biện pháp thực thao tác - Trình bày cách sử dụng thao tác tư phân tích để tìm lời giải cho tốn hình học khơng gian lớp 11 Cuối cùng, dù cố gắng hoàn thiện đề tài thời gian thực có hạn nên em khơng thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận góp đóng góp ý kiến q thầy bạn đọc để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 51 Khố luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo ( Tổng Chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục, 2016 Trần Văn Hạo ( Tổng Chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Sách giáo viên Hình học 11, NXB Giáo dục, 2007 Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo dục, 2016 Trần Văn Hạo ( Tổng Chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Văn Đồnh, Trần Đức Hun, Hình học 10, NXB Giáo dục, 2016 Nguyễn Văn Tường, Nguyễn Tấn Siêng, Chun đề giải tốn hình học khơng gian, NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh, 2012 Trần Minh Quang, Phương pháp giải tốn hình học khơng gian, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2013 Nguyễn Anh Tường, Tổng ơn tập chun đề hình học khơng gian, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2013 Trần Khánh Hưng, Phương pháp dạy học toán (TTĐTTX-Đại học Huế), NXB Giáo dục, 2005 Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, Bộ GD&ĐT, 2017 10 http://thuvientoanhoc.net 11 http://baigiang.violet.vn 12 http://toanmath.com SVTH: Đồng Thị Tố Quyên Trang 52 ... 2: VẬN DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH GIÚP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 Thao tác tư phân tích thao tác tư ln sử dụng giải tốn Với tốn hình học. .. quan hệ vng góc …………………… …… … 11 Chương 2: VẬN DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH GIÚPPHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11………………… 14 2.1 Dạng 1: Các tốn... luyện cho học sinh thao tác tư phân tích có hiệu 1.2 Giới thiệu lực tốn học cần đạt học sinh THPT 1.2.1 Mơ tả - Năng lực tư lập luận toán học: thể qua việc thực hành động so sánh, phân tích, tổng