Đại số LIE QUADRATIC số chiều thấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  BÙI THỊ VÂN ANH ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  BÙI THỊ VÂN ANH ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số : 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.LÊ ANH VŨ Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học PGS.TS.Lê Anh Vũ Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Thầy giúp đỡ tạo điều kiện cho tiếp xúc với nguồn tài liệu quý ngồi nước, giảng giải dẫn tận tình, đầy trách nhiệm cho tơi suốt q trình làm luận văn Hơn nữa, Thầy dành nhiều thời gian công sức để đọc chỉnh sửa luận văn cho Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cơ khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Đặc biệt Quý Thầy Cơ tổ Hình học, Thầy Cơ giảng dạy lớp cao học khóa 18 Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh cung cấp kiến thức chuyên môn cần thiết cho để làm tảng cho việc hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phịng khoa học cơng nghệ - Sau Đại học, phịng Kế hoạch - tài Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu Trường THPT Phú Nhuận toàn thể đồng nghiệp bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học nghiên cứu luận văn Luận văn khơng thể hồn thành thiếu chia sẻ, khích lệ, động viên gia đình tơi Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình Tơi xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2011 Tác giả Bùi Thị Vân Anh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích 11 Đối tượng nội dung nghiên cứu 11 Ý nghĩa khoa học thực tiễn 11 Cấu trúc luận văn 11 CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 12 1.1.1 Định nghĩa 12 1.1.2 Định nghĩa 12 1.1.3 Bổ đề 12 1.1.4 Định nghĩa 13 1.1.5 Nhận xét 13 1.1.6 Dạng tắc dạng song tuyến tính 13 1.1.6.1 Bổ đề 13 1.1.6.2 Bổ đề 13 1.2 ĐẠI SỐ LIE 14 1.2.1 Đại số 14 1.2.1.1 Định nghĩa 14 1.2.1.2 Ví dụ 14 1.2.2 Đại số Lie 15 1.2.2.1 Định nghĩa 15 1.2.2.2 Nhận xét 15 1.2.2.3 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số) 15 1.2.2.4 Ví dụ 16 1.3 ĐỒNG CẤU 17 1.3.1 Định nghĩa 17 1.3.2 Nhận xét ví dụ 17 1.4 ĐẠI SỐ LIE CON, IDEAL VÀ ĐẠI SỐ THƯƠNG 17 1.4.1 Định nghĩa 17 1.4.2 Định nghĩa 17 1.4.3 Định nghĩa 17 1.4.4 Tính chất 18 1.4.5 Mệnh đề 18 1.4.6 Nhận xét 18 1.5 ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 19 1.5.1 Bổ đề 19 1.5.2 Nhận xét 19 1.5.3 Định nghĩa 19 1.5.4 Ví dụ 19 1.5.5 Bổ đề 20 1.5.6 Bổ đề 20 1.5.7 Bổ đề 20 1.5.8 Hệ 21 1.6 ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH 21 1.6.1 Chúng ta xét dãy ideal : 21 1.6.2 Định lý 21 1.6.3 Định nghĩa 22 1.6.4 Nhận xét 22 1.6.5 Tâm đại số Lie 22 1.6.6 Bổ đề 22 1.7 ĐẠI SỐ LIE ĐƠN VÀ NỬA ĐƠN 23 1.7.1 Định nghĩa 23 1.7.2 Định nghĩa 23 1.7.3 Ví dụ 23 1.7.4 Định lý (Cartan – Levi – Malxev) 23 1.7.5 Bổ đề 23 1.7.6 Nhận xét 24 CHƯƠNG 2: CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC 25 2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC VÀI VÍ DỤ 25 2.1.1 Định nghĩa đại số Lie quadratic 25 2.1.2 Vài ví dụ 26 2.2 VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC 27 2.2.1 Vài khái niệm 27 2.2.2 Các tính chất 29 2.3 ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC ĐỊA PHƯƠNG 30 2.3.1 Vài khái niệm 31 2.3.2 Các tính chất 31 CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC CÓ CHIỀU QUADRATIC BẰNG 37 3.1 ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC GIẢI ĐƯỢC VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG 37 3.1.1 Các tính chất 37 3.1.2 Các hệ 43 3.1.3 Các ví dụ 44 3.2 ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC ĐẦY ĐỦ VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG 46 3.2.1 Mệnh đề (xem [5, trang 726]) 46 3.2.2 Định lý (xem [5, Theorem 5.1]) 46 3.2.3 Ví dụ 47 3.3 ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC THỰC VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG 47 3.3.1 Tính chất số chiều quadratic đại số Lie thực quadratic 48 3.3.2 Tính chất bất khả qui đại số Lie thực quadratic có chiều quadratic (xem [5, Proposition 6.2]) 48 3.3.3 Bổ đề (xem [5, Lemma 6.1]) 48 3.3.4 Tính chất (xem [5, Proposition 6.3]) 49 KẾT LUẬN 50 CHỈ MỤC 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Giải thích ký hiệu Mat(n,K) Không gian ma trận vuông cấp n trường K gl(n;K) Đại số Lie ma trận vuông cấp n K sl(n,K) Không gian ma trận có vết khơng b(n,K) Khơng gian ma trận tam giác n(n,K) Không gian ma trận tam giác ngặt End(V) Khơng gian tốn tử tuyến tính [.,.] Móc Lie (hay hốn tử) Tr Vết Z () Tâm đại số Lie  /I Đại số Lie thương [,] Đại số dẫn xuất  Rad (hay ) Căn giải  ad x Biểu diễn phụ hợp đại số Lie  Đại số Lie đơn K Trường giao hốn đóng đại số có đặc số (g,B) Đại số Lie quadratic đại số Lie B g V⊥ Trực giao V Der(g) Đại số Lie toán tử vi phân g Der a (g,B Đại số Lie Der(g) F(g) Không gian vectơ dạng song tuyến tính đối xứng bất biến g B (g) Khơng gian vectơ tích vơ hướng bất biến g dq ( g ) Chiều quadratic đại số Lie g Cent s (g,B) Tập tất phần tử B - đối xứng trọng tâm g M(g) Tập tất ideal cực tiểu g Soc(g) Tổng ideal cực tiểu g g Mở rộng phức g k Dạng Killing K Dạng song tuyến tính đối xứng bất biến g  Kết thúc chứng minh LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhóm Lie, đại số Lie, đặc biệt Đại số Lie Quadratic (hay đại số Quadratic) ngày có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác Toán học Vật lý Nhóm Lie, đặt tên theo nhà tốn học người Na Uy Sophus Lie (1842 – 1899), khái niệm tổng hòa từ hai khái niệm nhóm (trong Đại số học) đa tạp vi phân (trong Hình học – Tơpơ) Nhóm Lie cơng cụ gần tất ngành toán đại vật lý lý thuyết đại, đặc biệt lý thuyết hạt Một ý tưởng lý thuyết nhóm Lie thay cấu trúc nhóm tồn cục phiên mang tính địa phương hay cịn gọi phiên làm tuyến tính hóa Sophus Lie gọi nhóm Lie vơ bé Sau người ta gọi Đại số Lie Một đại số Lie quadratic bổ sung bất biến thể dạng dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến Các đại số Lie quadratic thú vị không quan điểm đại số lạ mà chúng áp dụng nhiều lĩnh vực toán học vật lý Hiểu đại số quadratic giúp hiểu rõ cấu trúc Poisson trực giao, nhóm Lie Poisson phương trình Lax Trên sở đại số Lie với bất biến bổ sung, ta xây dựng nhiều lớp cấu trúc đại số quadratic cụ thể như: đại số quadratic Novikov, đại số quadratic giải được, đại số quadratic đối ngẫu,… Đại số quadratic đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết trường bảo giác Nappi Witten chứng minh phép dựng hình loại Sugawara tồn đại số quadratic phép dựng hình khái qt hóa cho việc mở rộng Abel đại số Euclide Ngoài ra, Mohammedi chứng minh rằng, điều kiện cho phép dựng hình Sugawara tương đương với điều kiện thiết yếu đại số Lie quadratic Thêm vào đó, M Bordemann đưa khái niệm mở rộng T* đại số Lie Dựa khái niệm này, ông chứng minh đại số Lie quadratic giải trường đóng đại số có đặc số mở rộng T* ideal không suy biến có số đối chiều Cũng dựa khái niệm này, M Bordemann chứng minh đại số Lie quadratic hữu hạn chiều trường đóng đại số có đặc số cặp Manin chiều Drinfel’d Mặt khác, nhờ khái niệm mở rộng kép giới thiệu Medina Revoy, ta chứng minh điều quan trọng đại số Lie quadratic không gian hữu hạn chiều tạo nên đại số Lie chiều đại số Lie đơn dãy phép dựng phép dựng tổng trực tiếp trực giao mở rộng kép Ngoài ra, dựa vào khái niệm mở rộng kép ta chứng minh đại số Lie quadratic giải n chiều nhận từ đại số Lie quadratic (n-2) chiều đại số chiều tích nửa trực tiếp với đại số chiều khác Khái niệm mở rộng kép đóng vai trị quan trọng sở cho phương pháp phân loại quy nạp đại số Lie quadratic Ngoài ra, G nhóm Lie g metric song bất biến nửa Riemann G đại số Lie(G) G bổ sung dạng song tuyến tính không suy biến g trở thành đại số Lie quadratic Ngược lại, có tích vơ hướng bất biến B đại số Lie h tạo phép tịnh tiến trái metric song bất biến nửa Riemann nhóm Lie G mà h = Lie(G) Do vậy, việc nghiên cứu đại số Lie quadratic hữu ích cho hình học nửa Riemann Đặc biệt, tập tích vơ hướng bất biến đại số Lie quadratic tương ứng 1-1 với tập metric song bất biến nhóm Lie tương ứng Trên nhóm Lie người ta cịn xét cấu trúc Novikov trường hợp đặc biệt cấu trúc affin bất biến trái nhóm Lie Hơn nữa, nhóm Lie chấp nhận cấu trúc Novikov nhóm Lie nhóm giải Fuhai Zhu Zhiqi Chen dựa đại số Novikov trang bị thêm dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến bất biến tạo thành đại số Novikov quadratic Trong lý thuyết đại số Novikov quadratic, người ta chứng minh kết quan trọng đại số Novikov quadratic khơng gian có số chiều nhỏ giao hoán, tồn đại số Novikov khơng giao hốn có chiều lớn 4, cụ thể đại số Novikov quadratic không gian chiều Dựa đa dạng, mẻ, nhiều ứng dụng đại số quadratic để hiểu rõ đại số quadratic, chọn đề tài nghiên cứu đại số quadratic với số chiều quadratic Vì vậy, luận văn chúng tơi có tên “Đại số Lie quadratic số chiều thấp” Gọi l : A  A ánh xạ tuyến tính định nghĩa bởi: l k  c   m, d n 1 a  , k  K , c  d na  d A   Ánh xạ l định nghĩa tốt c  d na  d na ' ta có a  a '  K  d n 1 a  a '  K Vì m  Z K  nên m, d n 1 a  a '    Mặt khác, K , C ổn định d , với k  K c  d na  C ta có:     l d k  c   l d k   d c   l d n 1 a   m, d na   m, c   m, k  c    dl k  c   d m, d n 1 a   d m , d n 1 a   m, d n a   m, d na   m, k  c           l d  dl  adA m  Hơn nữa, l đối xứng ta thử lại với d m   nhận     T l k  d na , k ' d na '  T m, d n 1 a  , d na '          T d m, d n 1a  , d n 1 a '  T k  d na, l k  d na '   Bây ta chứng minh l x , y   lx , y   , x , y  A Vì l đối xứng T nên đủ để ta kết luận lx , y   , x , y  A Giả sử   x  k  c , k  K , c  d na  C , y, z  A , ta có:     T lx , y  , z  T lx , y, z   T m, d    a  , y, z   T m, d n 1a, y, z       n 1  lx , y   Nên m  Ker d  , m  l  Cents A,T  cho 0, 0, m, l   ε A,T , d  Điều mâu thuẫn với tính chất 3.1.1.3 dq A    A, A  Sau ta chứng minh điều kiện khả nghịch d Z A d n 1 Z A A, A  tương đương Nhắc lại rằng, V số Lie A , ta kí hiệu   Z A V   x  A : x , v   0, v  V tâm V 3.1.1.6 Tính chất (xem [5, Proposition 4.4]) không gian đại Gọi g, B  mở rộng kép đại số Lie quadratic lũy linh A,T  phương pháp vi phân d Đặt A  K  C khai triển thích hợp A d   n số nguyên dương cho K  Ker d n C  d n A Khi đó, d khả nghịch   Z A d n 1 A, A        d khả nghịch Z A A, A Chứng minh   (  ) Vì d bảo toàn A, A nên Z A A, A  Z A d n 1 A, A Do đó, d khả  A, A  khả nghịch Z A, A  nghịch Z A d n 1 A  A, A  Xét (  ) Giả sử d không khả nghịch Z A d n 1  A, A   Ker d  Với k  K , x, y  C , tồn m  Z A d n 1 x ', y '  C cho d n a   x , d n a '  y Khi đó, T  m, k  , q d a , d a '   T m, k  , d a , d a '  n n  T k, m, d n a , d n a '      n n     T k, d n a , d n a ', m    T k, d n a ', m, d n a           d a , k , m  ,a '  1 T d k, d a ', m  ,a   n  1 T d n  n n n n  A, A  d A, A  A, A m  Z A d n 1 Mặt khác, K  q C ,C   T   K K không suy biến nên m, k      A, A   Ker d  nên  m  Z K   m  Z Ker d  Vì m  Z A d n 1       d n 1 m, x , y    m, d n 1 x , y    , x , y  A  m, x , y    Ker d n  K Nói       cách khác, x , y  A x , y   k  c với k  K , c  C m  Z K  , m, x , y    m, c   K ,C   C         Vì vậy, m, x , y    K ,C   0  m  Z A   A, A   Ker d   3.1.1.7 Nhận xét Theo [3.1.1.5 Tính chất] điều kiện đủ để d khả nghịch cho [3.1.1.1 Tính chất] khơng cần thiết Ví dụ mở rộng đại số Lie quadratic giải g, B  với dq g   g, B  mở rộng kép đại số Lie quadratic lũy linh A,T  phương pháp vi phân d  Dera A,T  không khả nghịch toàn A 3.1.2 Các hệ 3.1.2.1 Hệ (xem [5, Lemma 4.1)]) Gọi V , B  khơng gian vectơ có dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến d tự đồng cấu phản xứng V Gọi U không gian tuyến tính V ổn định d U   U Nếu d khả nghịch U d khả nghịch tồn thể V Chứng minh Vì U  hồn tồn đẳng hướng B không suy biến nên tồn không gian   W V cho V  U  W thỏa B w,U   0 , w  W w  Ta xét vectơ v  u  w  V với u  U , w  W giả sử d v   d w  d u    d w  d u   U Lưu ý d phản xứng U ổn   định d nên U  ổn định d Do d U   U  Khi với a  U      ta có B d a , w  B a, d w  Điều chứng tỏ w trực giao với U nên w   3.1.2.2 Hệ (xem [5, Corollary 4.1]) Gọi A,T  đại số Lie quadratic lũy linh d  Dera A,T  khả nghịch Z A Xét A  K  C khai triển thích hợp A d n số nguyên   dương cho K  Ker d n C  d n A Vi phân d khả nghịch A C đại số Lie A 3.1.2.3 Hệ (xem [5, Lemma 4.2])    Nếu A,T  đại số Lie quadratic Z A A, A  A, A, A   Z A ,     Z A  x  A : x , A  Z A Từ ta có hệ quả, với d  Dera A,T  ta có      d Z A A, A  Z A A, A 3.1.3 Các ví dụ 3.1.3.1 Ví dụ Với n  N , n > xét đại số giao hốn kết hợp khơng đơn vị Pn  tK [t ] / t n K [t ] Với không gian vectơ n  g  n với móc Lie: [x  t p , y  t q ]  [x , y ]g  t p q với x, y  g, p,q  N* đại số Lie lũy linh Một tự đồng cấu D n xác định sau : D(x  t p )  p(x  t p ) x  g,  p  n  đạo hàm khả nghịch n  g  n Không gian vectơ An = n  (n )* với móc X  f ,Y  g   X ,Y  - g ad X   f ad Y  với X,Y   ,     n n n n f, g  ( n )* đại số Lie Và dạng song tuyến tính T(X + f, Y + g) = f(X) + g(Y) với X, Y  n , f, g  ( n )* Khi đó, (A n ,T) đại số Lie quadratic Vì (A n ,T) mở rộng kép đại số Lie {0} n Hơn nữa, tự đồng cấu tuyến tính d A n xác định d (X+f) = D(X) - f D với X  g, f  g* đạo hàm phản xứng khả nghịch Và mở rộng kép (A n ,T) d đại số Lie quadratic với chiều quadratic 3.1.3.2 Ví dụ Gọi A khơng gian tuyến tính tạo tám vectơ x i , fi :  i  4 đại số Lie với móc Lie xác định sau: x , x   x ,  i   i  i 1   x 1, fi   fi 1 ,  i  x , f   f ,  i   i i 1  gọi T dạng song tuyến tính A xác định T x i , x j   T  fi , f j   , i, j T x i , f j   , i  j T x i , fi   , i  Khi đó, cặp A,T  đại số Lie quadratic lũy linh Và tự đồng cấu tuyến tính d A xác định sau: d x   x , d x   x , d x   , d x   x d  f1   f1 , d  f2   f2 , d  f3   , d  f4   f4 đạo hàm phản xứng (A,T) Vì Z(A) tạo x , f1  nên rõ ràng d khả nghịch Z( A) Z(A)  ker( d ) = {0} Tuy Z (A)  ker( d )  {0} x 3, f3  Z A  Ker d  , d không khả nghịch Z ( A) Vì vậy, mở rộng kép (g,B) A,T  d đại số Lie quadratic địa phương có số chiều quadratic dq g   3.2 ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC ĐẦY ĐỦ VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG Theo [2.3.2.4 Tính chất] mở rộng kép đại số Lie lũy linh quadratic đại số Lie đơn đại số Lie quadratic đầy đủ Trong phần nghiên cứu tính chất đại số Lie quadratic đầy đủ có chiều quadratic 3.2.1 Mệnh đề (xem [5, trang 726]) Đại số Lie quadratic đầy đủ tâm 3.2.2 Định lý (xem [5, Theorem 5.1]) Gọi A,T  đại số Lie quadratic  đại số Lie đơn Giả sử tồn biểu diễn y :   Dera A,T  Gọi g, B  mở rộng kép g   * A   A,T   theo y Xét không gian tuyến tính E      Hom  (, A )Cents A,T  cho bởi: e ( A,T , , y )={ a, l, F , l   E : l  y x  = y x   l = ay x  + adAF x  , x  } Ta có tính chất sau: (1) Nếu a, l, F , l   e ( A,T , , y ) tự đồng cấu tuyến tính Da,l,F ,l  g cho bởi: Da,l,F ,l   f   a f , f  *   Da,l,F ,l  a   T a, F .  l a  , a  A Da,l,F ,l  x   lk x ,.  F x   a x , x   k kí hiệu dạng Killing g , phần tử Cents g, B  (2) Ánh xạ f : e A,T , S , y  Cents g, f  cho f a, l, F , l   Da,l,F ,l  phép đẳng cấu không gian vectơ (3) Điều kiện cần đủ để dq g   e ( A,T , , y )  a, l, 0, aid , a, l   A 3.2.3 Ví dụ Các ví dụ sau cho ta thấy lớp đại số Lie quadratic đầy đủ tồn (1) Nếu S đại số Lie đơn, mở rộng kép g = S  S* {0} qua phép biểu diễn ψ = có chiều quadratic (2) Xét S = sl(2) A sl(2) - module bất khả qui khác cho dimA = 2k+1 , k≥ Vì A đẳng cấu với A* (A* sl(2)- module đối ngẫu A) nên tồn song tuyến tính đối xứng không suy biến T : AxA →K T sl(2) - bất biến có nghĩa T(x.a,a’)= -T(a,x.a’) với x ∈ sl(2), a,a’ ∈ A A đại số Lie giao hoán ψ: sl(2)→gl(A) phép biểu diễn sl(2) kết hợp với sl(2) module A Khi đó, g mở rộng kép (A,T) sl(2) qua phép biểu diễn ψ d q (g) = Hơn nữa, A sl(2) - module cho sl(2) - module A khác có số chiều lẻ lớn A nhận dạng song tuyến tính T đối xứng, không suy biến T sl(2) - bất biến Theo [2.4.1 Mệnh đề] mở rộng kép đại số Lie giao hoán quadratic (A,T) sl(2) qua phép biểu diễn ψ: sl(2)→gl(A) có chiều quadratic 3.3 ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC THỰC VỚI CHIỀU QUADRATIC BẰNG Trong phần này, xét K =  Nếu g đại số Lie thực g  kí hiệu mở rộng phức g   dim   g   dim   g  Theo [2.2.2.5 Tính chất 5] [5, trang 736] chứng minh đại số Lie thực thỏa dq g   g 1-chiều g đại số Lie đơn cho g  đại số Lie đơn Hơn nữa, g đơn g  khơng đơn dq g   Chúng ta nói rằng, đại số Lie thực đơn hoàn toàn đơn mở rộng phức g  đại số Lie đơn Trong phần này, tính chất đại số Lie thực quadratic mẻ, việc chứng minh tương đối phức tạp Nếu độc giả quan tâm, xin xem thêm tài liệu tham khảo 3.3.1 Tính chất số chiều quadratic đại số Lie thực quadratic (xem [5, Proposition 6.1]) Cho (g,B) đại số Lie thực quadratic Kí hiệu p(g) chiều tâm Z(g), s1 g  , s2 g  số ideal đơn hoàn toàn số ideal đơn khơng hồn tồn hạng tử Levi   (1) Nếu g khả qui dq g   s1 g   2s2 g   p g   p g  / (2) Nếu g khơng khả qui   dq g    s1 g   2s2 g   p g   p g  / 3.3.2 Tính chất bất khả qui đại số Lie thực quadratic có chiều quadratic (xem [5, Proposition 6.2]) Cho (g,B) đại số Lie quadratic  cho d q (g) = Khi đó, g bất khả quy g tổng trực tiếp hai ideal đơn hồn tồn tổng trực tiếp ideal đơn hoàn toàn ideal 1-chiều g ideal đơn g  không đơn 3.3.3 Bổ đề (xem [5, Lemma 6.1]) Cho (g,B) đại số Lie đầy đủ thực không khả quy Nếu d q (g) = g mở rộng kép đại số Lie quadratic lũy linh (A,T) đại số Lie đơn hoàn toàn S qua phép biểu diễn ψ : S→Der a (A,T) cho Z(A)s = {0} 3.3.4 Tính chất (xem [5, Proposition 6.3]) Gọi (g,B) mở rộng kép đại số Lie thực quadratic lũy linh A,T  đại số Lie đơn tuyệt đối S qua biểu diễn y : S  Dera A,T  (1) Điều kiện e ( A,T ,, A,T )  a, l, 0, aid , a, l   điều kiện cần đủ A để dq g   (2) Nếu  - mô đun A không nhận  - mô đun đẳng cấu với  A   0 dq g   (3) Nếu dq g    - mơ đun Z A không nhận  - mô đun đẳng cấu với  - mô đun phụ hợp  KẾT LUẬN Qua phần trình bày, nắm đại cương đại số quadratic, đặc biệt đại số Lie quadratic số chiều quadratic Từ kết trên, cách tự nhiên gợi ý cho cần nghiên cứu sâu vấn đề sau: - Đại số Lie quadratic có số chiều quadratic cao - Sự phân loại đại số Lie quadratic - Ứng dụng đại số Lie quadratic Do hạn chế nhiều mặt như: trình độ, thời gian,… chúng tơi chưa có điều kiện tìm hiểu vấn đề nêu Tác giả hy vọng cịn có dịp tiếp tục nghiên cứu vấn đề tương lai Sau cùng, tác giả có nhiều cố gắng việc tìm hiểu đề tài sai sót khó tránh khỏi, tác giả xin chân thành tiếp thu cảm ơn độc giả đã, đóng góp ý kiến cho luận văn CHỈ MỤC Thuật ngữ Trang B Bất khả quy 22 Biểu diễn phụ hợp 19 Biểu diễn đối phụ hợp 19 C Căn giải 14 Chiều quadratic 22 D, Đ Dạng Killing k 42 Dạng song tuyến tính bất biến 18 Dừng 14 Đại số Đại số kết hợp Đại số giao hoán (hay phản giao hoán) Đại số thực (hay phức) Đại số Lie Đại số Lie 10 Đại số Lie thương 10 Đại số dẫn xuất 11 Đại số hoán tử 11 Đại số Lie quadratic 18 Đại số Lie thực (hay phức) Đại số Lie đơn 16 Đại số Lie nửa đơn 16 Đại số Lie tự đối ngẫu đối xứng 19 Đẳng hướng Đẳng cấu đại số Lie 10 Đầy đủ 20 Địa phương 24 Đối xứng Đồng cấu đại số Lie 10 G Giải 12 H Hoàn toàn đơn 43 I Ideal suy biến 20 Ideal đẳng hướng 20 Ideal cực tiểu 24 K Khả quy 22 Không suy biến Không gian Không gian trực giao 19 M Ma trận tam giác Ma trận tam giác ngặt Móc Lie Mở rộng kép 20 P Phản giao hoán Phản xứng S  - mô đun 44 T Tâm đại số Lie  15 Tầm thường Tích vơ hướng bất biến 18 Tốn tử vi phân Der(g) 20 Tốn tử tuyến tính End(V) Trọng 22 V Vết TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [Do] Nguyễn Văn Đoành (2006), Đa tạp khả vi, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [Do-Hu] Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, NXB Đại học quốc gia TP HCM [Do-Hu-Tu-Vu] Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ (2003), Toán cao cấp (Tập 2), NXB Đại học quốc gia TP HCM Tiếng Anh [Ba] J.A Bahturin, Lectures on Lie Algebras (1978), Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York [Ba-Be] Ignacio Bajo, Said Benayadi, Lie algebras with quadratic dimention equal to 2, Journal of Pure and Applied Algebra 209(2007) 725-737, 2006 [Ba-Be] I Bajo, S Benayadi, Lie algebras admitting a unique quadratic structure, Comm Algebra 25 (9) (1997) 2795-2805 [Be] S Benayadi, Socle and some invariants of quadratic Lie superalgebras, J Algebra 261 (2003) 245-291 [Be-Be] H Benamor, S Benayadi, Double extension of quadratic Lie superalgebras, Comm Algebra 27 (1) (1999) 67-88 [Bu-De-Ve] Dietrichk Burde, Karel Dekimpe, Kim Vercammen, Novikov algebras and Novikov structures on Lie algebras, Linear algebra and its applications 429 (2008) 31 – 41 10 [Er-Wi] Karin Erdmann and Mark J Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer, 2006 11 [Li] Zhu Linsheng, Solvable quadratic Lie algebras, Series A Mathematics 2006 Vol.49 No.4 477-493, 2005 12 [Me-Re] A Medina, Ph Revoy, Algèbres de Lie et produit scalaire invariant, Ann Sci Ecole Norm Sup.,4ème sér T.18 (1985) 553-561 13 [Vu] Le Anh Vu (2007), On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie Algebras Which Have Commutative Derived Ideal, Advances in Algebra and combinatorics, World Scientific Publishing Co., 2008, pp 353 – 371 14 [Zh-Ch] Fhai Zhu and Zhiqi Chen, Novikov algebras with associative bilinear forms, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 40 (2007) 1424314251, 2007 ... Lie Đại số Lie 10 Đại số Lie thương 10 Đại số dẫn xuất 11 Đại số hoán tử 11 Đại số Lie quadratic 18 Đại số Lie thực (hay phức) Đại số Lie đơn 16 Đại số Lie nửa đơn 16 Đại số Lie tự đối ngẫu đối... ? ?Đại số Lie quadratic số chiều thấp? ?? 2 Mục đích Trình bày cách kiến thức đại số Lie quadratic, đặc biệt đại số Lie quadratic có số chiều quadratic Đối tượng nội dung nghiên cứu Đại số Lie quadratic. .. thấy rằng: + Mỗi đại số Lie đại số (khơng kết hợp) Trong đó, đại số nói chung khơng phải đại số Lie, ta lấy móc Lie hốn tử đại số trở thành đại số Lie + Mỗi khơng gian vectơ đại số Lie giao hốn 1.2.2.4