PHÉP THU GỌN ĐẠI SỐ LIE SỐ CHIỀU THẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Vân PHÉP THU GỌN ĐẠI SỐ LIE SỐ CHIỀU THẤP Chuyên ngành: Hình Học Tôpô Mã số: 60-46-10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh 09-2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, Thầy tạo hội cho làm quen với lý thuyết nhóm Lie đại số Lie, hiểu thuật toán tính phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2009 Tác giả Nguyễn Thị Thu Vân BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU ad x Biểu diễn quy g Aut( g ) Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính không gian vectơ V pq , p, q  Bất biến đại số Lie Der(A) Toán tử vi phân A End(V) Đại số toán tử tuyến tính K exp Ánh xạ mũ exp g Đại số Lie G Nhóm Lie gk ,gk Các ideal dẫn xuất thứ k g g Không gian đối ngẫu đại số Lie g g0 =(V,[.,.]0 ) (Cái) thu gọn liên tục tham số g GL(n, ) Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực K g  K-quỹ đạo G g Dạng dừng đại số Lie g Ln Biến đại số Lie n-chiều Mat(n, ) Tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực tr(ad u ) Vết biểu diễn quy ad u TeG Không gian tiếp xúc G điểm đơn vị e A:=B A định nghĩa B MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số Lie thực hay phức phép thu gọn chúng có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học vật lý Lý thuyết tảng phép thu gọn liên tục đại số Lie có số chiều hữu hạn xây dựng phát triển từ vài chục năm Đặc biệt có số chuẩn cần thiết phép thu gọn chọn lọc số chuẩn đưa Các đại lượng bất biến nửa bất biến cần thiết tính cho lớp rộng đại số Lie bao gồm đại số Lie có số chiều thấp Trên sở hai nhà toán học Maryana Nesterenko Roman Popovich giới thiệu thuật toán để tính phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Thuật toán dựa việc liệt kê hoàn toàn đại số Lie có số chiều cố định không đẳng cấu hệ thống chuẩn phép thu gọn đựợc đưa Việc xây dựng hệ thống chuẩn phép thu gọn làm cho việc ứng dụng thuật toán cách hiệu tính toán túy đại số Phương pháp đòi hỏi phải có lựa chọn sở thích hợp đại số Lie điều mang lại tính toán đơn giản Đầu tiên, Segal đưa khái niệm phép thu gọn dựa vào trình lấy giới hạn đại số Lie Đó ví dụ cho liên kết học tương đối học cổ điển thông qua nhóm đối xứng Pointcare Galilê Ông người xây dựng định nghĩa phép thu gọn theo thuật ngữ giới hạn Sau Segal, khái niệm phép thu gọn thông qua nhóm đối xứng xây dựng Inonu- Wigner gọi phép thu gọn Inonu-Wigner Sau đó, Saletan nghiên cứu lớp phép thu gọn tham số tổng quát phần tử ma trận tương ứng với ma trận thứ tự ban đầu tham số thu gọn Ông đưa định nghĩa tổng quát phép thu gọn dựa trình lấy giới hạn móc Lie cho phép ta tránh phiền phức tồn định nghĩa Segal Phép thu gọn trường hợp ba chiều xét Inonu-Wigner, có số trường hợp bị bỏ qua Conatser mô tả triệt để sau Sử dụng việc phân loại đại số Lie có số chiều thấp, Huddleston xây dựng phép thu gọn đại số Lie bốn chiều Lauret giải toán đẹp theo thuật ngữ bao đóng quỹ đạo Tính phức tạp việc mô tả bao đóng quỹ đạo đại số số chiều không gian vectơ tăng lên theo hàm số mũ Do đó, cách làm đơn giản ngừời ta xét lớp đóng đại số Lie (chẳng hạn đại số lũy linh) thay cho lớp đại số Lie với số chiều cố định Sự suy biến đại số Lie lũy linh nghiên cứu nhiều tài liệu với hạn chế số chiều 5, 6, Tóm lại, việc nghiên cứu phép thu gọn đại số Lie thực hay phức vấn đề lý thú hấp dẫn, có nhiều ứng dụng vấn đề thời Toán học Tuy nhiên việc tính phép thu gọn trường hợp đại số Lie có số chiều cao vấn đề khó mở, thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học giới Chính chọn đề tài tìm hiểu phép thu gọn đại số Lie thực phức với số chiều không Cụ thể đọc hiểu trình bày lại cách rõ ràng hơn, chứng minh chi tiết lại kết chứng minh vắn tắt báo “Contractions of Low Dimensional Lie Algebras” Maryana Nesterenko Roman Popovych (ArXiv: Math-Ph / 0608018v4 – 11 Jan 2007) Mục đích Dùng thuật toán nhà toán học Maryana Nesterenko Roman Popovych đưa để tính toán rõ phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp, cụ thể ba chiều bốn chiều báo họ Đối tượng nội dung nghiên cứu Các đại số Lie thực có số chiều thấp, cụ thể ba chiều bốn chiều Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tính toán phép thu gọn đại số Lie ba hay bốn chiều Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm đại số Lie, nhóm Lie, bất biến bán bất biến đại số Lie ba, bốn chiều Phần trình bày kiến thức cần thiết liên quan đến việc tính toán phép thu gọn Chương 2: Giới thiệu thuật toán nhà toán học Maryana Nesterenko Roman Popovych để tính toán rõ phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Chương 3: Trình bày mở rộng phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp trường số phức Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài Các nghiên cứu đạt dựa việc tính toán tuý đại số trợ giúp máy tính Các kí hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Bảng dẫn thuật ngữ ký hiệu) Chương ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE Chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau, đó, ta nhắc lại khái niệm tính chất đại số Lie nhóm Lie (thực) Bên cạnh dẫn bất biến bán bất biến đại số Lie ba chiều bốn chiều Một số mệnh đề định lý phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu khái niệm xin xem tài liệu… 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa Cho K trường g không gian vectơ K Ta bảo g đại số Lie K hay K – đại số Lie g cho phép nhân gọi móc Lie: .,. : g  g  g  x, y    x, y (tích Lie hay móc Lie x y) cho tiên đề sau thoả mãn: (L1) Móc Lie hoán tử song tuyến tính Tức là: x  y,z     x,z     y,z ,  x, y  z     x, y    x, z ; x, y, z  g, ,   K (L2) Móc Lie phản xứng Tức là: [x,x] = 0, x g (L3) Móc Lie thoả mãn đồng thức Jacôbi Tức là:  x, y  , z    y,z  , x    z, x  , y    x, y, z  g Nhận xét Nếu K trường có đặc số khác (L2) tương đương với  L2  :  x, y    y, x , x, y g Nếu [x,y] = 0, x, y g ta bảo móc Lie tầm thường g đại số Lie giao hoán Số chiều đại số Lie g số chiều không gian vectơ g Cho g không gian hữu hạn chiều trường K Giả sử số chiều g n Cấu trúc đại số Lie g cho móc Lie cặp vectơ thuộc sở e1 , e2 , , en  chọn trước g sau: n ei , e j  :  cijk ek ,  i2 ta có 1-cấp Ln tạo đại số A3.1  (n  3) A1 aEn 1 □ 3.3.Phép thu gọn tham số đại số Lie phức số chiều thấp Một vài đại số không tương đương trường số thực biểu diễn lớp đại số Lie trường số phức Dưới ta liệt kê cặp đại số Lie thực ba bốn chiều mà đẳng cấu thuộc dãy trường số phức Với đại số Lie ta biễu diễn đại số Lie phức ( dãy ) tương ứng với phép biến đổi sở chưa đồng a b  A1 , A3.5  A1 ) ( sl (2, )  A1 , so(3)  A1 ) rõ ràng đẳng cấu Các cặp ( A3.4 với Ta ký hiệu đại số Lie phức giải được, không khai triển gn,k , n số chiều đại số Lie k số đại số thực với dạng hoán tử tắc bi  b e3 ,    A3.5 ; e1  e1  ie2 , e2  e1  ie2 , e3  bi bi g3.4  a  A ,  a   3.4   so(3); e1  ie2  e3 , e2  ie1 , e3  ie2  e3 , sl (2, )   sl (2, ) bi bi  a ,b 1, ,   A4,6 ; e1  e1 , e2  e2  ie3 , e3  e2  ie3 , e4  a e4 ,   a ,   a g4.5  1,b,c  A ,   b,   c  ,   4.5 i 1 a i  a     A ; e e , e e ie , e e e , e e ,            4.9 1 2 3 4  2 ai ai  g4.8 b A ,  b   4.8 i i 1   A4.10 ; e1  ie1  e2 , e2  e3  e4 , e3  ie1  e2 , e4  e3  e4 2g  2 2 2.1 2 A2.1 Sự tương ứng đại số thực phức cho phép mô tả tất phép thu gọn liên tục đại số Lie phức số chiều thấp Bảng liệt kê tương ứng đưa tương tự bảng liệt kê đại số Lie thực cách loại bỏ xác đại số mà tương đương với dạng khác trường số phức Các ma trận thu gọn bảo toàn ĐỊNH LÝ ( xem[16, Theorem 4]) Bất kỳ phép thu gọn liên tục đại số Lie phức ba chiều tương đương với phép thu gọn Inonu-Wigner đơn Trong trường hợp bốn chiều có phép thu gọn 2g2.1  g3.2  g1 2g2.1  g4.1 không biểu diễn dạng phép thu gọn Inonu-Wigner tổng quát Tất ma trận thu gọn xây dựng gồm lũy thừa nguyên không âm  Do trình lấy giới hạn xác định    KẾT LUẬN Qua phần trình bày, nắm phương pháp tính toán phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Từ kết trên, cách tự nhiên gợi ý cho hướng mở cần nghiên cứu sau: Cải biên tiêu chuẩn cần để có phép thu gọn cải biên thuật toán tính phép thu gọn để thu gọn đại số Lie (thực hay phức) với số chiều lớn bốn Do hạn chế nhiều mặt như: trình độ, thời gian,… Luận văn dừng lại khuôn khổ định mà thân tác giả tha thiết muốn tiếp tục nghiên cứu Tác giả hy vọng có dịp tiếp tục nghiên cứu vấn đề tương lai Sau cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo, sai sót tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe cảm ơn độc giả đã, đóng góp ý kiến cho luận văn CHỈ MỤC Thuật ngữ Trang A Ánh xạ mũ exp 12 B Biểu diễn tuyến tính đại số Lie Biểu diễn quy ad Biểu diễn phụ hơp ad g 13 Biểu diễn phụ hợp ( K-biểu diễn, biểu diễn Kirollov) 13 Biểu diễn đối phụ hợp 13 Biểu diễn tuyến tính khớp C Căn R( g ) 24 Căn lũy linh N( g ) 24 Các cấp đối cấp Ln 49 Chiều cực đại nA( g ) đại số giao hoán 24 Chiều cực đại nAi( g ) idean giao hoán 24 D,Đ Dạng Killing  24 Đa tạp Ln đại số Lie n-chiều 19 Đặc trưng bất biến pq 24 Đa thức đặc trưng  A ( ) 31 Đại số toán tử tuyến tính EndV Đại số Lie g Đại số Lie idean Đại số Lie nhóm Lie 10 Đại số Lie trường vecto khả vi G:X(G) 10 Đại số hầu giao hoán 30 1 2 Đại số Lie dẫn xuất L , g , L , g , Đại số Lie lũy linh, giải Đại số thương g0 / a 22 Đại số Weyl-Heisenberg h3 =A3.1 22 Đồng cấu đại số Lie I k Ideal dẫn xuất thứ k g : g H Hạt nhân biểu diễn ad : Ker  ad   x  g/ad x   Hạng rg (tức số chiều đại số Cartan) 24 Hạng đại số Lie g giải (lũy linh): rs  rs (g) ( rn  rn (g) ): 24 M Ma trận thu gọn 16 N Nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực Aff 10 Nhóm chuẩn tắc rời rạc 12 Nhóm Lie G Nhóm Lie liên thông đơn liên 11 Nhóm Lie giải 12 Nhóm Lie lũy linh 12 P Phép thu gọn dãy 19 Phep thu gọn đại số Lie 15 Phép IW-thu gọn 21 Phép IW-thu gọn đơn 21 Phép tịnh tiến trái, phải Lg , Rg 11 Phép IW-thu gọn tổng quát 22 Phép thu gọn không chuẩn ( tầm thường ) 16 Q Quỹ đạo (g) tác động nhóm GL(V) đa tạp Ln 24 T Tâm Z( g ) TeG không gian tiếp xúc G điểm đơn vị 24 eG 10 Tham số thu gọn 16 Toán tử vi phân A :Der(A) Tổng nửa trực tiếp h  a 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [La] Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính, NXB Đại học THCN, Hà Nội [Tra] Đào Văn Trà (1984), Về lớp đại số Lie số chiều thấp, Tuyển tập báo cáo Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam lần thứ 12 Hà Nội [Vu1] Lê Anh Vũ (1990), “Không gian phân tạo K – quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4”, Luận án phó tiến sỹ Toán học, Viện Toán học – Viện khoa học Việt nam Tiếng Anh [Ba] J.A Bahturin, Lectures on Lie Algebras (1978), Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York [Bo] Borel A (1969), Linear algebraic groups Benjamin, New York [Co] Conatser C W (1972), Contractions of low –dimensional Lie Algebras J Phys 13 196-203 [Ki] A A Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York [Gr-O’Ha] Grunewald F, O’Halloran J (1988), Varieties of nilpotent Lie Algebras of dimension less than six J Algebra 112 315 -325 [Hu] Huddleston P L (1978), Inonu-Wigner contractions of the real fourdimensional Lie Algebras J.Math Phys 19 1645-1649 10 [Hu] J.E.Humpreys (1972), Introduction to Lie Algebras and representation Theory, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York 11 [[In] Inonu E,(1964), Contractions of Lie groups and their representations Groups Thoeretical concepts and Methods in Elamentary particle physics( Lectures Istanbul Summer School Thoeret Phys,.1962)391-402 Gordon and Breach, New York 12 [In-Wi] Inonu E, Wigner E P (1953), On the contractions of groups and their representations Proc Nat Acad Sci USA 39 510-524 13 [In-Wi] Inonu E, Wigner E P (1954), On the particular type of convergence to a singular matrix Proc Nat Acad Sci USA 40 119-121 14 [Lo] Lohmus Ja H (1969), Limited (contracted) Lie groups Proceedings of the Second Summer School on the Problems of the theory of Elementary Particles (Otepaa, 1967), part IV, Inst, Fiz I Astronom Akad Nauk Eston SSR, Tartu 3-132(Russian) 15 [Mu] Mubarakzyanov G M (1963), On solvable Lie algebras, Izv Vys Ucheb Zaved Matematika, N1 (32), 114-124 16 [Ne-Po] Maryna Nesterenko, Roman Popovich (2007), Contractions of low dimensional Lie Algebras, arxiv:math-ph/0608018v4 17 [Po-Bo-Ne-Lu] Popovich R, Boyko V, Nesterenko M, Lutfulin M (2003), Realizations of real low dimensional Lie Algebras, math-ph/0301029 39 trang 18 [Po-Bo-Ne-Lu] Popovich R, Boyko V, Nesterenko M, Lutfulin M (2003), Realizations of real low dimensional Lie Algebras,J Phys AMath Gen 36 7337-7360 19 [Sa] Saletan E J(1961), Contraction of Lie groups J Math Phys 1-21 20 [Sh] Sharp W T(1960) Racah algebra and the contraction of groups reports AECL-1098, CRT-935, Atomic Energy of Canada Limited, Chalk River 21 [ST] Steinhoff C, (1977), Klassifikation und Degeneration von Lie Algebren Diplomarbeit, Dusseldorf 22 [Vy-Ji-Ro] Vyacheslav Boyko, Jiri Patera and Roman Popovych (2006), “Computation of Lie Algebras by Means of Moving frames”, arXiv: mathph/0602046 v2 [...]... năng thu gọn của hầu hết các cặp đại số Lie có số chiều thấp  Tiêu chuẩn 16 chỉ áp dụng trên trường số thực Đối với những cặp đại Lie có phép thu gọn trên tiêu chuẩn 12 và không có phép thu gọn trên , ta có thể dùng thêm 2.3.4 Tính toán các bất biến Có hai lớp đại số Lie đơn bao trùm hầu như các đại số Lie có số chiều thấp Lớp thứ nhất được tao bởi các đại số Lie hầu giao hoán có các iđean đối chiều. .. Euclide và định nghĩa trên được quy về định nghĩa thu gọn thông thường 2.2 Các loại phép thu gọn đơn giản nhất Các phép thu gọn Inonu-Wigner thể hiện quá trình lấy giới hạn giữa các đại số Lie với ma trận thu gọn thu c các loại đơn giản nhất Hầu hết các phép thu gọn của đại số Lie có số chiều thấp đều tương đương với các phép thu gọn như thế Đối với các phép thu gọn kiểu đó, chúng ta sẽ thảo luận về các tính... tất cả các phép thu gọn của các đại số Lie ba chiều và bốn chiều là tương đương yếu với phép thu gọn mà trong đó giới hạn của các ma trận thu gọn tồn tại 2.3 Các tiêu chuẩn cần cho phép thu gọn Để việc nghiên cứu các phép thu gọn đại số Lie thu n lợi, ta thường sử dụng các tiêu chuẩn cần dựa trên các bất biến và bán bất biến Các bất biến là các đại lượng (số) được bảo toàn qua các phép thu gọn Bán bất... trường hợp ba chiều Các phép IW -thu gọn của đại số so(3) đến 0 chỉ là phép thu gọn duy nhât không tầm thường và chuẩn Trong khi đó tồn tại A3.5 phép thu gọn chuẩn từ so(3) đến đại số Heisenberg h 3  A3.1 và nó không phải là phép IW -thu gọn 2.2.2 Phép IW- thu gọn tổng quát Khi thay điều kiện tuyến tính đối với tham số thu gọn của phép IW -thu gọn bởi điều kiện các phần tử của ma trận thu gọn đã được chéo... thì g là đại số Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G Đôi khi ta ký hiệu là g =Lie( G) Các ví dụ Ví dụ 1: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = ( ,+) là g = Lie( G) = Ví dụ 2: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = ( * , ) là g = Lie( G) = Ví dụ 3: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = GL(n, g = Lie( G) = Mat(n, ) là ) 1.2.3.2 Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie Với cách... (cái) thu gọn liên tục một tham số hoặc đơn giản là (cái) thu gọn của đại số Lie g Tham số  và hàm ma trận U  U ( ) tương ứng được gọi là tham số thu gọn và ma trận thu gọn Quá trình biến đổi đại số Lie g về đại số Lie g0 gọi là phép thu gọn g về g0 Hai định nghĩa trên tương đương nhau nhưng trong luận văn này, ta sử dụng định nghĩa thứ hai là chính 2.1.3 Định nghĩa (xem[ 16, trang5]) Phép thu gọn đại. .. đại số thương g0 / a Ngược lại, đại số g0 là cái IW -thu gọn của đại số g với đại số con h nếu và chỉ nếu tồn tại idean giao hoán a  g0 sao cho g0 / a đẳng cấu với h Mọi phép IW -thu gọn đều thỏa mãn hai giả thiết: 1) ma trận thu gọn tuyến   tính đối với tham số thu gọn; 2) tồn tại các ma trận hằng chính quy W ,W làm chéo hóa ma trận thu gọn Các phép IW- thu gọn không vét hết tất cả các phép thu gọn. .. sinh ra đại số con h của đại số ban đầu g Đây là điều kiện duy nhất để phép thu gọn tồn tại Tất cả các hằng số cấu trúc của đại số thu gọn được tính dễ dàng: c ik11j1 =cik11j1 ,c ik12j1 =cik12j1  0 , c ik11j2 =0, cik12j2 =c ik12j2 , c ik21j2  c ik22j2  0 Dựa vào các tính chất của các phép IW- thu gọn [17], ta có mỗi đại số con h của đại số g được dùng để có được phép IW -thu gọn Các đại số con... đại số Lie có các iđean WH+A có đối chiều một, đẳng cấu với tổng trực tiếp của đại số Weyl-Heisenberg h3 =A3.1 và đại số giao hoán đối chiều bốn Các đặc trưng của các đại số trên được tìm thấy theo cách tương tự nhau Các đại số có số chiều thấp còn lại được nghiên cứu một cách tách biệt Phần này nêu các tính toán bất biến pq và hạng của một vài đại số 2.3.4 1 Đại số hầu giao hoán Xét đại số Lie n -chiều. .. các phép thu gọn đó được g 0 0 0 gọi là tương đương yếu Từ đây về sau, ta luôn ký hiệu Aut( g ) là nhóm tự đẳng cấu của đại số Lie g ,  là tập các đẳng cấu từ đại số Lie g vào đại số Lie g  Hơn nữa, ta luôn Iso(g,g) đồng nhất mỗi đẳng cấu với ma trận của nó trong cơ sở hay cặp cơ sở nào đó đã được chọn cố định 2.1.5 Định nghĩa(xem [16,trang 6]) Hai phép thu gọn một tham số đại số Lie g về đại số Lie