TÍNH CATENARY, ĐẢNG CHIỀU địa PHƯƠNG và TÍCH TENXƠ của các đại số

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐAĨ HOC VINH ĐOÀN THỊ HIÊN ĐOÀN THỊ HIÊN TÍNH CATENARY, ĐẢNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁCĐỊA ĐẠIPHƯƠNG SỐ TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIÈU VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Nghệ An - 2013 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phổ vành 1.2 Giá môđun 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4 Vành địa phương 10 1.5 Chiều Krull vành môđun 10 MỞ ĐẦU Trong toàn luận văn vành đại số giả thiết giao hoán, có đơn vị Noether; ký hiệu k trường Cho R vành R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố qcz p R tồn dãy nguyên tố bão hòa p q dãy nguyên tố bão hòa p qđều có độ dài Tính catenary cho vành quan tâm nghiên cứu w Krull từ năm 1937 Sau nhiều kết tính catenary vành cho w Krull, M Nagata, I s Cohen, D Ferand M Raynaud, L J RatliíẸ, R Heitmann, M.Brodinann , kết làm cho tính catenary vành trở thành lí thuyết quan trọng Đại số giao hoán, hên quan với nhiều lĩnh vực khác Đại số giao hoán vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết Lớp vành catenary w Krull báo ông năm 1937, ông k trường k-đại số hữu hạn sinh vành catenary Tính catenary lớp vành đầy đủ theo tôpô m-adic chứng minh Cohen báo năm 1946, ông chứng minh tính catenary cho vành chuỗi luỹ thừa hình thức trường sau vành địa phương đầy đú thương vành chuỗi luỹ thừa hình thức Hầu hết vành biết đến catenary Cho đến tận năm 1956, M Nagata lớp miền nguyên không catenary Cho R vành hữu hạn chiều Vành R gọi chiều dimj£= dimR với iđêan nguyên tố tối thiểu p R Vành R gọi Cho R (nghĩa s s vành Noether, cp: 7^ —> iS đồng cấu phẳng R- môđun phẳng) Năm chứng minh s 2003, M Tousi s Yassemi [9] qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein Cohen - Macaulay) vành R thớ Rv/pRv ®RS với p e SpecK qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein Cohen - Macaulay) Năm minh s 2005, M Tousi s Yassemi [10] tiếp tục chứng catenary đắng chiều địa phương vành R thớ Rv/pRv ®RS catenary đăng chiều địa phương với i đêan nguyên tố tối thiểu p vànhR Hơn nữa, (nghĩa s (ọ: R^ s \k đồng cấu hoàn toàn phẳng 7?-môđun hoàn toàn phang) R catenary đắng chiều địa phương s M Tousi s catenary đẳng chiều địa phương Những kết Yassemi làm sâu sắc kết biết từ lâu tính catenary đắng chiều địa phương đồng cấu phăng (xem [5; Theorem 31.5]) Cho A B k - đại số; K mở rộng trường k Một hướng nghiên cứu quan trọng Đại số giao hoán nghiên cứu việc chuyển từ A, B tới tích tenxơ A®kB, nghĩa nghiên cứu iđêan nguyên tố A B mở rộng vô hướng Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, Tuy nhiên vấn đề liệu K®ỵA có catenary (phổ dụng) hay không K mở rộng đại số k\kA catenary (phổ dụng) vấn đề mở Vì vậy, phần thứ hai [10], M Tousi s Yassemi đưa câu trả lòi khẳng định cho vấn đề số trường hợp đặc biệt Cụ thể họ K®kA catenary phổ dụng điều kiện sau (ii) A vành Noether catenary phổ dụng t.á.(K:k) < co, t.d.(K:k) bậc siêu việt K k; (iii) A catenary phố dụng K®iA Noether Nội dung luận văn trình bày lại kết báo [10] M Tousi s Yassemi Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Ngoài trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương TÍNH CATENARY, TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỔ ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến cán Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh quan tâm giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong bảo quý thầy, cô bạn bè học viên CHƯƠNG 1.1 Phổ vành 1.1.1 Định nghĩa Cho / iđêan thực R Khi đó: (i) Iđêan / gọi nguyên tố với x,yeR mà xyeỉ kéo theo XeI yel (ii) Iđêan / gọi cực đại không tồn iđêan J ^R mà / ^ J I czJ Từ định nghĩa ta suy / iđêan nguyên tố vành thương R/I miền nguyên; I iđêan cực đại vành thương R/I trường Tập tất iđêan nguyên tố vành R ký hiệu Spec(i^) Với iđêan/củai?, ký hiệu V(I) = Ịpe Spec(/?)| pz)/| 1.1.2 Mệnh đề Cho vành R Các phát biểu sau (/■) Cho I, J iđêan R Khi VỰ.J) = vự n J) = vụ) u VỤ) Trong luận văn này, tập iđêan cực đại R kí hiệu Max(R), tập iđêan nguyên tố tối thiểu R kí hiệu Min(R) 1.2 Giá môđun Tập Supp^(M) = Ịpe Speci? |A/p ^ oj Spec(R) gọi giá môđun M Với X E Mtâ kí hiệu Ann^(v) = ịa e RI ax = 0} Ann^(AT) = ịa e RI aM = 0} = ịa e R I ax = 0,Vv evV/} Ta có Ann^(v) Ann^(M) (hoặc viết gọn Ann(x) Ann(M)) iđêan vành R, Ann^(A/)được gọi linh hỏa tử môđun M Hơn nữa, M i^-môđun hữu hạn sinh Supp^(M) = V(Anni?M) = Ịpe Spec(i?) I Ann^^M CỊ pỊ 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Dinh nghĩa Cho M i?-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R 10 (iv) Cho M i^-môđun N môđun M AssV c AssM (v) Cho M ^-môđun Khi đó, AssM cSuppAT Nếu peSuppAT p tối tiểu SuppM theo quan hệ bao hàm p e AssM 1.4 Vành địa phương Vành R gợi vành địa phương R có iđêan tối đại 1.5 Chiều Krulỉ vành môđun Cho R vành giao hoán Một dãy iđêan nguyên tố R: P0 z> p^ p0 z> p gọi xích nguyên to có độ dài n (i) Cho pe SpecR Cận tất độ dài xích nguyên tố với P0 = p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Nghĩa là, ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với P0 = p} 11 1.6 Tích tenxơ hai môđun Khái niệm tích tenxơ có nguồn gốc từ Hình học, xuất phát từ định nghĩa tích tenxơ hai vectơ Ngày nay, đirực định nghĩa cách rộng 1.6.1 Đinh nghĩa Giả sử M N i?-môđun cho Từ hai môđun này, xây dựng R- môđun mà gọi tích tenxơ chúng Lấy s= M x N \ tích Descartes tập M N Gợi sở y s Chú ý phần tử c c i?-môđun tự có tống hình thức có dạng a r v ( x , y ), a x v s R hầu hết, ( x , y ) e S Gọi D môđun c sinh tất phần tử có dạng (x + x',y)-(x,y)-(x',y), (x,y + y')-(x,y)-(x,yr), (ax,y)-a(x,y), (x , a y ) - a ( x , y ), , x,x'GM, y,y'eN Khi môđun thương T = CỆD gọi tích íenxơ M với N kí hiệu M ®R N gọn M ® N vành R rõ Ảnh phần tử (x, y ) e S M ® N kí hiệu 14 thành dãy qc.-.cq cho q nA =p với (1 < ỉ 00- Giả sử với chuỗi bão hòa iđêan nguyên tố 1, ta có htq = htp + l Khi dễ thấy với p',q'eSpecR, p' czq' ta có htq'= htp' + ht(q7 p') ■ 2.1.7 Bổ đề Nếu vành (TỌm) catenary đẳng chiều địa phưong ht p2 = ht Pj + ht(p^|^) với py p2 e specR thỏa mãn p, d p2 Chủng minh ht Nếu p (pỆp) = ht (n^>) iđêan - nguyên ht (rỆ\) tố tối = thiêu dimR pcPị - ht(njPDj) điều không phụ thuộc vào lựa chọn p htp = ht(p^)) Tuông tự ht p2 = ht(p^Ịb) Từ suy ht p2 = ht Pj + ht(p^)j) ■ Từ hai bổ đề ta có hệ sau 2.1.8 Hệ Cho (R, m) vành địa phương Khi điều kiện sau tương đương: (i) R catenary đắng chiều địa phương; 19 chiều địa phương Những kết M Tousi s Yassemi làm sâu sắc kết biết từ lâu tính catenary đắng chiều địa phương đồng cấu phang (xem [5; Theorem 31.5]) 2.1.9 Định lí Cho (p: R^>s đồng cấu phang vành Noether Nếu R đẳng chiều địa phương vành pỆp®RS, peMin(R) s catenary đắng chiều địa phưong catenary đấng chiều địa phương Chứng minh Xét chuỗi iđêan nguyên tố s, 2.1.7 ta có htq, = htq + ht(q^jj) (zq2 Theo Bố đề Cho qeMinS cho qcqcq, Đặt p = q; ni? với i = , Vã p= qoR Do pe MinR Với iđêan J s, đặt J = jỆpS Khi ta có: ht(q^l) = ht(q^1) Vi y>S" catenary Theo [5; đẳng chiều địa phuơng Theorem nên 15.1] hl(qA,) = hlq, ta htq2 - htq = ht(p^>) + d u n ( S Ậ p , / p ) ( S ậ )) - htípập) )) - hlq, có 20 (ii) R ỆpS đẳng chiều catenary với p e spec/? (iii) R SỆpS đẳng chiều catenary với pe Min R Chủng minh 0) => (ii) Giả sử p ìđêan tối tiểu R Khi tồn iđêan tối tiểu q0 s nằm p0 Khi dim£Ệt\ữ = dimS cho áim^Ệp0S = dimS Theo [5; Theorem 15.1] ta có: ht(nỆp0) = ht(rỆpữS)-ht(rỆrrC) = i m S - ht(rjỆmS) Điều độc lập với lựa chọn p0, R đăng chiều Nếu q iđêan nguyên tố tối tiểu pS theo Định lí going- down ta thấy qn/? = p, theo [5; Theorem 15.1], htq=htp ht(r^i) = htn - htq =htn-htp xác định theo p Nghĩa £jỆpS đẳng chiều Nếu p'eSpec/? cho p' c= p ht([j0|b') = Ta cho q' iđêan nguyên tố p'5 chứa q £Ệlp'S đẳng chiều phẳng ỉjỆp', ht((ỆbỊ) = ht((Ệp'S) = ht(|^|b') = Tuy nhiên s đẳng chiều catenary nên ht(^Ị') = htq- htq' = htp- htp' ht p = ht p'+1 Theo Bố đề 2.1.7 suy R catenary (/■«) Hiển nhiên vi Min/? c specR (iii) => (z) Vì (Ọ đồng cấu địa phương phẳng nên ỆpSslỆ>®r.S với pe Min/? Theo Định lí 2.1.9 thỉ s đẳng chiều catenary ■ 2.1.11 Dinh lí Cho (p\ R — > S đồng cấu hoàn toàn phắng 21 2.2 Tính catenary tích tenxơ đại số 2.2.1 Dinh nghĩa Một vành R gọi catenary phô dụng i?đại số hữu hạn sinh catenary Vì R-đại số hữu hạn sinh sinh n phần tử thương vành đa thức i?Ịv15 X ] thương vành catenary vành catenary nên điều kiện cần đủ để vành Noether R catenary phổ dụng R [ x v X ] catenary với n > Tổng quát điều này, ta có kết sau (xem [5; Corollary 1- trang 255]) 2.2.2 Mệnh đề Vành Noether R catenary phô dụng i? [X] catenary Cho A B k - đại số; K mở rộng trường k Một hướng nghiên cứu quan trọng Đại số giao hoán nghiên cứu việc chuyên từ A, B tới tích tenxơ A®kB, nghĩa nghiên cứu iđêan nguyên tố A B mở rộng vô hướng Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, Tuy nhiên vấn đề liệu K®kA có catenary (phổ dụng) hay không K mở rộng đại số k x k A catenary (phổ dụng) vấn đề mở Vì vậy, phần thứ hai [10], M Tousi s Yassemi đưa câu trả lời khẳng định cho vấn đề số trường hợp đặc biệt Cụ thể họ K®kA catenary phổ dụng điều kiện sau 22 Chủng minh Ta có: A s tập nhân ® k K = S-'A[X„X 1, ,X n Ậf v f đóng A[X V X , X ] f ỉ ,f 2, f n S ~ l A \ X x , X , , X ]-dãy Mặt khác, tính catenaiy phổ dụng ổn định qua địa phương hóa phép lấy thương nên S~ l A[X v X 2, ,X n jỆf l ,f 2, ,f m ) catenary phổ dụng Suy K A catenary phổ dụng ■ 2.2.4 Bố đề Cho A vành B cho B nguyên A B A -môđun phăng Khỉ đó, B đãng chiều địa phương A đăng chiều địa phưong Chứng minh Cho peSpec/1 pữRp eMin,4p Khi tồn qeSpeci? cho p= qn A Theo Định lý going-down tồn q E speci? với q0 czq q0r>>^í = p0 Chúng ta khẳng định q0eMini? Thật vậy, tồn q'cq0 p' = q'ndcq0nd = p0, suy p' = p Do q' = q0 B nguyên A Khi htq = dim(i?q) = dim(i?^q0)i?q) = ht(cỆk\0) Vì nguyên nên htíĩỆky )- ht(^30) htq = ht((j^|0 )[...]... X n x.ĩ là các biến Vì K ®, A là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương nên ( K /4)ỊX1,X2, ,XJ là catenaiy và đẳng chiều địa phương suy ra K®^ A [ X 1 , X 2 , , X n ] là catenary và đẳng chiều địa phương Theo (iỉ) ta có A [ X V X 2 , , X ] là catenary và đẳng chiều địa phương Vậy A là catenary phổ dụng và đắng chiều địa phương ■ 2.2.6 Bố đề Cho A là một vành Noether dăng chiều địa phưong... này các vành và đại số luôn được giả thiết là giao hoán, có đơn vị; ký hiệu k là một trường và K là một trường mở rộng của k Nội dung của chương này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trong bài báo [10] của M Tousi và s Yasseini 2.1 Tính catenary và đang chiều địa phương Tính catenary cho các vành đã được quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi w Krull từ năm 1937 Sau đó rất nhiều kết quả về tính. .. rộng đại số của k Các kết quả sau đây cho thấy tính catenay (phổ dụng) và đăng chiều địa phương được chuyển từ K A tới A 23 (iii) thì Ả Nếu K ®k A là catenary phô dụng và đăng chiều địa phương cũng là catenary phô dụng và đắng chiều địa phương Chứng minh, (ỉ) Xét đồng cấu tự nhiên (Ọ - A 0^ A Ta có K A là một mở rộng nguyên của A Hơn nữa, K ®, A là 4-môđun phang Theo Bổ đề 2.2.4 thì A là đẳng chiều địa. .. đồng cấu địa phương phẳng nên ỆpSslỆ>®r.S với mọi pe Min/? Theo Định lí 2.1.9 thỉ s là đẳng chiều và catenary ■ 2.1.11 Dinh lí Cho (p\ R — > S là một đồng cấu hoàn toàn phắng của các 21 2.2 Tính catenary của tích tenxơ các đại số 2.2.1 Dinh nghĩa Một vành R được gọi là catenary phô dụng nếu mọi i ?đại số hữu hạn sinh là catenary Vì mọi R -đại số hữu hạn sinh sinh bởi n phần tử đều là thương của vành đa... của p vì thế htp 1 = ht(p^)) Tuông tự ht p2 = ht(p^Ịb) Từ đó suy ra ht p2 = ht Pj + ht(p^)j) ■ Từ hai bổ đề trên ta có ngay hệ quả sau 2.1.8 Hệ quả Cho (R, m) là vành địa phương Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) R catenary và đắng chiều địa phương; 19 chiều địa phương Những kết quả này của M Tousi và s Yassemi đã làm sâu sắc hơn các kết quả đã biết từ lâu về tính catenary và đắng chiều địa. .. (ii) Nếu A là catenary phô dụng và đắng chiều địa phương thì K ®k A cũng là catenary phô dụng và đăng chiều địa phương Chứng minh Ta có K®k A = K ® k { ỵ t = t á ( K : k ) và s= X) S ~ l A [ X ĩ 9 X 2 , , X t ] trong đó k \ X l , X 2 , , X t ] \ {0} Vì A là đẳng chiều địa phương là đẳng chiều địa phương và áp dụng Bổ đề 2.2.6 ta có thê giả sử K mở rộng đại số của k ( i ) Do ( K ® k A ) [ X... các kết quả đã biết từ lâu về tính catenary và đắng chiều địa phương bởi đồng cấu phang (xem [5; Theorem 31.5]) 2.1.9 Định lí Cho (p: R^>s là một đồng cấu phang của các vành Noether Nếu R là đẳng chiều địa phương và vành pỆp®RS, peMin(R) là s catenary và đắng chiều địa phưong thì là catenary và đấng chiều địa phương Chứng minh Xét chuỗi các iđêan nguyên tố trong s, 2.1.7 ta có htq, = htq + ht(q^jj)... về tính catenary của vành được cho bởi w Krull, M Nagata, I s Cohen, D Ferand và M Raynaud, L J RatlilT, R Heitmann, M.Brodmann các kết quả này đã làm cho tính catenary của vành trở thành một lí thuyết quan trọng trong Đại số giao hoán, nó hên quan với nhiều lĩnh vực khác của Đại số giao hoán như vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết Lớp vành catenary đầu... một bài báo của ông năm 1937, ở đó ông chỉ ra rằng nếu k là một trường thì mọi k -đại số hữu hạn sinh đều là vành catenary Tính catenary của lớp vành đầy đủ theo tôpô rn-adic được chứng minh bởi Cohen trong một bài báo năm 1946, ở đó ông đã chứng minh tính catenary cho vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên một trường và sau đó chỉ ra rang mỗi vành địa phương đầy đủ là thương của một vành các chuỗi luỹ... peMin(R) Vành R đuợc gọi là đẳng chiều địa phưong nếu Rplà đắng chiều với mọi pe SpecR Từ định nghĩa vành catenary, dễ thấy rằng nếu R là vành catenary thỉ htp + dim RJp = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R McAdam và R J Ratliff năm 1974 đã chứng minh chiều ngirợc lại, kết quả này mở rộng Mệnh đề 2.1.3 cho tất cả các vành địa phirơng đẳng chiều (ii) 2.1.5 Mệnh đề Giả sử R là vành địa phương Noether ... Cho A k- đại số trường K mở rộng đại số k Các kết sau cho thấy tính catenay (phổ dụng) đăng chiều địa phương chuyển từ K A tới A 23 (iii) Ả Nếu K ®k A catenary phô dụng đăng chiều địa phương catenary... tối tiểu SuppM theo quan hệ bao hàm p e AssM 1.4 Vành địa phương Vành R gợi vành địa phương R có iđêan tối đại 1.5 Chiều Krulỉ vành môđun Cho R vành giao hoán Một dãy iđêan nguyên tố R: P0 z>... siêu việt Ta gọi vành A đại so vành A đại số vành c c c vành vành A Cho Ta gợi phần tử z e A siêu việt c z không nghiệm đa thức g * với hệ số c Ta gọi hệ phần tử eA độc lập đại số c z không nghiệm