Tính Catenary, đẳng chiều địa phương và tích Tenxo của các đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THỊ HIÊN TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐOÀN THỊ HIÊN TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 2013 MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………… …… Mở đầu…………………… …………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 1.1 Phổ vành……………………………………………………… 1.2 Giá môđun……………………………………………………… 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết…………………………………………… 1.4 Vành địa phương…………………………………………………… 1.5 Chiều Krull vành môđun…………………………………… 1.6 Tích ten xơ hai môđun………………………………………… 1.7 Đồng cấu phẳng…………………………………………………… 1.8 Định lí going-up Định lí going-down…………………………… 1.9 Bậc siêu việt………………………………………………………… Chương Tính catenary, đẳng chiều địa phương tích tenxơ đại số 2.1 Tính catenary đẳng chiều địa phương…………………………… 2.2 Tính catenary tích tenxơ đại số……………………………… Kết luận ………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo………………………………….…………………… MỞ ĐẦU 8 9 10 10 11 12 13 14 15 15 21 27 28 Trong toàn luận văn vành đại số giả thiết giao hoán, có đơn vị Noether; ký hiệu k trường Cho R vành R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố q⊂ p R tồn dãy nguyên tố bão hòa p q dãy nguyên tố bão hòa p qđều có độ dài Tính catenary cho vành quan tâm nghiên cứu W Krull từ năm 1937 Sau nhiều kết tính catenary vành cho W Krull, M Nagata, I S Cohen, D Ferand M Raynaud, L J Ratliff, R Heitmann, M.Brodmann , kết làm cho tính catenary vành trở thành lí thuyết quan trọng Đại số giao hoán, liên quan với nhiều lĩnh vực khác Đại số giao hoán vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết Lớp vành catenary W Krull báo ông năm 1937, ông k trường k-đại số hữu hạn sinh vành catenary Tính catenary lớp vành đầy đủ theo tôpô m-adic chứng minh Cohen báo năm 1946, ông chứng minh tính catenary cho vành chuỗi luỹ thừa hình thức trường sau vành địa phương đầy đủ thương vành chuỗi luỹ thừa hình thức Hầu hết vành biết đến catenary Cho đến tận năm 1956, M Nagata lớp miền nguyên không catenary Cho R vành hữu hạn chiều Vành R gọi đẳng chiều dim R = dim R với iđêan nguyên tố tối thiểu p R Vành R gọi p đẳng chiều địa phương Rp đẳng chiều với iđêan nguyên tố p R Cho R S vành Noether, ϕ: R → S đồng cấu phẳng (nghĩa S R- môđun phẳng) Năm 2003, M Tousi S Yassemi [9] chứng minh S qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein Cohen - Macaulay) vành R thớ Rp/pRp ⊗RS với p ∈ SpecR qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein Cohen - Macaulay) Năm 2005, M Tousi S Yassemi [10] tiếp tục chứng minh S catenary đẳng chiều địa phương vành R thớ Rp/pRp ⊗RS catenary đẳng chiều địa phương với i đêan nguyên tố tối thiểu p vành R Hơn nữa, ϕ: R → S đồng cấu hoàn toàn phẳng (nghĩa S R-môđun hoàn toàn phẳng) R catenary đẳng chiều địa phương S catenary đẳng chiều địa phương Những kết M Tousi S Yassemi làm sâu sắc kết biết từ lâu tính catenary đẳng chiều địa phương đồng cấu phẳng (xem [5; Theorem 31.5]) Cho A B k – đại số; K mở rộng trường k Một hướng nghiên cứu quan trọng Đại số giao hoán nghiên cứu việc chuyển từ A, B tới tích tenxơ A⊗kB, nghĩa nghiên cứu iđêan nguyên tố A B mở rộng vô hướng Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, Tuy nhiên vấn đề liệu K⊗kA có catenary (phổ dụng) hay không K mở rộng đại số k A catenary (phổ dụng) vấn đề mở Vì vậy, phần thứ hai [10], M Tousi S Yassemi đưa câu trả lời khẳng định cho vấn đề số trường hợp đặc biệt Cụ thể họ K⊗kA catenary phổ dụng điều kiện sau thỏa mãn: (i) A catenary phổ dụng K mở rộng trường hữu hạn sinh k; (ii) A vành Noether catenary phổ dụng t.d.(K:k) < ∞, t.d.(K:k) bậc siêu việt K k; (iii) A catenary phổ dụng K⊗kA Noether Nội dung luận văn trình bày lại kết báo [10] M Tousi S Yassemi Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Ngoài trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ Trong chương trình bày lại kết báo [10] M Tousi S Yassemi Cụ thể trình bày vấn đề sau 2.1 Tính catenary đẳng chiều địa phương 2.2 Tính catenary tích tenxơ đại số Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến cô hướng dẫn, người dành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, khoa Toán – Trường Đại học Vinh – tận tình giảng dạy hướng dẫn khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến cán Phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh quan tâm giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong bảo quý thầy, cô bạn bè học viên Tác giả Đoàn Thị Hiên CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phổ vành 1.1.1 Định nghĩa Cho I iđêan thực R Khi đó: (i) Iđêan I gọi nguyên tố với x, y ∈ R mà xy ∈ I kéo theo x ∈ I y ∈ I (ii) Iđêan I gọi cực đại không tồn iđêan J ≠ R mà I ≠ J I ⊂ J Từ định nghĩa ta suy I iđêan nguyên tố vành thương R/I miền nguyên; I iđêan cực đại vành thương R/I trường Tập tất iđêan nguyên tố vành R ký hiệu Spec(R) Với { } iđêan I R, ký hiệu V (I ) = p∈ Spec(R) p ⊇ I 1.1.2 Mệnh đề Cho vành R Các phát biểu sau (i) Cho I, J iđêan R Khi V ( I J ) = V ( I ∩ J ) = V ( I ) ∪ V ( J ) điều cho họ hữu hạn iđêan I j) = (ii) V (∑ j ∈S I V (I j ) , với S tập số tuỳ ý j ∈S (iii) V (I ) = V (J ) I = J (iv) V(0) = Spec(R), V(R) = ∅ Như tập hợp dạng V (I ) với I iđêan R thoả mãn tiên đề họ tập đóng không gian tôpô Do Spec(R) trở thành không gian tôpô với họ tập đóng V(I) I iđêan R Tôpô gọi tôpô Zariski Không gian tôpô Spec(R) gọi phổ vành R Mỗi tập hợp V(I) gọi tập đại số xác định I Trong luận văn này, tập iđêan cực đại R kí hiệu Max(R), tập iđêan nguyên tố tối thiểu R kí hiệu Min(R) 1.2 Giá môđun { } Tập Supp R ( M ) = p∈ SpecR | M p ≠ Spec(R) gọi giá môđun M Với x ∈ M ta kí hiệu Ann R ( x) = { a ∈ R | ax = 0} Ann R ( M ) = { a ∈ R | aM = 0} = { a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M } Ta có Ann R ( x) Ann R ( M ) (hoặc viết gọn Ann( x) Ann( M ) ) iđêan vành R, Ann R ( M ) gọi linh hóa tử môđun M Hơn nữa, M R-môđun hữu hạn sinh Supp R ( M ) = V(Ann R M ) = { p∈ Spec( R) | Ann R M ⊆ p} 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M, x ≠ cho p = (0 :R x) = Ann R ( x) Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M) (hoặc Ass(M)) Ass(M) = { p∈ Spec(R)| p = Ann(x) với x ∈ M, x ≠ 0} 1.3.2 Tính chất (i) p iđêan nguyên tố liên kết M tồn môđun Q M cho Q ≅ R / p (ii) Gọi ∑ = { Ann( x) | x ∈ M } Khi p phần tử tối đại ∑ p iđêan nguyên tố liên kết M (iii) R vành Noether M R-môđun Khi đó, AssM ≠ M ≠ Hơn nữa, M R-môđun Noether tập AssM tập hữu hạn 10 (iv) Cho M R-môđun N môđun M AssN ⊆ AssM (v) Cho M R-môđun Khi đó, AssM ⊆ SuppM Nếu p∈ SuppM p tối tiểu SuppM theo quan hệ bao hàm p∈ AssM 1.4 Vành địa phương Vành R gọi vành địa phương R có iđêan tối đại 1.5 Chiều Krull vành môđun Cho R vành giao hoán Một dãy iđêan nguyên tố R: p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pn gọi xích nguyên tố có độ dài n (i) Cho p∈ SpecR Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Nghĩa là, ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với p0 = p} Cho I iđêan R ta định nghĩa ht( I ) = inf{ht(p) | p∈ SpecR, p ⊇ I } (ii) Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimR Ta có dim R = sup { ht( p) | p∈ SpecR} (iii) Cho M R-môđun Khi dim( R / Ann R M ) gọi chiều Krull môđun M, kí hiệu dim R M (hoặc dim M ta không để ý đến vành R) Như vậy, dim R vô hạn ht(p) vô hạn ¶ dim M ≤ dim R Chú ý dim M = dim M 14 B cho qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ m) Khi dãy q1 ⊆ ⊆ qm mở rộng thành dãy q1 ⊆ ⊆ qn cho qi ∩ A = pi với (1 ≤ i ≤ n) Định lý going – down phát biểu dạng: Giả sử A ⊆ B miền nguyên, A đóng nguyên, B nguyên A Cho p1 ⊇ ⊇ pn dãy iđêan nguyên tố A q1 ⊇ ⊇ qm (m < n) dãy iđêan nguyên tố B cho qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ m) Khi dãy q1 ⊇ ⊇ qm mở rộng thành dãy q1 ⊇ ⊇ qn cho qi ∩ A = pi với (1 ≤ i ≤ n) 1.9 Bậc siêu việt Ta gọi vành A đại số vành C C vành vành A Cho A đại số vành C Ta gọi phần tử z ∈ A siêu việt C z không nghiệm đa thức g ≠ với hệ số C Ta gọi hệ phần tử z1, , zm ∈ A độc lập đại số C z1, , zm không nghiệm đa thức m biến g ≠ với hệ số C Dễ thấy z1, , zm hệ độc lập đại số C C [z1, , zm ] đẳng cấu với vành đa thức m biến C Từ suy z1, , zm hệ độc lập đại số C zi phần tử siêu việt C [z1, , zi −1] với i = 1, , m Số phần tử lớn hệ độc lập đại số C A gọi bậc siêu việt A C, ký hiệu t.d.(A:C) Cho A k-đại số, luận văn ký hiệu bậc siêu việt A k t.d.(A:k) A miền nguyên t.d.(A:k) = sup {t.d.(A/p:k) : p ∈ Spec A} 15 CHƯƠNG TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH TEN XƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ Trong chương vành đại số giả thiết giao hoán, có đơn vị; ký hiệu k trường K trường mở rộng k Nội dung chương trình bày lại cách chi tiết kết báo [10] M Tousi S Yassemi 2.1 Tính catenary đẳng chiều địa phương Tính catenary cho vành quan tâm nghiên cứu W Krull từ năm 1937 Sau nhiều kết tính catenary vành cho W Krull, M Nagata, I S Cohen, D Ferand M Raynaud, L J Ratliff, R Heitmann, M.Brodmann , kết làm cho tính catenary vành trở thành lí thuyết quan trọng Đại số giao hoán, liên quan với nhiều lĩnh vực khác Đại số giao hoán vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết Lớp vành catenary W Krull báo ông năm 1937, ông k trường k-đại số hữu hạn sinh vành catenary Tính catenary lớp vành đầy đủ theo tôpô m-adic chứng minh Cohen báo năm 1946, ông chứng minh tính catenary cho vành chuỗi luỹ thừa hình thức trường sau vành địa phương đầy đủ thương vành chuỗi luỹ thừa hình thức Hầu hết vành biết đến catenary Cho đến tận năm 1956, M Nagata lớp miền nguyên không catenary 2.1.1 Định nghĩa Cho q⊂ p iđêan nguyên tố vành R Một dãy iđêan nguyên tố q= p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = p cho pi ≠ pi+1 , i = 0, …, n – 1, 16 gọi dãy iđêan bão hòa q p với i, không tồn iđêan nguyên tố chèn pi pi+1 Cho R vành giao hoán, Noether R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố q⊂ p R tồn dãy nguyên tố bão hòa p q dãy nguyên tố bão hòa p q có độ dài 2.1.2 Chú ý (i) Khi R vành Noether địa phương dim R < ∞ Vì tồn dãy nguyên tố bão hòa p q với cặp iđêan nguyên tố pÌ⊂ q R Trong trường hợp này, R vành catenary dãy nguyên tố bão hòa hai iđêan nguyên tố pÌ⊂ q có độ dài Rõ ràng dim R ≤ R catenary Thật vậy, cho pÌ⊂ q iđêan nguyên tố R Khi có khả xảy ra: chèn thêm iđêan nguyên tố p q để dãy bão hoà, pÌ⊂ qđã bão hoà Vì R catenary (ii ) Vành thương vành catenary vành catenary Thật vậy, giả sử R vành catenary I iđêan R Khi đó, dãy iđêan nguyên tố bão hòa hai iđêan nguyên tố p ⊂ q R I tương ứng với dãy iđêan nguyên tố bão hòa hai iđêan nguyên tố pÌ⊂ q R chứa I , p q ảnh p q R I Vì R I catenary Từ định nghĩa vành catenary, ta dễ thấy R miền nguyên địa phương catenary thoả mãn công thức chiều ht p + dim R/p = dim R với iđêan nguyên tố p R Vì I S Cohen 1954 hỏi liệu miền nguyên địa phương R thoả mãn công thức chiều ht p + dim R/p = dim R với iđêan nguyên tố p R miền catenary? Câu trả lời khẳng định R J Ratliff đưa vào năm 1972 17 2.1.3 Mệnh đề Một miền nguyên Noether địa phương R catenary với iđêan nguyên tố p R ta có ht p + dim R/p = dim R Nhắc lại Min (R) tập tất iđêan nguyên tố tối thiểu R 2.1.4 Định nghĩa Cho R vành hữu hạn chiều Vành R gọi đẳng chiều dim R p = dim R với p∈ Min ( R ) Vành R gọi đẳng chiều địa phương Rp đẳng chiều với p∈ Spec R Từ định nghĩa vành catenary, dễ thấy R vành catenary htp + dim R/p = dim R với iđêan nguyên tố p R McAdam R J Ratliff năm 1974 chứng minh chiều ngược lại, kết mở rộng Mệnh đề 2.1.3 cho tất vành địa phương đẳng chiều 2.1.5 Mệnh đề Giả sử R vành địa phương Noether đẳng chiều Khi R catenary với iđêan nguyên tố p R ta có ht p + dim R/p = dim R Kết sau đặc trưng vành catenary đẳng chiều địa phương 2.1.6 Bổ đề Cho R vành Khi điều kiện sau tương đương: (i) R catenary đẳng chiều địa phương; (ii) R vành hữu hạn chiều địa phương ht q = ht p+ ht (q p) với p, q∈ Spec R , p⊂ q; (iii) R vành hữu hạn chiều địa phương với chuỗi bão hòa iđêan nguyên tố p⊂ q, ht q = ht p+ Chứng minh (i) ⇒ (ii ) Giả sử p⊂ q chuỗi bão hòa iđêan nguyên tố Spec R ht p = t , ht (q p) = s Khi đó, tồn chuỗi bão hòa iđêan nguyên tố p0 ⊂ p2 ⊂ ⊂ pt = q⊂ pt +1 ⊂ ⊂ pt + s Vì R catenary đẳng chiều địa phương nên ta có: ht (q p0 ) = t + s ht (q p0 ) = ht q 18 (ii ) ⇒ (i ) Cho p∈ Spec R p0 Rp ∈ Min ( Rp) Khi đó, ht ( p p0 ) = ht p Do dim ( Rp p0 Rp) = dim R p (ii ) ⇒ (iii ) Giả sử p, q∈ Spec R , p⊂ q ta có ht q = ht p+ ht (q p) với p, q∈ Spec R nên với p, q∈ Spec R , p⊂ q chuỗi bão hòa ta có ht(q p) = Do ta có ht q = ht p+ (iii ) ⇒ (ii ) Giả sử với chuỗi bão hòa iđêan nguyên tố 1, ta có ht q = ht p+ Khi dễ thấy với p', q'∈ Spec R , p' ⊂ q' ta có ht q' = ht p' + ht (q'/ p')  2.1.7 Bổ đề Nếu vành ( R, m) catenary đẳng chiều địa phương ht p2 = ht p1 + ht (p2 p1 ) với p1 , p2 ∈ Spec R thỏa mãn p1 ⊂ p2 Chứng minh Nếu p iđêan nguyên tố tối thiểu p⊂ p1 ht ( p1 p) = ht ( m p) − ht ( m p1 ) = dim R − ht ( m p1 ) điều không phụ thuộc vào lựa chọn p ht p1 = ht (p1 p) Tương tự ht p2 = ht ( p2 p) Từ suy ht p2 = ht p1 + ht ( p2 p1 )  Từ hai bổ đề ta có hệ sau 2.1.8 Hệ Cho ( R, m) vành địa phương Khi điều kiện sau tương đương: (i) R catenary đẳng chiều địa phương; (ii) R catenary đẳng chiều Năm 2003, M Tousi S Yassemi [9] chứng minh S qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein Cohen Macaulay) vành R thớ Rp/pRp ⊗RS với p ∈ SpecR qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein Cohen - Macaulay) Tiếp theo, năm 2005, M Tousi S Yassemi [10] tiếp tục chứng minh S catenary đẳng chiều địa phương vành R thớ Rp/pRp ⊗RS với p ∈ Min R catenary đẳng chiều địa phương Hơn nữa, ϕ: R 19 → S đồng cấu hoàn toàn phẳng (nghĩa S R-môđun hoàn toàn phẳng) R catenary đẳng chiều địa phương S catenary đẳng chiều địa phương Những kết M Tousi S Yassemi làm sâu sắc kết biết từ lâu tính catenary đẳng chiều địa phương đồng cấu phẳng (xem [5; Theorem 31.5]) 2.1.9 Định lí Cho ϕ : R → S đồng cấu phẳng vành Noether Nếu R đẳng chiều địa phương vành R p⊗ R S , p∈ Min ( R ) catenary đẳng chiều địa phương S catenary đẳng chiều địa phương Chứng minh Xét chuỗi iđêan nguyên tố S , q1 ⊂ q2 Theo Bổ đề 2.1.7 ta có ht q2 = ht q1 + ht (q2 q1 ) Cho q∈ MinS cho q⊂ q1 ⊂ q2 Đặt pi = qi ∩ R với i = 1,2 p = q∩ R Do p∈ Min R Với iđêan J S , đặt J%= J pS Khi ta có: % % ht (q2 q1 ) = ht (q q1 ) % % % % Vì S pS catenary đẳng chiều địa phương nên ht (q q1 ) = ht q2 − ht q1 Theo [5; Theorem 15.1] ta có % % ht q − ht q1 = ht (p2 p) + dim ( S% ( p2 p)( S% )) − ht ( p1 p) − dim ( S% ( p1 p)( S% )) % % % % q q q q 2 1 = ht p2 − ht p1 + dim ( Sq2 p2 S q2 ) − dim ( S q1 p1S q1 ) = ht q2 − ht q1 Theo Bổ đề 2.1.7 suy S catenary đẳng chiều địa phương  Cho ϕ : ( R, m) → ( S , n) đồng cấu địa phương phẳng vành Noether địa phương Nếu S đẳng chiều catenary R đẳng chiều catenary, S pS đẳng chiều với iđêan nguyên tố p R (xem [5;Theorem 31.5]) 2.1.10 Định lí Cho ϕ : ( R, m) → ( S , n) đồng cấu địa phương phẳng vành địa phương Noether Khi điều kiện sau tương đương: 20 (i) S đẳng chiều catenary (ii) R S pS đẳng chiều catenary với p∈ Spec R (iii) R S pS đẳng chiều catenary với p∈ Min R Chứng minh (i) ⇒ (ii ) Giả sử p0 iđêan tối tiểu R Khi tồn iđêan tối tiểu q0 S nằm p0 Khi dim S q0 = dim S cho dim S p0 S = dim S Theo [5; Theorem 15.1] ta có: ht ( m p0 ) = ht (n p0 S ) − ht (n mS ) = dim S − ht ( n mS ) Điều độc lập với lựa chọn p0 , R đẳng chiều Nếu q iđêan nguyên tố tối tiểu pS theo Định lí going- down ta thấy q∩ R = p, theo [5; Theorem 15.1], ht q = ht p ht ( n q) = ht n − ht q = ht n − ht p xác định theo p Nghĩa S pS đẳng chiều Nếu p'∈ Spec R cho p' ⊂ p ht ( p p') = Ta cho q' iđêan nguyên tố p'S chứa q S p' S đẳng chiều phẳng R p' , ht (q q') = ht (q p'S) = ht ( p p') = Tuy nhiên S đẳng chiều catenary nên ht (q q') = ht q− ht q' = ht p− ht p' ht p = ht p'+ Theo Bổ đề 2.1.7 suy R catenary (ii ) ⇒ (iii ) Hiển nhiên Min R ⊂ Spec R (iii ) ⇒ (i ) Vì ϕ đồng cấu địa phương phẳng nên S pS ≅ R p⊗ R S với p∈ Min R Theo Định lí 2.1.9 S đẳng chiều catenary  2.1.11 Định lí Cho ϕ : R → S đồng cấu hoàn toàn phẳng vành Noether Nếu S catenary đẳng chiều địa phương R catenary đẳng chiều địa phương Chứng minh Cho p∈ Spec R Vì ϕ hoàn toàn phẳng nên tồn q∈ Spec R cho p = q∩ R Xét đồng cấu địa phương phẳng ϕ%: Rp → Sq xác định 21 ϕ% (r s ) = ϕ ( r ) ϕ ( s ) Theo Định lí 2.1.10 suy R catenary đẳng chiều địa phương  2.2 Tính catenary tích tenxơ đại số 2.2.1 Định nghĩa Một vành R gọi catenary phổ dụng R-đại số hữu hạn sinh catenary Vì R-đại số hữu hạn sinh sinh n phần tử thương vành đa thức R[x1, , xn ] thương vành catenary vành catenary nên điều kiện cần đủ để vành Noether R catenary phổ dụng R[x1, , xn ] catenary với n ≥ Tổng quát điều này, ta có kết sau (xem [5; Corollary 1- trang 255]) 2.2.2 Mệnh đề Vành Noether R catenary phổ dụng R[ X ] catenary Cho A B k – đại số; K mở rộng trường k Một hướng nghiên cứu quan trọng Đại số giao hoán nghiên cứu việc chuyển từ A, B tới tích tenxơ A⊗kB, nghĩa nghiên cứu iđêan nguyên tố A B mở rộng vô hướng Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, Tuy nhiên vấn đề liệu K⊗kA có catenary (phổ dụng) hay không K mở rộng đại số k A catenary (phổ dụng) vấn đề mở Vì vậy, phần thứ hai [10], M Tousi S Yassemi đưa câu trả lời khẳng định cho vấn đề số trường hợp đặc biệt Cụ thể họ K⊗kA catenary phổ dụng điều kiện sau thỏa mãn: (i) A catenary phổ dụng K mở rộng trường hữu hạn sinh k; (ii) A vành Noether catenary phổ dụng t.d.(K:k) < ∞ ; (iii) A catenary phổ dụng K⊗kA Noether 22 2.2.3 Mệnh đề Cho A vành catenary phổ dụng k -đại số K trường mở rộng hữu hạn sinh k Khi đó, K ⊗k A catenary phổ dụng Chứng minh Ta có: A ⊗k K ≅ S −1 A[X , X , , X n ] ( f1 , f , , f m ) S tập nhân đóng A[X , X , X n ] f1 , f , f m S −1 A[X , X , , X n ] -dãy Mặt khác, tính catenary phổ dụng ổn định qua địa phương hóa phép lấy thương nên S −1 A[X , X , , X n ] ( f1 , f , , f m ) catenary phổ dụng Suy K ⊗k A catenary phổ dụng  2.2.4 Bổ đề Cho A vành B cho B nguyên A B A -môđun phẳng Khi đó, B đẳng chiều địa phương A đẳng chiều địa phương Chứng minh Cho p∈ Spec A p0 Rp ∈ Min Ap Khi tồn q∈ Spec B cho p=q∩ A Theo Định lý going-down tồn q0 ∈ Spec B với q0 ⊂ q q0 ∩ A = p0 Chúng ta khẳng định q0 ∈ Min B Thật vậy, tồn q' ⊂ q0 p' = q' ∩ A ⊆ q0 ∩ A = p0 , suy p' = p0 Do q' = q0 B nguyên A Khi ht q = dim ( Bq) = dim ( Bq (q0 ) Bq) = ht (q q0 ) Vì S q0 nguyên R p0 nên ht (q q0 ) ≤ ht ( p p0 ) ht q = ht (q q0 ) ≤ ht ( p p0 ) ≤ ht p Mặt khác p=q∩ A nên ht p ≤ ht q Vì ht p= ht q Từ ta có điều phải chứng minh Cho A k- đại số trường K mở rộng đại số k Các kết sau cho thấy tính catenay (phổ dụng) đẳng chiều địa phương chuyển từ K ⊗k A tới A 2.2.5 Mệnh đề Cho A k- đại số trường K mở rộng đại số k Khi ta có: 23 (i) Nếu K ⊗k A đẳng chiều địa phương A đẳng chiều địa phương (ii) Nếu K ⊗k A catenary đẳng chiều địa phương A catenary đẳng chiều địa phương (iii) Nếu K ⊗k A catenary phổ dụng đẳng chiều địa phương A catenary phổ dụng đẳng chiều địa phương Chứng minh (i) Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : A → K ⊗k A Ta có K ⊗k A mở rộng nguyên A Hơn nữa, K ⊗k A A -môđun phẳng Theo Bổ đề 2.2.4 A đẳng chiều địa phương (ii) Ta có A vành địa phương hữu hạn chiều Áp dụng Bổ đề 2.1.7, ta cần chứng minh với chuỗi bão hòa iđêan nguyên tố A : p1 ⊂ p2 ht p2 = + ht p1 Vì K ⊗k A mở rộng nguyên A nên tồn chuỗi bão hòa iđêan nguyên tố q1 ⊂ q2 K ⊗k A cho qi ∩ A = pi với i = 1,2 Do ht q2 = + ht q1 Như ht qi = ht pi với i = 1,2 Từ suy điều cần chứng minh (iii) Xét đẳng cấu ( K ⊗k A)[X , X , , X n ] ≅ K ⊗ k A[X , X , , X n ] X , X , , X n biến Vì K ⊗k A catenary phổ dụng đẳng chiều địa phương nên ( K ⊗k A)[X , X , , X n ] catenary đẳng chiều địa phương suy K ⊗k A[X , X , , X n ] catenary đẳng chiều địa phương Theo (ii) ta có A[X , X , , X n ] catenary đẳng chiều địa phương Vậy A catenary phổ dụng đẳng chiều địa phương  2.2.6 Bổ đề Cho A vành Noether đẳng chiều địa phương Khi đó, A[ X ] vành Noether đẳng chiều địa phương Chứng minh Theo Định lý sở Hilbert, A vành Noether nên A[ X ] vành Noether Giả sử p iđêan nguyên tố vành A 24 ht p[X ] = ht p q iđêan A[ X ] với q∩ A = p q ≠ p[X ] ht q = ht p+  Cho A miền nguyên Noether k-đại số; K trường mở rộng k với t.d.(K:k) < ∞ Năm 2002, S Bouchiba, D E Dobbs, S E Kabbaj sử dụng khái niệm MPC (minimal prime comaximality) chứng minh K⊗kA thỏa mãn (MPC) A[X] catenary K⊗kA catenary phổ dụng Định lý sau [10] tổng quát hóa kết 2.2.7 Định lí Cho A vành Noether k- đại số, K trường mở rộng k với t.d.(K:k) < ∞ Khi đó: Nếu A catenary phổ dụng K ⊗k A catenary phổ (i) dụng (ii) Nếu A catenary phổ dụng đẳng chiều địa phương K ⊗k A catenary phổ dụng đẳng chiều địa phương −1 Chứng minh Ta có K ⊗k A ≅ K ⊗k ( X1 , X , , X t ) S A[ X , X , , X t ] t = t.d.( K : k ) S = k[ X , X , , X t ] \ {0} Vì A đẳng chiều địa phương nên S −1 A đẳng chiều địa phương áp dụng Bổ đề 2.2.6 ta giả sử K mở rộng đại số k (i) Do ( K ⊗k A)[X , X , , X n ] ≅ K ⊗k A[X , X , , X n ] X , X , , X n biến ( n ≥ ) nên ( K ⊗k A)[X , X , , X n ] địa phương hữu hạn chiều Do K ⊗k A catenary phổ dụng (ii) Cho q1 ∈ Min ( K ⊗k A) q2 ∈ Spec( K ⊗k A) với q1 ⊂ q2 Đặt qi ∩ R = pi với i = 1,2 Ta có đẳng thức: ht (q2 q1 ) = ht (p2 p1 ) Vì A catenary nên ht (q2 q1 ) = ht (p2 p1 ) = ht p2 = ht q2  25 Từ định lý ta có hệ sau 2.2.8 Hệ Cho A vành catenary phổ dụng k- đại số; K trường mở rộng k cho K ⊗k A Noether Khi K ⊗ k A catenary phổ dụng Chứng minh Do K ⊗k A Noether nên ta có A Noether t.d.( K : k ) < ∞ t.d.( A : k ) < ∞ Nếu t.d.( K : k ) < ∞ theo Định lí 2.2.7 suy K ⊗ k A catenary phổ dụng Nếu t.d.( A : k ) < ∞ Gọi B sở siêu việt K k Khi ta có đẳng cấu K ⊗k A ≅ K ⊗k ( B ) (k ( B ) ⊗k A) , với k ( B ) ⊗k A Noether Vì k ( B ) trường mở rộng hoàn toàn siêu việt k nên theo Bouchiba et al (2002), ta có k ( B ) ⊗k A catenary phổ dụng Như vậy, ta có k ( B ) ⊗k A Noether, catenary phổ dụng K đại số k ( B ) Do theo Định lí 2.2.7 K ⊗k ( B ) (k ( B ) ⊗k A) catenary phổ dụng K ⊗k A catenary phổ dụng  2.2.9 Định lí Giả sử A vành Noether, catenary, đẳng chiều địa phương k-đại số; K trường mở rộng đại số k Nếu q1 , q2 ∈ Spec( K ⊗k A) cho q1 ⊂ q2 ht (q2 q1 ) = ht (q2 q1 ) = ht q2 − ht q1 Chứng minh Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : A → K ⊗k A Giả sử q1 ⊂ q2 dãy iđêan nguyên tố Spec( K ⊗k A) Chúng ta giả thiết A địa phương với iđêan cực đại p2 = q2 ∩ A đẳng chiều địa phương catenary Thật vậy, S = A − p2 ϕ%: S −1 A → S −1 ( K ⊗k A) ≅ K ⊗k S −1 A đồng cấu tự nhiên S −1 A địa phương, đẳng chiều catenary Hơn nữa, ht ( S −1q2 S −1q1 ) = ht (q2 q1 ) ht ( S −1qi ) = ht qi với i=1,2 Vì vậy, ta giả thiết A địa phương, catenary đẳng chiều Đặt p1 = q1 ∩ A 26 Cho p p1 ∈ Spec( A p1 ) iđêan nguyên tố tùy ý A p1 Theo Bổ đề 2.1.6 ht ( p p1 ) + dim ( A p) = dim ( A p1 ) Mặt khác, theo McAdam Ratliff (1977) ta lại có ht (q2 q1 ) + dim ( K ⊗k A q2 ) = ht (q2 q1 ) + dim ( K ⊗k A q2 ) = dim ( K ⊗k A q1 ) Vì p2 ∈ Max A nên ta có q2 ∈ Max( K ⊗k A) ht (q2 q1 ) = ht (q2 q1 ) = dim ( K ⊗k A q1 ) Nếu ht (q2 q1 ) ≠ ta có ht (q2 q1 ) = dim ( K ⊗k A q1 ) = dim ( A p1 ) = dim A − ht p1 = ht p2 − ht p1 = ht q2 − ht q1  27 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại chi tiết kết báo [10] M Tousi S Yassemi Dựa vào tài liệu tham khảo liên quan, hoàn thành vấn đề sau Trình bày số tính chất vành catenary đẳng chiều địa phương (Mục 2.1) Trình bày tính catenary, catenary phổ dụng đẳng chiều địa phương tích tenxơ đại số (Mục 2.2) 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [4] S Bouchiba, D.E Dobbs, S E Kabbaj (2002) On the prime ideals structure of tensor products of algebras J Pure Appl Alg 176: 89-112 [5] H Masumura (1989), Commutative ring theory, Cambridge University Press [6] S McAdam, L J Jr Ratliff (1977) Semi-local taut rings Indiana Univ Math J 26: 73-79 [7] L J Jr Ratliff (1969) On quasi-unmixed local domains, the altitude formula, and the chain condition for prime ideals I Am J Math 91: 508528 [8] L J Jr Ratliff (1970) On quasi-unmixed local domains, the altitude formula, and the chain condition for prime ideals II Am J Math 92: 99-144 [9] M Tousi and S Yassemi (2003), Tensor products of some special rings, J Algebra 268: 672 - 676 [10] M Tousi and S Yassemi (2005), Catenary, locally equidimensional, and tensor products of algebras Comm Algebra 33, 1023 - 1029 [...]... đại số và trường K là một mở rộng đại số của k Các kết quả sau đây cho thấy tính catenay (phổ dụng) và đẳng chiều địa phương được chuyển từ K ⊗k A tới A 2.2.5 Mệnh đề Cho A là một k- đại số và trường K là một mở rộng đại số của k Khi đó ta có: 23 (i) Nếu K ⊗k A là đẳng chiều địa phương thì A cũng là đẳng chiều địa phương (ii) Nếu K ⊗k A là catenary và đẳng chiều địa phương thì A cũng là catenary và. .. ra S là catenary và đẳng chiều địa phương  Cho ϕ : ( R, m) → ( S , n) là một đồng cấu địa phương phẳng của các vành Noether địa phương Nếu S đẳng chiều và catenary thì R đẳng chiều và catenary, và S pS là đẳng chiều với mọi iđêan nguyên tố p của R (xem [5;Theorem 31.5]) 2.1.10 Định lí Cho ϕ : ( R, m) → ( S , n) là một đồng cấu địa phương phẳng của các vành địa phương Noether Khi đó các điều kiện sau... catenary và đẳng chiều địa phương nếu S là catenary và đẳng chiều địa phương Những kết quả này của M Tousi và S Yassemi đã làm sâu sắc hơn các kết quả đã biết từ lâu về tính catenary và đẳng chiều địa phương bởi đồng cấu phẳng (xem [5; Theorem 31.5]) 2.1.9 Định lí Cho ϕ : R → S là một đồng cấu phẳng của các vành Noether Nếu R là đẳng chiều địa phương và vành R p⊗ R S , p∈ Min ( R ) là catenary và đẳng chiều. .. X n là các biến Vì K ⊗k A là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương nên ( K ⊗k A)[X 1 , X 2 , , X n ] là catenary và đẳng chiều địa phương suy ra K ⊗k A[X 1 , X 2 , , X n ] là catenary và đẳng chiều địa phương Theo (ii) ta có A[X 1 , X 2 , , X n ] là catenary và đẳng chiều địa phương Vậy A là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương  2.2.6 Bổ đề Cho A là một vành Noether đẳng chiều địa phương. .. nguyên tố p của R ta có ht p + dim R/p = dim R Kết quả sau đây là các đặc trưng của vành catenary và đẳng chiều địa phương 2.1.6 Bổ đề Cho R là một vành Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) R là catenary và đẳng chiều địa phương; (ii) R là vành hữu hạn chiều địa phương và ht q = ht p+ ht (q p) với mọi p, q∈ Spec R , p⊂ q; (iii) R là vành hữu hạn chiều địa phương và với bất kì chuỗi bão hòa các iđêan... LUẬN Nội dung chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo [10] của M Tousi và S Yassemi Dựa vào các tài liệu tham khảo liên quan, chúng tôi đã hoàn thành được những vấn đề sau 1 Trình bày về một số tính chất của vành catenary và đẳng chiều địa phương (Mục 2.1) 2 Trình bày về tính catenary, catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương của tích tenxơ các đại số (Mục 2.2) 28 TÀI... lớn nhất của các hệ độc lập đại số trên C trong A được gọi là bậc siêu việt của A trên C, ký hiệu t.d.(A:C) Cho A là một k -đại số, trong luận văn này ký hiệu bậc siêu việt của A trên k là t.d.(A:k) và nếu A không phải là miền nguyên thì t.d.(A:k) = sup {t.d.(A/p:k) : p ∈ Spec A} 15 CHƯƠNG 2 TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH TEN XƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ Trong chương này các vành và đại số luôn được... là catenary và đẳng chiều địa phương thì R cũng là catenary và đẳng chiều địa phương Chứng minh Cho p∈ Spec R Vì ϕ hoàn toàn phẳng nên tồn tại q∈ Spec R sao cho p = q∩ R Xét đồng cấu địa phương phẳng ϕ%: Rp → Sq xác định bởi 21 ϕ% (r s ) = ϕ ( r ) ϕ ( s ) Theo Định lí 2.1.10 suy ra R catenary và đẳng chiều địa phương  2.2 Tính catenary của tích tenxơ các đại số 2.2.1 Định nghĩa Một vành R được... A cũng là catenary và đẳng chiều địa phương (iii) Nếu K ⊗k A là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương thì A cũng là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương Chứng minh (i) Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : A → K ⊗k A Ta có K ⊗k A là một mở rộng nguyên của A Hơn nữa, K ⊗k A là A -môđun phẳng Theo Bổ đề 2.2.4 thì A là đẳng chiều địa phương (ii) Ta có A là vành địa phương hữu hạn chiều Áp dụng Bổ đề 2.1.7,... (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein hoặc Cohen Macaulay) nếu vành R và các thớ Rp/pRp ⊗RS với p ∈ SpecR là chính qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein hoặc Cohen - Macaulay) Tiếp theo, năm 2005, M Tousi và S Yassemi [10] tiếp tục chứng minh được rằng S là catenary và đẳng chiều địa phương nếu vành R và các thớ Rp/pRp ⊗RS với p ∈ Min R là catenary và đẳng chiều địa phương Hơn nữa, nếu ...TRNG I HC VINH ON TH HIấN TNH CATENARY, NG CHIU A PHNG V TCH TENX CA CC I S LUN VN THC S TON HC CHUYấN NGNH: I S V Lí THUYT S... ten x ca hai mụun 1.7 ng cu phng 1.8 nh lớ going-up v nh lớ going-down 1.9 Bc siờu vit Chng Tớnh catenary, ng chiu a phng v tớch tenx ca cỏc i s 2.1 Tớnh catenary v ng chiu a phng 2.2 Tớnh catenary... tụi cũn trớch dn mt s kt qu ó cú di dng nhng mnh nhm phc v cho cỏc chng minh phn sau Chng TNH CATENARY, NG CHIU A PHNG V TCH TENX CA CC I S Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by li cỏc kt qu bi bỏo