trường mở rộng của k sao cho K ⊗k A là Noether. Khi đó K⊗k A là catenary phổ dụng.
Chứng minh. Do K ⊗k A là Noether nên ta có A là Noether và
( )
t.d. K k: < ∞ hoặc t.d.( A k: ) < ∞.
Nếu t.d.( K k: ) < ∞ thì theo Định lí 2.2.7 suy ra K⊗k A là catenary phổ dụng.
Nếu t.d.( A k: ) < ∞. Gọi B là cơ sở siêu việt của K trên k . Khi đó ta có đẳng cấu K ⊗k A K≅ ⊗k B( )( ( )k B ⊗k A), với ( )k B ⊗k A là Noether. Vì ( )k B là trường mở rộng hoàn toàn siêu việt của k nên theo Bouchiba et al. (2002), ta có ( )k B ⊗k A là catenary phổ dụng. Như vậy, ta có ( )k B ⊗k A là Noether, catenary phổ dụng và K là đại số trên ( )k B . Do đó theo Định lí 2.2.7 thì
( ) ( ( ) )
k B k
K ⊗ k B ⊗ A là catenary phổ dụng và vì vậy K ⊗k A là catenary phổ
dụng.
2.2.9. Định lí. Giả sử A là vành Noether, catenary, đẳng chiều địa phương vàlà k-đại số; K là trường mở rộng đại số của k. Nếu q q1, 2∈Spec(K⊗k A) là k-đại số; K là trường mở rộng đại số của k. Nếu q q1, 2∈Spec(K⊗k A)
sao cho q1⊂q2 thì ht (q q2 1) 1= hoặc ht (q q2 1) ht= q2 −htq1.
Chứng minh. Xét đồng cấu tự nhiên :ϕ A→ ⊗K k A. Giả sử q1⊂q2 là một
dãy các iđêan nguyên tố trong Spec(K⊗k A). Chúng ta có thể giả thiết rằng
A là địa phương với iđêan cực đại p2 = ∩q2 A đẳng chiều địa phương và
catenary. Thật vậy, nếu S= −A p2 thì ϕ%: S A−1 →S−1(K ⊗k A)≅ ⊗K k S A−1
là một đồng cấu tự nhiên và S A−1 là địa phương, đẳng chiều và catenary. Hơn
nữa, 1 1
2 1 2 1
ht (S−q S−q) ht (= q q) và ht (S−1qi) ht= qi với i=1,2. Vì vậy, ta có thể giả thiết rằng A là địa phương, catenary và đẳng chiều. Đặt p q1 = ∩1 A.
Cho p p1∈Spec(A p1) là một iđêan nguyên tố tùy ý của A p1. Theo Bổ đề
2.1.6 thì ht (p p1) dim(+ A p) dim(= A p1). Mặt khác, theo McAdam và Ratliff (1977) ta lại có 2 1 2 ht (q q) dim(+ K ⊗k A q) 1= hoặc 2 1 2 1 ht (q q) dim(+ K ⊗k A q) dim(= K⊗k A q).
Vì p2∈MaxA nên ta có q2∈Max(K ⊗k A) và do đó ht (q q2 1) 1= hoặc
2 1 1 ht (q q) dim(= K ⊗k A q). Nếu ht (q q2 1) 1≠ thì ta có ht (q q2 1) dim(= K ⊗k A q1) =dim(A p1) 1 2 1 dimA ht ht ht = − p = p − p =htq2 −htq1.
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo [10] của M. Tousi và S. Yassemi. Dựa vào các tài liệu tham khảo liên quan, chúng tôi đã hoàn thành được những vấn đề sau.
1. Trình bày về một số tính chất của vành catenary và đẳng chiều địa phương (Mục 2.1).
2. Trình bày về tính catenary, catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương của tích tenxơ các đại số (Mục 2.2).