Đại số lie quadratic số chiều thấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH X Y BÙI THỊ VÂN ANH ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH X Y BÙI THỊ VÂN ANH ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC SỐ CHIỀU THẤP Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số : 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.LÊ ANH VŨ Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn khoa học PGS.TS.Lê Anh Vũ Tơi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Thầy giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi tiếp xúc với nguồn tài liệu q ngồi nước, giảng giải dẫn tận tình, đầy trách nhiệm cho tơi suốt q trình làm luận văn Hơn nữa, Thầy dành nhiều thời gian cơng sức để đọc chỉnh sửa luận văn cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn Q Thầy Cơ khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Đặc biệt Q Thầy Cơ tổ Hình học, Thầy Cơ giảng dạy lớp cao học khóa 18 Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh cung cấp kiến thức chun mơn cần thiết cho tơi để làm tảng cho việc hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng khoa học cơng nghệ - Sau Đại học, phòng Kế hoạch - tài Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu Trường THPT Phú Nhuận tồn thể đồng nghiệp bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học nghiên cứu luận văn Luận văn khơng thể hồn thành thiếu chia sẻ, khích lệ, động viên gia đình tơi Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn vơ hạn đến gia đình Tơi xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2011 Tác giả Bùi Thị Vân Anh BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Giải thích ký hiệu Mat(n,K) Khơng gian ma trận vng cấp n trường K gl(n;K) Đ ại số Lie ma trận vng cấp n K sl(n,K) Khơng gian ma trận có vết khơng b(n,K) Khơng gian ma trận tam giác n(n,K) Khơng gian ma trận tam giác ngặt End(V) Khơng gian tốn tử tuyến tính [.,.] Móc Lie (hay hốn tử) Tr Vết Z (G) Tâm đại số Lie G G/I Đại số Lie thương [G,G] Đại số dẫn xuất G RadG (hay R) Căn giải G adx Biểu diễn phụ hợp đại số Lie S Đại số Lie đơn K Trường giao hốn đóng đại số có đặc số (g,B) Đại số Lie quadratic đại số Lie B g V⊥ Trực giao V Der(g) Đại số Lie tốn tử vi phân g Dera(g,B Đại số Lie Der(g) F(g) Khơng gian vectơ dạng song tuyến tính đối xứng bất biến g B (g) Khơng gian vectơ tích vơ hướng bất biến g dq ( g ) Chiều quadratic đại số Lie g Cents(g,B) Tập tất phần tử B - đối xứng trọng tâm g M(g) Tập tất ideal cực tiểu g Soc(g) Tổng ideal cực tiểu g gC Mở rộng phức g κ Dạng Killing K Dạng song tuyến tính đối xứng bất biến g , Kết thúc chứng minh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng dẫn kí hiệu Mở đầu Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Dạng song tuyến tính 1.2 Đại số Lie 1.3 Đồng cấu 10 1.4 Đại số Lie con, ideal đại số thương 10 1.5 Đại số Lie giải 12 1.6 Đại số Lie lũy linh 14 1.7 Đại số Lie đơn nửa đơn 16 Chương 2: Các khái niệm tính chất đại số Lie quadratic 18 §1 Định nghĩa đại số Lie quadratic Vài ví dụ 18 2.1.1 Định nghĩa đại số Lie quadratic 18 2.1.2 Vài ví dụ 19 §2 Vài tính chất đại số Lie quadratic 20 2.2.1 Vài khái niệm 20 2.2.2 Các tính chất 22 §3 Đại số Lie quadratic địa phương 24 2.3.1 Vài khái niệm 24 2.3.2 Các tính chất 25 Chương 3: Đại số Lie quadratic có chiều quadratic 31 §1 Đại số Lie quadratic giải với chiều quadratic 31 3.1.1 Các tính chất 31 3.1.2 Các hệ 38 3.1.3 Các ví dụ 39 §2 Đại số Lie quadratic đầy đủ với chiều quadratic 41 3.2.1 Mệnh đề 41 3.2.2 Định lý 41 3.2.3 Ví dụ 42 §3 Đại số Lie quadratic thực với chiều quadratic 43 3.3.1 Tính chất số chiều quadratic đại số Lie thực quadratic 43 3.3.2 Tính chất bất khả qui đại số Lie thực quadratic có chiều quadratic 44 3.3.3 Bổ đề 44 3.3.4 Tính chất 44 KẾT LUẬN 46 CHỈ MỤC 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 -1- LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhóm Lie, đại số Lie, đặc biệt Đại số Lie Quadratic (hay đại số Quadratic) ngày có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác Tốn học Vật lý Nhóm Lie, đặt tên theo nhà tốn học người Na Uy Sophus Lie (1842 – 1899), khái niệm tổng hòa từ hai khái niệm nhóm (trong Đại số học) đa tạp vi phân (trong Hình học – Tơpơ) Nhóm Lie cơng cụ gần tất ngành tốn đại vật lý lý thuyết đại, đặc biệt lý thuyết hạt Một ý tưởng lý thuyết nhóm Lie thay cấu trúc nhóm tồn cục phiên mang tính địa phương hay gọi phiên làm tuyến tính hóa Sophus Lie gọi nhóm Lie vơ bé Sau người ta gọi Đại số Lie Một đại số Lie quadratic bổ sung bất biến thể dạng dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến Các đại số Lie quadratic thú vị khơng quan điểm đại số lạ mà chúng áp dụng nhiều lĩnh vực tốn học vật lý Hiểu đại số quadratic giúp hiểu rõ cấu trúc Poisson trực giao, nhóm Lie Poisson phương trình Lax Trên sở đại số Lie với bất biến bổ sung, ta xây dựng nhiều lớp cấu trúc đại số quadratic cụ thể như: đại số quadratic Novikov, đại số quadratic giải được, đại số quadratic đối ngẫu,… Đại số quadratic đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết trường bảo giác Nappi Witten chứng minh phép dựng hình loại Sugawara tồn đại số quadratic phép dựng hình khái qt hóa cho việc mở rộng Abel đại số Euclide Ngồi ra, Mohammedi chứng minh rằng, điều kiện cho phép dựng hình -2- Sugawara tương đương với điều kiện thiết yếu đại số Lie quadratic Thêm vào đó, M Bordemann đưa khái niệm mở rộng T* đại số Lie Dựa khái niệm này, ơng chứng minh đại số Lie quadratic giải trường đóng đại số có đặc số mở rộng T* ideal khơng suy biến có số đối chiều Cũng dựa khái niệm này, M Bordemann chứng minh đại số Lie quadratic hữu hạn chiều trường đóng đại số có đặc số cặp Manin chiều Drinfel’d Mặt khác, nhờ khái niệm mở rộng kép giới thiệu Medina Revoy, ta chứng minh điều quan trọng đại số Lie quadratic khơng gian hữu hạn chiều tạo nên đại số Lie chiều đại số Lie đơn dãy phép dựng phép dựng tổng trực tiếp trực giao mở rộng kép Ngồi ra, dựa vào khái niệm mở rộng kép ta chứng minh đại số Lie quadratic giải n chiều nhận từ đại số Lie quadratic (n-2) chiều đại số chiều tích nửa trực tiếp với đại số chiều khác Khái niệm mở rộng kép đóng vai trò quan trọng sở cho phương pháp phân loại quy nạp đại số Lie quadratic Ngồi ra, G nhóm Lie g metric song bất biến nửa Riemann G đại số Lie(G) G bổ sung dạng song tuyến tính khơng suy biến g trở thành đại số Lie quadratic Ngược lại, có tích vơ hướng bất biến B đại số Lie h tạo phép tịnh tiến trái metric song bất biến nửa Riemann nhóm Lie G mà h = Lie(G) Do vậy, việc nghiên cứu đại số Lie quadratic hữu ích cho hình học nửa Riemann Đặc biệt, tập tích vơ hướng bất biến đại số Lie quadratic tương ứng 1-1 với tập metric song bất biến nhóm Lie tương ứng -3- Trên nhóm Lie người ta xét cấu trúc Novikov trường hợp đặc biệt cấu trúc affin bất biến trái nhóm Lie Hơn nữa, nhóm Lie chấp nhận cấu trúc Novikov nhóm Lie nhóm giải Fuhai Zhu Zhiqi Chen dựa đại số Novikov trang bị thêm dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến bất biến tạo thành đại số Novikov quadratic Trong lý thuyết đại số Novikov quadratic, người ta chứng minh kết quan trọng đại số Novikov quadratic khơng gian có số chiều nhỏ giao hốn, tồn đại số Novikov khơng giao hốn có chiều lớn 4, cụ thể đại số Novikov quadratic khơng gian chiều Dựa đa dạng, mẻ, nhiều ứng dụng đại số quadratic để hiểu rõ đại số quadratic, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu đại số quadratic với số chiều quadratic Vì vậy, luận văn chúng tơi có tên “Đại số Lie quadratic số chiều thấp” Mục đích Trình bày cách kiến thức đại số Lie quadratic, đặc biệt đại số Lie quadratic có số chiều quadratic Đối tượng nội dung nghiên cứu Đại số Lie quadratic số chiều quadratic thấp, cụ thể Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đại số Lie quadratic có ý nghĩa lớn nghiên cứu khoa học, tốn học vật lý -4- Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt tốn nghiên cứu Chương 1: Dành cho việc liệt kê lại kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu đại số Lie quadratic Chương 2: Giới thiệu khái niệm mở đầu tính chất đại số Lie quadratic, đại số Lie quadratic địa phương, mở rộng kép,… Chương 3: Giới thiệu đại số Lie quadratic có chiều quadratic Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài -5- CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhằm nhắc lại số khái niệm tính chất dạng song tuyến tính, đại số đại số Lie cần thiết cho chương sau Do hầu hết phép chứng minh tính chất, bổ đề, mệnh đề, định lý khơng giới thiệu Độc giả quan tâm xin xem thêm tài liệu tham khảo [1], [3], … 1.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1.1 Định nghĩa Cho V khơng gian vectơ trường K Một dạng song tuyến tính V ánh xạ : B : VxV →K thỏa i) B(λ1v1 + λ2v2; w) = λ1B(v1,w) + λ2B(v2,w) ii) B(v, μ1w1 + μ2w2) = μ1B(v,w1) + μ2B(v,w2) với vi, wi ∈ V, λi, μi ∈ K Đặc biệt: + Dạng song tuyến tính V gọi đối xứng B( v ,w) = B(w, v ) , ∀v, w ∈ V + Dạng song tuyến tính V gọi phản xứng B( v ,w)= - B(w, v ), ∀v, w ∈ V + Khi K = \ , dạng song tuyến tính đối xứng (v,v) ≥ với v ∈ V (v,v) = v = 1.1.2 Định nghĩa Cho U tập V Đặt U┴ = {v ∈ V: B(u,v) = với ∀u ∈ U } Khi U┴ khơng gian V Dạng song tuyến tính B V gọi khơng suy biến V V┴ = {0} -6- 1.1.3 Bổ đề Giả sử B dạng song tuyến tính khơng suy biến V Khi đó, với khơng gian U V, có dim U + dimU ⊥ = dimV Nếu U ∩ U ⊥ = {0} V = U ⊕ U ⊥ Và thu hẹp dạng song tuyến tính B U U ⊥ khơng suy biến 1.1.4 Định nghĩa Giả sử B:VxV → K dạng song tuyến tính Một vectơ v ∈ V gọi đẳng hướng dạng song tuyến tính B B(v,v) = 1.1.5 Nhận xét i) Nếu B dạng song tuyến tính phản xứng đặc số trường khác vectơ V đẳng hướng G ii) Nếu B dạng song tuyến tính đối xứng vectơ ln đẳng hướng B iii) Nếu dạng song tuyến tính B khơng suy biến v ∈ V vectơ đẳng hướng tồn w ∈ V cho B(v,w) ≠ Rõ ràng v w độc lập tuyến tính 1.1.6 Dạng tắc dạng song tuyến tính 1.1.6.1 Bổ đề Giả sử V có dạng song tuyến tính B Và U1, U2 khơng gian V cho B(u,v) = với u, v ∈ U1, u,v ∈ U2 B(-,-) U1 ⊕ U2 khơng suy biến Nếu {u1,u2,…,um} sở U1 ⎧⎪1 có sở { u1’, u2’,…,un’} U2 cho (ui,uj’) = ⎪ ⎨ ⎪⎪0 ⎩ i=j i≠j 1.1.6.2 Bổ đề Cho B dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến V Khi có sở {v1,v2,…,vn} V cho B(vi,vj) = i ≠ j -7- B(vi,vi) ≠ 1.2 ĐẠI SỐ LIE 1.2.1 Đại số 1.2.1.1 Định nghĩa Một đại số trường K có đặc số K- khơng gian vectơ A với phép nhân (a,b)→ ab thỏa mãn tính chất sau : a(λb + μc) = λab + μac (λb + μc)a = λba + μca , a, b,c ∈ A, λ, μ ∈ K Một đại số đại số kết hợp phép nhân có tính kết hợp, tức (ab )c = a (bc ) , ∀a, b, c ∈ A Tùy vào phép nhân A giao hốn hay phản giao hốn mà ta nói A đại số giao hốn hay phản giao hốn Khi K trường thực hay phức ta nói A đại số thực hay phức 1.2.1.2 Ví dụ (1) Khơng gian ma trận vng cấp n trường K, Mat(n,K) đại số kết hợp với phép nhân ma trận khơng giao hốn (2) Khơng gian tốn tử tuyến tính End(V) K - khơng gian vectơ V đại số kết hợp với phép nhân phép hợp thành hai tốn tử thơng thường (3) Đại số đa thức với hệ số K (một hay nhiều biến) đại số giao hốn (4) Đại số vectơ thực hay phức K3 ( K = \ , K = ^ ) với phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với số phép nhân có hướng đại số phản giao hốn -8- 1.2.2 Đại số Lie 1.2.2.1 Định nghĩa Một đại số Lie K- đại số G với phép nhân [a,b] gọi móc Lie a b thỏa : (i) Tính phản xứng : [a,a] = , ∀ a ∈ G (ii) Đẳng thức Jacobi : [[a,b],c] + [[b,c],a] + [[c,a],b] = 0, ∀a,b,c∈ G Tùy vào trường sở K thực hay phức mà ta gọi G đại số Lie thực hay phức 1.2.2.2 Nhận xét (1) Số chiều đại số Lie G số chiều K-khơng gian vectơ G (2) Dễ dàng kiểm tra, điều kiện (i) tương đương với (i’) ⎡a, b⎤ = − ⎡ b, a ⎤ , với a,b ∈ G ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ (3) Nếu ⎡a, b⎤ = , ∀a,b ∈ G ta nói móc Lie đại số Lie tầm ⎢⎣ ⎥⎦ thường ta gọi đại số Lie G giao hốn (4) Mỗi K - đại số Lie K- đại số Ngược lại, K- đại số G xem K - đại số Lie ta định nghĩa móc Lie nhờ hốn tử phép nhân Cụ thể ta có định lý sau: 1.2.2.3 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số) Cho G K - đại số Trên G ta định nghĩa móc Lie sau : [.,.]: G×G → G , ⎡a, b⎤ = ab − ba , ∀a,b ∈ G ⎢⎣ ⎥⎦ Khi đó, G với móc Lie trở thành K - đại số Lie Như vậy, ta thấy rằng: -9- + Mỗi đại số Lie đại số (khơng kết hợp) Trong đó, đại số nói chung khơng phải đại số Lie, ta lấy móc Lie hốn tử đại số trở thành đại số Lie + Mỗi khơng gian vectơ đại số Lie giao hốn 1.2.2.4 Ví dụ (1) Khơng gian R3 với tích có hướng thơng thường đại số Lie thực 3-chiều (2) Kí hiệu Mat(n;K) khơng gian vectơ n2 – chiều K Ta xác định g móc Lie: (A,B)→[A,B] = AB - BA, ∀ A, B ∈ Mat(n;K) (A B gọi hốn tử) Khi đó, Mat(n;K) trở thành đại số Lie Ta kí hiệu Mat(n;K) = gl(n;K) gọi đại số Lie ma trận vng cấp n K (3) Kí hiệu b(n,K) khơng gian ma trận tam giác gl(n,K) Nhắc lại ma trận y = (yij)n vng cấp n gọi ma trận tam giác yij = , ∀ i > j Hiển nhiên x, y thuộc b(n,K) [x,y] thuộc b(n,K) Nói cách khác, b(n,K) đại số Lie với móc Lie kế thừa từ gl(n,K) (4) Tương tự, kí hiệu n(n,K) khơng gian ma trận tam giác ngặt gl(n,K) Một ma trận y = (yij)n vng cấp n gọi ma trận tam giác ngặt yij = 0, ∀i ≥ j Tương tự b(n,K), n(n,K) đại số Lie với móc Lie kế thừa từ gl(n,K) (5) Nhắc lại vết ma trận vng tổng phần tử đường chéo (chính) Kí hiệu sl(n,K) khơng gian gl(n,K) gồm tất ma trận có vết khơng Hiển nhiên, với hai ma trận tùy ý x,y ∈ sl(n,K) [x,y] = xy - yx có vết khơng, tức [x,y] thuộc sl(n,K) Do đó, sl(n,K) với móc Lie kế thừa gl(n,K) đại số Lie - 10 - 1.3 ĐỒNG CẤU 1.3.1 Định nghĩa Cho G1, G2 K - đại số Lie Một đồng cấu đại số Lie ánh xạ tuyến tính ϕ : G1 → G2 bảo tồn móc Lie, tức ϕ([a,b]) = [ϕ(a),ϕ(b)] , ∀ a,b ∈ G1 Nếu ϕ đẳng cấu tuyến tính ϕ gọi đẳng cấu đại số Lie 1.3.2 Nhận xét ví dụ (1) Mỗi ánh xạ tuyến tính K - khơng gian vectơ đồng cấu đại số Lie giao hốn (2) Mỗi đồng cấu đại số trở thành đồng cấu đại số Lie xét cấu trúc đại số Lie cảm sinh hốn tử 1.4 ĐẠI SỐ LIE CON, IDEAL VÀ ĐẠI SỐ THƯƠNG 1.4.1 Định nghĩa Khơng gian vectơ K đại số Lie G gọi đại số Lie G ⎡⎢⎣a, b⎤⎥⎦ ∈ K với a, b ∈ K 1.4.2 Định nghĩa Khơng gian vectơ I đại số Lie L gọi ideal G [a,b] ∈G với ∀ a ∈ G, ∀ b ∈ I 1.4.3 Định nghĩa Giả sử G đại số Lie I ideal Khi đó, ta có đại số Lie thương G/I xây dựng từ khơng gian vectơ thương cách trang bị móc Lie sau: [a1, a2 ] = [a1, a2 ], ∀a1, a2 ∈ G - 11 - Ở dấu ngang phần tử lớp kề phần tử 1.4.4 Tính chất 1) Nếu I J ideal G Khi đó, I + J = {x + y, x ∈ I, y ∈ J} ideal G 2) Nếu I J ideal G Khi đó, ⎡ I,J⎤ = {⎡ x,y⎤ , x ∈ I, y ∈ J} ideal G ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 3) Nếu I =J = G L’ = [ G , G ] gọi đại số dẫn xuất G, đơi gọi đại số hốn tử 1.4.5 Mệnh đề Nếu ϕ : G1 → G2 đồng cấu đại số Lie thì: 1) Hạt nhân kerϕ ϕ ideal G1 2) Ảnh đồng cấu Imϕ ϕ đại số Lie G2 3) G kerϕ ≅ Imϕ 1.4.6 Nhận xét Một ideal hiển nhiên đại số Lie con, nói chung điều ngược lại khơng Chẳng hạn, b(n,K) đại số Lie gl(n,K) khơng phải ideal lấy e11 ∈ b(n,K) e21 ∈ gl(n,K) [e11,e21] = -e21 ∉ b(n,K) - 12 - 1.5 ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 1.5.1 Bổ đề Giả sử I ideal G Khi đó, G/I giao hốn I chứa G’ = [G,G] Chứng minh Đại số G/I giao hốn với x, y ∈ G ⎡ x + I, y + I⎤ = ⎡ x, y⎤ + I = I ⇔ [x,y] ∈ I, ∀x, y ∈ G Vì I ideal ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ G nên I khơng gian G [x,y] ∈ I với x, y ∈ G xảy khơng gian tạo móc Lie [x,y] chứa I có nghĩa G’ = [G,G] ⊆ I , 1.5.2 Nhận xét Bổ đề cho ta thấy đại số G’ ideal nhỏ G với đại số thương giao hốn Tương tự, G’ có ideal nhỏ để đại số thương giao hốn, đặt ideal G 2… Vậy có chuỗi ideal G xác định sau: G’ = G1, G2 = [G1,G1], …., Gk = [Gk-1,Gk-1] ,∀ k ≥ Khi đó, ta có dãy ideal liên kết với đại số Lie G thỏa G ⊇ G1 ⊇ G2 ⊇… 1.5.3 Định nghĩa Một đại số Lie G gọi giải tồn m ≥1 cho Gm = 1.5.4 Ví dụ 1) Đại số ma trận tam giác đại số giải 2) Bất kỳ đại số Lie 2-chiều đại số giải - 13 - 1.5.5 Bổ đề Nếu G đại số Lie với ideal G = I0 ⊇ I1 ⊇I2 … ⊇Im-1 ⊇Im = cho Ik-1 /Ik giao hốn với ≤ k ≤ m G giải Chứng minh Chúng ta chứng minh G(k) chứa Ik với k (1 ≤ k ≤ m) Khi đó, đặt k = m ta có G(m) ={0} Thật vậy, G/I1 giao hốn nên từ bổ đề 1.5.1 ta có G’ ⊆ I1 Quy nạp ta có Gk-1 ⊆ Ik-1 với k ≥ Và Ik-1 /Ik giao hốn Tương tự, [Ik-1, Ik-1] ⊆ Ik Vì Lk-1 ⊆ Ik-1 nên [Gk-1,Gk-1] ⊆ [Ik-1,Ik-1] suy Gk⊆Ik Đặt k = m Gk = G m Ik = Im Gm ⊆ Im = 0, Gm = Vậy G giải , 1.5.6 Bổ đề Giả sử ϕ : G1 → G2 tự đồng cấu đơn ánh đại số Lie Khi đó, ϕ(G1k) = (G2)k 1.5.7 Bổ đề Cho G đại số Lie i) Nếu G giải đại số ảnh đồng cấu G giải ii) Nếu ideal I G/I giải G giải iii) Nếu ideal I J giải G I+J ideal giải [...]... gọi G là đại số Lie thực hay phức 1.2.2.2 Nhận xét (1) Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của K-không gian vectơ G (2) Dễ dàng kiểm tra, điều kiện (i) sẽ tương đương với (i’) ⎡a, b⎤ = − ⎡ b, a ⎤ , với mọi a,b ∈ G ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ (3) Nếu ⎡a, b⎤ = 0 , ∀a,b ∈ G thì ta nói rằng móc Lie của đại số Lie là tầm ⎢⎣ ⎥⎦ thường và ta gọi đại số Lie G là giao hoán (4) Mỗi K - đại số Lie đều là K- đại số Ngược... một đại số (không kết hợp) Trong khi đó, mỗi đại số nói chung không phải là đại số Lie, nhưng nếu ta lấy móc Lie là hoán tử thì mỗi đại số đều trở thành đại số Lie + Mỗi không gian vectơ chính là một đại số Lie giao hoán 1.2.2.4 Ví dụ (1) Không gian R3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3 -chiều (2) Kí hiệu Mat(n;K) là không gian vectơ n2 – chiều trên K Ta xác định trên g móc Lie: ... giữa các đại số Lie giao hoán (2) Mỗi đồng cấu đại số đều trở thành đồng cấu đại số Lie khi xét cấu trúc đại số Lie cảm sinh bởi hoán tử 1.4 ĐẠI SỐ LIE CON, IDEAL VÀ ĐẠI SỐ THƯƠNG 1.4.1 Định nghĩa Không gian vectơ con K của đại số Lie G được gọi là đại số Lie con của G nếu ⎡⎢⎣a, b⎤⎥⎦ ∈ K với mọi a, b ∈ K 1.4.2 Định nghĩa Không gian vectơ con I của đại số Lie L được gọi là ideal của G nếu [a,b] ∈G với... mỗi K- đại số G đều có thể xem là một K - đại số Lie khi ta định nghĩa móc Lie nhờ hoán tử của phép nhân Cụ thể ta có định lý sau: 1.2.2.3 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số) Cho G là một K - đại số Trên G ta định nghĩa móc Lie như sau : [.,.]: G×G → G , ⎡a, b⎤ = ab − ba , ∀a,b ∈ G ⎢⎣ ⎥⎦ Khi đó, G cùng với móc Lie trên trở thành một K - đại số Lie Như vậy, ta thấy rằng: -9- + Mỗi đại số Lie đều... cứu đại số Lie quadratic Chương 2: Giới thiệu các khái niệm mở đầu và các tính chất cơ bản của đại số Lie quadratic, đại số Lie quadratic địa phương, mở rộng kép,… Chương 3: Giới thiệu về đại số Lie quadratic có chiều quadratic bằng 2 Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài -5- CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này nhằm nhắc lại một số. .. một đại số Lie - 10 - 1.3 ĐỒNG CẤU 1.3.1 Định nghĩa Cho G1, G2 là các K - đại số Lie Một đồng cấu đại số Lie là một ánh xạ tuyến tính ϕ : G1 → G2 bảo toàn móc Lie, tức là ϕ([a,b]) = [ϕ(a),ϕ(b)] , ∀ a,b ∈ G1 Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì ϕ được gọi là một đẳng cấu đại số Lie 1.3.2 Nhận xét và ví dụ (1) Mỗi ánh xạ tuyến tính của các K - không gian vectơ chính là các đồng cấu giữa các đại số Lie giao... được gọi là đại số dẫn xuất của G, đôi khi cũng gọi là đại số hoán tử 1.4.5 Mệnh đề Nếu ϕ : G1 → G2 là một đồng cấu đại số Lie thì: 1) Hạt nhân kerϕ của ϕ là một ideal trong G1 2) Ảnh đồng cấu Imϕ của ϕ là một đại số Lie con của G2 3) G kerϕ ≅ Imϕ 1.4.6 Nhận xét Một ideal thì hiển nhiên là một đại số Lie con, nhưng nói chung điều ngược lại là không đúng Chẳng hạn, b(n,K) là một đại số Lie con của gl(n,K)... ĐẠI SỐ LIE 1.2.1 Đại số 1.2.1.1 Định nghĩa Một đại số trên trường K có đặc số 0 là một K- không gian vectơ A với phép nhân (a,b)→ ab thỏa mãn tính chất sau : a(λb + μc) = λab + μac (λb + μc)a = λba + μca , a, b,c ∈ A, λ, μ ∈ K Một đại số là đại số kết hợp nếu phép nhân có tính kết hợp, tức là (ab )c = a (bc ) , ∀a, b, c ∈ A Tùy vào phép nhân trong A giao hoán hay phản giao hoán mà ta nói A là đại số. .. đa thức với hệ số trên K (một hay nhiều biến) là một đại số giao hoán (4) Đại số vectơ thực hay phức K3 ( K = \ , K = ^ ) với phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số và phép nhân có hướng là một đại số phản giao hoán -8- 1.2.2 Đại số Lie 1.2.2.1 Định nghĩa Một đại số Lie là một K- đại số G với phép nhân [a,b] gọi là móc Lie của a và b thỏa : (i) Tính phản xứng : [a,a] = 0 , ∀ a ∈ G (ii) Đẳng thức... thỏa G ⊇ G1 ⊇ G2 ⊇… 1.5.3 Định nghĩa Một đại số Lie G được gọi là giải được nếu tồn tại m ≥1 sao cho Gm = 0 1.5.4 Ví dụ 1) Đại số các ma trận tam giác trên là một đại số giải được 2) Bất kỳ một đại số Lie 2 -chiều cũng là một đại số giải được - 13 - 1.5.5 Bổ đề Nếu G là một đại số Lie với các ideal G = I0 ⊇ I1 ⊇I2 … ⊇Im-1 ⊇Im = 0 sao cho Ik-1 /Ik giao hoán với mọi 1 ≤ k ≤ m thì G giải được Chứng minh