Đại số sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM HOÀNG HUY SƠN ĐẠI SỐ SƠ CẤP AN GIANG, THÁNG 02 NĂM 2009 LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Đại số sơ cấp” viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán Nội dung tài liệu đề cập đến vấn đề: Hàm số đồ thị; Phương trình hệ phương trình; Bất đẳng thức bất phương trình Một số nội dung đề cập tài liệu, sinh viên học sơ lược chương trình Tốn phổ thơng Tuy nhiên, để trở thành thầy giáo dạy tốt mơn Tốn trường, địi hỏi sinh viên phải nắm vững lý thuyết hoàn thiện phương pháp giải toán sơ cấp Xuất phát từ yêu cầu trên, chúng tơi cố gắng trình bày tương đối có hệ thống sở lý thuyết khái niệm: Hàm số; Phương trình; Bất đẳng thức; Bất phương trình; Hệ phương trình Các nội dung chiếm phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng như: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ; Phương trình, bất phương trình mũ logarit; Phương trình lượng giác, chúng tơi trình bày thành chương riêng để sinh viên dễ nghiên cứu Tài liệu trình bày thành chương: Chương 1: Hàm số; Chương 2: Phương trình – Hệ phương trình; Chương 3: Bất đẳng thức – Bất phương trình; Chương 4: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ; Chương 5: Phương trình, bất phương trình mũ logarit; Chương 6: Phương trình lượng giác Một yêu cầu quan trọng giải tốn là: Việc trình bày giải phải chặt chẽ logic Để rèn cho sinh viên kỹ đó, chúng tơi cố gắng đưa vào tài liệu nhiều ví dụ thực hành giải tốn Các ví dụ chiếm khối lượng đáng kể tài liệu, giúp sinh viên tự nghiên cứu tài liệu trước đến lớp Điều phù hợp với phương thức đào tạo theo hệ thống tín trường Đại học An Giang từ năm học 2009 – 2010 Cuối chương có hệ thống tập lựa chọn, nhiều số lượng, đủ mức độ từ dễ đến khó (đối với số khó, chúng tơi có hướng dẫn cách giải), u cầu sinh viên tự giải để rèn kỹ tìm lời giải toán Với khối lượng quy định đơn vị học trình, tài liệu khơng thể đề cập hết tất dạng toán hay gặp nội dung phương trình, bất phương trình hệ phương trình số tài liệu khác Chúng mong muốn sinh viên tự tổng kết đúc rút cho kỹ giải tốn thông qua tự giải tập tài liệu Cuối cùng, mong nhận ý kiến đóng góp q báu cho nội dung hình thức trình bày tài liệu bạn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm bạn sinh viên để tài liệu hồn chỉnh tốt An Giang, tháng 02 năm 2009 Tác giả MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU CHƯƠNG I HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa hàm số Đồ thị hàm số Hàm số đơn điệu Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn Hàm số hợp 10 Hàm số ngược 11 Hàm số sơ cấp 13 §2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 18 Trục đối xứng, tâm đối xứng đồ thị 18 Phép đối xứng qua trục tọa độ 21 Phép tịnh tiến song song trục tung 21 Phép tịnh tiến song song trục hoành 21 Một số ví dụ 22 Đồ thị số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 23 §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 28 Định nghĩa 28 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 28 Một số ví dụ 29 BÀI TẬP CHƯƠNG I 37 CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 39 §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 41 Phương trình 41 Hệ phương trình – Tuyển phương trình 43 §2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN 45 Phương trình bậc ẩn 45 Phương trình bậc hai ẩn 49 Một số phương trình bậc bốn đưa phương trình bậc hai ẩn 54 §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 57 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai 57 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 59 Hệ phương trình đối xứng 62 Giải số hệ khác 69 BÀI TẬP CHƯƠNG II 76 CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 82 §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 82 Định nghĩa 82 Tính chất bất đẳng thức 82 Một số bất đẳng thức quan trọng 83 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 83 §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH 93 Định nghĩa 93 Sự tương đương bất phương trình 94 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ vào việc giải phương trình bất phương trình §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN Bất phương trình bậc ẩn Bất phương trình bậc hai ẩn BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ §1 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Định nghĩa định lý Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Định nghĩa định lý Các phương pháp giải bất phương trình vơ tỉ BÀI TẬP CHƯƠNG IV CHƯƠNGV PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT §1 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM LOGARIT Định nghĩa Các tính chất logarit §2 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Định nghĩa Một số phương pháp giải phương trình mũ Một số phương pháp giải bất phương trình mũ §3 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Định nghĩa Một số phương pháp giải phương trình logarit Một số phương pháp giải bất phương trình logarit BÀI TẬP CHƯƠNG V CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Công thức cộng Công thức nhân Cơng thức biến đổi tích thành tổng Cơng thức biến đổi tổng thành tích §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sin x = a Phương trình cos x = a Phương trình tan x = a Phương trình cot x = a §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao hàm số lượng giác Phương trình bậc sin x cos x Phương trình bậc hai sin x cos x Phương trình đối xứng sin x cos x §4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Sử dụng cơng thức hạ bậc, góc nhân đơi, góc nhân ba Dạng phân thức Dạng chứa tan x cot x Một số phương trình giải phương pháp đặc biệt Một số phương trình chứa tham số BÀI TẬP CHƯƠNG VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 95 95 97 108 112 112 112 112 128 128 128 135 140 140 140 140 141 141 141 152 160 160 160 171 178 186 186 186 186 187 187 188 188 188 189 189 189 189 190 192 194 195 195 201 203 206 208 210 213 BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU ¥ : Tập hợp số tự nhiên: {0;1; 2; } ¢ : Tập hợp số nguyên: { ; −2; −1;0;1; 2; } a Ô : Tp hp cỏc s hữu tỉ: ⎨ / a, b ∈ ¢ , b ≠ ⎬ ⎩b ⎭ ¡ : Tập hợp số thực ¡ * : Tập hợp số thực khác không + ¡ : Tập hợp số thực dương n ∑ : Phép lấy tổng từ đến n { / } : Tập hợp T f : Tập (miền) giá trị hàm số f max f ( x ) : Giá trị lớn hàm số f tập D x∈D f ( x) : Giá trị nhỏ hàm số f tập D x∈D ∈: Thuộc ⊆, ⊂: Tập ∅ : Tập hợp rỗng ∀ : Mọi ≠: Khác \: Hiệu hai tập hợp ∪ : Hợp hai tập hợp ∩ : Giao hai tập hợp n U : Phép lấy hợp từ đến n n I : Phép lấy giao từ đến n ∨ : Hoặc (tuyển hai mệnh đề) ⇒: Phép kéo theo, phương trình hệ ⇔: Phép tương đương (khi khi), phương trình tương đương Đpcm: Kết thúc chứng minh, điều phải chứng minh CHƯƠNG I HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử X Y hai tập hợp tùy ý Nếu có quy tắc f cho tương ứng x ∈ X với y ∈ Y ta nói f hàm từ X vào Y , kí hiệu f : X →Y x a y = f ( x) Nếu X , Y tập hợp số f gọi hàm số Trong chương xét hàm số thực biến số thực, nghĩa X ⊆ ¡ ; Y ⊆ ¡ X gọi tập xác định (hay miền xác định) hàm số f (Người ta hay dùng kí hiệu tập xác định hàm số D) Số thực x ∈ X gọi biến số độc lập (gọi tắt biến số hay đối số) Số thực y = f ( x ) ∈ Y gọi giá trị hàm số f điểm x Tập hợp tất giá trị f ( x ) x lấy số thực thuộc tập hợp X gọi tập giá trị (miền giá trị) hàm số f kí hiệu T f , (như T f = { f ( x ) | x ∈ X } = f ( X )) Hiển nhiên T f ⊆ Y Chú ý T f tập hợp thực Y tập Y Trong nhiều trường hợp, người ta cho hàm số f dạng x a f ( x ) y = f ( x) mà không nêu rõ tập xác định X tập hợp Y chứa tập giá trị f Khi đó, ta hiểu Y = ¡ X tập hợp số thực x ∈ ¡ cho quy tắc cho f ( x ) tồn Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) = x + Theo cách hiểu Y = ¡ ; tập xác định f D = ¡ , tập giá trị f T f = { x + 1| x ∈ ¡ } = [1; +∞ ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = Khi đó, tập xác định D = ¡ \ {0} , tập giá trị T f = ¡ \ {0} x Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = − x Tập xác định D = [ −1;1] , T f = [ 0;1] Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số x2 − x + ; x2 + x + sin x + cos x + b y = f ( x ) = sin x + cos x + a y = f ( x ) = Giải x2 − x + Hàm số có tập xác định D = ¡ a y = x + x +1 Giả sử y0 ∈ T f Khi y0 = x2 − x + (1) có nghiệm x x2 + x + (1) ⇔ y0 ( x + x + 1) = x − x + ⇔ ( y0 − 1) x + ( y0 + 1) x + y0 − = ( ) Xét y0 − = ⇔ y0 = 1; ( ) ⇔ x = ⇔ x = Vậy ∈ T f Xét y0 − ≠ ⇔ y0 ≠ Khi đó, (2) có nghiệm ( y0 + 1) − ( y0 − 1) ≥ ⇔ −3 y02 + 10 y0 − ≥ ⇔ ≤ y0 ≤ 3 Vậy T f = [ ;3] b Tập xác định hàm số cho D = ¡ Cũng tương tự câu a y0 thuộc tập giá trị sin x + cos x + hàm số cho y0 = (1) có nghiệm x sin x + cos x + (1) ⇔ y0 ( sin x + cos x + ) = sin x + cos x + ⇔ ( y0 − 1) sin x + ( y0 − ) cos x = − y0 (1) có nghiệm ( y0 − 1) + ( y0 − ) 2 ≥ (1 − y0 ) ⇔ y02 + y0 − ≤ ⇔ −2 ≤ y0 ≤ Vậy T f = [ −2;1] Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y = f ( x) = cos 2x + x2 Tập xác định hàm số D = ¡ 2x , xem t hàm số biến x, áp dụng phương pháp trình bày ví dụ 4.a ta + x2 2x tập xác định với x ∈ ¡ t ∈ [ −1;1] Miền giá trị hàm số y = f ( x) = cos + x2 D = ¡ miền giá trị hàm số y = cos t với t ∈ [ −1;1] Từ hàm số 2x có tập giá trị đoạn [ cos1;1] y = f ( x ) = cos + x2 Đặt t = Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D, ta gọi tập hợp điểm ( x; f ( x ) ) với ∀x ∈ D đồ thị hàm số y = f ( x ) Việc biểu diễn điểm ( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) lên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi vẽ đồ thị hàm số Chú ý đường ( ζ ) (đường cong đường thẳng) mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số đó, cắt đường thẳng phương với trục Oy không điểm Hàm số đơn điệu 3.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định tập D, khoảng ( a; b ) tập D Khi ta có Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Một hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) ta nói hàm số đơn điệu khoảng 3.2 Một số ví dụ Ví dụ Hàm số y = x đồng biến tồn tập xác định ¡ Ví dụ Hàm số y = 3x + nghịch biến khoảng xác định ( −∞; ) ; ( 2; +∞ ) x−2 Dựa vào định nghĩa 3.1, dễ dàng chứng minh tính chất sau 3.3 Tính chất 3.3.1 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) + c (c số) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.2 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = kf ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) k > ; hàm số y = kf ( x ) nghịch biến (đồng biến) khoảng ( a; b ) k < 3.3.3 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) hàm số y = f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.4 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) không âm khoảng ( a; b ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) Chú ý Đồ thị hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) cắt đường thẳng phương với trục Ox nhiều điểm Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) ; hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) Khi khoảng (a; b), đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt không điểm Áp dụng Tìm x thỏa mãn x − = − x Để ý hàm số y = f ( x ) = 5x − hàm số đồng biến ¡ , hàm số y = g ( x ) = − x nghịch biến ¡ Dễ thấy x = thỏa mãn phương trình cho Vậy, x = nghiệm phương trình Hàm số chẵn, hàm số lẻ 4.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D Hàm số f gọi hàm số chẵn với x ∈ D , ta có − x ∈ D f ( − x ) = f ( x ) Hàm số f gọi hàm số lẻ với x ∈ D , ta có − x ∈ D f ( − x ) = − f ( x ) 4.2 Một số ví dụ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x + − − x Tập xác định hàm số [ −1;1] nên dễ thấy ∀x, x ∈ [ −1;1] ⇒ − x ∈ [−1;1] f ( − x ) = − x − + x = − ( ) 1+ x − 1− x = − f ( x) Vậy f hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x2 + x +1 Tập xác định D = ¡ \ {−1} Ta có ∈ D −1 ∉ D, nên hàm số cho hàm số chẵn hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x + x + + x − x + Tập xác định D = ¡ , nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Ta có ∀x ∈ D, f ( − x ) = (−x) + (−x) +1 + (−x) − (−x) +1 = 2 x − x + + x + x + = f ( x ) Vậy hàm số cho hàm số chẵn Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x − x Tập xác định D = ¡ , x ∈ D − x ∈ D Nhưng f (1) = −3 ; f ( −1) = 5, nên f (1) ≠ ± f ( −1) Vậy, f hàm số chẵn hàm số lẻ 4.3 Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D hàm số chẵn có đồ thị ( G ) Với điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị ( G ) , ta xét điểm đối xứng với qua trục tung M ' ( − x0 ; y0 ) Từ định nghĩa hàm số chẵn, ta có − x0 ∈ D f ( − x0 ) = f ( x0 ) Do M ∈ G ⇔ y0 = f ( x0 ) ⇔ y0 = f ( − x0 ) ⇔ M ' ∈ ( G ) Điều chứng tỏ ( G ) có trục đối xứng trục tung Nếu f hàm số lẻ lí luận tương tự, ta ( G ) có tâm đối xứng gốc tọa độ O Hàm số tuần hoàn 5.1 Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn tồn số dương T cho với x ∈ D ta có i ) x + T ∈ D x − T ∈ D ; ii ) f ( x ± T ) = f ( x ) Số nhỏ (nếu có) số T có tính chất gọi chu kỳ hàm số tuần hồn f ( x) 5.2 Một số ví dụ Ví dụ Các hàm số lượng giác y = cos x ; y = sin x hàm số tuần hồn có chu kỳ T = 2π Các hàm số lượng giác y = tan x ; y = cot x hàm số tuần hoàn có chu kỳ T = π Ví dụ Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hoàn y = f ( x ) = x + x3 ; y = g ( x) = 2x − ; y = h ( x) = x3 x2 − Giải ⎡x = + Xét f ( x ) = ⇔ x + x = ⇔ ⎢ ⎣ x = −2 Nếu hàm số y = f ( x) = x + x hàm số tuần hồn tồn số T > cho f ( + T ) = f ( ) = 0, suy T > nghiệm f ( x ), vô lý Vậy, hàm số f ( x ) hàm số tuần hoàn + Hàm số y = g ( x ) = x − hàm số tuần hoàn, lập luận giống hàm số f ( x ) x3 có tập xác định D = ¡ \ {−2; 2} Giả sử hàm số h( x) hàm số x2 − tuần hồn tồn số thực dương T cho với ∀x ∈ D ⇒ x ± T ∈ D Do D = ¡ \ {−2; 2} , + Hàm số y = h( x) = nên + T thuộc D suy = (2 + T ) − T ∈ D, vô lý Vậy hàm số h( x) khơng phải hàm số tuần hồn Chú ý Chúng ta có số dấu hiệu để nhận biết hàm số cho hàm số tuần hồn, chẳng hạn ta có hai dấu hiệu sau + Nếu hàm số có tập xác định dạng D = ¡ \ A, với A tập hợp hữu hạn hàm số khơng phải hàm số tuần hồn + Nếu phương trình f ( x ) = k có nghiệm, số nghiệm số hữu hạn, hàm số ⎡ − 21 ⎢cos t = b) cos t − cos t − = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢cos t = + 21 ⎢⎣ ⇔ cos t = − 21 − 21 ⇔ x = ± arccos + 5k π, k ∈ ¢ 4 Ví dụ Giải phương trình π⎞ ⎛ sin x + cos ⎜ x + ⎟ = (1) 4⎠ ⎝ Giải ⎡ π ⎞⎤ ⎛ + cos ⎜ x + ⎟ ⎥ ⎢ 2⎠ ⎛ − cos x ⎞ ⎝ ⎥ = (1) ⇔ ⎜ ⎟ +⎢ 2 ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⇔ (1 − cos x ) + (1 − sin x ) = 2 ⇔ sin x + cos x = π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ ⇔ x = kπ ∨ x = π + k π, k ∈ ¢ Ví dụ Giải phương trình cos3 x cos x + sin x sin x = Giải Vế trái (1) cos x + 3cos x − sin x + 3sin x cos x + sin x 4 = cos x − sin x ) + ( cos x cos x + sin x sin x ) ( 4 = cos x + cos x 4 = cos3 x − 3cos x ) + cos x = cos3 x ( 4 (1) ⇔ cos3 x = 2 π ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k π, k ∈ ¢ Ví dụ Giải phương trình 200 (1) cos3 x + cos x + sin x = (1) Giải (1) ⇔ cos3 x + cos x − sin x + sin x = ⇔ cos x ( cos x + 1) + sin x (1 − sin x ) = ⇔ (1 − sin x ) ⎡⎣(1 + sin x )( cos x + 1) + sin x ⎤⎦ = ⇔ (1 − sin x ) ⎡( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ = ⎣ ⎦ ⇔ (1 − sin x )( sin x + cos x )( sin x + cos x + ) = ⎡1 − sin x = ⇔⎢ ⎢⎣sin x + cos x = ⎡sin x = ⇔⎢ ⎣⎢tgx = −1 π ⎡ ⎢ x = + kπ ⇔⎢ ;k ∈¢ ⎢ π ⎢ x = − + kπ ⎣ Ví dụ Giải phương trình cos x − cos x + 2sin x = (1) Giải (1) ⇔ cos x − + 2sin x + 2sin x = ⇔ ( cos x − 1)( cos x + 1) + 2sin x (1 + sin x ) = ⇔ sin x ⎡⎣ (1 + sin x ) − ( cos x + 1) ⎤⎦ = ⇔ sin x ( 2sin x + sin x ) = ⇔ sin x ( 2sin x + 1) = ⇔ sin x = ⇔ x = k π; k ∈ ¢ Ví dụ 10 Giải phương trình 4cos x − 2cos x − cos x = (1) Giải 201 (1) ⇔ cos x − cos x − ( cos x + 1) = ⇔ cos x − cos x − cos 2 x = ⇔ cos x − cos x (1 + cos x ) = ⇔ cos x − cos x cos x = ⇔ cos x (1 − cos x cos x ) = ⇔ cos x ( − cos x − cos 3x ) = ⎡cos x = π ⎡ ⎢ x = + kπ ⎡cos x = ⎢ ;k ∈¢ ⇔ ⎢ ⎪⎧cos x = ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢⎨ ⎢cos x = ⎣ ⎢⎣ x = 2k π ⎢ ⎣ ⎪⎩cos 3x = cos x − 3cos x = Ví dụ 11 Giải phương trình cos x − cos x + ( 3sin x − 4sin x + 1) = (1) Giải Phương trình (1) tương đương với (1 + cos x ) + (1 − cos x ) + 4sin 3x + = ⇔ cos x + 2sin 3x + 4sin 3x + = ⇔ cos x + ( sin 3x + 1) = ⎧⎪cos x = ⇔⎨ ⎪⎩sin x = −1 ⎧⎪sin x = ±1 ⇔⎨ ⎪⎩3sin x − 4sin x = −1 ⇔ sin x = ⇔ x = π + 2k π; k ∈ ¢ 2 Dạng phân thức Chú ý Khi giải phương trình có chứa ẩn mẫu, ta phải đặt điều kiện cho mẫu khác khơng Ví dụ Giải phương trình 3cos x + 4sin x + = (1) 3cos x + 4sin x + Giải Đặt t = 3cos x + 4sin x ⇒ phương trình (1) trở thành t + Điều kiện: t + ≠ ⇔ t ≠ −1 202 = (2) t +1 (2) ⇔ t ( t + 1) + = ( t + 1) ⇔ t ( t − ) = ⇔ t = ∨ t = ( t ≠ −1) 3⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ t = 3cos x + 4sin x = ⎜ cos x + sin x ⎟ = 5cos ⎜ x − arccos ⎟ 5⎠ ⎝5 ⎠ ⎝ 3⎞ π ⎛ a ) t = ⇔ cos ⎜ x − arccos ⎟ = ⇔ x = arccos + + k π; k ∈ ¢ 5⎠ ⎝ 3⎞ ⎛ b) t = ⇔ cos ⎜ x − arccos ⎟ = ⇔ x = arccos + 2k π; k ∈ ¢ 5⎠ ⎝ Ví dụ Giải phương trình 1 (1) + = cos x sin x sin x Giải Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢ (*) (1) ⇔ 4sin x cos x + cos x = ⇔ 4sin x cos x + (1 − 2sin x ) = ⇔ 4sin x ( cos x − sin x ) = ⇔ sin x ( 2sin x + sin x − 1) = ⎡ ⎢sin x = ⎢ ⇔ ⎢sin x = −1 ⎢ ⎢ ⎢sin x = ⎣ So với điều kiện (*) ta chọn sin x = π ⎡ ⎢ x = + 2k π ⇔⎢ ;k ∈¢ ⎢ 5π + 2k π ⎢x = ⎣ Ví dụ Giải phương trình 6sin x − cos3 x = 5sin x cos x (1) cos x Giải Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π kπ + ,k ∈¢ 203 (1) ⇔ 6sin x − cos3 x = 5sin x cos x ⇔ 6sin x − cos3 x = 10sin x cos x (*) Vì cos x = khơng nghiệm nên chia hai vế phương trình (*) cho cos3 x ta nhận tan x (1 + tan x ) − = tan x ⇔ tan x − tan x − = ⇔ ( tan x − 1) ( tan x + tan x + 1) = ⎡⎛ ⎞ 1⎤ π ⇔ ( tan x − 1) ⎢⎜⎜ tan x + ⎟⎟ + ⎥ = ⇔ tan x = ⇔ x = + k π; k ∈ ¢ ⎠ 4⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦ So với điều kiện phương trình x = π + k π khơng thỏa Vậy, phương trình cho vơ nghiệm Dạng chứa tan x cot x Chú ý Đối với phương trình chứa tan x cot x, ta phải đặt điều kiện cho tan x cot x xác định Ví dụ Giải phương trình cot x − tan x = sin x + cos x (1) Giải Điều kiện: sin x ≠ ∧ cos x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢ (*) (1) ⇔ cos x − sin x = ( cos x + sin x ) cos x sin x ⇔ ( sin x + cos x )( sin x − cos x + sin x cos x ) = a ) sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − x=− π + k π; k ∈ ¢ π + k π, k ∈ ¢ thỏa điều kiện (*) b) sin x − cos x + sin x cos x = Đặt π 1− t2 t = sin x − cos x = sin( x − ) ∈ ⎡⎣ − 2; ⎤⎦ ⇒ = sin x cos x pt ⇔ t + 1− t2 π⎞ ⎛ = ⇔ t − 2t − = ⇔ t = sin ⎜ x − ⎟ = − 2 4⎠ ⎝ π ⎞ 1− ⎛ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ 204 ⎡ π 1− + k 2π ⎢ x = + arcsin ⎢ ⇔⎢ ;k ∈¢ 5π 1− ⎢ + k 2π ⎢⎣ x = − arcsin (Thỏa điều kiện (*)) Ví dụ Giải phương trình cot x + cot x + = sin x sin x sin x Giải Điều kiện: sin x.sin x.sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ kπ ,k ∈¢ ∧x≠ sin x + = ⇔ sin x sin x = −1, suy sin x sin x sin x sin x sin x ⎧ sin x = ⎪ ⇒ cos x = ⇒ sin x = (loại điều = sin x sin x = sin x sin x ≤ 1.1 = ⇒ ⎨ ⎪⎩ sin x = kiện) Vậy phương trình vơ nghiệm pt ⇔ = Ví dụ Giải phương trình tan x + 5cot 3x = tan x Giải Điều kiện: cos x ≠ ∧ cos x ≠ ∧ sin x ≠ ⇔ x ≠ pt ⇔ ( tan x + cot x ) = tan x − tan x ⇔ ⇔ 5cos 2 x = sin x sin x = π π kπ kπ + kπ ∧ x ≠ + ∧x≠ ,k ∈¢ 5cos x sin x = cos x sin 3x cos x cos x ( cos x − cos x ) ⇔ 12 cos 2 x − cos x − = 1 ⇔ cos x = ∨ cos x = − (thỏa mãn điều kiện) 1 ⎛ 1⎞ ⇔ x = ± arccos + k π ∨ x = ± arccos ⎜ − ⎟ + k π; k ∈ ¢ ⎝ 4⎠ Ví dụ Giải phương trình ( tan x − sin x ) + ( cot x − cos x ) + = Giải Điều kiện: sin x ≠ ∧ cos x ≠ ⇔ x ≠ kπ ,k ∈¢ 205 ⎛ sin x ⎞ ⎛ cos x ⎞ − sin x + 1⎟ + ⎜ − cos x + 1⎟ = pt ⇔ ⎜ ⎝ cos x ⎠ ⎝ sin x ⎠ ⇔0= ( sin x + cos x − sin x cos x ) + ( sin x + cos x − sin x cos x ) cos x sin x ⎞ ⎛ ⇔0=⎜ + ⎟ ( sin x + cos x − sin x cos x ) ⎝ cos x sin x ⎠ (a) 3 ⎛ 3⎞ + = ⇔ tan x = − ⇔ x = arctan ⎜ − ⎟ + k π; k ∈ ¢ Thỏa điều kiện cos x sin x ⎝ 2⎠ ( b ) sin x + cos x − sin x cos x = t −1 Đặt t = sin x + cos x ∈ ⎡⎣ − 2; ⎤⎦ ⇒ = sin x cos x π⎞ π ⎞ 1− ⎛ ⎛ pt ⇔ t − 2t − = ⇒ t = cos ⎜ x − ⎟ = − ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⇔ x = ± arccos 1− π + + k 2π, k ∈ ¢ Ví dụ Giải phương trình tan x = + cos x (1) − sin x ⎧⎪cos x ≠ π Giải Điều kiện: ⎨ ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ¢ (*) ⎪⎩sin x ≠ (1) ⇔ = + cos x ⎛ − cos x ⎞ (1 + cos x )( sin x + cos x ) ⎜1 − ⎟= − sin x ⎝ + sin x ⎠ cos x ⎡ x = π + 2k π ⎡cos x = −1 ⎡cos x = −1 ⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ;k ∈¢ π ⎢⎣ tan x = −1 ⎣⎢sin x + cos x = ⎢⎣ x = − + k π x = π + k 2π ∨ x = − π + k π, k ∈ ¢ thỏa điều kiện (*) nên nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phương trình tan x = Giải − cos3 x (1) − sin x − cos x (1 − cos x ) (1 + cos x + cos x ) (1) ⇔ = − sin x (1 − sin x ) (1 + sin x + sin x ) 206 ⇔ − cos x ⎛ + cos x + cos x + cos x ⎞ − ⎜ ⎟=0 − sin x ⎝ + sin x + sin x + sin x ⎠ ⇔ (1 − cos x )( cos x − sin x )( sin x + cos x + sin x cos x ) = ( a ) − cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = 2k π, k ∈ ¢ ( b ) cos x − sin x = ⇔ tan x = ⇔ x = ( c ) sin x + cos x + sin x cos x = π + k π, k ∈ ¢ π ⎡ t −1 ⎤ Đặt t = sin x + cos x = cos( x − ) ∈ ⎣ − 2; ⎦ ⇒ sin x cos x = Ta có phương trình theo ẩn t π⎞ −1 + π ⎛ + + 2k π k ∈¢ t + 2t − = ⇒ t = cos ⎜ x − ⎟ = −1 + ⇔ x = ± arccos 4⎠ ⎝ Một số phương trình giải phương pháp đặc biệt Ngồi phương pháp giải phương trình lượng giác nêu mục trên, cịn có số cách giải đặc biệt, sử dụng kết sau ⎧ A ≤ A1 ⎧A ≤ m ⎪⎪ A = m A = ⎪ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎧ A = A1 ⎪ ⇔⎨ · A2 + B = ⇔ ⎨ · ⎨B ≥ m ⇔ ⎨ · ⎨ B ≤ B1 ⎪⎩ B = ⎪⎩ B = m ⎪ ⎪ ⎪⎩ B = B1 ⎪⎩ A = B ⎪⎩ A + B = A1 + B1 Ví dụ Giải phương trình sin x + sin x = sin x sin x (1) Giải ⎛ ⎞ (1) ⇔ ⎜ sin x − sin x ⎟ + sin x(1 − sin x) = ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ ⇔ ⎜ sin x − sin x ⎟ + sin x = ⎝ ⎠ 16 ⎧⎛ ⎞ ⎧ sin x = (1 − cos x) ⎪⎜ sin x − sin x ⎟ = ⎪ ⎠ ⇔ ⎨⎝ ⇔⎨ ⎪ ⎪cos x = ∨ cos x = −1 ⎩ ⎩sin x = ⎡ ⎧⎪cos x = ⎡ ⎢⎨ ⎢x = kπ ⎢ ⎪⎩sin x = ⎢ ⎢ ⎢ π ⇔⎢ ⇔ ⎢ x = + k 2π ⎧cos x = −1 ⎢⎪ ⎢ ⎢⎨ ⎢ ⎢ ⎪sin x = ⎢ x = 5π + k 2π ⎣ ⎣⎢ ⎩ 207 Vậy, phương trình có nghiệm x = k π; x = π 5π + k 2π; x = + k 2π, k ∈ ¢ 6 Ví dụ Giải phương trình (cos x − cos x) = + sin 3x (1) Giải (1) ⇔ 4sin 3x sin x = + sin 3x (2) ⎧⎪4sin 3x sin x ≤ Do ⎨ ⎪⎩5 + sin x ≥ Nên ta có ⎧⎪sin x sin x = ⎧⎪sin x = −1 (2) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪⎩5 + sin x = ⎪⎩sin x = 3π ⎧ ⎧ ⎪x = ⎪3x = + k 2π ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ π ⎪ ⎪ = + lπ x ⎪⎩ ⎪⎩ x = ⇔x= π k 2π + π + lπ π + m2π, m ∈ ¢ Vậy, nghiệm phương trình cho x = π + m 2π, m ∈ ¢ Ví dụ Giải phương trình sin x − sin x − sin x = 2 (1) Giải Ta có vế trái phương trình (1) sin x − 2sin x − sin 3x = −2 cos x sin x − 2sin x ≤ ( −2 cos x ) + ( −2sin x ) 2 sin x + 12 = 4(sin x + 1) ≤ 2 ⎧sin x = ⎧cos x = ⎪ ⎪ Vậy, (1) ⇔ ⎨ cos x sin x ⇔ ⎨1 − 2sin x 2sin x cos x (*) = = ⎪ ⎪ 1 ⎩ sin x ⎩ sin x Hệ (*) vơ nghiệm Vậy, phương trình (1) vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sin x + cos3 x = − sin x (1) 3 2 Giải Ta có vế trái (1): sin x + cos3 x ≤ sin x + cos x ≤ sin x + cos x ≤ 208 Vế phải (1): − sin x ≥ ⎧cos3 x = cos x ⎪ π ⎪ Vậy, (1) ⇔ ⎨sin x = sin x ⇔ sin x = ⇔ x = + k 2π ⎪ ⎪⎩sin x = Vậy, nghiệm phương trình cho x = π + k 2π, k ∈ ¢ Một số phương trình chứa tham số Ví dụ Cho phương trình sin x + cos6 x = m sin x (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Ta có sin x + cos x = m sin x ⇔ − 3sin x cos x = m sin x ⇔ 1− sin x = m sin x (*) Do sin x = khơng thỏa phương trình nên − sin x Đặt t = sin x , < t ≤ Ta xét hàm số sin x 3 y = f (t ) = − t , f ′(t ) = − − < t t (*) ⇔ m = 1 lim+ f (t ) = +∞; f (1) = Suy miền giá trị hàm số f (t ) T f = [ ; +∞) t →0 4 Vậy, giá trị cần tìm m để phương trình (1) có nghiệm m ≥ Ví dụ Cho phương trình + tan x + m(tan x + cot x) − = (1) sin x Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Ta có (1) ⇔ 3(1 + cot x) + tan x + m(tan x + cot x) − = ⇔ 3(tan x + cot x)2 + m(tan x + cot x) − = Đặt t = tan x + cot x, t ≥ 2, ta có phương trình 3t + mt − = ⇔ mt = − 3t 209 ⇔m= − 3t = f (t ), f ′(t ) = − − < t t Suy hàm số f (t ) nghịch biến, mà lim f (t ) = m∞, f (−2) = 4, f (2) = −4 t →±∞ Do miền giá trị hàm số f (t ) T f = ( −∞; −4] ∪ [4; +∞ ) Vậy, giá trị cần tìm m để phương trình (1) có nghiệm m ≤ −4 ∨ m ≥ Ví dụ Cho phương trình sin 2( x − π) − sin(3 x − π) = m sin x (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x ≠ k π, k ∈ ¢ Giải Ta có (1) ⇔ sin x + sin x = m sin x ⇔ 2sin x cos x + 3sin x − 4sin x = m sin x ⇔ sin x(2 cos x + − 4sin x) = m sin x ⇔ sin x(4 cos x + cos x − 1) = m sin x ⇔ cos x + cos x − = m, ( x ≠ k π) (*) Đặt t = cos x, x ≠ k π nên t ∈ ( −1;1) (*) trở thành 4t + 2t − = m Yêu cầu toán thỏa m thuộc miền giá trị hàm số f (t ) = 4t + 2t − 1, t ∈ (−1;1) 1 Ta có f ′(t ) = 8t + = ⇔ t = − ∈ (−1;1) f (− ) = − , f (−1) = 1, f (1) = 4 Miền giá trị hàm số f (t ) khoảng ( −1;1) T f = [− ;5) Vậy, giá trị cần tìm m − ≤ m < Ví dụ Cho phương trình sin 3x + (m − 3) sin 3x + m − = (1) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm thuộc đoạn [ 2π 4π ; ] 3 Giải Đặt t = sin 3x, t ≤ Khi phương trình (1) trở thành t + (m − 3)t + m − = π k 2π ⎡ ⎡ t = −1 ⎡sin x = −1 ⎢x = − + , k ∈ ¢ ⇔⎢ ⇒⎢ ⇔⎢ ⎢⎣t = − m ⎢⎣sin x = − m 2 ⎢ ⎣sin x = − m (2) Ta nhận thấy họ nghiệm x = − 210 π k 2π π 2π 4π , có giá trị x = + ∈ [ ; ] 6 3 Vậy, để phương trình (1) có bốn nghiệm thuộc đoạn [ (2) có ba nghiệm khác Ta có x ∈ [ 7π 2π 4π thuộc đoạn [ ; ] 3 2π π ; ], điều kiện phương trình 3 ⎡ m = −2 2π 4π ; ] ⇔ x ∈ [2π; 4π], điều kiện sin 3x = ⇔ − m = ⇔ ⎢ 3 ⎢⎣ m = 2π 4π ∨ x = π∨ x = 3 Khi ta ba nghiệm x = Vậy, với m = ∨ m = −2 phương trình (1) có bốn nghiệm thuộc đoạn [ 2π 4π ; ] 3 BÀI TẬP CHƯƠNG VI Bài Giải phương trình 1) sin x – cos x = 2; 2) cos x + 2cos2 x = 1; 3) cos4 x + 2cos2 x = 0; P P 4) cos x + 4cos x = 3sin2 x; P P 5) cos x – sin x + 3sin2 x – = 0; 6) 2sin2 x − 3 (sin x + cos x ) + 3 = 0; 7) sin2 x + π sin( x – ) = 1; 8) sin2 x + 2sin x coss x – 2cos2 x = P P P 9) cos x + sin x = P ; cos2x ; − sin x 10) sin3 x – cos3 x = + sin x cos x P P P P Bài Giải phương trình 1) 2cos2 x – = sin3 x ; P 2) P + tan x = (sin x + cos x )2; − tan x 3) + tan2 x = P P − sin x ; cos 2 x 4) tan3 x – tan x = sin2 x ; 5) (sin x – sin2 x )(sin x + sin2 x ) = sin23 x ; P P 6) sin x + sin3 x + 4cos3 x = 0; P 7) sin2 x = + P cos x + cos2 x ; 211 8) 2cos6 x + sin4 x + cos2 x = 0; P P P P 9) cos x cos x − cos x + sin x − = Bài Giải phương trình 1) sin x + cot x = 2; 2) sin2 x + cos2 x + tan x = 2; 3) cos x − 4) (1 − tan x ) 1+ tan x + = 0; tan x − + cot x = 0, (0 < x < π); tan x + 1 π 3π ); − 3cot( − x) = 3, (π < x < cos x 2 5) tan x − + ; 6) cos3 x sin x – sin3 x cos x = P P P P 7) sin23 x – cos24 x = sin25 x – cos26 x ; P P P P P P P P 8) cos3 x – 4cos2 x + 3cos x – = 0, x ∈ [0,14]; x π 9) sin4 x + sin4( + ) + cos4 x = sin22 x ; P P P P 10) cos x − 8cos x + = P P P P cos x Bài Giải phương trình cos x + sin x ⎞ ⎛ 1) ⎜ sin x + ⎟ = cos x + 3, x ∈ (0; 2π); + 2sin x ⎠ ⎝ π 2) sin x.cos x = tan x.sin( x + ) − cos x.sin x ; 3) cot x − = cos x + sin x − sin x ; + tan x 4) sin x sin x + sin x sin x = cos x ; 5) cos x sin x + cos x = cos x(sin x + cos x) − ; 6) cos x + sin x − cos 3x = ; 7) cos x − cos 2 x = + cos x ; π 8) 2sin ( x − ) = 2sin x − tan x ; 9) cos 3x + 2cos x = − 2sin x sin x ; 10) (2 sin x − 1)(2 cos x + sin x ) = sin x − cos x 212 Bài Giải phương trình 1) tan x + = 2) (2 − sin 2 x) sin 3x ; cos x sin x + cos x 1 = cot x − ; 5sin x 8sin x 3) + sin x + cos x + sin x + cos x = ; π π 4) −2 cos x sin x + cos( x − ) sin(3 x − ) − = ; 4 x 5) cot x + sin x(1 + tan x tan ) = ; 6) 2(cos6 x + sin x) − sin x cos x =0; − 2sin x 7) cos 3x + cos x − cos x − = ; 8) 13 − 18 tan x = tan x − 3; 9) sin x(1 + cot x ) + cos3 x(1 + tan x ) = sin x ; (2 − 3) cos x − 2sin ( x − 10) 4sin x − 13π ) = −1; 11) cos x − sin x = cos x + sin x ; 12) cos13 x + sin14 x = Bài Tìm m để phương trình cho sau có nghiệm 1) tan x + cot x + m(tan x + cot x) + 2m = 0; 2) m(sin x + cos x ) + sin x + m − = 0; 3) 4(cos x − sin x ) + sin x = m 213 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Hùng Thắng 1998 Phương trình, bất phương trình hệ phương trình Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông 2008 Đại số 10 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng 2008 Đại số Giải tích 11 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng) 2008 Giải tích 12 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Hoàng Kỳ 1999 Đại số sơ cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Hoàng Kỳ 2007 Giáo trình số tốn vơ tỉ Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Thái Hòe 2001 Dùng ẩn phụ để giải toán Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu 2001 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Đức Chính 1999 Bất đẳng thức Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Đức Chính – Nguyễn Dương Thụy – Tạ Mân – Đào Tam – Lê Thống Nhất 1996 Các giảng luyện thi mơn Tốn – Tập Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Huy Khải 2001 Phương pháp đồ thị để biện luận hệ phương trình chứa tham số Hà Nội: NXB Giáo dục Trần Phương 1995 Phương pháp giải đề thi tuyển sinh mơn Tốn Hà Nội: NXB Giáo dục Đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng toàn quốc từ năm 2002 – 2003 đến 2007 – 2008 Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Hà Nội: NXB Giáo dục М.И.Сканави, Б.А.Кордемский,…1978 СБОРНИК КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих во втузы Москва “высшая школа” Ю.В.Нестеренко, С.Н.Олехник, М.К.Потапов.1986 ЗАДАЧИ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ Москва “Наука” V.A.Kretsmar.1978 Bài tập Đại số sơ cấp – Tập Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy Thuận, dịch Hà Nội: NXB Giáo dục V.A.Kretsmar.1978 Bài tập Đại số sơ cấp – Tập Vũ Dương Thụy – Nguyễn Duy Thuận, dịch Hà Nội: NXB Giáo dục 214 ... BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU CHƯƠNG I HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa hàm số Đồ thị hàm số Hàm số đơn điệu Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn Hàm số hợp... hàm số sơ cấp Ta gọi hàm số sau hàm số sơ cấp 8.1 Hàm hằng: y = a, a ∈ ¡ Hàm y = a có tập xác định D = ¡ , tập giá trị Ty = {a} 8.2 Hàm số lũy thừa: y = f ( x) = x α , α ∈ ¡ Tập xác định hàm số. .. hàm số y = f ( x ) lại hàm số ngược hàm số y = f −1 ( x ) Vì ta nói hai hàm số y = f ( x ) y = f −1 ( x ) hai hàm số ngược 7.3 Điều kiện đủ để hàm số có hàm số ngược 7.3.1 Định lý Mọi hàm số