Đại số đại cương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG Tác giả biên soạn: ThS HOÀNG HUY SƠN AN GIANG, THÁNG NĂM 2011 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG BAN GIÁM HIỆU LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ TÁC GIẢ BIÊN SOẠN ThS Hoàng Huy Sơn Năm 2011 LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Đại số đại cƣơng” đƣợc viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Toán Khoa Sƣ phạm trƣờng Đại học An Giang Nội dung tài liệu đƣợc trình bày chƣơng Chƣơng I trình bày kiến thức sở nửa nhóm nhóm Để giảm bớt khó khăn cho sinh viên họ đƣợc làm quen với cấu trúc đại số trừu tƣợng, cố gắng đƣa vào nhiều ví dụ cần thiết tính ứng dụng khái niệm nhóm giúp ngƣời học hiểu sâu vấn đề lý thuyết Hầu hết ví dụ đƣợc trình bày cách chi tiết xem nhƣ trình bày mẫu để sinh viên làm quen với cách trình bày giải mơn học Chƣơng II trình bày vấn đề vành, trƣờng Một số kết đƣợc trình bày mức độ tổng quát với dụng ý yêu cầu ngƣời học phải biết cách vận dụng kiến thức có chƣơng I Chƣơng III chƣơng IV nói lớp vành có vai trị quan trọng đại số vành đa thức lớp vành có tính nhân tử hóa thuật tốn Ơclit vành vành Ơclit Chƣơng V giới thiệu ứng dụng lý thuyết vành vào đa thức trƣờng số Để tài liệu có số trang vừa phải, chúng tơi khơng trình bày lại kiến thức đại số nhƣ tập hợp, ánh xạ, quan hệ hai ngơi kết liên quan đến tính chất số học tập số nguyên, vấn đề sinh viên đƣợc học học phần trƣớc Tài liệu có phần tập cho theo tiết Hệ thống tập tƣơng đối phong phú từ dễ đến khó Việc giải tập cần thiết để ngƣời học có sở kiểm tra mức độ nắm bắt vấn đề hiểu sâu lý thuyết Tài liệu đƣợc hình thành dựa sở chúng tơi có đƣợc từ thực tế giảng dạy nhiều năm cho sinh viên ngành Toán Khoa Sƣ phạm trƣờng Đại học An Giang Khi viết tài liệu chúng tơi có tham khảo số tài liệu tên tác giả Hoàng Xuân Sính; Nguyễn Tiến Quang; Mỵ Vinh Quang số tác giả khác đƣợc liệt kê trang cuối tài liệu Nhân dịp tỏ lịng biết ơn tác giả nói Chúng tơi hy vọng tài liệu giúp ích cho sinh viên họ học nghiên cứu Đại số Chắc chắn tài liệu cịn có nhiều thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc nhiều góp ý bạn đồng nghiệp sinh viên tài liệu đƣợc hoàn chỉnh An Giang, tháng 05 năm 2011 Tác giả MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG I NỬA NHĨM VÀ NHĨM §1 NỬA NHĨM Phép tốn hai ngơi Nửa nhóm BÀI TẬP §2 NHĨM Nhóm Nhóm Nhóm xyclic, cấp phần tử Nhóm chuẩn tắc Nhóm thƣơng Đồng cấu nhóm BÀI TẬP CHƢƠNG II VÀNH VÀ TRƢỜNG §1 VÀNH VÀ MIỀN NGUYÊN Vành Miền nguyên Vành Iđêan Vành thƣơng Đồng cấu vành Đặc số vành BÀI TẬP §2 TRƢỜNG Trƣờng Trƣờng Trƣờng thƣơng miền nguyên Iđêan nguyên tố iđêan tối đại BÀI TẬP CHƢƠNG III VÀNH ĐA THỨC §1 VÀNH ĐA THỨC MỘT ẨN Vành đa thức ẩn Bậc đa thức Phép chia với dƣ Nghiệm đa thức Phần tử đại số, phần tử siêu việt Cơng thức Viet BÀI TẬP §2 VÀNH ĐA THỨC NHIỀU ẨN Vành đa thức nhiều ẩn Bậc Trang 4 10 11 11 17 21 25 29 31 39 47 47 47 52 53 54 58 60 64 65 70 70 71 73 75 78 81 81 81 83 84 87 90 91 92 95 95 96 Đa thức đối xứng Ứng dụng đa thức đối xứng BÀI TẬP CHƢƠNG IV VÀNH CHÍNH VÀ VÀNH ƠCLIT §1 VÀNH CHÍNH Tính chất số học vành Vành BÀI TẬP §2 VÀNH ƠCLIT BÀI TẬP CHƢƠNG V ĐA THỨC TRÊN CÁC TRƢỜNG SỐ §1 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ THỰC VÀ PHỨC Trƣờng số phức Đa thức với hệ số thực Phƣơng trình bậc bậc BÀI TẬP §2 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ Nghiệm hữu tỉ Đa thức bất khả quy trƣờng số hữu tỉ BÀI TẬP 100 108 110 112 112 112 115 122 124 133 135 135 135 138 139 148 150 150 155 161 TÀI LIỆU THAM KHẢO 162 CHƢƠNG I NỬA NHÓM VÀ NHÓM §1 NỬA NHĨM Phép tốn hai ngơi Định nghĩa Một phép tốn hai ngơi tập hợp X ánh xạ T : X X X (x ,y ) T (x ,y ) Nhƣ vậy, phép toán hai quy tắc cho tƣơng ứng cặp phần tử x ,y X với phần tử T (x ,y ) X Phần tử T (x ,y ) đƣợc gọi hợp thành x y phép toán T Thay cho cách viết T (x ,y ) ta viết xT y , ký hiệu T ta cịn dùng kí hiệu khác nhƣ +, ·, , x y đọc x cộng y kết gọi tổng x y x y đƣợc đọc x nhân y kết gọi tích x y Đối với tích x y , ngƣời ta thƣờng quy ƣớc viết gọn lại xy Nếu tập hợp X đƣợc trang bị phép tốn hai ngơi ta gọi X nhóm Ví dụ a) Phép cộng phép nhân thông thƣờng số phép tốn hai ngơi tập hợp , , , , Phép trừ phép tốn hai ngơi tập , , , , nhƣng phép trừ khơng phải phép tốn hai ngơi tập , chẳng hạn khơng thuộc Phép chia khơng phải phép tốn hai ngơi tập , , , phép chia cho không xác định Tuy nhiên, phép chia phép tốn hai ngơi tập * \ , * \ , * \ b) Phép mũ hóa tập hợp số tự nhiên khác T : * a ,b * * aT b a b phép tốn hai ngơi c) Phép lấy ƣớc chung lớn phép toán hai tập hợp chung nhỏ phép tốn hai ngơi tập hợp * * Phép lấy bội d) Kí hiệu Hom (X , X ) tập hợp ánh xạ từ tập hợp X khác rỗng đến Khi tích ánh xạ phép tốn hai ngơi Hom (X , X ) e) Tích có hƣớng hai véc tơ Hình học giải tích phép tốn hai ngơi tập hợp véc tơ có gốc O khơng gian ba chiều f) Kí hiệu M n ( ) tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử số thực Khi tích ma trận phép tốn hai ngơi M n ( ) g) Phép giao hợp tập hợp phép tốn hai ngơi tập hợp p(X ) phận tập hợp X Định nghĩa Một tập A X đƣợc gọi ổn định phép tốn hai ngơi T X với x ,y A xT y A Nếu phép tốn T ổn định A T :A A A x ,y xT y ánh xạ, phép tốn A Phép toán tập A đƣợc gọi phép toán cảm sinh phép tốn T X Ví dụ a) Phép cộng phép cộng , phép cộng cảm sinh b) Phép trừ sinh phép toán c) Trên ổn định tập không ổn định tập , phép trừ khơng cảm xét phép toán a b a b ab Phép toán ổn định tập S 0;1 Thật vậy, a b ab a (1 b) b Ta có, với a ,b S , a (1 b) b b b Vậy, a b a b ab S với a ,b S Định nghĩa Phép tốn hai ngơi T tập hợp X đƣợc gọi có tính chất kết hợp với x ,y , z X xT y T z xT yT z đƣợc gọi có tính chất giao hoán với x ,y xT y X yT x Ví dụ a) Phép cộng phép nhân số tập hợp , , , , có tính chất kết hợp giao hoán Phép trừ tập hợp , , , phép chia tập * , * , * khơng có tính chất kết hợp khơng có tính chất giao hốn b) Phép mũ hóa tập hợp * khơng có tính chất kết hợp giao hoán c) Phép lấy ƣớc chung lớn nhất, phép lấy bội chung nhỏ tập hợp chất kết hợp giao hốn * có tính d) Phép nhân ánh xạ tập hợp Hom (X , X ) có tính chất kết hợp nhƣng khơng có tính chất giao hốn (nếu tập X có nhiều phần tử) e) Phép nhân ma trận tập hợp M n ( ) có tính chất kết hợp nhƣng khơng có tính chất giao hốn f) Tích có hƣớng véc tơ Hình học giải tích khơng có tính chất kết hợp khơng có tính chất giao hốn Sau ta đƣa khái niệm phần tử đặc biệt phép toán Định nghĩa Một phần tử e X đƣợc gọi đơn vị trái (đơn vị phải) phép tốn hai ngơi T X với x X eT x x xT e x Nếu e vừa đơn vị phải vừa đơn vị trái e gọi đơn vị phần tử trung hịa phép tốn hai ngơi Ví dụ a) Số phần tử đơn vị phép cộng, số phần tử đơn vị phép nhân tập hợp số Số đơn vị mà đơn vị phải phép mũ hóa * b) Số đơn vị phép lấy bội chung nhỏ tập hợp * c) Phép nhân ánh xạ tập Hom (X , X ) có đơn vị ánh xạ đồng id X d) Phép nhân ma trận tập M n ( ) có đơn vị ma trận đơn vị I n e) Tích có hƣớng hai véc tơ khơng có đơn vị trái khơng có đơn vị phải Định lí Nếu e đơn vị trái e đơn vị phải phép tốn hai ngơi T X e1 e Chứng minh Do e đơn vị trái nên e1T x x với x với x X Vậy, ta có e e1T e e1 X Do e đơn vị phải nên xT e Hệ Một phép toán hai ngơi tập hợp có nhiều phần tử trung hòa Định nghĩa Cho T phép tốn hai ngơi X có phần tử trung hòa e Phần tử x X (x X ) gọi phần tử đối xứng trái (đối xứng phải) x x T x e (xT x e ) x Phần tử x gọi phần tử đối xứng x x vừa phần tử đối xứng trái vừa phần tử đối xứng phải x , tức là: x T x xT x e Nếu x có phần tử đối xứng x gọi phần tử khả đối xứng Định lý Nếu phép toán T X kết hợp, x phần tử đối xứng trái x , x phần tử đối xứng phải x x x Chứng minh Theo giả thiết ta có x Vậy, x x T e x T (xT x ) (x T x )T x eT x x x Hệ Nếu phép tốn T X kết hợp phần tử đối xứng phần tử (nếu có) Ví dụ a) Trên , , , b) Trên * , * , với phép cộng, phần tử x có phần tử đối xứng x * với phép nhân, phần tử x có phần tử đối xứng x c) Trên tập hợp Hom (X , X ) với phép toán nhân ánh xạ, phần tử f khả đối xứng f song ánh Phần tử đối xứng f ánh xạ ngƣợc f f d) Nếu e phần tử trung hịa phép tốn T X e khả đối xứng phần tử đối xứng e Từ sau, lý luận tổng quát ta kí hiệu hợp thành x y xy , trừ số trƣờng hợp mà bắt buộc ta phải dùng kí hiệu khác Nửa nhóm Định nghĩa Cho tập hợp X với phép tốn hai ngơi đƣợc xác định X đƣợc gọi nửa nhóm phép tốn có tính chất kết hợp Nếu phép tốn X có phần tử trung hịa X đƣợc gọi vị nhóm Nếu phép tốn có tính chất giao hốn X đƣợc gọi nửa nhóm giao hốn hay nửa nhóm abel Thuật ngữ abel đƣợc đặt theo tên nhà Toán học lỗi lạc ngƣời Na uy, Niels Abel (1802 1829) Ví dụ a) Các tập hợp , , , , với phép toán cộng phép nhân thơng thƣờng vị nhóm abel Các tập hợp * , * , * khơng lập thành nửa nhóm với phép chia phép chia khơng có tính chất kết hợp b) Tập hợp M n ( ) với phép nhân ma trận vị nhóm khơng giao hoán Cũng nhƣ vậy, tập hợp Hom (X , X ) với phép nhân ánh xạ vị nhóm khơng giao hốn X có nhiều phần tử c) Cho tập hợp X Trên X xét phép toán T xác định nhƣ sau: Với x ,y xT y x Khi X với phép tốn T nửa nhóm Thật vậy, x ,y , z X ta có (xT y )T z xT z x ;xT (yT z ) xT y X x xT (yT z ) Vậy, phép tốn T X có tính chất kết hợp Suy (xT y )T z Nếu X có nhiều phần tử nửa nhóm X khơng giao hoán Thật vậy, giả sử x ,y X , x y , ta có: xT y x ;yT x y , tức xT y yT x Dễ thấy y X phần tử trung hòa bên phải Thật vậy, x X ta có xT y x nên y phần tử trung hòa bên phải Nếu X có nhiều phần tử X khơng có phần tử trung hịa bên trái Thật vậy, y X chọn x X , x y Khi đó, yT x x nên y khơng phải phần tử trung hòa bên trái y d) Trên tập * số phức khác không ta xét phép toán a b a b với a ,b Khi * với phép tốn Thật vậy, với a ,b,c * nhƣ sau: nửa nhóm * , ta có (a b) c (a b ) c (a b ) c a (b c ) a (b c ) a b c Suy (a b) c a (b c ) Vậy phép toán * a bc a bc có tính chất kết hợp Ta xét xem phép tốn có phần tử đơn vị không Giả sử e phần tử * , e đơn vị phải * với a ta có a e a e a Nhƣ vậy, đơn vị phải phép tốn tất số phức có mơ đun Bây e đơn vị trái e a * a Điều khơng thể xảy Vậy, phép tốn dễ thấy phép tốn khơng có tính chất giao hốn ea a với khơng có đơn vị Chúng ta Định nghĩa Cho X nửa nhóm, x , x , , x n phần tử X Ta gọi tích ba phần tử x , x , x kí hiệu x 1x 2x xác định nhƣ sau: x 1x 2x (x 1x )x x (x 2x ) Một cách tổng quát tích n phần tử x , x , , x n x 1x x n (x 1x x n )x n , với n ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG BAN GIÁM HIỆU LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ TÁC GIẢ BIÊN SOẠN ThS Hoàng Huy Sơn Năm 2011 LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu ? ?Đại số đại cƣơng”... đa thức trƣờng số Để tài liệu có số trang vừa phải, chúng tơi khơng trình bày lại kiến thức đại số nhƣ tập hợp, ánh xạ, quan hệ hai ngơi kết liên quan đến tính chất số học tập số nguyên, vấn... Hãy tìm nhóm thƣơng của: a) Nhóm cộng số nguyên bội nhóm số nguyên bội 15 b) Nhóm cộng số nguyên bội nhóm số nguyên bội 24 c) Nhóm nhân số thực khác nhóm số thực dƣơng 2.32 Cho G nhóm hữu hạn