(Sáng kiến kinh nghiệm) một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 6 khai thác các ứng dụng từ một bài toán

A.MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Trong dạy học mơn tốn, giải tốn u cầu mà học sinh giáo viên thường xuyên phải thực Qua giải toán, kiến thức toán học giáo viên củng cố, mở rộng cho học sinh, …, từ có sức hấp dẫn, đồng thời rèn luyện tư logic, sáng tạo; rèn luyện kỹ giải toán cho em Với học sinh lớp 6, từ môi trường tiểu học lên cấp THCS việc tiếp cận với cách học, phương pháp học mơn có mơn tốn gặp khơng khó khăn Qua giảng dạy, tìm hiểu, quan sát mơn số học lớp có dạng tốn tính tổng dãy phân số có quy luật gây nhiều khó khăn cả, phần lớn em chưa biết cách tìm lời giải, chưa có kĩ phát vấn đề, tìm đường lối giải vấn đề, số em giải khả khái quát đặc điểm toán để từ giải tốn tương tự chưa có, điều ảnh hưởng lớn đến chất lượng học toán học sinh Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thấy: Khi cho toán, đa số em xem toán thuộc dạng tìm phương pháp giải dạng tốn đó, gặp tốn không vận dụng phương pháp “truyền thống” học số em lúng túng, chưa có nhiều khả tư sáng tạo, chưa khéo léo vận dụng toán biết vào giải tốn làm Đặc biệt, đa số em chưa biết tự khai thác phát triển toán theo hướng khác nhau, gặp dạng tốn quen thuộc nhiều em khơng giải em cịn máy móc, chưa linh hoạt Từ lý trên, nghiên cứu hướng dẫn học sinh lớp biết giải khai thác toán, kết thu khả quan: Chất lượng học tập môn tốt; tinh thần học tập, hứng thú say mê học tập học sinh nâng lên, …, động lực giúp tơi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp khai thác ứng dụng từ toán” để chia sẻ đồng nghiệp II Mục đích nghiên cứu: Từ tốn chương trình tốn 6, tơi giúp học sinh biết giải, nắm vững cách giải từ hướng dẫn học sinh biết tổng qt hóa tốn, khai thác vận dụng toán vào giải tập khác có liên quan III Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn tính tổng dãy phân số có quy luật khai thác ứng dụng dạng toán từ tập 87 trang 26 (sách tập toán 6, tập hai) IV Phương Pháp nghiên cứu: - Điều tra, khảo sát thực tế việc học học sinh dạng tốn tính tổng dãy phân số có quy luật - Thu thập thông tin, thống kê, sử lý số liệu - Áp dụng giảng dạy lớp tiết dạy buổi hai Các phương pháp giảng dạy áp dụng là: + Phương Pháp vấn đáp gợi mở +Phương pháp lập luận suy diễn logic + Phương pháp phân tích tổng hợp + Phương pháp cụ thể hóa, khái quát hóa B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Trên sở lý luận: kiến thức – phương pháp – thực hành – thai thác mở rộng kết quả, thứ nhất: cung cấp kiến thức cho Học sinh, yêu cầu học sinh nắm vững quy tắc phép tính phân số ( SGK tốn tập hai) đồng thời giải tốt tập sách giáo khoa toán 6, sách tập toán Tiếp theo, sau nghiên cứu tài liệu chọn tập 87 sách tập toán - tập2 để giải vấn đề tạo tình học tập cho học sinh Mục đích dạy học sinh biết cách giải đồng thời biết chọn xếp tập dạng theo thứ tự từ dễ đến khó Khi học sinh nắm cách giải, biết trình bày lời giải, tơi tập trung hướng dẫn cách khai thác tốn để học sinh hiểu sâu toán, từ giúp học sinh biết mở rộng tốn thành tốn có tập tự luyện để học sinh rèn luyện kỹ giải dạng toán học II.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua tiết dạy lớp , dạy buổi hai buổi dạy bồi dưỡng cho học sinh lớp 6B trường THCS Phú Nhuận tập dạng tính tổng dãy phân số có quy luật, em nắm vững kiến thức nhiều em gặp khó khăn Cụ thể: Trước triển khai đề tài yêu cầu học sinh làm kiểm tra khảo sát sau ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT (Thời gian: 45 Phút) Bài (3 điểm): Tính tổng a, 1 1     3 4 15.16 b, 1 1     1.3 3.5 5.7 2009.2011 Bài (3 điểm): Tìm số tự nhiên n, biết: 1 1 101      40 88 154 n( n  3) 1540 Bài ( điểm): Chứng minh rằng: 1 1 1       6 100 Kết kiểm tra : Sĩ số 44 Giỏi SL Khá % SL TB % SL 13 % 29,5 Yếu, Kém SL % 31 70,5 Kết cho thấy: Khơng có đạt khá, giỏi; số yếu, chiếm tỉ lệ cao Từ thực trạng trên, xét thấy cần thiết phải dạy cho học sinh biết giải dạng tốn tính tổng dãy phân số có quy luật tốn liên quan ngồi u cầu chương trình dạng tốn cịn có đề thi khảo sát, thi học sinh giỏi,v.v…, khơng dừng lại chương trình tốn lớp mà cịn xuất mơn tốn lớp 7,8,9 cấp THCS cấp cao III Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Để học sinh dễ tiếp cận lĩnh hội kiến thức tốn học, người giáo viên cần có đổi phương pháp dạy học Vì vậy, để học sinh giải số dạng tốn cách dễ dàng, tơi nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu, thu thập thơng tin dạng tốn quan tâm để đưa cách “khai thác ứng dụng từ tốn tính tổng dãy phân số có quy luật” Trước đưa dạng toán vận dụng, yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức có liên quan, sau dạng vận dụng phải có ví dụ cụ thể tốn tương tự để luyện tập cho học sinh tinh thần nhắc nhở học sinh phải ý luyện giải để “tái hiện” kiến thức hiểu biết giải Sau giải pháp thân áp dụng Chọn tốn chương trình tốn 6: * Xét thấy học sinh gặp khó khăn giải tốn liên quan đến tính tổng dãy phân số có quy luật, tơi nghiên cứu chương trình tốn chọn tập 87 (sách tập toán 6, tập 2) để phân tích, hướng dẫn học sinh giải đồng thời giúp em nắm vững cách giải tập Cụ thể thực hiện: - Nêu tập: Bài 87 (sbt toán 6-tâp 2) a) Cho hai phân số n n 1 ( n  Z, n  ) Chứng tỏ tích hai phân số hiệu chúng b) Áp dụng kết để tính giá trị biểu thức A= B= 1 1 1 1 1 1 1       3 4 5 6 7 8 1 1 1       30 42 56 72 90 110 132 Hướng dẫn: - Tôi yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài, phân tích định hướng giải cho em Câu a: Tìm tích hai phân số; tìm hiệu hai phân số ; so sánh tích hiệu tìm được, từ rút kết luận Câu b: A: Áp dụng trực tiếp kết luận câu a B: Phân tích mẫu số thành tích hai thừa số đơn vị em áp dụng công thức câu a Lời giải: 1  n n  n(n  1) 1 n 1  n    n n  n( n  1) n( n  1) 1 1 Vậy: n n   n  n  (n  a) Ta có: Z, n  ) b) Áp dụng: 1 1 1 1 1 1 1 A       3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )    3 4 5 6 7 8 9 18 1 1 1 B       30 42 56 72 90 110 132 1 1 1        5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11 12 1 1 1 1 1 1 1 (  )  (  )  (  )  (  )  (  )(  )(  ) 6 7 8 9 10 10 11 11 12 1    12 60 - Sau học sinh giải xong câu a, yêu cầu học sinh rút cơng thức tổng qt: Ví dụ : 1   n(n  1) n n  1 1 = 5 6; 5.6 6.7 Với n  Z, n = 1   (1) ; v.v…, công thức áp dụng cho câu b tốn Vậy: Phân số n( n  1) có mẫu tích thừa số có giá trị đơn vị; tử số Phân số có đặc điểm ln viết dạng hiệu hai phân số có tử công thức (1) Khai thác, mở rộng toán 87 sách tập toán tập 2: - Tình 1: Tơi u cầu học sinh suy nghĩ cho biết: Phân số n( n  1) công thức (1) tử số khác số 1, mẫu giữ nguyên hai thừa số đơn vị phân số 2.3 sao? Học sinh suy nghĩ, tìm kết : 1 5 5(  ) 3 Vậy: Phân số có mẫu tích thừa số có giá trị đơn vị, tử số khác biến đổi đề xuất phân số n( n  1) áp dụng công thức (1) ( Kết câu a 87 SBT toán tập giải trên) - Tình 2: Ở công thức (1) , tử số khác số 1, hai thừa số mẫu 2.5 tử số Ví dụ sao? Học sinh tiếp tục suy nghĩ, trả lời, em lúng túng, tơi gợi ý biến đổi để có: Vậy: 1   2.5 n Phân số a (a  n) có tử số n  N*, mẫu hai thừa số khác khơng có giá trị n đơn vị tử số ta viết phân thức n a ( a  n) thành hiệu hai phân thức nào? n 1   a ( a  n) a a  n Học sinh chứng minh được: (2) với a, n  N* Ví dụ áp dụng công thức (2) 1 1     ;… ; b, 5.8 2.9 1 1 1 1 c, 5.7  7.10  10.14     10  10  14   14  70 a, -Tình 3: Trở lại cơng thức (1), tơi giữ nguyên tử số 1, mẫu thay tích hai thừa số n đơn vị phân số: Em cho biết phân số a (a  n) a (a  n) (a, n  N* ) , viết thành tích hai thừa số thừa số hiệu hai phân số có tử 1? Học sinh dự đoán được: 1 1  (  ) a ( a  n) n a a  n Tôi yêu cầu học sinh làm sáng tỏ dự đoán trên? Thật vậy: Kết luận: 1 1 an a n (  )   n a an n a ( a  n) n a ( a  n ) a ( a  n) 1 1  (  ) (3) a ( a  n) n a a  n Ví dụ áp dụng cơng thức (3) (2) 1 1   (  ) 3.5 3.5 2 1 b, 4.7  4.7  (  ) 12 c, 5.7  7.8  8.11  11.15 3 5.7  7.8  8.11  11.15 1 1 1 1 1 3(        ) 3(  ) 7 8 11 11 15 15 a, Học sinh thấy : Câu a, dùng công thức (3) biến đổi làm xuất phân số có hai thừa số mẫu đơn vị tử số, từ vận dụng công thức (2) Câu b, học sinh phải nghĩ cách biến đổi để làm xuất phân số có mẫu tích hai thừa số đơn vị tử số để có thừa số hiệu hai phân số có tử Câu c, áp dụng tổng hợp phép biến đổi nêu Vậy: Từ tập 87 ( SBT toán 6- tập 2), học sinh rút công thức cần ghi nhớ 1   a ( a  1) a a  n 1   a (a  n) a a  n 1 1  (  ) a ( a  n) n a a  n 1/ 2/ 3/ với a  N* với a,n  N* với a,n  N* Ba công thức kết có từ tập 87 sách tập toán tập hai Với kết này, hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng tốn nêu dạng tốn tính; tốn rút gọn biểu thức; toán chứng minh đẳng thức; toán tìm số; tốn chứng minh bất đẳng thức Ứng dụng kết 87 (SBT toán 6- tập 2) tốn tính tổng dãy phân số có quy luật: Bài 1: Tính tổng [1] 1 1 1       1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 2010.2011 1 1 1 b) 1.2  2.3  3.4  4.5  5.6   n( n 1) (n N*) a) Hướng dẫn: Viết hạng tử tổng dạng hiệu hai phân thức: Lời giải a) 1 1 1       1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 2010.2011 1 1 1 1 1 1 2010            1   2 3 4 5 2010 2011 2011 2011 1  1 1 1 b) 1.2  2.3  3.4  4.5  5.6   n( n 1) 1  1 1 1 1 1 1 n            1   2 3 4 5 n n 1 n 1 n 1 Nhận xét: - Câu a, vận dụng công thức (1) kết 87 sbt toán giải - Câu b, toán tổng quát câu a Những phân số tập có mẫu tích hai số đơn vị Vậy gặp tốn xuất phân số có mẫu tích hai số n đơn vị (n 0) tử phân số số ta làm nào? Nêu tập Bài 2: Tính tổng [1] a) A = 1 1     1.4 4.7 7.10 301.304 b) B = 2 2     1.6 6.11 11 16 (5n  4)(5n  1) ( n  N*) Hướng dẫn: a) Tương tự 1: Biến đổi để viết hạng tử tổng thành tích có thừa số hiệu hai phân thức : Ta có: 1  (1  ) 1.4 1 1  (  ) 4.7 1 1  (  ) 7.10 10 … 1 1  (  ) 301.304 301 304 Cộng vế với vế đẳng thức ta có: 1 1 1 1 1 1 1     ) = (1  ) + (  ) + (  ) +…+ (  1.4 4.7 7.10 301.304 4 7 10 301 304 = 3 = (1  Vậy: A = +4 ) 304 = (1- 1 + 1  10 + + 1  ) 301 304 101 304 101 304 b) Tương tự câu a ta có: B =  2 2 2 5 5           1.6 6.11 11.16 (5n  4)(5n  1)  1.6 6.11 11.16 (5n  4)(5n  1)  1 1 1 2 5n 2n  (1         )  (1  )  6 11 11 16 5n  5n  5n  5n  5n  * Nhận xét: - Với cách suy luận đề xuất yêu cầu học sinh đề xuất loạt toán loại với cách giải phương pháp - Mở rộng : Tôi yêu cầu học sinh suy nghĩ sang dạng tốn có mẫu tích 3, 4, …, số tự nhiên cách Liệu có sử dụng phương pháp không? Từ Học sinh tiếp tục nghiên cứu tập Bài 3: Tính tổng [1] 1 1 a) M = 1.3.5  3.5.7  5.7.9   (2n  1)(2n 1)(2n  3) với n 1 , n  N b) N = 1 1     1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 Hướng dẫn giải: *Nhận xét: Phương pháp giải tương tự trên: Ta viết hạng tử dạng tích có thừa số hiệu: a) Tôi nêu hướng dẫn học sinh chứng minh công thức:  1 1    (2n  1)(2n 1)(2n  3)  (2n  1)(2n 1) (2n 1)(2n  3)  Áp dụng ta có:  1 1 1 1 1            1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n  1)(2n  1) (2n  1)(2n  3)  1 M = (  (2n  1)(2n  3) ) M= n  2n M= 3(2n  1)(2n  3) b) Tương tự, ta có: 1 1  (  ) 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4 1 1  (  ) 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 ……… 1 1  (  ) 27.28.29.30 27.28.29 28.29.30 Cộng vế với vế đẳng thức ta được: 1 1     1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 1 1 1  ) + (  ) + = ( 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 + 1 (  ) 27.28.29 28.29.30 1 451  (  ) 1.2.3 28.29.30 8120 Vậy: N = 451 8120 Tôi yêu cầu học sinh lưu ý: Khi mở rộng 87 (đã nêu) vào toán mà tử số, mẫu tích hai số có giá trị n đơn vị cách giải tương tự * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng [5] 1 1     1.3 3.5 5.7 2009.2011 7 7 b) 2.4  4.6  6.8  8.10   2n(2n  2) a) với n 1 Ứng dụng kết 87 (SBT toán 6- tập 2) toán rút gọn biểu thức; toán chứng minh đẳng thức: Bài Tính tỉ số 34 7.13 A= + A B 51 13.22 biết: [3] 85 68 + 22.37 + 37.49 B = 39 7.16 + 65 52 26 + + 16.31 31.43 43.49 Hướng dẫn: Bản chất vấn đề là: A B = 34 51 85 68    7.13 13.22 22.37 37.49 39 65 52 26    7.16 16.31 31.43 43.49 Tuy nhiên khơng thực theo cách trình bày vậy, tránh phức tạp em nên dùng phương pháp học để tính riêng giá trị A, tính giá trị B, sau tính tỉ số A B Nếu học sinh khơng phát cách tính giá trị biểu thức, yêu cầu học sinh nhận xét mẫu dãy có hai thừa số cách đơn vị? từ tìm cách đưa phân số dãy dạng tích có thừa số hiệu hai phân số có tử Vì dụ: 34 7.13 = 34 7.13 = 34 ( - 13 ) Sau học sinh phát vấn đề tìm cách giải, tơi u cầu học sinh trình bày lời giải Giải Ta có: A= = = = B= = = = = 34 51 85 68 + + + 7.13 13.22 22.37 37.49 34 51 85 15 68 12 + + + 7.13 13.22 15 22.37 12 37.49 17 1 17 1 17 1 17 1 ( ) + ( ) + ( ) + ( 13 13 22 22 37 37 49 17 1 1 1 1 17 1 ( - 13 + 13 - 22 + 22 - 37 + 37 - 49 ) = ( - 49 ) 39 65 52 26 + + + 7.16 16.31 31.43 43.49 39 65 15 52 12 26 + 15 16.31 + 12 31.43 + 43.49 7.16 13 1 13 1 13 1 13 ( - 16 ) + ( 16 - 31 )+ ( 31 - 43 )+ 3 13 1 1 1 1 ( + + + ) 16 16 31 31 43 43 49 13 1 ( ) 49 ) ( 43 - 49 ) 17 1 (  ) A 49 Suy ra: B = 13 1 (  ) 49 A 17 Vậy: B = 13 = 17 13 = 17 13 Bài 3: Chứng minh rằng: [5] 1 1 1 1          26 27 28 50 1.2 3.4 5.6 49.50 Hướng dẫn giải: Biến đổi vế trái ta có: 1 1 1 1 1     1     - (     ) 26 27 28 50 50 25 1 1 1 =1     - 2(     ) 50 50 1 1 =       49 50 1 1     = 1.2 3.4 5.6 49.50 1 1 1 1          Vậy: (Điều phải chứng minh) 26 27 28 50 1.2 3.4 5.6 49.50 Bài tập tự luyện [2] Bài 1: Tính giá trị biểu thức: 1 1      97 99 A= 1 1      1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 Bài 2: Cho biết a, b, c số nguyên khác Chứng minh rằng: b c c a a b 2      ( a  b)( a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a Ứng dụng kết 87 (SBT tốn 6- tập 2) tốn tìm số chưa biết đẳng thức: * Để vận dụng tốn 87(SBT tốn 6-tập 2) vào dạng tốn tìm x ta phải rút gọn biểu thức (gồm phân số viết theo quy luật), sau đưa dạng biết Bài 1: Tìm số tự nhiên x biết : [2] a) x  20 20 20 20      11.13 13.15 15.17 53.55 11 (x  N ) 10 1 1 2x  b) 1.6  6.11  11.16   (5 x  1)(5 x  6)  x  ( x  N , x  2) Giải: 20 20 20 20      11.13 13.15 15.17 53.55 11 20 20 20 20  x (     ) 11.13 13.15 15.17 53.55 11 2 2  x  10(     ) 11.13 13.15 15.17 53.55 11 1 1 1 1  x  10(         )= 11 13 13 15 15 17 53 55 11 1  x – 10 (  x  x = ( Thỏa mãn điều kiện đề bài)   ) = 11 55 11 11 11 Vậy: x = a) x  b) Ta có: 1 1 2x       1.6 6.11 11.16 (5 x  1)(5 x  6) x  1 1 1 1 2x   (1         ) 6 11 11 16 x 1 x  x  1 2x   (1  ) 5x  5x  x 1 x    x+1 = 2x –  x=10 (Thoả mãn điều kiện đề bài)  5x  5x  Vậy: x =10 Bài 2: Tìm x  N * biết: [2] 7 7 a) 2.4  4.6  6.8  8.10   x(2 x  2) = 1 1 2009 b)   10   x( x  1) :  2011 Hướng dẫn: 7 7 a) 2.4  4.6  6.8  8.10   x(2 x  2) =  7 1 1  =        1.2 2.3 3.4 4.5 x.( x  1)  71 1 1 1 1              = 41 2 3 4 x x 1   (1  )   2x = 12  x = x 1 Vì x  N * nên x = thoả mãn điều kiện  11 Vậy: x = b) Ta có: 1 1 2009      10 x ( x  1) : 2011 2 2 2009       2.3 3.4 4.5 x( x  1) 2011 1 1 1 1 2009  2(         ) 3 4 x x 1 2011 1 2009 2  2(    x = 2010 )  x 1 2011 x  2011 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy: x = 2010 Bài tập tự luyện Bài 1:Tìm số tự nhiên x biết: [2] 40 1 + 88 + 154 +…+ x( x  3) = 101 1540 Bài :Tìm số tự nhiên x biết: [4] a, b, 11 12 11 11 + 12.23 + 23.24 +…+ 89.100 + x = 2 + +…+ 11 13 13.15 19.21 221 - x+ 231 = Ứng dụng kết 87 (SBT toán 6- tập 2) toán chứng minh bất đẳng thức: Bài 1: Chứng minh rằng: [2] 1 1 1       45 117 221 (4n  3)(4n  1) ( với n  n  N) Hướng dẫn giải: -Xét xem mẫu số hạng vế phải viết dạng tích hai số tự nhiên nào? Học sinh phát hiện: Có thể viết mẫu dạng tích hai số tự nhiên đơn vị - Áp dụng kiến thức học tính giá trị biểu thức vế trái bất đẳng thức so sánh kết thu với kết luận Lời giải Đặt: 1 1      45 117 221 ( 4n  3)(4n  1) 1 1 =  45  117  221   (4n  3)(4n  1) 1 1 = 1.5  5.9  9.13  13.17   (4n  3)(4n  1) A= Ta có: A = 1 1 1 1 1  (          ) 5 9 13 13 17 4n  4n 1 12 1 1 (1  )= - 4(4n  1) 4n  Vì n  nên 4(4n  1) > 1 1   A< - 4(4n  1) < 4 = Hay: 1 1 1       45 117 221 (4n  3)(4n  1) ( Điều phải chứng minh) Bài 2: Chứng minh rằng: [2] 1 1     < 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 36 36 36 36     b)