(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng một bài toán bất đẳng thức

Chuyên đề tháng 9: Ứng dụng toán bất đẳng thức Người báo cáo: Dương Thị Thanh Huyền Ngày soạn: 20/9/2019 Ngày báo cáo: 29/9/2019 Ngày hoàn thiện báo cáo sau thảo luận chuyên đề: 1/10/2019 A PHẦN MỞ ĐẦU Ở cấp THCS nhận thức học sinh chuyển dần từ cảm tính sang lý tính, phương pháp suy luận chưa hình thành cách vững Vì việc học tốn, làm tốn thách thức đối tượng học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh khá, giỏi: Các em ln tị mị, lúng túng tiếp cận kiến thức mở rộng mức độ khó Đa số em "đầu tư" nhiều thời gian suy nghĩ trước vấn đề mà khơng dựa sở Điều dẫn đến chán nản đầy mâu thuẫn với cách tìm kiếm Chính q trình giảng dạy mơn tốn ngồi việc giúp em nắm kiến thức bản, thì cần phải phát huy tính sáng tạo học sinh trước kết toán giải xong Kết cần phân tích, phát triển, tổng quát hóa, đặc biệt hóa…từ tạo nên lớp “cùng họ hàng với nhau”, toán“ sử dụng chung toán gốc” Làm tạo hứng thú cho người học, phát huy tính tích cực, độc lập, chủ động, sáng tạo học sinh, khơi nguồn cảm hứng tự nghiên cứu tài liệu cho học sinh tiền đề cho em bước chiếm lĩnh tri thức cách chủ động trước vấn đề khó Qua nhằm giáo dục tính kiên trì, lĩnh cá nhân góp phần giáo dục kĩ sống cho học sinh suốt trình học tập Qua nhiều năm giảng dạy, đã học hỏi được ở các đồng nghiệp và với kinh nghiệm của bản thân hướng dẫn học sinh biết cách khai thác, sử dụng nhiều bài toán điển cơng thức để tìm hướng giải cho số toán cách dễ dàng, nhất là các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, thấy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hiệu dạy học ngày tiến Chính tơi tiếp tục tìm tịi, khám phá, "Ứng dụng toán bất đẳng thức " xin giới thiệu bạn B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Bài toán gốc : Với số thực a , b , c x , y , z số dương, ta có (*) Dấu "=" xẩy Chứng minh bất đẳng (*) Thật với số thực a, b x, y số dương, ta có : (1) Suy (1) với a ,b x ,y >0 Dấu "=" xẩy Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có Dấu "=" xẩy Nhận xét: Đến giáo viên học sinh dừng lại kết mà khơng quan tâm ứng dụng thật đáng tiếc Sau số ứng dụng bất đẳng thức (*) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn Cho có độ dài cạnh BC, CA, AB a, b, c có chu vi 2p Chứng minh : (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa, 2010-2011) Phân tích Ở vế trái bất đẳng thức cần chứng minh biến đổi để làm xuất bình phương sau : = Vì ta nghĩ đến chứng minh Ta thấy + + = p (1+1+1)2 =9, nên nghĩ đến áp dụng (*) ta chứng minh Ngồi ta cịn có cách biến đổi: (xuất vế trái (*)) Bài giải (tóm tắt ) Cách Vì p = Theo bất đẳng thức tam giác ta suy Áp dụng (*) ta có Vậy Hay = Dấu "=" xẩy Cách 2: a=b=c; (tam giác ABC đều) Áp dụng (*) ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dấu "=" xẩy a=b=c;(tam giác ABC đều) Bài tốn 2: Giả sử tam giác ABC có diện tích 1, gọi a, b, c, h a, hb, hc tương ứng độ dài cạnh đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán-tin, ĐH Vinh, năm học 2004-2005) Phân tích: Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta tìm mối quan hệ đường cao cạnh tam giác Ta thấy ; Vậy ; ( Xuất vế trái (*)) Bài giải Ta có ; ; Vì a, b, c số dương Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: Vậy Dấu "=" xẩy Bài toán Cho a=b=c ; ( tức tam giác ABC đều) nhọn O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh (1) (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9, Quảng Ngãi) Phân tích LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có biến đổi sau : có dạng vế trái (*) Vậy để chứng minh bất đẳng thức (1) cần chứng minh Vì cần biến đổi phân thức , liên quan với Từ A O kẻ AH , + + =1 thành phân thức có BC ; OK BC (H, K BC ) A P B H AH // OK Cách làm tương tự ta tìm (Dễ dàng thấy + + O K N C M ; =1 ) Bài giải tóm tắt Từ A O kẻ AH BC ; OK BC (H, K BC ) (2) (áp AH // OK dụng hệ định lý Ta-let ) Ta lại có (3) Từ (2) (3) ta có Chứng minh tương tự ta có Nên + + Với , , = , + + =1 > 0, áp dụng (*) ta có : (đpcm) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dấu "=" xẩy = = = ( hay O trọng tâm ) Nhận xét: Từ toán ta cộng vào vế (1) với (-3) ta bất đẳng thức: Từ ta có tốn 4: Bài toán 4: Cho tam giác ABC , cạnh BC ,CA , AB lấy điểm D, E, F (khác đỉnh tam giác ) cho AD, BE, CF cắt điểm H Chứng minh rằng : A E F ( Lời giải tương tự 3) H D B Bài toán C Gọi , hb, hc đường cao tương ứng cạnh a, b, c tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh : a) ha+hb +hc b) ha2+hb2 +hc2 c b r r r a Phân tích : a) Ta cần tìm liên hệ bán kính đường tròn đường cao tam giác Ta có ha+hb +hc = Vì cạnh tam giác tiếp tuyến nên vng góc với r (bán kính), nên ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S= Vậy ha+hb +hc = S= Vậy ha+hb +hc = (Áp dụng bất đẳng thức (*) ) Dấu "=" xẩy (nghĩa tam giác đều) b) Ta có ha2+hb2 +hc2 = (Áp dụng bất đẳng thức (*) ) Mà ha+hb +hc Bài toán Suy ha2+hb2 +hc2 ( theo chứng minh câu a) Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF = FA Chứng minh rằng: A b) B Phân tích: a)Ta cần biến đổi lượt tích khác có liên quan đến C AC, điều giúp ta nghĩ đến tam giác đồng dạng Vì cần tạo đồng dạng với E M lần , , Cho nên cần dựng điểm M nằm góc BCE cho LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) F Từ câu a) ta có A Chứng minh tương tự ta có E B C D Vậy ( Xuất vế trái (*) ) Bài giải tóm tắt: a) Dựng điểm M nằm góc BCE, cho Suy Lại có Từ (1) ,(2) ta có (Theo bất đẳng thức tam giác) Vậy b) Ta có ( AB = BC ) Chứng minh tương tự ta có: Vậy Mà (Theo bất đẳng thức (*)) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy Bài toán Cho a , b , c số đo cạnh tam giác Xác định hình dạng tam giác để : a) đạt giá trị nhỏ b) đạt giá trị nhỏ c) đạt giá trị nhỏ Phân tích: a) Ta thấy a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c số dương Đặc biệt phân thức có tổng tử mẫu (a+b+c), từ ta có biến đổi sau: ( Xuất vế trái (*) ) Lập luận tương tự câu a) ta biến đổi được: b) = = c) = = Bài giải tóm tắt a) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c số dương Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: = Dấu "=" xẩy Vậy tam giác đạt giá trị nhỏ Câu b), c) giải tương tự câu a) Bài toán : Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác Gọi khoảng cách từ M đến cạnh BC , CA , AB x , y , z Xác định vị trí điểm M để a) đạt giá trị nhỏ b) c) đạt giá trị nhỏ đạt giá trị nhỏ Phân tích: a)Ta thấy A có dạng vế trái bất đẳng thức (*), ta cần tìm mối tương quan x+y+z với đại lượng khơng đổi tam y giác ABC Ta có SABC= SAMC +SAMB + SCMB ( 1) Giả sử SABC= M z x ( a,h cạnh, C B đường cao tam giác ABC, h không đổi) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (1) ta có: a.h = a.y +a.z + a.x h=y+z+x Như ta tìm giá trị nhỏ , với điều kiện x, y, z để dấu xẩy ta xác định vị trí M Câu b); c) lập luận tương tự câu a) Bài giải tóm tắt: a) Gọi a, h cạnh, đường cao tam giác ABC Ta có: SABC= SAMC +SAMB + SCMB = a.h = a.y +a.z + a.x h=y+z+x Với x, y, z số dương, áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: Dấu " = " xẩy Vậy giá trị nhỏ x=y=z M giao điểm đường phân giác đạt giá trị nhỏ b); c) giải tương tự Bài toán Cho khoảng cách từ có đến AB là đường phân giác Gọi ; đến BC ; đến CA Gọi ha, hb, hc đường cao tam giác kẻ từ A, B, C Tìm giá trị nhỏ Phân tích Ta thấy tương ứng cặp A tỉ số biểu thị dạng C1 quan hệ ? *Chẳng hạn ta xét tỉ số B1 B 11 H A1 C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (Chú ý đường phân giác góc A khoảng cách từ đến AC ) Ta có Xét tương tự cho trường hợp lại Nếu ta gọi độ dài cạnh (phân tích tiếp câu (a) Bài toán ) = Bài giải (tóm tắt a, b, c ta có biến đổi sau : Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, AC, AB Ta có (1) Chứng minh tương tự ta có : Từ (1) ,(2) (3) ta có (2) ; (3) = (cách làm giống Bài toán 7) Vậy A (tức là tam giác ) Bài toán 10 Cho , M điểm tam giác, gọi H, D, E hình chiếu M thứ tự BC, CA, AB Xác định vị trí M cho giá trị biểu thức đạt giá trị nhỏ Phân tích Ta đặt BC = a ; AC = b ; AB = c, MH= x, MD=y, ME=z; diện tích đại lượng khơng đổi S.Vì ta tìm mối quan hệ đại lượng a, b, c, x, y, z với diện tích (S) : (1) 12 cần phải LUONG biến đổi (xuất dạng vế trái (*)) LUAN VANTaCHAT download : add luanvanchat@agmail.com A D E M C B H Bài giải Gọi S diện tích ,ta có Với cz, by, ax số dương, áp dụng (*) ta có : (vì ) Dấu " = " xẩy Vậy đạt giá trị nhỏ MH=MD=ME ( nghĩa M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ) Bài toán11 Lấy điểm O nằm Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB P, Q, R a) Chứng minh : b) Tìm vị trí điểm O để Phân tích a) Ta thấy tỉ số đạt giá trị nhỏ A không ràng Q R buộc lại tương tự Vì ta O H xét tỉ số, chẳng hạn Ta dễ dàng 13 B C P LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com K tỉ số tỉ số diện tích tương ứng b) Để ý ta thấy Bài giải tóm tắt = ( Xuất vế trái (*) ) Đặt a) Kẻ BH, CK vng góc với đường thẳng AH Ta có : (t/c dãy tỉ số ) Chứng minh tương tự, ta có : Suy b) Các tỉ số số dương, áp dụng (*) ta có : = Dấu "=" xẩy Vậy đạt giá trị nhỏ 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tức O giao điểm đường trung tuyến đạt giá trị nhỏ Bài toán 12 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I,r), kẻ tiếp tuyến với đường tròn song song cạnh tam giác ABC Các tiếp tuyến tạo với cạnh tam giác ABC thành tam giác nhỏ, gọi diện tích tam giác nhỏ S1, S2, S3, diện tích tam giác ABC S Tìm giá trị nhỏ A S1 biểu thức E D Phân tích: Ta thấy tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ABC Vì ta tìm mối quan hệ tỉ số diện tích S2 tỉ số đường cao tương ứng tam B giác đồng dạng thông qua tỉ số đồng dạng Giả sử gọi DE tiếp tuyến đường tròn song song với BC dạng với Gọi h1, đường cao , S3 C đồng (1) ( h1 =ha -2r) Mặt khác ; ( p= ) (2) Từ (1) (2) suy = Lập luận tương tự ta có: Suy ra: = = + ; + = (theo (*) ) Dấu " = " xẩy Tam giác ABC Một số toán tương tự: Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ; A , B1 , C1 chân đường cao kẻ từ A , B , C Tìm giá trị nhỏ : 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) ; b) Bài 2: Lấy điểm O tam giác ABC Các tia AO, BO, CO, cắt BC, AC, AB P, Q, R Xác định vị trí điểm O để: đạt giá trị nhỏ đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M, N trung điểm BO, AO Lấy điểm F cạnh AB cho tia FM cắt BC E tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng: C KẾT LUẬN Với thời gian có hạn, kinh nghiệm tơi cịn hạn chế, chắn chun đề khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong đón nhận đóng góp ý kiến thầy, cô để trau dồi chuyên môn trình giảng dạy hồn thiện chn đề Tơi xin chân thành cảm ơn! 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... >0 Dấu "=" xẩy Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có Dấu "=" xẩy Nhận xét: Đến giáo viên học sinh dừng lại kết mà không quan tâm ứng dụng thật đáng tiếc Sau số ứng dụng bất đẳng thức (*) LUAN VAN... ha+hb +hc = (Áp dụng bất đẳng thức (*) ) Dấu "=" xẩy (nghĩa tam giác đều) b) Ta có ha2+hb2 +hc2 = (Áp dụng bất đẳng thức (*) ) Mà ha+hb +hc Bài toán Suy ha2+hb2 +hc2 ( theo chứng minh câu a)... tích: Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta tìm mối quan hệ đường cao cạnh tam giác Ta thấy ; Vậy ; ( Xuất vế trái (*)) Bài giải Ta có ; ; Vì a, b, c số dương Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: