Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số Px lớn hơn Qx thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT.[r]
(1)Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc tử số P(x) lớn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy nguyên hàm có bậc tử số nhỏ mẫu số I MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi đó Q(x) = ax + b Nếu bậc P(x) lớn thì ta chia đa thức Khi P(x) là số (bậc 0) thì ta có I = ∫ P ( x) k k d (ax + b) k dx = ∫ dx = ∫ = ln ax + b + C Q( x) ax + b a ax + b a Ví dụ Tìm nguyên hàm các hàm số sau: x +1 a) I1 = dx b) I = dx 2x − x −1 ∫ ∫ c) I = ∫ 2x + dx − 4x d) I = ∫ x2 + x + x+3 Hướng dẫn giải: d (2 x − 1) = 2ln x − + C 2x − x +1 x −1+ 2 dx b) I = dx = dx = 1 + = x + 2ln x − + C dx = dx + x −1 x −1 x −1 x −1 − (3 − 4x ) + 2x + 5 dx d (3 − 4x ) 2 dx = − + c) I = dx = =− x− dx = − x + − 4x − 4x 2 − 4x − 4x 2 (3 − 4x ) a) Ta có I1 = ∫ ∫ ∫ x − dx = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 = − x − ln − x + C → I = − x − ln − x + C 8 d ( x + 3) x x2 + x + 10 d) I = ∫ = ∫ x − + dx = x − dx + 10 ( ) ∫ ∫ x + = − x + 10ln x + + C x+3 x +3 Ví dụ Tìm nguyên hàm các hàm số sau: x3 − x + x3 + x + x + x + 3x + x + a) I = ∫ b) I = ∫ c) I = ∫ dx dx dx 2x + x −1 2x + Hướng dẫn giải: 49 x3 − x + 21 = x − x+ − a) Chia tử số cho mẫu số ta 2x + 2x + 49 1 x3 − x + 21 21 49 dx 1 Khi đó I = ∫ dx = ∫ x − x + − dx = ∫ x − x + dx − ∫ 2x + 2x + 2x + 2 2 3 x x 21 49 d ( x + ) x x 21x 49 = − + x− ∫ = − + − ln x + + C 16 2x + 8 16 x3 + x + x + b) Ta có I = ∫ dx = ∫ x + x + + dx = x + 3x + x + 9ln x − + C x −1 x −1 x + 3x + x + c) Chia tử số cho mẫu số ta = 2x − x + 2x − + 2x +1 2x + Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 (2) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng dx x + 3x + x + 1 Khi đó I = ∫ dx = ∫ x − x + x − + dx = ∫ x − x + x − dx + ∫ 2x + 2x + 2 2x + x x3 d ( x + 1) x x = − + x − x + ∫ = − + x − x + ln x + + C 4 2x + BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 2x −1 dx x+3 x3 − x + 4) I = ∫ dx 2x + x + 3x − dx x +1 x +1 5) I = ∫ dx − 3x 1) I1 = ∫ x3 + 3x + x + dx x −1 5x − 3x2 + x 4) I = ∫ dx 3x + 2) I = ∫ 3) I = ∫ II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả xảy với Q(x) TH1: Q(x) = có nghiệm phân biệt x1 và x2 Nếu P(x) là số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm mẫu số P( x) P ( x) 1 A B Nếu P(x) bậc thì ta có phân tích Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 ) → = = + Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x1 x − x2 Đồng hệ số hai vế ta A, B Từ đó, quy bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc đã xét trên Nếu P(x) có bậc lớn thì ta chia đa thức, quy bài toán hai trường hợp có bậc P(x) trên để giải Chú ý: Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác phải theo quy tắc ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 1)(3 x − 1) : dung ' Ví dụ: 3x − x + = 1 ( x − 1) x − : sai 3 Khi tử số là bậc thì ngoài cách đồng trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu, tách thành nguyên hàm (xem các ví dụ đây) Ví dụ Tìm nguyên hàm các hàm số sau: dx a) I1 = dx x − 2x − 2x + c) I = dx x − 3x − 2dx −3 x + x − 3x + d) I = ∫ dx 5x + 6x + Hướng dẫn giải: dx dx dx x − ( x + 1) − ( x − 3) dx a) I1 = dx = = dx = − + C = ln ( x + 1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) 4 x−3 x +1 x +1 x − 2x − 2dx dx dx −2 (3 x − 1) − 3( x − 1) b) I = ∫ = −2 ∫ = −2 ∫ = dx −3 x + x − 3x − x + ( x − 1)(3 x − 1) ∫ ( x − 1)(3 x − 1) ∫ b) I = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx dx 1 d (3 x − 1) 1 3x − = − ∫ − 3∫ = − ln x − + ln x − + C = ln + C = − ln x − + ∫ x −1 3x − 2 3x − 2 x −1 2x + c) I = dx x − 3x − Cách 1: 2x + 2x + A B Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, đó = = + x − x − ( x + 1)( x − ) x + x − ∫ A=− A B = + Đồng ta x + ≡ A ( x − ) + B ( x + 1) → ← → 3 = −4 A + B B = 11 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 (3) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 11 −5 2x + dx 11 dx 11 Từ đó I = dx = + dx = − + = − ln x + + ln x − + C x +1 x − 5 x − 3x − x + x − 11 Vậy I = − ln x + + ln x − + C 5 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 2x – nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) d x − 3x − dx dx 2x + 2x − + (2 x − 3)dx I3 = dx = dx = +6 = +6 ( x + 1)( x − 4) x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − x − 3x − ∫ = ln x − 3x − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( x + 1) − ( x − 4) dx dx x−4 dx = ln x − x − + − + C = ln x − x − + ln ( x + 1)( x − 4) 5 x−4 x +1 x +1 ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Nhìn hai cách giải, nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán hai đáp số Nhưng, vài phép biến đổi logarith đơn giản ta có cùng kết Thật vậy, theo cách ta có: x−4 6 11 ln x − x − + ln = ln x − + ln x + + ln x − − ln x + + C = − ln x + + ln x − x +1 5 5 Rõ ràng, chúng ta thấy ưu điểm cách là không phải đồng nhất, và không cần dùng đến giấy nháp ta có thể giải nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực được! 3x + 3x + d) I = ∫ dx = ∫ dx 5x + 6x + ( x + 1)(5 x + 1) Cách 1: A = − 3 = A + B A B 3x + Ta có = + → x + ≡ A(5 x + 1) + B ( x + 1) ← → → ( x + 1)(5 x + 1) x + x + 4 = A + B B = 17 3x + 17 dx 17 dx T đó I = ∫ dx = ∫ − + + dx = − ∫ ( x + 1)(5 x + 6) x + ∫ 5x + 4( x + 1) 4(5 x + 1) 17 → I = − ln x + + ln x + + C 20 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 10x + nên ta phân tích tử số có chứa đạo hàm mẫu sau: 22 (10 x + ) + (10 x + ) 3x + 22 dx 10 dx = I4 = ∫ dx = ∫ 10 dx + ∫ 2 ∫ 5x + 6x + 5x + 6x + 10 x + x + 10 x + x + d ( x + x + 1) 22 dx 22 (5 x + 1) − 5( x + 1) = ∫ + ∫ = ln x + x + − ∫ dx 10 5x + 6x + 10 (5 x + 1)( x + 1) 10 40 (5 x + 1)( x + 1) = 22 dx 5dx 11 x +1 ln x + x + − ∫ −∫ + C = ln x + x + − ln 10 40 x + x + 10 20 x + Ví dụ Tìm nguyên hàm các hàm số sau: x3 + x − a) I = ∫ dx x2 − b) I = ∫ 5− x dx − x − x2 Hướng dẫn giải: x3 + x − 6x −1 a) Do tử số có bậc lớn mẫu nên chia đa thức ta I = ∫ dx = ∫ x + dx x −1 x −1 A = 6 = A + B 6x −1 6x −1 A B = = + → x − ≡ A( x − 1) + B ( x + 1) ⇔ ⇔ Ta có x − ( x − 1)( x + 1) x + x − −1 = − A + B B = Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 (4) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng → I5 = ∫ x + + dx = x + ln x + + ln x − + C ( x + 1) ( x − 1) 2 5− x x−5 x −5 A B b) Ta có = = = + → x − ≡ A( x + 3) + B ( x − 1) − 2x − x x + x − ( x − 1)( x + 3) x − x + 1 = A + B A = −1 dx dx 5− x −1 → ⇔ → I6 = ∫ dx = ∫ + + 2∫ dx = − ∫ x −1 x+3 − 2x − x x −1 x + −5 = A − B B = = − ln x − + 2ln x + + C = ln ( x − 3)2 x −1 + C → I = ln ( x − 3) x −1 + C BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 2x −1 dx x + 3x + + 4x 4) I = ∫ dx − 2x − x2 1) I1 = ∫ Học trực tuyến tại: www.moon.vn 3x + dx 5x + 6x + 5x + 5) I = ∫ dx 2x − x −1 2) I = ∫ 3x2 + dx x + 3x + 1 − 5x 6) I = ∫ dx 4x + 5x + 3) I = ∫ Mobile: 0985.074.831 (5)