Tim Nguyen ham bang PP he so bat dinh

Định nghĩa nguyên hàm Hàm số Fx là nguyên hàm của hàm số fx trên a, b nếu với mọi x thuộc a, b ta có; F’x = fx.. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng a, b thì: a.[r]

TÌM NGUYÊN HÀM NHỜ HỆ SỐ BẤT ĐỊNH I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa nguyên hàm Hàm số F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên (a, b) với x thuộc (a, b) ta có; F’(x) = f(x) Định lý: 2.1 Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì: a Mọi C thì F(x) + C là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a, b) b Mọi nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a, b) viết dạng F(x)+C, hay  f  x  dx  F  x   C Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a, b) có nguyên hàm trên đoạn đó 2.2 n F  x    a i x i k ax  b i 0 n a aix n F'  x    i.a i x i 1 k ax  b  i 1 f x n i i 0 k k  ax  b  k 1  n  k.i.a x  ax  b   a  a x i 1 i 1 i i 0 k k  ax  b  k 1 i i là ax  b.dx  F'  x   k.f  x . ax  b  f(x) là đa thức bậc   n       n 1 là hệ số phải tìm f  x  dx k  Đặc biệt k  ax  b  k 1 Ta cần tìm F(x) cùng bậc với f(x) nhân với ax  b Tìm  f  x  ax  bx  c dx hay  f  x  x  a dx k ' Có ln x  x  a     x2  a F  x   g  x  x  a  A.ln x  x  a (1) Với các hệ số đa thức g(x) bậc   phải tìm,  là bậc đa thức f(x) Nếu  f  x  dx thì g(x) (1) bậc là   x a Tìm  f  x  ln k x.dx cần tìm  x n ln k x.dx 2 Có F(x)  ax n ln k x thì đạo hàm F(x) là F'  x   nax n 1 ln k x  kax n 1 ln k 1 x Nên nguyên hàm cần tìm có dạng: F  x   a k x n 1 ln k x  a k 1x n 1 ln k 1 x   a x n 1 Các hệ số với i  0,1, ,k phải tìm Tìm I   sin ax.ebx dx Từ công thức tính nguyên hàm phần có: F  x    a1 sin ax  a cosax  ebx (2) Mà các hệ số a1, a2 cần xác định Với công thức (2) còn dùng tìm I   cosax.ebx dx Tìm I   x n sin x.dx Thì F  x   a n x n cos x  a n 1x n 1 sin x  Còn I   x n cos x.dx thì F  x   a n x n sin x  a n 1x n 1cos x  Tìm  f  x  e x dx thì F  x   g  x .e x , hệ số g(x), bậc f(x) phải tìm Chú ý đây f(x), g(x) là đa thức bậc k nào đó bậc xác định phần F(x) là nguyên hàm nguyên hàm cần tìm II BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm nguyên hàm f  x    2x  3 x  Lời giải: Gọi f  x    ax  bx  c  x  là nguyên hàm f(x) đó ax  bx  c F'  x    2ax  b  x    f x x 5 ax  bx  c   2ax  b  x     2x  3 x  x 5  4x  26x  30  5ax  3b  20a  x  10b  c Đồng các hệ số hai vế ta được: 5a  4 10 10    3b  20a  26  a  ; b  ; c  3  c  10b  30  10 10  4 x   x 5 C 3 5 x  2x.dx   f  x  dx Vậy:   2x  3 x  5.dx   x    x  1 Lời giải: Gọi f  x    ax Tìm F'  x    2ax  b  x 2  bx  c  x  2x là nguyên hàm f(x) đó  ax  2x   bx  c   x  1 x  2x 3ax   2b  5a  x   c  3b  x  c  x  3x  2x  3a  a  2b  5a  3      c  c  3b    c  b      3x  1 x Lời giải: Đặt F  x    ax Tìm: 2   x  1 Vậy: F'  x    2ax  b  x  x 2x  x  2x.dx    x  2x  C    2x.dx   f  x  dx  bx  c  x  2x  d.ln x   x  2x Là nguyên hàm f(x), có:  f x  ax  2x  F'(x) = f(x)   2ax  b  x  2x   ax  b x  c   x  1 x  2x 2  b x  c   x  1  d x  2x 2  d x  2x x  2x  3ax   2b  5a  x   3b  c  x  c  d  3x  5x  2x 2   3x  1 x  2x 3a  a  2b  5a  b    Đồng các hệ số ta được:   3b  2c  2 c  2 d  c  d  Vậy   3x  1 Tìm x  2xdx   x   x  2x  2ln x   x  2x  C   4x  3x   x  4x  7.dx Lời giải: gọi F  x    ax  bx  cx  d  x  4x   p.ln x   x  4x  là ngyên hàm f(x) =  4x  3x   x  4x  Khi đó F’(x) = f(x) hay   x2 p 1   ax  bx  cx  d   x    x  4x   2  (3ax  2bx  c) x  4x     f (x) x  4x  x   x  4x    4ax  14a  3b  x  (21a  10b  2c)x  14b  6c  d  x  7c  2d  p    4x  19x  42x  29x  14 13 22 27   a  1; b  ; c  ; d   ; p   2x  2x  dx ) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   (  tìm  2 x 1 x 1 x 1 ax x2 1  b Đặt F  x   a x   b.ln x  x  Khi đó F'  x   x2 1 x  x2 1 x 1 ax x   2x   ax  b  2x   b F(x) là nguyên hàm f(x)  x2 1 x  x2 1 x2 1 Đồng các hệ số x ta được: a = 2; b = 2x  dx  x   ln x  x   C Từ đó  x 1 x  3x  dx Tìm  x2 1 x  3x  2 Gọi F  x    ax  b  x   c.ln x  x  là nguyên hàm f(x)= x2 1 ax  bx c x  3x     f x đó ta có: F'  x   a x   x2 1 x2 1 x2 1 1   2ax  bx  c  a  x  3x  Đồng các hệ số ta được: a  ; b  3; c  2  x  3x  1 1  dx  x  x   ln x  x   C Vậy:    2 2  x 1 Tìm I   x ln x.dx Lời giải: F  x   a x ln x  a1x ln x  a x F'  x   4a x ln x  2a x ln x  4a1x ln x  a1x  4a x F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) = x ln x 4a x ln x  2a x ln x  4a1x ln x  a1x  4a x  x ln x Đồng các hệ số ta được: a2 + 2a1 = ; a1 + 4a0 = 0; 4a2 = 1  a   a  2a1   x ln x x ln x x   I  x ln x.dx    C Vậy a  4a   a     32 4a     a  32  ln x Tìm  dx x ln x a b c Lời giải: gọi F  x   ln x  ln x  là nguyên hàm hàm số , đó x x x x3 2a ln x 2a ln x 2b b 2c ln x F'  x      ln x    đồng các hệ số ta x3 x3 x x x x 1  a    ab    b  a    c   b c    ln x ln x ln x Vậy  dx =      C x 2x 2x 4x x Tìm  sin 3x.e dx Lời giải: x x F  x    asin3x  bcos3x  e  F'  x   e  asin3x  bcos3x  3a cos3x  3bsin 3x  Có Nên  asin3x  bcos3x  3a cos3x  3bsin 3x   sin 3x , đồng các vế ta được:  a   10 a  3b   sin 3x 3cos3x  x   Vậy  sin 3x.e x dx    e  C 10   10 b  3a  b    10 10 Tìm  cos 2x.e3x dx F  x    asin2x  bcos 2x  e3x  F'  x   e3x 3asin2x  3bcos 2x  2a cos 2x  2bsin 2x  Nên  3asin2x  3bcos 2x  2a cos 2x  2bsin 2x   cos 2x , đồng các vế ta được:  a  2a  3b   13   3a  2b  b   13 11 Tìm  x sin 2xdx Vậy  cos 2x.e3x dx  e3x  2sin 2x  3cos 2x   C 13 F  x    ax 2cosx  bx sin x  ccos x   F'  x   2acosx  ax sin x  bsin x  bx cos x  csin x Nên 2acosx  ax sin x  bsin x  bx cos x  csin x  x sin x , đồng các vế ta được: a  1 a  1   Vậy  x sin xdx  x cos x  2x sin x  2cos x  C b  2a   b  c  b  c    12 Tìm   2x  3x  4x  5 e2x dx Gọi F(x)   ax  bx  cx  d  e2x là nguyên hàm f  x    2x  3x  4x  5 e2x Thì F'  x   e2x  2ax  2bx  2cx  2d  3ax  2bx  c  =  2x  3x  4x  5 e2x  f  x  a  a  b  2b  3a      c  Vậy 2c  2b   2d  c  d    x  13 Tìm  1  x   e x dx x    2x 3   3x  4x  5 e2x dx   x  2x   e2x  C 2  b c    b  bx  c    x x   x  b c    x  e x  b  bx  c     1  x   e x Đồng vế ta b= và c = x x   x  1 x  x  Nên  1  x   e x dx  xe x  C x  III BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm các nguyên hàm sau:  x  xdx ;  (x  2) x  4xdx ; Có F  x    bx  c  e  x x  F'  x   e x  3x dx ; x  2x   x  x  ln xdx ; x x  2x  e3x dx  x  cos3xdx ; x x ln x  dx ; x   2sin 3x  cos3x  e dx ;   2x  x  sin 2xdx ; x  x  1x  10   x  3x    e dx x  Nguyễn Minh Đức – THPT chuyên NTT – YB Năm học 2003-2004