Đang tải... (xem toàn văn)
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:.. 1..[r]
(1)I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
3
(x x 1)dx
2
1
1
( )
e
x x dx
x x
3
2 x dx
2
1 x dx
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
1
(ex x dx)
1
(x x x dx)
2
( x1)(x x1)dx
8
2
3
1
(3sinx 2cosx )dx
x
1
2
(ex x 1)dx
10
2
2
1
(x x x x dx)
11
2
( x1)(x x1)dx
12.
3
x 1 dx
( ).
13
2
2 -1
x.dx
x
14
2
e
1
7x x 5 dx x
15
x 2
2
dx
x2
16
2
x dx
x x x
( ).
ln
17
2
3
x dx x
cos .
sin
18 4
tgx dx x
. cos
19
1 x x
x x
0
e e e e dx
20
1 x
x x
0
e dx
e e
.
21
2
dx 4x 8x
22
x x
0
dx
e e
ln
.
22 2
0
dx 1 sinx
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2
3
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
0
sin
x dx cosx
4
tgxdx
4
6
cotgxdx
0
1 4sinxcosxdx
1
1 x x dx
1
2
1 x x dx
(2)
1
1 x x dx
1
3
0
x dx x
10
1
3
0
1 x x dx
11
2
1 1dx x x
12
1
1 1x dx
13
1
1
2 2dx
x x
14
1
1 1dx x
15
1
2
1 (1 ) x dx
16
2 sin
4
x e cosxdx
17
2
4
sin cosx
e xdx
18
1
x e xdx
19
2
3
3
sin xcos xdx
20
2 sin
4
x e cosxdx
21
2
4
sin cosx
e xdx
22
1
x e xdx
23
2
3
3
sin xcos xdx
24
2
2
3
sin xcos xdx
25
0
sin
x dx cosx
26
0
tgxdx
27
4
6
cotgxdx
28
0
1 4sinxcosxdx
29
1
1 x x dx
30
1
2
1 x x dx
31
1
1 x x dx
32
1
3
0
x dx x
33
1
3
0
1 x x dx
34
2
1 1dx x x
35
1
1 ln e
x dx x
36
1
sin(ln ) e
x dx x
37
1
1 3ln ln e
x x dx x
38
2ln 1
ee x dx x
39
2 2
1 ln ln e
e
x dx x x
40
2
2
1 (1 ln ) e
e
dx cos x
41
2
11
x dx x
42
1
0
x dx x
43
1
(3)44
1
1
1 dx
x x
45
1
1
1 dx
x x
46
3
1 x
dx x
46
1
1 ln e
x dx x
47
1
sin(ln ) e
x dx x
48
1
1 3ln ln e
x x dx x
49
2ln 1
ee x dx x
50
2 2
1 ln ln e
e
x dx x x
51
2
2
1 (1 ln ) e
e
dx cos x
52
1
2
0
5
x x dx
53
2
4
sin 1 cos
x xdx
54
2
4 x dx
55
2
4 x dx
56
1
2 1
dx x
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b a
a a
x d u x v x v x u x dx
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax ax f x cosax dx
e
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
Đặt ln( )
( ) ( )
dx du
u ax x
dv f x dx v f x dx
@ Dạng 3: sin
eax cosaxax dx
Ví du 1: tính các tích phân sau a/
1 2 0( 1)
x x e
dx x
đặt
2
2
( 1)
x u x e
dx dv
x
b/
3 2( 1)
x dx x
đặt
5
( 1)
u x x dx dv
x
(4)c/
1 2 1
1
2 2 2 2
0 0
1
(1 ) (1 ) (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
Tính I1
2 01
dx x
bằng phương pháp đởi biến sơ
Tính I2 =
2 (1 )
x dx x
bằng phương pháp phần : đặt
2
(1 )
u x x
dv dx
x
Bài tập
1
3
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
1
2
ln( 1)
x x dx
1
ln
e
x xdx
3
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
1
2
ln( 1)
x x dx
1
ln
e
x xdx
9 2
0
(x cosx)sinxdx
10 1
1 ( )ln
e
x xdx
x
11
2
ln(x x dx)
12
3
2
4
tan
x xdx
13
5
lnx dx x
14
2
0
cos
x xdx
15
1
0
x
xe dx
16
2
0
cos
x
e xdx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5
2 3 2
1
dx x
x x
2
b
a
dx b x a
x )( ) (
1
3
1
3
1 1dx
x x x
4 dx
x x x
1
2
1
5
1
3
)
( x dx
x
6
1
2 2( 3)
) (
1
dx x
x
2
2008 2008
)
(
dx x
x x
8
0
2
2
9
dx x
x
x x x
9
3
2
4
)
(x dx
x
10
2
)
( x dx
x
(5)11
2
2
2
) (
3
dx x
x x
x
12
2
4)
1 (
1
dx x x
13
2
2
4
dx
x 14
1
4
1 x dx
x
15 dx
x x
2
2 2 2
1
16
1
3 2)
1
( x dx
x
17
4
2 2
1 dx
x x
x 18
3
3
2
3
3 dx
x x
x x
19
2
4
1
dx x x
20
1
3
1
1 dx
x 21
1
6
1
dx x
x x x
22
1
2
1
dx x x
23
1
6
1
dx x
x 24
1
4 11
5 6
x
dx
x x
25
1
0 1
dx x x
26
27 28
29 30
31 32
33 34
35 36
37 38
39 40
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 x xdx
0
2 cos
sin
2
2
3 cos
sin
xdx x
3 2 x xdx
0
5 cos
sin
4 2
0
3 cos )
(sin
dx x
5
2
4
4 cos )
(sin cos
dx x x
x
2
2 sin cos cos )
sin (
dx x x
x x
7
2
3
sin
dx
x
2
4 10
10 cos cos sin )
(sin
dx x x x
x
9
2
0 cos
x
dx 10
2
0 sin
1
dx x
11
2
2
cos
sin
dx x
x 12
3
6
4 .cos
sin
x x
dx
13
4
2 2sin cos cos
sin
x x
x x
dx 14
2
01 cos
cos
(6)15
2
0 cos
cos
dx x
x 16
2
0 sin
sin
dx x x
17
2
3
cos
cos
dx x
x 18
2
0sin cos
1
dx x x
19
2
3
2
) cos (
cos
x
xdx
20
2
2
3 cos sin
1 cos sin
dx x x
x x
21 4
0
xdx
tg 22 g xdx
4
6
3
cot
23
3
4
xdx
tg 24
4 01
1
dx tgx
25
4
0 )
4 cos( cos
x x
dx
26
2
0 4sin 5cos
6 cos sin
dx x x
x x
27
2
sin
1 xdx 28
4
0 2sin 3cos 13
x x
dx
29
4
4
cos
sin
dx x
x 30
2
0 sin cos
2 sin cos
dx x x
x x
31
2
01 cos
3 sin
dx x
x 32
2
4
sin
sin
x x
dx
33
4
2
cos sin
dx x
x 34
2
3 )
sin ( sin
dx x x
35
0
sin
cosx xdx 36
3
4
3
3
sin
sin sin
dx xtgx
x x
37
2
01 sin cos
x x
dx 38
2
0 2sin
x dx
39
2
4
5 sin
cos
xdx
x 40
4
2
cos
4 sin
x xdx
41
2
05sin
x
dx 2.
6
6
4 cos
sin
x x
dx
43
3
6sin sin( 6)
x x
dx
4
3
4sin cos( 4)
x x
(7)45
3
4
cos sin
x
xdx
46 tgxtg x )dx
6 (
3
6
47
3
3
) cos (sin
sin
x x
xdx 48
0
2
2
) sin (
2 sin
x
x
49
2
3
sin
dx
x 50
2
2cos
xdx x
51
2
1
sin
dx e
x x 52 e dx
x
x x
2
01 cos
sin
53
4
6
2 cot
4 sin sin
dx x g tgx
x x
54
2
2 5sin 6
sin sin
x x
xdx
55
2
)
cos(lnx dx 56
3
6
cos ) ln(sin
dx x x
57 x xdx
2
2
cos ) (
58
0
2
cos
sinx xdx
x
59 4
0
xdx
xtg 60
0
2 sin xdx
e x
61 2
0
3 sin2 sin cos
xdx x
e x 62
4
) ln(
dx tgx
63
4
2
) cos (sin
x x
dx 64.
2
2 )
cos )( sin (
cos ) sin (
dx x x
x x
65
2
2
sin sin 7
x xdx
66
2
4
0
cos (sin cos )
x x x dx
67
2 3
0
4sin
1 cos
x dx
x
68
69 70
71 72
73 74
75 76
77 78
79 80
V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b
a
dx x f x
(8)+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ]
2 ;
[
+) R(x, a2 x2
) Đặt x = a sint hc x = a cost
+) R(x, n
d cx
b ax
) Đặt t = n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) =
b x x
ax )
(
1
Víi (x2x)’ = k(ax+b)
Khi đặt t = x2x, đặt t = b ax
1
+) R(x, a2 x2
) Đặt x = atgt , t ]
2 ; [
+) R(x, x2 a2
) Đặt x =
x a
cos , t [ ;0 \]{2}
+) Rn1 x n2 x ni x
; ; ; Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
1
3
5 x x2
dx
2
2
3
2 x x2
dx
3
2
2
1(2x 3) 4x2 12x
dx
4
2
1 x x3
dx
5
2
2 2008dx
x 6
2
1 x2 2008
dx
7
1
2 1 x dx
x 8
1
3 2)
1
( x dx
9
3 2
2
1
dx x
x x
10
2
0
1 dx x x
11
1
0 (1 x2)3
dx
12
2
0 (1 x2)3
dx
13
1
2
1 x dx 14
2
0
2
1 x
dx x
15
2
0 cos2
cos
x
xdx 16
2
2
cos cos
sin
dx x x
x
17
2
0 cos2
cos
x
xdx 18
2
0 3cos
sin sin
dx x
x x
19
7
0 3
1 x
dx x
20
3
2 10 x dx
x
21
1
0 2x
xdx
22
1
0
3
1
x x
dx x
23
7
2 2x 1
dx
24 x x dx
1
(9)25
2
5 1 cos3 sin cos
xdx x
x 26
3 ln
0 ex
dx
27
11 x x2
dx
28
2 ln
0
1
x x
e dx e
29
1
4
2 8
4
12x x dx 30.
e
dx x
x x
1
ln ln
31
3
0
1 x dx
x x
32 x x xdx
4
2 2
33
0
3
2 1)
(e x dx
x x 34
3 ln
2 ln
2
1 ln ln
dx x x
x
35
3
2
cos cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1)3
x
e dx e
37
3
0 cos2
cos
x
xdx 38
2
0 cos2
cos
x xdx
39 dx
x x
7
03
2
40
a
dx a x
2
2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
(
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tơc trªn
[-2 ;
3
] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2 2cos2x,
TÝnh:
2
2
) (
dx x f
+) TÝnh
1
2
1 sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó:
a
a
dx x
f( ) = 0.
VÝ dô: TÝnh:
1
2)
1
ln(x x dx
2
2
2)
1 ln( cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó:
a
a
dx x
f( ) = 2
a
dx x f
0
) (
VÝ dô: TÝnh
1
2
4 x 1
x dx
x
2
cos 4 sin
x x dx
x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:
a a
a
x dx f x dx
b x f
0
) (
) (
(10)VÝ dô: TÝnh:
3
2
2
1
dx x
x
2
2
1
5 cos sin sin
dx e
x x
x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0;
2
],
2
0
) (cos )
(sin
dx x f x f
VÝ dô: TÝnh
2
2009 2009
2009
cos sin
sin
dx x x
x
2
0 sin cos
sin
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó:
0
) (sin
)
(sinx dx f x dx
xf
VÝ dô: TÝnh
01 sin
dx x x
02 cos
sin dx
x x x
Bài toán 6:
b
a b
a
dx x f dx x b a
f( ) ( )
b b
dx x f dx x b f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
0
2
cos
sin
dx x x x
4
) ln( sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn víi chu k× T th×:
T T
a
a
dx x f dx x f
0
) ( )
(
T nT
dx x f n dx x f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
2008
2 cos
1 xdx
Các tập áp dông:
1
1
2
2
1 x dx
x 2
4
4
4
cos
1
dx x
x x x x
3
1
2)
1 )(
( e x
dx
x 4
2
2
2
sin
cos
dx x x x
5
2
2
) 1 ln(
cos dx
x x
x 6. sin(sinx nx)dx
2
7
2
2
cos 1
sin
dx x x
8 1 (1 )
cot
1
1
ga
e tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
2 1dx
x 2
2
2 4x 3dx
x
3
2
2 xdx
x
1
dx m x
x 4
2
2
sin
dx x
5
dx x
sin
1 6
3
6
2
2 cot
dx x g x
(11)7
4
4
2 sin
dx
x 8
2
cos
1 xdx
9
5
) 2
(x x dx 10
3
4
2x dx
11
3
2
3
cos cos
cos
dx x x
x 12
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm sô y = x + x -1 , truc hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
1
b/ Đồ thị hàm sơ y = ex +1 , truc hồnh , đường thẳng x = đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm sô y = x3 - 4x , truc hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
4
d/ Đồ thị hàm sô y = sinx , truc hoành , truc tung đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm sô y = x + x -1 , truc hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
1
b/ Đồ thị hàm sô y = ex +1 , truc hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm sô y = x3 - 4x , truc hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =
4
d/ Đồ thị hàm sô y = sinx , truc hoành , truc tung đường thẳng x = 2