Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn - Nguyễn Hoàng Việt

L ờ i bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng má[r]

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

“Nơi có ý chí, nơi có đường.”

MỤC LỤC

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 10

DẠNG : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN 12

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp tốn đơn giản loại 12

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho dạng 18

MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN 20

CHÚ Ý 1: Với hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ 20

CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược hàm số đồng biến nghịch biến 22

CHÚ Ý 3: Bài tốn tích phân có dạng sau: 23

CHÚ Ý 4: Một số tốn khơng theo khn mẫu sẵn u cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ biến đổi để đưa dạng quen thuộc 26

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 31

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUN HÀM

Ví dụ 1: Cho    

5

2

d 10

f x x Kết    

5

2 4f x dx

A 34 B 36 C 40 D 32

Lời giải Chọn A

Tacó          

2 2

5 5

2 4f x dx dx f x dx           

5

2

2x f x dx 4.10 34

Ví dụ 2: Cho hàm số f x  liên tục F x  nguyên hàm f x , biết    

9

0

d

f x x

và F 0 3 Tính F 9

A F 9  6 B F 9 6 C F 9 12 D F 9  12 Lời giải

Chọn C

Ta có:      

9 0

d

I f x x F x F   9 F 9 F 9 12

Nhận xét 1: Trong hai ví dụ ta thấy tích phân cần tính có cận với tích phân giả

thiết tốn nên học sinh dễ dàng nhận thấy có thểlàm Trong số trường hợp học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân phải dùng đến tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ

Ví dụ 3: Cho hàm số f x  liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn    

6

0

10

f x dx    

4

2

6

f x dx Tính

giá trị biểu thức      

2

0

P f x dx f x dx

A P4.` B P16 C P8 D P10 Lời giải

Chọn A

Ta có            

6

0

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

       

 2 6 6 4   

0

10

P f x dx f x dx f x dx f x dx

Ví dụ 4: Cho hàm số f x  xác định \ , thỏa mãn    



1

f x

x x , f 1 a

  2

f b Tính f    1 f

A f    1 f   a b B f    1 f  a b

C f    1 f  a b.D f    1 f  b a Lời giải Chọn C

Ta có  

   

  

 3 

1

f x

x x

  

1

x x  f x  nên f x  hàm số lẻ

Do      



 

      

2 1 2

2

d d d

f x x f x x f x x

Suy f    1 f   2 f   2  f  f        1 f  f  2 f  a b

Nhận xét 2: Trong sốtrường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹnăng phân tích, tổng hợp, kĩ năng biến đổi phải có nhìn sâu tốn.

Ví dụ 5: Cho hàm số f x  liên tục 0; thỏa     

2

0

.cos x

f t dt x x Tính f 4

A f 4 123 B  4 

f C  4 

4

f D  4 

4

f

Lời giải Chọn D

Ta có: F t f t dt  F t'    f t

Đặt          

2

0

0 x

G x f t dt F x F

      

G x' F x2 / 2 x f x2 (Tính chất đạo hàm hợp:        

 

' ' '

f u x f u u x )

Mặt khác, từ gt:       

0

.cos x

G x f t dt x x

       

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

    

   

2 x f x x sin x cos x (1)

Tính f 4  ứng với x2

Thay x2 vào (1) 4.f 4  2 sin 2 cos 2 1  4 

f

Ví dụ 6: Cho hàm số     

0

.cos

x

G x t x t dt Tính   

  '

2

G

A     

 

'

2

G B    

 

'

2

G C    

 

'

2

G D    

 

'

2

G

Lời giải:

Chọn B

Cách 1: Ta có: F t t.cosx t dt  F t' t.cosx t 

Đặt          

0

.cos

x

G x t x t dt F x F

              

G x' F x F / F x' F' xcos x x 0/ x' 1     

 

'

2

G

Cách 2: Ta có     

.cos x

G x t x t dt Đặt u t du dt , dvcosx t dx  chọn

 

 sin 

v x t

         

             

0

0

.sin sin sin cos cos cos cos

x x

x x

G x t x t x t dt x t dt x t x x

    

     

 

' sin ' sin

2

G x x G

Ví dụ 7: Cho hàm số y f x  có đạo hàm thỏa

   

       

   

 

       



0 1;

3 1, x,y

f f

f x y f x f y xy x y Tính    

1

0

1 d

f x x

A 1

2 B 

1

4 C

1

4 D

7

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lấy đạo hàm theo hàm số y

   

    3 26

f x y f y x xy,  x

Cho y 0 f x  f 0 3x2  f x  1 3x2

Vậy f x f x dx x    x C mà f 0 1 C suy f x x3 x

   

1

0

1 d

f x x  



 0

1

f x dx  



  0

1

1

x x dx



 

   

 

0

1

4

x x

x    1 1

4 

1

DẠNG SAU:  

 

 

'( )

'( ) ( ), ( )

( ) n

f x

f x g x g x

f x

(Trong g x( ) hàm số biết, n số dương)

Ví dụ 8: Cho hàm số f x  xác định \ thỏa mãn    



1

f x

x , f 0 2017,

 2 2018

f Tính S f   3  f 1

A S1 B Sln C Sln 4035 D S4 Lời giải

Chọn A

Cách 1: Ta có       



 d  d ln

1

f x x x x C

x

Theo giả thiết f 0 2017, f 2 2018 nên    

   

    

 

   



ln 2017

ln 2018

f x x x

f x x x

Do S f   3  f 1 ln 2018 ln 2017    

Cách 2:

Ta có:



 



      

 

 

      

 



 

 

0

0

1

3

3

2

1

(0) ( 1) '( ) ln | ln (1)

1

(3) (2) '( ) ln | ln (2)

1

dx

f f f x dx x

x dx

f f f x dx x

x

Lấy (1)+(2), ta f(3) f(2) f(0)    f( 1) S

Ví dụ 9: Cho hàm số f x( ) xác định   

  \

3 thỏa mãn     

3

,

f x f

x

      

2

f

Giá trị biểu thức f    1 f

A 3 5ln  B  2 5ln C 4 5ln  D 2 5ln  Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Cách 1: Từ    

     

  

  

    

    

   

  





1

1

ln x ;

3

3

dx=

3 1

ln x ;

3

x C

f x f x

x x

x C

Ta có:

 

 

    

  

       

 

     

1

2

0

0 1

2

0 2

2

f

C C

C C

f  

     

  

  

  

 

    

  



1 ln 1 x ;

3 ln x ;

3

x f x

x

Khi đó: f    1 f ln ln ln 32 5ln 2      

Cách 2: Ta có

         

       

 

 





       

 



  



        



  



 

 

0

0

1

1

3

3

2

3 2

3

3

0 dx dx ln ln

3

2

3 dx dx ln ln

3

f f f x f x x

x

f f f x f x x

x

Lấy    2  , ta được:                    

 

3 ln 32 3 5ln

3

f f f f f f

Ví dụ 10: Cho hàm số f x  xác định   

  \

2 thỏa mãn   

2

f x

x f 0 1 Giá trị biểu thức f    1 f

A 4 ln15  B 3 ln15  C 2 ln15  D ln15 Lời giải

Chọn C

Ta có      

 

     

 

  

1

2

2 2

ln

2

d x

f x f x dx dx x c

x x

 0 1

f  c  f x ln 2x 1

   

   

 

 



1 ln 3 ln

f

f  f    1 f  2 ln15

Ví dụ 11: Cho hàm số f x( ) xác định   

  \

2 thỏa mãn   

2 ( )

2

f x

x , f(0) 1 f(1) 2 Giá trị biểu thức f( 1)  f(3)

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn C

Cách 1: • Trên khoảng  

 

1 ;

2 :     

2

( ) ln(2 1)

2

f x dx x C

x Lại có f(1) 2 C1 2

• Trên khoảng  

 

1 ;

2 :     

2

( ) ln(1 )

2

f x dx x C

x Lại có f(0) 1 C2 1

Vậy



  

  

   



1 ln(2 1)

2 ( )

1 ln(1 )

2

x khi x

f x

x khi x

Suy f( 1)  f(3) ln15. 

Cách 2:

Ta có:



 



      

 

 

      

 



 

 

0

0

1

3

3

1

2

(0) ( 1) '( ) ln | ln (1)

2

2

(3) (1) '( ) ln | ln (2)

2

dx

f f f x dx x

x dx

f f f x dx x

x

Lấy (2)-(1), ta f(3) f(1) f(0)  f( 1) ln15  f( 1) f(3) ln15 

Ví dụ 12: Cho hàm số f x( ) xác định   

  \

3 thỏa mãn     

3

,

f x f

x

 

   

2

f Giá trị biểu thức f    1 f

A 3 5ln  B  2 5ln C 4 5ln  D 2 5ln  Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ    

  

   

  

  

    

      

 

  





1

1

ln x ;

3

3

dx=

3 1

ln x ;

3

x C

f x f x

x x

x C

Ta có:

 

 

    

  

       

  

     

1

2

0

0 1

2

0 2

2

f

C C

C C

f  

  

   

  

  

  

 

    

 

  



1 ln 1 x ;

3 ln x ;

3

x f x

x

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Cách 2: Ta có

                                                         0 0 1 1 3 3 2

3 2

3

3

0 dx dx ln ln

3

2

3 dx dx ln ln

3

f f f x f x x

x

f f f x f x x

x

Lấy    2  , ta được:                    

 

3 ln 32 3 5ln

3

f f f f f f

Ví dụ 13: Cho hàm số f x  xác định \ 2; thỏa mãn       



4

;

4

f x f

x ;

 0 1

f f 3 2 Tính giá trị biểu thức P f      4 f  1 f A  3 ln

25

P B P 3 ln C  2 ln5

P D  2 ln5

3

P

Lời giải Chọn B

Từ   

4

f x

x    2

4

dx f x

x      2 dx x x                                

ln ;

2

ln 2;

2

ln 2;

2

x

C x x

x

C x x

x

C x x Ta có                0 2 f f f             

ln

0 1 ln C C C           ln ln

C C C

 

 f x

                               

ln -ln5 ;

2

ln 2;

2

ln ln 2;

2 x khi x x x khi x x x khi x x

Khi P f      4 f  1 f ln ln ln ln    1 2 ln

3  3 ln

Nhận xét 3: Những tập kiểu học sinh cần ý, làm theo cách sốở

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ví dụ 13: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;1 , thỏa mãn 

   0,

f x x f x' 2f x 0 Biết f 1 1, tính f 1

A f  1 e2. B f  1 e3. C f  1 e4. D f  1 3 Lời giải

Chọn C Biến đổi:

               

  

      1  1  1     

1

1 1

' '

' f x f x df x ln

f x f x dx dx f x

f x f x f x

 

                

4 4

1

ln 1

1

f f

e f f e e

f f

Ví dụ 15: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x   2x3  f2 x

 0  1

2

f Biết tổng f     1  f  f   f2017  f 2018a

b với

   

,

a b a

b phân số tối giản Mệnh đề sau đúng? A a 1

b B 1

a

b C a b 1010 D b a 3029 Lời giải

Chọn D

Ta có f x   2x3  f2 x  f x2  2x3

f x

 

   



 f x2 dx 2x3 dx

f x      

2

3

x x C

f x

Vì  0    1 2

f C

Vậy        

 

 

1 1

2

1

f x

x x

x x

Do      1     2017  2018   1 1009 2020 2020

f f f f f

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ví dụ 16: Cho hàm số y f x 0 xác định, có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn: 

     

0

1 2018 dt

x

g x f t , g x  f2 x Tính   

0

d

g x x

A 1011

2 B

1009

2 C

2019

2 D 505

Lời giải Chọn A

Ta có      

1 2018 dt

x

g x f t g x 2018f x 2018 g x 

   



 g x 2018

g x

   



  

0

d 2018 d

t g x t

x x

g x   

 

0

2 2018

t t

g x x

 

 

2 g t  1 2018t (do g 0 1)

 

 g t 1009t1

   

    

 



1

2

0

1009 1011

dt

2

g t t t

Ví dụ 17: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn  f 0 9 9f x f x x2 9 Tính T f   1  f

A T 2 9ln B T9 C  1 ln 2

T D T 2 9ln Lời giải

Chọn C

Ta có 9f x f x x2 99f x   1 f x x2    

 

  

   

 2

1 1

9

f x

f x x

Lấy nguyên hàm hai vế  

 

 

 

  

 

 

1 1

d d

9 '

f x

x x

f x x  

  

 

1

9

x C

f x x

Do f 0 9 nên 

9

C suy    

9

f x x

x     

9

f x x

x

Vậy         



 

1

0

1 d

1

T f f x x

x

 

   

 

1

0 ln

2

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy tốn phức tạp yêu cầu học sinh phải nhớ dạng toán cách biến đổi đểđưa dạng Bài tập mức vận dụng.

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

Ví dụ 18: Cho hàm số f x  liên tục F x  nguyên hàm f x , biết    

9

0

d

f x x

và F 0 3 Tính F 9

A F 9  6 B F 9 6 C F 9 12 D F 9  12 Lời giải

Chọn C

Ta có:      

9 0

d

I f x x F x F   9 F 9 F 9 12

Ví dụ 19: Cho    

2

0

d

I f x x Khi    

0

4 d

J f x x bằng:

A 2 B 6 C 8 D 4

Lời giải Chọn B

Ta có             

2 2

2

0 0

4 d d d 4.3

J f x x f x x x x

Ví dụ 20: Cho    

4

2

d 10

f x x    

4

2

d

g x x Tính     

2

3 d

I f x g x x

A I5 B I15 C I 5 D I10 Lời giải

Chọn A

Có:     

2

3 d

I f x g x x        

4

2

3 f x dx g x dx

Ví dụ 21: Cho    

5

2

d 10

f x x Kết    

5

2 4f x dx bằng:

A 34 B 36 C 40 D 32

Lời giải Chọn A

Tacó         

2 2

2 4f x dx dx f x dx            

5

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ví dụ 22: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 0;10      10

0

d

f x x    

2

d

f x x Tính

   

2 10

0

d d

P f x x f x x

A P7 B P 4 C P4 D P10 Lời giải

Chọn C

Ta có     10

0

d

f x x          

2 10

0

d d d

f x x f x x f x x

   

2 10   

0

d d

f x x f x x

Vậy P4

Ví dụ 23: Choy f x , y g x   hàm số có đạo hàm liên tục 0; 

    

2

d

g x f x x ,      

2

0

d

g x f x x Tính tích phân      

2

0

d

I f x g x x

A I  1 B I6 C I5 D I1 Lời giải

Chọn C

Xét tích phân                

2

0

d d

I f x g x x f x g x f x g x x

       

2  2  

0

d d

g x f x x g x f x x

Ví dụ 24: Cho      

2

1

3f x 2g x dx 1,        

2

1

2f x g x dx Khi đó,   

1

d

f x x

A 11

7 B 

5

7 C

6

7 D

16

Lời giải Chọn B

Đặt   

1

d

a f x x,   

2

1

d

b f x x, ta có hệ phương trình      

3

2

a b

a b

     

  

5 11

7

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Vậy     

1

5 d

7

f x x

DẠNG : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ởbài toán đơn giản loại

Cho  '( )  ( )  b

a

u x f u x dx, tính  ( )

b

a

f x dx Hoặc cho  ( )

b

a

f x dx, tính  '( )  ( )  b

a

u x f u x dx

Đối với loại tập đổi biến t u x ( ) lưu ý cho học sinh tích phân hàm số khơng phụ thuộc vào biến số

Ví dụ 25: Cho    

4

0

d 16

f x x Tính   

0

2 d

f x x

A 16 B 4 C 32 D 8

Lời giải Chọn D

Xét tích phân

 

2

0

2 d

f x x

ta có Đặt 2x t d  1dt

2

x Khi x0 t0; x2 t4 Do       

2

0

1

2 d dt

2

f x x f t    

4

0

d f x x 

1 16 8

Ví dụ 26: Nếu    

6

0

d 12

f x x   

0

3 d

f x x

A 6. B 36. C 2. D 4

Lời giải Chọn D

Đặt t3xdt3dx Đổi cận: x  0 t 0, x  2 t Khi đó:         

2

0

1

3 d d 12

3

f x x f t t

Ví dụ 27:Cho     

2

1

1 d

f x x x Khi   

2 d

I f x x bằng:

A 2 B 1 C 1 D 4

Lời giải Chọn D

Đặt tx2 1 dt2xdx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Khi đó:        

2

2

1

1

1 d d

2

f x x x f t t         

5

2

2

d d

f t t f x x x

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên:       

5

2

d d

I f x x f t t

Ví dụ 28: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn  



 1

5

d

f x x Tính tích phân

 

   

 

2

0

1 d

f x x

A 27 B 21 C 15 D 75

Lời giải Chọn B

Đặt t 1 3xdt 3dx

Với x  0 t x   2 t

Ta có     

0

1 d

f x x     

2

0

1 d 9d

f x x x  



 

 5   

0

d

t

f t x

 



 

 1   

5

d 18

3 f x x   

1

.9 18 21

3

Ví dụ 29: Cho hàm số f x  liên tục thỏa    

1

0

d 10

f x x Tính      2

0

d

x

f x

A    

  2

0

5 d

2

x

f x B    

  2

0

d 20

2

x

f x C    

  2

0

d 10

2

x

f x D    

  2

0

d

2

x

f x

Lời giải Chọn B

Đặt 

2

x

t d 1d

t x

Đổi cận: x0 t 0; x2 t Ta có:   

  2

0

d

x

f x   

1

0

2 f t dt 2.1020

Ví dụ 30: Cho hàm số f x  liên tục  1;      

0

1 d

f x x Tích phân   

1

d

I xf x x

bằng:

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải Chọn D

 

3  

0

1 d

I f x x Đặt t x    1 t2 x 1 2 dt tdx; đổi cận: x  0 t 1; x  3 t

Khi    

1

2 d

I tf t t    

2

1

d

tf t t Vậy    

1

d

I xf x x

Ví dụ 31: Cho   

2

1

d

f x x Tính   

1

d

f x

I x

x

A I 1 B I2 C I4 D 

2

I Lời giải

Chọn C

Đặt  d  d

2

t x t x

x ; đổi cận:

  1

x t , x  4 t

     

4 2  2  

1 1

d 2d d 2.2

f x

I x f t t f t t

x

Ví dụ 32: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn    

16

1

d

f x x

x  





2

0

sin cos d

f x x x

Tính tích phân   

0

d

I f x x

A I 2 B I6 C I9 D I2 Lời giải

Chọn B

Xét     

16

1

d

f x

I x

x , đặt   

d d

x

x t t

x

Đổi cận: x  1 t 1; x16 t nên     

1

2 d

I f t t     

4

1

6

d

2

f t t

  



2 

0

sin cos d

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Đổi cận: x  0 u 0;   

x u     

1

0

d

J f u u

Vậy            

4

0

d d d 3

I f x x f x x f x x

Ví dụ 33: Cho hàm số f x  liên tục thỏa    

1

0

2 d

f x x    

2

0

6 d 14

f x x Tính

 



 2

2

5 d

f x x

A 30 B 32 C 34 D 36

Lời giải Chọn B

+ Xét    

0

2 d

f x x Đặt u2xdu2dx; x  0 u 0; x  1 u

Nên   

0

2 f 2x dx   

2

0

d

2 f u u   

0

d

f u u

+ Xét    

0

6 d 14

f x x Đặt v6xdv6dx; x  0 v 0; x  2 v 12

Nên   

0

14 f 6x dx    

12

0

d

6 f v v     12

0

d 84

f v v

+ Xét  



 2

2

5 d

f x x    



 0  2 

2

5 d d

f x x f x x

* Tính  



 0 

1

5 d

I f x x

Đặt t5 x 2.Khi   2 x 0, t  5x 2dt 5dx; x   2 t 12; x  0 t

 



 2

1

12

d

I f t t        

  

12

0

1

d d

5 f t t f t t    

1

84 16

5

* Tính    

1

5 d

I f x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

 

 12

2

d

I f t t        

  

12

0

1

d d

5 f t t f t t    

1

84 16

5

Vậy  



 

2

2

5 d 32

f x x

Hoặc: Do hàm f5 x 2 hàm số chẵn nên

   

 

    

2 0

2

5 d d 2.16 32

f x x f x x

Ví dụ 34: Biết  



 

11

1

d 18

f x x Tính      

2

2 d

I x f x x

A I5 B I7 C I8 D I10 Lời giải

Chọn B

Đặt  2

3

t x dt6 dx x Đổi cận x   0 t 1, x  2 t 11

 

     



2  2 2 2 2   11   

0 0

1

2 d d d d 18

6

I x f x x x x xf x x f t t

Ví dụ 35: Cho hàm số y f x  liên tục    

1

0

2 d

f x x Tính    

2

d

I xf x x

A 4 B 16 C 8 D 32

Lời giải Chọn C

Đặt     

2 d 2d d d

x t x x t x x t Đổi cận: x  0 t 0, x 2 t Ta có:    

1

0

2 d

I f t t

Ví dụ 36: Cho hàm số y f x  liên tục thỏa mãn f4x   f x Biết    

3

1

d

xf x x

Tính   

1

d

I f x x

A 5

2

I B 7

2

I C 

2

I D 11

2

I Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Cách1:Dùngtínhchấtđểtínhnhanh

Cho hàm số f x  liên tục a b;  thỏa mãn điều kiện

      ,  ; 

f a b x f x x a b Khi   d     d

2

b b

a a

a b

xf x x f x x

Chứng minh:

Đặt t a b x   dx dt, với xa b;  Đổi cận: x a  t b; x b  t b

Ta có   d     d       d

b b a

a a b

xf x x xf a b x x a b t f t t

   d    d  d    d  d

b     b b   b b

a a a a a

a b t f t t a b f t t tf t t a b f x x xf x x

 d    d  d   d

2       

2

b b b b

a a a a

a b

xf x x a b f x x xf x x f x x

Áp dụng tính chất với a1, b3

 

f x liên tục a b;  thỏa mãn f1 3 x   f x

Khi đó           

3 3

1 1

1

d d d

4

xf x x f x x f x x

Cách2:Đổibiếntrựctiếp:

Đặt t 4 x, với x1; 3

Ta có                   

3 3 3

1 1 1

d d d d d

xf x x xf x x t f t t f t t t f t t

   

  3  3 

1

5

5 d d

2

f t t f t t

Ví dụ 37: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 1; thỏa mãn  f4x   f x , x 1; 3

   

3

1

d

xf x x Giá trị   

1

d

f x x

A 2 B 1 C 2 D 1

Lời giải Chọn B

Xét 

( )d

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Đặt x 4 t, ta có dx dt; x  1 t 3, x  3 t Suy    

3

1

4 (4 )d

I t f t t   

3

1

4 t f t t( )d , hay   

1

4 ( )

I x f x dx (2)

Cộng (1) (2) vế theo vế ta 

1

2I ( )f x dx    

3

1

( )

2

I

f x dx

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho dạng

Tính   

b

a

f x dx , biết hàm số f x  thỏa mãn :

          

A f x B u f u C f a b x g x

Đối với loại tập này, trước lấy tích phân hai ta cần ý : + Trong đề thường bị khuyết hệ số A B C, ,

+ Nếu f x  liên tục a b;          

b b

a a

f a b x dx f x dx

+ Với  

 

 

 

 

u a a

u b b         

1

b b

a a

f x dx g x dx

A B C

+ Với  

 

 

 

 

u a b

u b a         

1

b b

a a

f x dx g x dx

A B C

+ Học sinh nhớ công thức thực hai lần đổi biến khác dạng

Ví dụ 38: Cho hàm số f x  liên tục 0;1 thỏa mãn     



2

6

3

f x x f x

x Tính

 

1

0

d

f x x

A 2. B 4. C 1. D 6

Lời giải Chọn B

Cách 1: (Dùng công thức)

Biến đổi     

2

6

3

f x x f x

x       

2

2.3

3

f x x f x

x với A1,  2

B

Áp dụng cơng thức ta có:  

  

 

  

1 1

0

1

d d

1

f x x x

x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Từ     

2

6

3

f x x f x

x           

1 1

2

0 0

1

d d d

3

f x x x f x x x

x

Đặt  3 

3 dx

u x du x ; Với x  0 u x  1 u Khi         

1 1

2

0 0

3x f x dx f u du f x dxthay vào  * , ta được:

      



1 1 1

0 0

1

d d d

3

f x x f x x x

x       

1

0

1

d d

3

f x x x

x

Ví dụ 39: Cho hàm số f x( ) liên tục 0; thỏa mãn điều kiện  f x   f 2x2x Tính giá trị tích phân   

2

0

I f x dx

A I 4 B 1

2

I C 4

3

I D I2

Lời giải

Chọn D

Cách 1:(Dùng công thức)

Với f x   f 2x2x ta có A1; B1, suy ra:

 

2

0

I f x dx 

 

2

0

2 1 x dx 

2

0

x 

2

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức)

Từ f x   f 2x2x        

2 2

0 0

2

f x dx f x dx xdx 4 (*)

Đặt u 2 x dudx; Với x0  u x2 u Suy    

2

0

f x dx    

2

0

f u du  

2

0

f x dx

Thay vào (*), ta    

0

2 f x dx    

2

0

2

f x dx

Ví dụ 40: Xét hàm số f x  liên tục trên 1; thỏa mãn         

2

f x xf x f x x

Tính giá trị tích phân  



 2

1

I f x dx

A I5 B 

2

I C I3 D I15

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

Với:      2    

2

f x x f x f x x Ta có:

1; 1; 3

A B C  2

2

u x thỏa mãn  

 

    

  

1

2

u

u Khi áp dụng cơng thức có:  

  

   

 

 

2

2

3

1 1

1

4 dx

1

x

I f x x

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – không nhớ công thức)

Từ    2    

2

f x xf x f x x

       

   

2 2 2  2  2

1 1

dx dx dx dx *

f x x f x f x x

+) Đặt    

2 du dx

u x x ; với x    1 u x  2 u

Khi        

  

  

2 2 2

1 1

2 x f x dx f u du f x dx

+) Đặt t  1 x dt dx; Với x   1 t x   2 t

Khi        

  

  

2 2 2

1 1

1 dx dt dx

f x f t f x

Thay    1 , vào  * ta được:    

 

  

2 2

1

5 f x dx 15 f x dx

MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN

CHÚ Ý 1: Với hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ

Nếu hàm f x  CHẴN    





 

0

a a

a

f x dx f x dx Nếu hàm f x  LẺ  







a

a

f x dx

Ví dụ 41: Cho hàm số y f x  hàm lẻ liên tục  4; 4 biết

 



 

0

2

d

f x x

  

2

1

2 d

f x x

Tính

 

4

0

d

I f x x

A I  10 B I 6 C I6 D I10

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Cách1: Sử dụng công thức:

     

2 2

1

1

d d

x x

x x

f ax b x f ax x

a

tính chất

 





 d

a

a

f x x

với f x  hàm số lẻ đoạn  a a;  Áp dụng, ta có:

        

 

2      

2

1

1

4 d d d

2

f x x f x x f x x   



 

4 f x dx

      



 0   0 2

2

2

2 f x dx f x f x 2  

0 f x

Suy ra:         

  

4  0 4

4

0 f x dx f x dx f x dx f x dx

   

  

   2 2 

2

0 f x dx f x dx I        0 0 2 I I

Cách2:Xét tích phân

 



 

0

2

d

f x x

Đặt  x t dx dt.Đổi cận: x 2 t2; x0 t0

   



  

0 0

2

d dt

f x x f t   

2

0

dt

f t    

2

0

dt

f t    

2

0

d

f x x

Do hàm số y f x  hàm số lẻ nên f 2x  f 2x

Do

     

2 2

1

2 d d

f x x f x x    

2

1

2 d

f x x

Xét

 

2

1

2 d

f x x

Đặt 2x t

d 1dt

2

x

.Đổi cận: x1 t2; x2 t4

      

2 4

1

1

2 d dt

2

f x x f t     

4

2

dt

f t     

4

2

d

f x x

Do

 

4

0

d

I f x x     

2

0

d d

f x x f x x

   2 6

Ví dụ 42: Cho hàm số chẵn y f x liên tục  



 

1

1

d

1 2x

f x

x Tính   

0

d

f x x

A 2 B 4 C 8 D 16

Lời giải Chọn D

Ta có    

 

  

 

1 2

1

2

d d 16

1 2x 1 2x

f x f x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Đặt t  x dt dx,      

 

 



    

  

2 2 2

2 2

2

16 d dt d

1 2

t

x t t

f x f t f t

I x t

Suy        



 

   

 

2 2 2 2

2 2

2

2 d d d d

1 2

x

x x

f x f x

I x x f x x f x x Vậy    

2

0

d 16

f x x

Ví dụ 43: Cho f x  hàm số chẵn liên tục đoạn  1;   



 1

1

d

f x x Kết

 



 

1

1

d ex

f x

I x

A I 1 B I3 C I2 D I4 Lời giải

Chọn A

     

 

    

  

1 0 1

1

d d d

1 ex ex ex

f x f x f x

I x x x I I

Xét  

0

1

d

1 ex

f x

I x



 

 Đặt x  t dx dt, đổi cận: x  0 t 0, x   1 t

     



  

 

0 1

1

1

e

d d

1 e e

t

t t

f x f x

I t t Lại có     

 

1 1

0

e e

d d

1 e e

t x

t x

f t f x

t x

Suy ra:

             

 



      

   

1 1 1 1 1 1

1 0 0

1 e

e 1

d d d d d d

2

1 e e e e

t t

x t t t

f t

f x f t f t

I x t x t f t t f t t

CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược hàm số đồng biến nghịch biến

Cho hàm số y f x  thỏa mãn g f x    x g t là hàm đơn điệu (luôn đồng biến nghịch biến) Hãy tính tích phân b  

a

I f x dx

Cách giải: Đặt y f x  x g y dxg y dy 

Đổi cận  

 

 

     

 

    



x a g y a y

x b g y b y Suy    

 

b 

a

I f x dx yg y dy

Ví dụ 44: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn f3   x  f x x, x Tính

 

2

0

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A I2 B 

I C 

2

I D 

4

I

Lời giải Chọn D

Đặt y f x  x y3  y dx3y21dy

Đổi cận       

     



3

3

0 0

2

x y y y

x y y y Khi

     

2 1 2 1 3 

0 0

5

3

4

I f x dx y y dy y y dy

Ví dụ 45: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn 2f3 x 3f2 x 6f x x,  x Tính tích phân   

5

0

d

I f x x

A 

I B 

2

I C 

12

I D 

3

I

Lời giải Chọn B

Đặt y f x  x 2y3 3y2 6ydx6y2 y d y

Đổi cận: với x 0 2y33y26y  0 y x 5 2y33y2 6y  5 y Khi        

1

2

0

d d

I f x x y y y y      

1

3

5

6 d

2

y y y y

Ví dụ 46: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn x f3 x 2f x 1,  x R Tính

 



 1

2

d

I f x x

A 7

I B 7

2

I C 7

3

I D 

4

I

Lời giải Chọn A

Đặt y f x    x y3 2y 1 dx  3y22 d y

Đổi cận: Với x    2 y3 2y    1 y 1; x   1 y3 2y   1 y Khi đó:     

0

2

1

7

3 d

4

I y y y

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Bài toán: Cho f x f a b x     k2,     

b d 2

a

x b a

I

k

k f x

Chứng minh:

Đặt t  a b x

   

   

  

 

2

dt dx

k f x

f t

x a  t b; x b  t a

Khi  

 

   

  

  

  

f d

d d

b b b

a a a

x x

x x

I

k

k f x k k f x

k f t

    

  

 

 d 1 f d

2

b b

a a

x x x

I

k

k f x k f x     

1

d

b

a

x b a

k k

  

2

b a I

k

Ví dụ 47: Cho hàm số f x  liên tục nhận giá trị dương 0;1 Biết  f x f   1x1 với  x 0;1 Tính giá trí   

 1

0 d

x I

f x

A 3

2 B

1

2 C 1 D 2

Lời giải Chọn B

Ta có: 1 f x     f x f 1 x  f x  

   



  

1

1 1

f x

f x f x

Xét   

 1

0 d

x I

f x

Đặt t    1 x x t dx dt Đổi cận: x  0 t 1; x  1 t Khi

        

    

      

0 1 1 1

1 0

d

d d d

1 1 1 1

f x x

t t x

I

f t f t f x f x

Mặt khác          



 

1 1 1 1

0 0

d

d

d d

1 ( )

1

f x x f x

x

x x

f t

f x f x hay 2I 1 Vậy 

1

I

Ví dụ 48: Cho hàm số f x  liên tục , ta có f x 0 f  0 f 2018x1 Giá trị tích phân

 

  

2018

0 d

x I

f x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải Chọn C

ta có I      

 

2018

0

1 2018

d 1009

2.1

1 f x x

Ví dụ 49: Cho hàm số y f x  có đạo hàm, liên tục f x 0 khix  0; 5

Biết

   5 1

f x f x

, tính tích phân    

0 d

x f x

I

A 

I B 5

3

I C 

2

I D I10

Lời giải Chọn C

Đặt x 5 t dx dt 

 0

x t ; x 5 t0

    



  

 

0 5

5

d d

1

f t t t

f f t

I

t (do 5   

1

f t

f t )

 5 

0

2I dt  5

I

Ví dụ 50: Cho hàm số y f x  liên tục thỏa mãn f4x   f x Biết    

3

1

d

xf x x

Tính tích phân   

1

d

f x x

A 5

2 B

7

2 C

9

2 D

11 Lời giải

Chọn A

Đặt t 4 x dt dx x  1 t 3; x  3 t Khi đó:         

3

1

5 xf x dx t f t dt          

3

1

4 x f x dx x f x dx

Suy ra:        

3

1

10 xf x dx x f x dx    

3

1

5

4 d

2

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

CHÚ Ý 4: Một số toán khơng theo khn mẫu sẵn u cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ biến đổi để đưa dạngquen thuộc.

Ví dụ 51: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; , đồng biến đoạn  1;  thỏa mãn đẳng thức x2 x f x   f x 2,  x 1; 4 Biết  1 

2

f , tính

 

4

1

d

I f x x?

A 1186 45

I B 1174

45

I C 1222

45

I D 1201

45

I

Lời giải Chọn A

Ta có x2 x f x   f x 2 x 2 f x  f x     



 



1

f x

x

f x ,

  x 1; 4

Suy  

 



 



 d  d

1

f x

x x x C

f x

   

  



 d d  d

1

f x

x x x C

f x

 

 1 2  32 

3

f x x C Mà  1 

f  

3

C Vậy  

 

 

 

 



2

2

1

3

2

x

f x

Vậy    

1

1186 d

45

I f x x

Ví dụ 52: Cho hàm số y f x  có đạo hàm thỏa mãn    

 

 

 1 

2

3f x ef x x x

f x  0 1

f Tích phân   

0

d

x f x x

A 2

3 B

15

4 C

45

8 D

5

Lời giải Chọn C

Ta có 3f x .ef3 x x2 1 22 x 0

f x     

  

 

2

3f x f x .ef x ex x Suy ef3 x ex21C Mặt khác, f 0 1 nên C0 Do ef3 x ex21 f3 x x2 1 f x  3x2 1

Vậy   

7

0

d

x f x x   

3

d

x x x      

7

3 2

0

1

1 d

2 x x  

 

    

 

7

2

0

1

8 x x 

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ví dụ 53: Cho hàm số f x x44x33x2 x 1, x Tính     

2

0

d

I f x f x x

A 2 B 2 C 7

3 D

7 Lời giải

Chọn D

Đặt t f x dt f x dx Đổi cận: x  0 t f 0 1, x  1 t f 1 2

Khi     

2

2

2

1

8 d

3 3

t

I t t

Ví dụ 54: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;1 f x 0,  x  0;1 Biết   

 

f a,  

 

3

f b x xf x  2f x 4,  x  0;1 Tính tích phân

 







3

2

sin cos sin d sin

x x x

I x

f x theo a b

A  

a b I

ab B





4

b a I

ab C





4

b a I

ab D





4

a b I

ab

Lời giải

Chọn D

 

 x 0;1 ta có:

   



 2 4

x xf x f x   x 2f x xf x x24x2xf x x f x2  

       

  

 

2

2

2

4 xf x x f x

x x

f x f x    



 



   

 

2

2

x x x

f x

f x

Tính

   

 

 

 

3 2 3 2

6

sin cos sin sin cos sin cos

d d

sin sin

x x x x x x x

I x x

f x f x

Đặt tsinxdtcos dx x, đổi cận   

6

x t ,   

3

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có

 



 

3 2

2

4 d

t t

I t

f t   

3 2

1

t f t

   

   

 

   

 

   

   

   

 

2

2

3 1

2 2

1

2

2 f

f



  3

4 4

a b

b a ab

Ví dụ 55: Cho hàm số f liên tục, f x  1, f 0 0 thỏa f x  x2 1 2x f x 1 Tính  3

f

A 0 B 3 C 7 D 9

Lời giải Chọn B

Ta có      

 



     

 

2

2

2

1

1

f x x

f x x x f x

f x x

 

     



        

 

3 3 3

2 0 0 0

0

2

d d 1 1

1

f x x

x x f x x f x

f x x

       

 f  1 f   1 f   1 f 3

Ví dụ 56: Cho hàm số f x liên tục    

5

2

d

f x x , f 5 3, f 2 2 Tính

 



2 2

1

1 d

I x f x x

A 3 B 4 C 1 D 6

Lời giải Chọn A

Đặt tx21 dt2 dx x   1

x t ; x  2 t Khi      

2

1 d

2

I t f t t

Đặt u t  1 dudt; dv f t d ,t chọn v f t 

     

   

5 5

2

1

1 d

2

I t f t f t t  14    5   2

2 f f

Ví dụ 57: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 1; thỏa mãn     



 f x lnx

f x

x

x Tính

tích phân   

3

d

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A I 3 2ln 22 B 

2 ln

I C 

ln

I D I2ln

Lời giải Chọn B

Ta có   

1

d

f x x  

  

 

   

 

 

4

1

2 ln

d

f x x

x x x

  

4 4

1

2 ln

d d

f x x

x x

x

x

Xét  

 4

1

2

d

f x

K x

x

Đặt x 1 t   1

t

x  dx dt

x

 

 3

1 d

K f t t   

3

1

d

f x x

Xét 

1 ln

d

x

M x

x   

4

1

ln d lnx x  

4

1

ln

x

2 ln

Do       

4

2

1

d d ln

f x x f x x    

4

2

d ln

f x x

Ví dụ 58: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn    





 

2 16

1

cot x f sin x dx f x dx

x

Tính tích phân   

1

4 d

f x x

x

A I3 B 

I C I2 D 

2

I

Lời giải Chọn D

Đặt  





2 

1

4

cot sin d

I x f x x ,     

16

1

d

f x

I x

x

Đặt tsin2x dt2sin cos dx x x2sin2x.cot dx x 2 cot dt x x

x 

4



t

2

 





2

1

4

cot sin d

I x f x x   

1

1

1 d

2

f t t

t

 

 1

1

d

f t t

t      

1

1

4

d

2

f x

x x

 

 

1

1

4

d

f x

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Suy     

4

1

8

d 2

f x

x I

x

Đặt t x 2 dt tdx

x 1 16

t 1 4

  16

2

d

f x

I x

x

 

4 2

1

2 d

f t t t t

 

 4

1

2 f t dt

t      

1

1

4

2 d

4

f x x x

 

 1

4 f x dx

x

Suy     

2

4

4 1

d

2

f x

x I

x Khi đó, ta có:

       

  

1

1

1 1

8

4 4

d d d

f x f x f x

x x x

x x x   

1

2

2

Ví dụ 59: Xét hàm số f x  liên tục 0;1 thỏa mãn điều kiện 

 2     

4 x f x 3f x x Tích phân   

0

d

I f x x bằng:

A 

I B 

6

I C  

20

I D  

16

I

Lời giải Chọn C

Vì f x  liên tục 0;1   2     

4 x f x 3f x x nên ta có

   

     

 

1 1

0

4 x f x 3f x dx x dx         

1 1

2

0 0

4 x f x dx 3f x dx x dx

 1

Mà   

1

2

4 x f x dx      

2

2 f x d x  2   

0

2 d

t x

f t t 2I

và    

0

3f x dx        

0

3 f x d x      1

0

3 d

u x f u u3I

Đồng thời  

2

1 x dx





sin 2 

0

1 sin cos d

x t t t t



2

0

cos dt t  



 2 

0

1 cos d

2 t t

 

4 Do đó,  1 2 3 

4

I I hay   20

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ví dụ 60: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn  f 1 1,

 

   

 

1

0

9 d

5

f x x    

1

0

2 d

5

f x x Tính tích phân   

0

d

I f x x

A 

I B 

4

I C 

4

I D 

5

I

Lời giải Chọn B

Đặt t x  t2 x dx2 dt t Đổi cận x  0 t 0; x  1 t 1 Suy       

1

0

d d

f x x t f t t    

0

1

d

5

t f t t Do    

0

1

d

5

x f x x

Mặt khác         

1 2

0 0

d d

2

x x

x f x x f x f x x    

1

0

1

d

2

x

f x x

Suy      

0

1 d

2 10

x

f x x    

1

3 d

5

x f x x

Ta tính   

1 2

2

0

9

3 d

5

x x

Do          

1 1

2

2 2 2

0 0

d d d

f x x x f x x x x     

1

2

3 d

f x x x

 



 f x 3x2 0  f x 3x2  f x x3C

Vì f 1 1 nên f x x3

Vậy     

1

3

0

1

d d

4

I f x x x x

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Tích phân phần với hàm ẩn thường áp dụng cho toán mà giả thiết kết luận có tích phân sau

 ( ) '( ) b

a

u x f x dx

hoặc 

'( ) ( ) b

a

u x f x dx

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ví dụ 61: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  liên tục 0;  f 2 3,    

0

d

f x x

Tính   

0

d

x f x x

A 3 B 3 C 0 D 6

Lời giải Chọn B

Ta có   

0

d

x f x x   

2

0

d

x f x       2

0

d

x f x f x x 2f 2  3

Ví dụ 62: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x'  liên tục đoạn [0; 1] f 1 2 Biết

  

1

0

1

f x dx , tính tích phân   

1

0 '

I x f x dx

A I 1 B I 1 C I3 D I 3 Lời giải

Ta có:   

0 '

I x f x dx

Đặt u x du dx , dv f x dx'  chọn vf x dx'   f x 

         

  1   1   

0

0

1 0 1

I x f x f x dx f f f x dx

Chọn A

Ví dụ 63: Cho hàm số f x  thỏa mãn      

1

0

1 ' 10

x f x dx 2f   1  f 2 Tính

 

1

I f x dx

A. I8 B I 8 C I4 D I 4 Lời giải

   

1 

1 '

A x f x dx Đặt u x  1 du dx , dv f x dx'  chọn v f x 

           

   1   1  1  1  

0

0 0

1 (1) (0) 10

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ví dụ 64: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0 ; thỏa mãn  f 2 16,

  

2

0

d

f x x Tính tích phân   

0

d

I x f x x

A I12 B I7 C I13 D I20 Lời giải

Chọn B

Đặt    

 

 

 

   



 

 

d d

2

d d

2

u x

u x

f x

v f x x v

Khi đó:                

1

1

0 0 0

1 1 16 1

2 d d

2 2 4

x f x f

I f x x f t t

Ví dụ 65: Cho hàm số f x  g x  liên tục, có đạo hàm thỏa mãn f   0 f 0

      2 e x

g x f x x x Tính giá trị tích phân     

2

0

d

I f x g x x?

A 4 B e 2 C 4 D 2 e

Lời giải Chọn C

Ta có g x f x     x x2 e x g   0 g 2 0 (vì f   0 f 2 0)

   

2

d

I f x g x x    

0

d

f x g x     2

0

f x g x     

2

0

d

g x f x x

 

 2 2 

2 e dx

x x x

Ví dụ 66: Cho hàm số f x  thỏa mãn      

1

0

1 ' 10

x f x dx 2f   1  f 2 Tính

 

1

I f x dx

A. I8 B I 8 C I4 D I 4 Lời giải

Chọn B

   

1 

1 '

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

           

   1   1  1  1  

0

0 0

1 (1) (0) 10

A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

Ví dụ 67: Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x 33x 1 3x  2, x Tính   

1

I x f x dx

A 5

4 B

17

4 C

33

4 D 1761

Lời giải Chọn C

Đặt               

 

 

  

5

1

u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

Từ      

   

  



     

 



3 5

3

1

f x

f x x x

f x , suy    

5

1

23

I f x dx

Đặt  

 

  

     

  

2

3 3

3

3

dt x dx

t x x

f t x

Đổi cận: Với t  1 1 x33x  1 x 0 t 5 x33x   1 5 x 1 Khi           

5

2

1

33

23 23 3

4

Casio

I f x dx x x dx

Chọn C

Ví dụ 68: Cho hàm số f x  liên tục đoạn 1; e , biết      e

1

d

f x x

x , f e 1 Khi

 

 e

1

.ln d

I f x x x

A I4 B I3 C I1 D I0 Lời giải

Chọn D

Cách 1: Ta có               

e e

e

1

1

.ln d ln d e 1

I f x x x f x x f x x f

x

Cách 2: Đặt  

 



  

 

   

 

  

d

ln d

d d

x

u x u

x

v f x x

v f x

Suy               

e e

e

1

.ln d ln f x d e 1

I f x x x f x x x f

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ví dụ 69: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn

  π 

2  sin cos

f x f x x x, với x f 0 0 Giá trị tích phân

  π

 2

0

d

x f x x

A π

4 B

1

4 C

π

4 D 

1 Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết, f 0 0   π 

2  sin cos

f x f x x x nên

    π   

0

2

f f    π 

 2

f

Ta có:

  π

 2

0

d

I x f x x  

π

 

2  

0 d

x f x    

π π

 

 2 2

0

d

xf x f x x

Suy ra:  

π

 2

0

d

I f x x

Mặt khác, ta có:

  π  

 

2  sin cos

f x f x x x  

    

     

 

2 2 2

0 0

1

d d sin cos d

2

f x x f x x x x x

Suy ra:    

 

  

      

 

 0 

2

0

2

1

d d d

2

f x x f x x f x x

Vậy  

π

 2  

0

1 d

4

I f x x

Ví dụ 70: Cho hàm số f x  thỏa f   0  f 1 Biết        

0

'

x

e f x f x dx ae b Tính biểu thức Q a 2018b2018

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

       

 

     

1

1 1

0 0

' '

x x x

A A

A e f x f x dx e f x dx e f x dx

 

1

0 x

A e f x dx

Đặt u f x du f x dx'  , dv e dx x chọn v e x        1

1 0

0

'

x x

A

A e f x e f x dx

Vậy   1 2 2   1       

0 1

x x

A e f x A A e f x e f f e

 

        

2018 2018

1

1

a

a b

b Chọn D

Ví dụ 71: Cho hàm số f x  có đạo hàm thỏa mãn f x 2018f x 2018.x2017.e2018x với x f 0 2018 Tính giá trị f 1

A f 1 2019e2018. B f 1 2018.e2018. C f 1 2018.e2018. D f 1 2017.e2018 Lời giải

Chọn A

Ta có: f x 2018f x 2018.x2017.e2018x     2017 2018

2018

2018 e x

f x f x

x

   

 

1 1 2017

2018

0

2018

d 2018 d

e x

f x f x

x x x  1

Xets     

2018

2018 d e x

f x f x

I x        

1

2018 2018

0

.e xd 2018 .e xd

f x x f x x

Xét    

1

2018

0

2018 .e xd

I f x x Đặt         

  

 

 2018  2018

d d

d 2018.e xd e x

u f x u f x x

v x v

Do                

2018 2018 2018

1

0

e x e xd e x 2018

I f x f x x I f

Khi  1    2018   2018 1 e x 2018

f x  f 1 2019.e2018

Ví dụ 72: Cho hàm số y f x  với f   0  f 1 Biết rằng:       

0

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 2017 2017

Q a b

A Q220171 B Q2 C Q0 D Q220171 Lời giải

Chọn C

Đặt        

 

 

 

d d

d e dx ex

u f x u f x x

v x v

         

        

 

1 1 1

1

0 0

ex f x f x dx exf x exf x dx exf x dx e 1f    f 0  

e

Do a1, b 1

Suy Q a 2017b2017  2017   2017 

1 Vậy Q0

Ví dụ 73: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;  f 5 10,

 

 

5

0

d 30

xf x x Tính   

0

d

f x x

A 20. B 30. C 20. D 70.

Lời giải Chọn A

Đặt         

  



d d

d d

u x u x

v f x x v f x

      

  

5 5

0

0

d d

x f x x x f x f x x      

0

30 5f f x dx

   

5   

0

d 5 30 20

f x x f

Ví dụ 74: Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn 1;  Biết F 1 1, F 2 4,  1 3

2

G , G 2 2      

1

67 d

12

f x G x x Tính

   

2

1

d

F x g x x

A 11

12 B 

145

12 C 

11

12 D

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn A

Đặt  

 

   



 d

u F x dv g x x

   

    

 

du f x dx v G x

   

2

1

d

F x g x x          

2

1

d

F x G x f x G x x

           

  2

1

2 1 d

F G F G f x G x x

4.2 1. 67 12 

11 12

Ví dụ 75: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn         

1

0

2 d

x f x x f

Giá trị   

0

d

I f x x

A 2 B 2 C 1 D 1

Lời giải Chọn C

Ta có     

0

2 d

x f x x   

1

0

d d

x f x x x x

 

 

1  

0

d

x f x x       

1

0

d

x f x f x x  f 1  I

Theo đề        

0

2 d

x f x x f   I

Ví dụ 76: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 1;       

1

1 d

x f x x a Tính   

1

d

f x x

theo a b f 2

A b a B a b C a b D  a b Lời giải

Chọn A

Đặt u x  1 dudx; dv f x dx chọn v f x 

    

2

1

1 d

x f x x        

2

1

1 d

x f x f x x   2   d

b

a

f f x x   

1

b f x

Ta có      

1

1 d

x f x x a    

2

1

d

b f x x a     

2

1

d

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ví dụ 77: Cho hàm số f x  liên tục f 2 16,    

2

0

d

f x x Tính tích phân

 

 1

0

d

I x f x x

A I13 B I12 C I20 D I7 Lời giải

Chọn D

Đặt

   

   

 

   



 

 

d d

1

d d

2

u x

u x

v f x x v f x

Khi đó,                  

1 1 1 1

0 0

0

1 1 1

2 d 2 d d

2 2 2

I x f x f x x f f x x f x x

Đặt t2xdt2dx

Với x  0 t 0; x  1 t Suy        

2

0

1

8 d

4

I f t t

Ví dụ 78: Cho hàm số y f x  thỏa mãn    



 2

0

sin x f x dx f 1 Tính   

 2

0

cos d

I x f x x

A I 1 B I0 C I2 D 2 Lời giải

Chọn C

Đặt      

   



d ( )d

d sin d cos

u f x u f x x

v x x v x

      

 





2   2

0

0

sin x f x dx cos x f x cos x f x dx

 





 2

0

cos d

I x f x x    





2 

0

sin x f x dx cos x f x  1 10

Ví dụ 79: Xét hàm số f x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f 1 1

 2 4

f Tính        

 

2

1

2

d

f x f x

J x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A J 1 ln B J 4 ln C ln 21

J D  1 ln

2

J

Lời giải Chọn D

Cách1: Ta có        

 

2

1

2

d

f x f x

J x

x x

   

  

     

 

2 2 2

1 1

2

d d d

f x f x

x x x

x x x x

Đặt

   



   

 

 

    

 

2 1

d d

d d

u x

u

x x

v f x x v f x

   

    

   

 

2

1

2

d

f x f x

J x

x x  

     

      

 

  

2 2 2 2

2 2

1 1

1

1

.f x f x dx f x dx dx

x x x x x

     

      

 

2

1

1 1

2 ln ln

2 f f x x

Cách2:        

 

2

1

2

d

f x f x

J x

x x

   

   

    

 

2 2

1

2 d

xf x f x

x x

x x

1      

 

2

1

1

2 ln ln

2

f x

x

x x

Cách3: ( Trắc nghiệm)

Chọn hàm số f x ax b Vì  

 

   

 

   

 



1

2

f a

b

f , suy f x 3x2

Vậy          

   



2

2

1

5 1

d ln ln

2

x

J x x

x x x

Ví dụ 80: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn 0; Biết 

 0 1

f f x f  . 2xe2x24x, với mọi    0; 2

x Tính tích phân

     

 



3 2

0

3

d

x x f x

I x

f x

A  16

I B  16

5

I C  14

3

I D  32

5

I

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Cách1: Theo giả thiết, ta có f x f  . 2xe2x24x f x  nhận giá trị dương nên

    

  

  2

ln f x f x ln e x x       2 ln f x ln f x 2x 4x Mặt khác, với x0, ta có f   0 f 1 f 0 1 nên f 2 1

Xét    

 

 



3 2

0

3

d

x x f x

I x

f x , ta có  

   

 2 3

0

3 f x d

I x x x

f x

Đặt  

 

  

 

 

 

3

d d

u x x

f x

v x

f x

 

 

  

  

 

2

d d

ln

u x x x

v f x

Suy          

2

3 2

0 0

3 ln ln d

I x x f x x x f x x      

2

3x lnx f x dx  1

Đến đây, đổi biến x 2 t dx dt Khi x  0 t x  2 t Ta có        

0

2

3 ln d

I t t f t t       

2

3t lnt f t dt

Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên       

2

0

3 ln d

I x x f x x  2

Từ  1  2 ta cộng vế theo vế, ta          

2

2I 3x lnx f x lnf x dx

Hay        

2

2

0

1

3 d

2

I x x x x x  16

5

Cách2(Trắcnghiệm)

Chọn hàm số f x ex22x, đó:

       



  

    

2

2

3 2

2

3 2

0

3 e 2 16

d 2 d

5 e

x x

x x

x x x

I x x x x x

Ví dụ 81: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn  f 1 0

      

     

 

1 1

0

e

d e d

4

x

f x x x f x x Tính tích phân   

1

0

d

I f x x

A I  2 e B I e C e

I D e 1

2

I

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn B

Xét     

1

0

1 ex d

A x f x x Đặt  

 

   

  d e dx

u f x

v x x

 

   

   

d d

ex

u f x x v x

Suy      

1

0

ex ex d

A x f x x f x x    

0

ex d

x f x x     

1

0

1 e

e d

4

x

x f x x

Xét       

 



1

1

2 2

0

1 1 e

e d e

2 4

x x

x x x x

Ta có         

1 1

2 2 2

0 0

d ex d e dx

f x x x f x x x x     

1

2

0

ex d

f x x x

Suy f x xex 0     0;1

x (do f x xex2 0   x 0;1)

 



 f x  xex f x   1 xexC

Do f 1 0 nên f x   1 xex

Vậy           

1 1

0

0

d e dx ex e

I f x x x x x

Ví dụ 82: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1; thỏa mãn 

      

2

1

1

1 d

3

x f x x , f 2 0    

2

2

1

d

f x x Tính tích phân   

1

d

I f x x

A 7

I B  7

5

I C  

20

I D 

20

I

Lời giải Chọn B

Đặt u f x du f x dx,       

2

d d

3

x

v x x v

Ta có      

2

1

1 d

3 x f x x

        



 

2

3 2

1

1

d

3

x x

f x f x x

   

    2 

1

1

1 d

3 x f x x     

2

3

1

1 d

x f x x         

2

3

1

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Tính     

6

1

49 x dx

 

  

  

2

2

1

d

f x x      

2

3

1

2.7 x f x dx    

2

6

1

49 x dx

   

  

     

 

2

1

7 x f x dx 0 f x  7 x13       

4

7

4

x

f x C

Do f 2 0       

4

7 7

4

x

f x

Vậy   

1

d

I f x x  

  

 

 

 

 



4

1

7 7

d

4

x

x  7

Ví dụ 83: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn  f 1 1,

 

   

 

1

0

d

f x x    

3

0

1 d

2

x f x x Tích phân   

1

0

d

f x x

A 2

3 B

5

2 C

7

4 D

6 Lời giải

Chọn B

Ta có:    

2

0

d

f x x  1

- Tính    

3

0

1

d

2

x f x x

Đặt      

d d

u f x

v x x

 

  

  

  

4

d d

4

u f x x

x v

 

 1

1

d

2 x f x x  

 

  

 

1

0

x

f x    

4

1

d

4 x f x x    

1 1

d

4 x f x x

 



1  

d

x f x x      

1

0

18 x f x dx 18  2

- Lại có:   

1

8

0

1 d

9

x

x x   

1

0

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

- Cộng vế với vế đẳng thức  1 ,  2  3 ta được:

   

       

 

 

 

1 4 8

0

18 81 d

f x x f x x x     

4

0

9 d

f x x x

 

   

 1  4 

0

f x 9x dx

Hay thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

 



 9

y f x x , trục hoành Ox, đường thẳng x0, x1 quay quanh Ox

0

 



  

9

f x x  f x  9x4  f x f x .dx  9 4

5x C Lại f 1 1 14

5

C    9 514

5

f x x

 

1 

0

d

f x x   

 

1

0

9 14

d 5x x

 

    

 

1

0

3 14

10x x

Ví dụ 84: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn   0;4

  

  

 4

f Biết

 



  4

0

d

f x x ,  





  

4

0

sin d

4

f x x x Tính tích phân  



8

0

2 d

I f x x

A I 1 B 

I C I2 D 

4

I

Lời giải Chọn D

Tính

 





  

4

0

sin d

4

f x x x

Đặt         

 

 

sin 2 cos d d

d d

x u x x u

f x x v f x v ,

     

 



  

4 4

0

0

sin d sin cos2 d

f x x x x f x f x x x

   

   

   

  

4

0

sin sin 0 cos2 d

2 f f f x x x  



  4

0

2 f x cos2 dx x

Theo đề ta có   



  

4

0

sin d

4

f x x x   



  4

0

cos2 d

f x x x

Mặt khác ta lại có 

 

4

0

cos d

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Do      

 

 

     

   

4 4 2 2

0

cos2 d cos2 cos d

f x x x f x f x x x x     

8 28 8 nên

 cos

f x x

Ta có

 

8  

0

1

cos d sin

4

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số y f x  xác định thỏa mãn f x   0, x f x 2f x 0

Biết f  1 1, tính f( 1).

A 3 B

e  C

e D

e Lời giải

Chọn C

Ta có  

    

1

1

2

f x f x

dx dx

f x  f x 

 

      

Suy        

ln f ln f 1   4 f  1 e

Câu 2: Cho hàm số  

2

khi

1

2

x

y f x x

x x

  



  

   



Tính tích phân  

3

0

d

f x x



A 6 ln 4 B 4 ln 4 C 6 ln 2 D 2 2ln 2

Lời giải Chọn A

Ta có:      

3

0

d d d

f x x f x x f x x

   3 

0

2

d d

1 x x x

x

  



 

 3

1 2

0 1

2 ln x x x

    ln 6

Câu 3: Xác định số thực dương m để tích phân  2

d

m

xx x

 có giá trị lớn A m1 B m2 C m3 D m4

Lời giải Chọn A

 2

0

d

m

P xx x

2

0

2

m

x x

 

  

 

2

2

m m

 

Đặt  

2

2

m m

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Vậy f m  đạt GTLN m1

Câu 4: (SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho f x( ) hàm liên tục a0 Giả sử với

 0;

x a , ta có f x( ) 0 f x f a x     Tính

01 ( )

a

dx f x 

 kết bằng: A

3

a

B. 2a C alna1 D

2

a Lời giải

Chọn D

Ta có:

0

( )

1 ( )

1

( )

a a

dx f a x

I dx

f a x f a x



 

  



 

Đặt: a x t  dx dt

Đổi cận

Ta được:

0

0

( ) ( )

(t) ( )

a

a

f t f x

I dt dx

f f x

  

 

 

Do đó: I I

01 ( )

a

dx f x 

 +

0

( )

1 ( )

a

f x dx f x 

 =  

0

1 ( )

1 ( )

a

f x dx f x 



 =

0

a

dxa

 Vậy:

2

a

I .

Câu 5: [KHTN Hà Nội, Lần 3, Năm 2018] Cho hàm số f x  liên tục

   

3f  x 2f x tan x Tính  

4

4

d

f x x



 



A.1



 B.

2

 

C.

4



 D.

2





Lời giải Chọn D

      3f  x 2f x tan x

Thay       2   

tan tan

x x  f x  f  x  x x

     

 

2

1 2 tan tan

x f x

f x x

  

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

   

4 4

2 2

0

4

d tan x d tan x d 1+tan x d

I f x x x x x

   

 

 

 

         

 4

0

2 tan

2

I x x

 

    .

Câu 6: Cho hàm số y f x thỏa mãn f   x f x x4x2 Biết f 0 2 Tính f2 2 A. 2  313

2

15

f  B. 2  332

2

15

f  C. 2  324

2

15

f  D. 2  323

2

15

f 

Lời giải Chọn B

Ta có               

2

2

4 2

0

0

1

2

x x dx f x f x dx f x d f x  f  f

  

Suy 2  2 2 2 

332

2

15

f   x x dx f 

Câu 7: (Chu Văn An 2018) Xét hàm số f x  liên tục  0;1 thỏa mãn điều kiện

 2  

4 x f x 3f 1x  1x Tích phân  

1

0

d

I  f x x bằng: A

20

I   B

16

I   C

6

I  D

4

I  Lời giải

Chọn A

Vì f x  liên tục  0;1  2  

4 x f x 3f 1x  1x nên ta có

   

1

2

0

4 x f x 3f x dx x dx

     

 

   2  

0 0

4 x f x dx 3f x dx x dx

      1

Mà  

1

2

4 x f x dx

    2

0

2 f x d x

   

0

2 d

t x

f t t



  2I

và  

1

0

3f 1x dx

    

0

3 f x d x

     1  

0

3 d

u x

f u u

 

  3I

Đồng thời

1

2

1x dx

 sin 2

0

1 sin cos d

x t

t t t





  2

0

cos dt t



 2 

0

1

1 cos d

2 t t



  

4





Do đó,  1 

I  I  hay

20

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 8: Cho hàm số f x  liên tục \ 0; 1   thỏa mãn điều kiện f  1  2ln

     

1

x x f x  f x x x Giá trị f  2  a bln 3,a b,  Tính 2 a b A 25

4 B

9

2 C

5

2 D

13

4

Lời giải Chọn B

Ta có

 1    

x x f x  f x x x  

 2  

1

1 1

x x

f x f x

x  x x

  

    

x x

f x

x x



 

  

 

 

Lấy tích phân từ đến hai vế ta

 

2

1

d d

1

x x

f x x x

x x



  

   

 

   2  2

1

ln

1

x

f x x x

x

   



       

2

2 ln ln

3 f f

       2 ln ln ln

3 f

      2 3ln

2

f

  

Suy

2

a

2

b 

Vậy

2

2 3

2 2

a b       

   

Câu 9: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018] Cho hàm số f x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f x 2f 1x3x26x,  x  0;1 Tính tích

phân  

1

2

1 d

I  f x x

A

15

I   B I 1 C

15

I   D

15

I 

Lời giải Chọn C

Đặt t 1 x, x  0;1  t  0;1

Ta có    

2

f x  f x  x  x  f x 2f 1x 3 x123

   

1 3

f t f t t

        

2f x f x 3x

    

Xét hệ phương trình:        

2

2

2 3

f x f x x x

f x f x x

    

 

   



   

   

2

2

4 6

f x f x x x

f x f x x

    

  

   

  

3f x 3x 6x

       2

1

f x x

    ,  x  0;1 Khi  2  22

1

f x  x 

4

x x

  

Suy  

1

2

1 d

I  f x x  

1

4

4 d

x x x

  

1

5

4

5

x x

x

 

   

 

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Phân tích:

+ Bước 1: Từ    

2

f x  f x  x  x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f x 

+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm  2

1

f x tính  

1

2

1 d

I f x x

Câu 10: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y f x  liên tục với x1 thỏa mãn 3,

1

x

f x x

x



    

  

  Tính  

1

2

d

e

I f x x



 

A I 4e1 B I  e C I 4e2 D I  e Lời giải

Chọn C

Đặt 1

1

x t

t xt t x x

x t

 

      

  , suy  

1

3

1

t f t

t t



   

  hay

2 ( )

1

f x

x

  

Ta có  

1

1 2

2

4 d ln

1

e

e

I x x x e

x

 

 

        



 



Câu 11: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y f x  liên tục với x0 thỏa mãn f x  2f ,x x

x

 

   

  Tính

 

2

1

d

f x

I x

x



A

I  B

2

I  C

2

I  D

3

I 

Lời giải Chọn A

Tương tự ta xác định f x  x x

  

Suy  

2

2

2

1

1

2

2

2

d d

2

f x

I x x x

x x x

   

         

   

 

Câu 12: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số f x  liên tục khoảng 2;3 Gọi F x  nguyên hàm f x  khoảng

2;3 Tính  

2

1

2



  

I f x x dx, biết F  1 F 2 4

A I 6 B I 10 C I 3 D I 9 Câu 13: Nếu ( )2

x

a

f t dt

x

t  

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A 9 B 19 C 5 D 6

Lời giải Chọn A

Gọi F t( ) nguyên hàm f t( )2

t , suy

( )

'( ) f t

F t t



Ta có ( )2

x

a

f t dt

x

t  

 F t( ) |ax  6 x F x( )F a( ) 6 2 x

1

'( )

2

F x

x

  f x( )2

x x

   f x( )x x

2

( )

2 | 2

x x x

x a

a a a

f t dt t t

dt dt t x a x

t t t

        (gt)

Vậy a  3 a

Câu 14: [Sở GD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 - Câu 39] Cho hàm số y f x  liên tục thoả mãn f x  2f 3x

x  

  

  với

1 ; 2

x  

  Tính

 

2

1

d

f x x x



A 3

2 B

3

 C 9

2 D

9



Lời giải Chọn A

Đặt  

2

1

d

f x

I x

x



Với 1; 2

x  

 ,  

1

2

f x f x

x

    

 

 

2

f

f x x

x x

     

  

 

2 2

1 1

2 2

1

d d 3d (1)

f

f x x

x x x

x x

     

   

Đặt t dt 12dx

x x

    1dt 1dx

t x

  

 

2

1

2

1

2 d d

f

f t x

x t I

x t

   

   

 

 

1

3

1 3d

2

I x I

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 15: Cho f x( ) hàm số liên tục  thỏa mãn f x  f   x 2cos 2 x Tính

tích phân  

3

3

d

I f x x



 

 

A I 3 B I 4 C I 6 D I 8 Lời giải

Chọn C

Ta có      

3

0

2

3

2

d d d

I f x x f x x f x x

 

 

 

     

Xét  

0

3

d

f x x

 

 Đặt t  x dt dx; Đổi cận: 3

2

x    t  ; x  0 t

Suy        

3

0 2

3 0

2

d dt d d

f x x f t f t t f x x

 

 



      

   

Theo giả thiết ta có:

        

3

2

0

2 cos d 2 cos d

f x f x x f x f x x x x

 

          

   

3 3

2 2

0 0

d d sin d

f x x f x x x x

  

      

   

3

0

2

3

0 0

2

d d sin d sin d

f x x f x x x x x x

 

 



         

3

3

d

f x x



 

  

Câu 16: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Cho hàm số f x  có đạo hàm f x thỏa mãn        

1

0

2x1 f x dx10, f  f 8

 Tính  

1

0

d

I f x x

A I 2 B I 1 C I  1 D I  2 Lời giải

Chọn C

Xét    

1

0

2x1 f x dx



Đặt  

   

2 d 2d

d d

u x u x

v f x x v f x

   



 

  

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

ta có    

1

0

10 2x1 f x dx      

0

1

2 d

0

x f x f x x

  

       

0

10 f f 2f x dx 10 2f x dx

        

1

0

2f x dx

  

 

1

0

d

f x x

  

Câu 17: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đến cấp hai thỏa mãn

       

1

d 10,

x x f x x f  f 

 Tính  

1

0

d

I  f x x

A I  9 B I 3 C I  3 D I 9 Lời giải

Chọn D

Xét    

1

d

x x f x x



Đặt    

   

1

d d

d d

u x x u x x

v f x x v f x

     

 

 

  



ta có            

1

2

0

1

10 d d

0

x x f x x x x f x x f x x

      1   

0

2x f x dx

  

Đặt  

   

1

1

2 d 2d

d d

u x u x

v f x x v f x

    

 



  



ta có          

1

0

1

10 d 2 d

0

x f x x x f x f x x

     

     

0

10 f f 2f x dx

    

   

1

0

10 2f x dx f x dx

     

Câu 18: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x thỏa mãn

     

1

d 10,

f x x x f  f 

 Tính  

2

0

d

I f x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn C

Xét  

1

d

f x x x



Đặt  

d d

tx  x t x x

         

1 2

2

0 0

d d d 10

f x x x t f t t x f x x

      

Đặt  

   

2 d 2d

d d

u x u x

v f x x v f x

   



 

  



ta có          

2

0

2

10 d 2 d

0

x f x x x f x f x x

    

     

0

10 f f 2f x dx

       

2

0

10 2f x dx 2f x dx

     

Câu 19: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f x liên tục 1;2018 và:

2017

1

(2018 ) ( ) [1; 2018] , ( ) 10

f x  f x  x  f x dx Tính

2017

1

( )

I   x f x dx

A I 10100 B I 20170 C I 20180 D I 10090

Lời giải Chọn D

Đặt t 2018 x dt  dx

1 2017, 2017

x   t x   t

1 2017

2017

(2018 ) (2018 ) (2018 ) ( )

I    t f t dt   t f t dt

2017 2017

1

2018 f x dx( ) xf x dx( )

   

 I 2018.10  I I 10090

Câu 20: Hàm số f x liên tục a b;  và: f a b(  x) f x( ) x [ ; ]a b ;  ( )  

b

a

f x dx a bTính

( ) b

a

I x f x dx

A     a b

I B  

2



 a b

I C  

4   a b

I D  

2



 a b

I Lời giải

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Đặt t a b x   dt  dx

,

x a  t b x b  t a

( ) ( )

a b

I   a b t f a b t dt   

( ) ( )

b a

a b t f t dt

  

( ) ( )b b ( )

a a

a b f x dx xf x dx

   

 2

( ).( )

2

a b

I a b a b I I 

      

Câu 21: Giả sử hàm số y f x  đồng biến 0; ; y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  thỏa mãn:  3

3

f  f x  2 x1   f x Mệnh đề

đúng?

A 2613 f2 8 2614

B 2614 f2 8 2615

C 2 

2618 f 2619 D 2 

2616 f 2617 Lời giải

Chọn A

Vì y f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  f x 2 x1   f x      

f x x f x

    

   1

f x

x f x



    

 

1

d 1d

2

f x

x x x

f x



  

   3

1

f x x C

    Vì  3

3

f 

3 C

  

3 C



 

   

2

1

3

x f x

    

 

 

 

 

 

4

2 19

8 2613, 261

3

f   

   

 

Vậy 2 

2613 f 2614

Câu 22: [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số f x  liên tục thỏa

mãn    

16

2

1

cot sin d d

f x

x f x x x

x





 

  Tính tích phân  

1

1

4 d

f x

I x

x



A I 3 B

I  C I 2 D

2

I  Lời giải

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Đặt d

sin d 2sin cos d cot d

2

t

t x t x x x x x

t

    

       

2

2

1 1

4 2

d

1 cot sin d d d

2

f x f x

t

x f x x f t x x

t x x





     

Đặt t x dt t2 dx

x t

 

  

 

       

16 4

2

1 1

1

1 d 2td d d

2

f x f t f x f x

x t x x

x t x x

     

Đặt t4xdt4dx

         

1 4

1 1 1

8 2

4 d

d d d d

4

4

f x f t t f x f x f x

I x x x x

t

x x x x

     

Phân tích:

Dạng dạng tốn tìm tích phân hàm f x  khơng biết, cho thêm điều kiện, điều kiện đoạn cận tích phân cần tìm, yêu cầu đưa tích phân biết giống dạng chưa biết

Câu 23: Cho hàm số f x  liên tục thỏa mãn  

2

ln

d

ln

e

e

f x

x

x x 

  

3

0

cos tan d

f x x x







Tính  

2

1

d

f x x x 

A 3 B 5

2 C 2 D 1

Lời giải Chọn A

Đặt t lnx dt dx x

  

     

2 2 2

1

ln

1 d d d

ln

e

e

f x f t f x

x t x

x x t x

  

Đặt tcosxdt  sin dx x

     

1

1

3

1

0

2

sin

2 cos d d d

cos

f t f x

x

f x x t x

x t x



   

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

     

2

1 1

2

d d d

f x f x f x

x x x

x  x  x 

  

Câu 24: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục 0;     

  f  0 0,  

2

2

d

f x x





 

 

 

 ,

 

2

0

sin d

x f x x



 

 Tính  

2

0

d

I f x x



 ?

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn B

Ta có       

2

2

0

d d

4

f x x f x f x

 



   

 

 

 

         

2 2

2

0 0

s

4

in x f x dx f x d cosx cos x f x f x cos dx x

  

 



     

  

Mặt khác ta tính được:

2 2

2

0

0

1 cos sin

cos d d

2 2

x x

x x x x

  



  

     

 

 

Vậy    

4 2

0 0

2

2 2

d cos ( )d cos d cos d

'( ) '( )

f x x x f x x x x f x x x

   

     

   

Suy f x cosx f x sinx C

Do f  0   0 C

Vậy  

2

2

0

d sin d cos

I f x x x x x

 



    

Câu 25: Cho hàm số

 3

( )

1

x

a

f x bxe

x

 

 Tìm a b biết f '(0) 22

1

0

( )

f x dx



A a 2,b 8 B a2,b8 C a8,b2 D a 8,b 2 Lời giải

Chọn C

Ta có

 4

3

'( ) ( 1)

1

x

a

f x b x e

x

   



http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có

   

1

1

3

0

0

3

( ) ( 1)

8

1

x x

a a

f x dx bxe dx b x e a b

x x

   

          

 

   

   

 

Theo

1

0

( )

f x dx



8a b

   (2)

Từ (1) (2) ta có hệ

3 22

8

2

8

a b

a b a b

   

  

 

    





Câu 26: Cho hàm số y f x  hàm lẻ liên tục 4; , biết  

0

2

d

f x x



 



 

2

1

2 d

f  x x

 Tính  

4

0

d

I f x x

A I  10 B I  6 C I 6 D I 10 Lời giải

Chọn B

Vì f x  hàm lẻ nên ta có f    x f x 

Ta có:        

0 2

2 0

d t x d d d

f x x  f t t f t t f x x



      

   

         

2 4

2

1 2

1

2 d d d d d

2

u x

f  x x  f x x  f u u  f u u   f x x 

    

Do đó:      

4

0

d d d

f x x f x x f x x   

  

Câu 27: Cho hàm số  

1

d

f x x





 , hàm số y f x  hàm số chẵn 1;1 Tính

 

1

1

d 2x

f x x

 

A 2 B 16 C 8 D 4

Lời giải Chọn A

Cách

Đặt t  x dt dx Đổi cận x   1 t 1; x   1 t

Ta được:        

1 1

1 1

1 2

d d d d

1 2 2

t x

x t t x

I f x x f t t f t t f x x





  

     

   

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Do đó:      

1 1

1 1

1

2 d d d

1 2

x

x x

I f x x f x x f x x I

  

     

 

  

Cách

Chọn h x x2 hàm số chẵn Ta có:

2

1

2 d

3 x x





 Do đó:    

2

f x  h x  x

Khi đó:  

1

1

6

d d

2

 

 

 

 x  x

f x x

x x

Lời bình: Với cách làm này, cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết tốn dễ dàng tìm kết tốn máy tính phương pháp với hàm số y f x  đơn giản Đối với tốn ta chọn hàm số h x 1 cho đơn giản

Câu 28: Cho hàm số f x( )thỏa mãn 8   

3 x3 f x dx25

 33f  8 18f  3 83

Giá trị  

3 f x dx

 là:

A I 83 B I 38 C

I  D 3

8 Lời giải

Chọn C

Ta có 8   

3 x3 f x dx25



Đặt

   

3 d d

d

u x u x

v f x dx v f x

  

 

 

    

 

 

   8  

3

3 d

A x f x f x x

         

3

11f 6f f x dx

  

Ta có 33.f  8 18f  3 83 11  8  3 83

f f

  

Suy  

3

83

d

A  f x x Mà A25  

3

83

d 25

3

f x x

   

Câu 29: Cho hàm số y  f x  dương có đạo hàm liên tục đoạn 0; 3 biết    

1

f x  f x x    

3

f e Tính  

0 ln d

I  f x  x

A 2 3 B 3



C

7 3

3



D

3 32

Lời giải

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có    

1

f x  x  f x   

 

f x

x f x



  

Đặt ln  

d d

u f x

v x

   

  

  

   

'

du f x dx

f x

v x

    

  

Áp dụng công thức tích phân phần ta  

3

0

ln d

I   f x  x    

 

3

0

'

ln xf x d

x f x x

f x

      

3

3

0

ln d

x f x x x x

        3  

0

1

ln d

2

x f x x x

      

   

0

1

ln 1

3

x f x x x

     

7 3

3

 

Câu 30: [THPT QUỲNH LƯU 2_NGHỆ AN_LẦN 1] Cho hàm số y f x  liên tục thỏa mãn 3   

f x  f x   x x Tính  

2

0

I  f x dx A 5

4 B

4

5 C

5

 D

5



Lời giải Chọn A

Đặt    

3

t f x    t t x dx t  dt

1

0 t

x

Suy  

1

5

3

4

I t t  dt 

Câu 31: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ' x 2xf x 2 x ex2 f  0 1 Tính f  1

A e. B 1

e. C

2

e . D

2

e

 Lời giải

Chọn C

    2       

' 2 x x ' x x '

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lấy tích phân hai vế ta được:  

   1    

1 21

0

0 0

' 1

x x

e f x dx xdxe f x x e f  f 

 

   

e f f

e

   

Câu 32: (SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tực đoạn

 0;1 thỏa mãn     2018

3f x x f ' x x với x 0;1 Giá trị nhỏ tích phân  

1

0

f x dx

 bằng:

A

2019.2021 B

2018.2021 C

2018.2019 D 2021.2022 Lời giải

Chọn A

Ta có:     2018

3f x x f ' x x với x 0;1 Nhân thêm vế cho

x để đưa dạng f x g x    ' Ta được:     2020

3x f x x f ' x x

   

1

2 2020

0

3x f x x f ' x dx x dx

 

   

   

1

3 2020

0

1

'

2021

x f x dx x dx f

 

    

Mặt khác:     2018

3f x x f ' x x

   

1 1

2018

0 0

3 f x dx xf ' x dx x dx

    

     

1 1

2018

0 0

1

3

0

f x dx x f x f x dx x dx

     

   

1

0

1 1 1

1

2 2019 2019 2021 2019.2021

f x dx  f   

       

   



Câu 33: (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN – 2018) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm khơng âm đoạn  0;1 thỏa f x( ) 4 f x( )2x2   1 f x( )3và

  ( )  0, 0;1

f x x Biết f(0)2, chọn khẳng định khẳng định

A 2 (1)

 f  B 5 (1)

2 f  C

(1)

2 f  D

7 (1)

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn B

Nhận xét: Từ giả thiết toán ta biến đổi công thức đạo hàm sử dụng định

nghĩa tích phân

Phân tích: Từ giả thiết   4 2   3

( ) ( )   1 ( )

f x f x x f x

  ( )0; ( )  0, 0;1

f x f x x suy ra:    

 

2

3

( ) ( )

1

1 ( )

 

 

f x f x

x f x

Lấy tích phân hai vế

trên 0;1 ta được:

1

3

0

( ) '( )

1 ( )



 

 f x f x dx  dx

f x x

Ta có:  

3

1

3

0

1 ( )

( ) '( )

3

1 ( ) ( )

 

 

 f x f x dx d f x

f x f x

   

3 3

0

2 2

1 ( ) | (1) (0) (1)

3 3

  f x   f   f   f 

   

1

2

2 0

0

1

ln ln

1

    



 dx x x

x Từ

5

(1) 2.6 (1)

2

 f    f  Câu 34: Cho hàm số f x( ) xác định, liên tục có đạo hàm khơng âm 0;1

2    

  thỏa mãn

( ) 0, 0; ;

2        

f x x   2 2 2  2

( ) ( ) 1  ( ) 1

f x f x x f x f(0)1 Chọn khẳng định bằng:

A 2 ( )1

2

 f  B 5 ( )1

2 f  C

3

( )

2  f  D

1

3 ( )

2

 f  Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết   2 2 2  2

( ) ( ) 1  ( ) 1

f x f x x f x ( ) 0; ( ) 0, 0;1

2   

     

 

f x f x x suy ra:

  

 2

( ) ( )

1

1 ( )

 

 

f x f x

x f x

Lấy tích phân hai vế 0;1    

  ta được:

1

2

2

0

( ) '( )

1 ( )



 

 f x f x dx  dx

f x x

Ta có:

 

1

2

2

2

0

1 ( )

( ) '( )

2

1 ( ) ( )

 

 

 f x f x dx d f x

f x f x

2 2

1 ( ) (0) ( )

2

   

         

 f f   f 

1

6

2

0

1

( )

6





  



 dx dt x sint

x

Từ ( )1 1.66 ( )1

2 2

 f    f 

Câu 35: Cho hàm số f x( ) xác định, liên tục có đạo hàm thỏa mãn

 

1 ( ) ( )

   x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A e B 1 C ln D 0

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết x21 f x( ) 2 xf x( )xexx21f x( )xex Suy

 

 

1

2

0

1 ( ) 

 

  x

x f x dx xe dx

 

 1 1

1

0

0

1 ( ) (1) (0)

   x    x  x

x f x xde f f xe e dx

1

2 (1) (0) (1)

    x  

f f e e f

Câu 36: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm x0; đồng thời thỏa mãn điều kiện:

  sin   cos

f x x x f x  x  

3

2

sin d

f x x x





 

 Khi đó, f   nằm khoảng nào?

A  6; B  5; C 12;13 D 11;12

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết: f x xsinx f x cosx  f x xs inxx f x cosx

   

f x x x f x

   xsinxcosx f x x x f x  ( cos ) xx  xcosx (*) Vì x0;, ta chia vế (*) cho x2 ta

   

2

( cos ) x cos

f x x x f x x x x

x x

     

  f x  cosx

x x

 

   

   

 

 

  cos

f x x

c

x x

  

  cos

f x x cx

  

Mặt khác lại có  

3

2

sin

f x xdx





 



Xét    

3

2

2

sin d cos sin sin d

f x x x x x c x x x

 

 

 

   

3

2

2

cosx d cosx c xsin dxx

 

 

   

 

3

3

2

2 2

cos

cos sin

2

x

c x x x



  

 

    

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Mà  

3

2

sin d

f x x x





 

    2c  c  f x cosx2x

Ta có: f     1 2 5, 28 Tổng quát:

Gặp toán mà giả thiết cho dạng a x f x        b x f  x g x  1

Ta nhân lượng thích hợp để đưa  1 dạng u x f x        u x f  x h x  2

Với  

  ( )

( )

a x u x

u x b x



 , kết hợp với giả thiết ta tìm u x( )suy biểu thức nhân thêm  

 

u x

b x Khi có  2 ta tìm f x 

Câu 37: (Đề HK2 Sở GD Nam Định – 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục

đoạn 0;     

  f      

  Biết  

4

d

f x x



 

 ,  

4

0

sin d

4

f x x x





  

 Tính tích phân

 

8

0

2 d

I f x x





A

I  B

4

I  C I 2 D I 1

Lời giải Chọn B

Ta có    

4

0

sin d sin d

f x x x x f x

 

 

    4  

0

sin d sin

f x x f x x

 

        

0

sin sin 2.0 cos d

4

f f f x x x



 

   

     

    

 

4

0

2 cos d

f f x x x



     

    

4

0

2 f x cos dx x



  

Do  

4

0

2 cos d

f x x x



 



Mặt khác:  

4

2

0

1

cos d cos d

2

x x x x

 

 

 

0

1

sin

2x x



 

  

 

  Bởi vậy:

   

4 4

2

0 0

d cos d cos d

8

f x x f x x x x x

  

  

    

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

   

4

2

0

2 cos cos d

f x f x x x x



 

    

   

4

2

cos d cos

f x x x f x x



     

Nên:  

8

0

2 d

I f x x





0

cos dx x





0

1

sin

4 x



 

Câu 38: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần - Năm 2017 - 2018]Cho hàm số y f x  xác định 0;

2     

  thỏa mãn    

2

2 2 sin

4



 

      

 

  

 

 f x f x x dx Tính

 

2

0

d



 f x x

A



B 0 C 1 D

2

 Lời giải

Chọn B

+) Ta có

2 2

2

0 0

1

2 sin cos sin

4 2 2

  

        

             

       

       

 x dx  x dx x x

+) Từ

   

2

2

2 .sin

4



 

      

 

  

 

 f x f x x dx

   

2

2

0

2

2 .sin 2sin

4 2

 

   

      

           

   

 

 f x f x x dx  x dx

 

2

0

2 sin

4





  

      

 

 

 f x x dx

Do  

2

2 sin 0, 0;

4

 

        

 

    

f x x  x nên  

2

0

2 sin

4





     

 

  

 

 f x x dx

Đẳng thức xảy   sin 

 

   

 

f x x

+) Vậy  

2 2

0 0

d sin d cos

4

  

 

   

         

   

 f x x  x x x

Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “y f x  liên tục 0;

2     

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 39: Cho hàm số y f x  liên tục  0;1 thỏa mãn      

2

2

9

6 d

2 

   

 

 x e

f x f x e x

Tính    

1

0

1 d



 x f x x

A e1 B 2e5 C e D 3e Lời giải

Chọn D +) Ta có

     2

1

9

6 d

2 

   

 

 x e

f x f x e x

     2

1 1

2 2

0 0

9

6 d d d

2 

 

  x  x  e  x

f x f x e x e x e x

 

1

2

3

 

  x 

f x e

 

  x

f x e

+) Vậy      

1

1

0

1 d d 3

    

  x x

x f x x x e x xe e

Câu 40: Cho hàm số y f x  liên tục 1; 2  

 

  thỏa mãn

     

1

2

109

2 d

12



     

 

 f x f x x x Tính  

1

2

d 

 f x x

x

A ln2

9 B

5 ln

9 C

7 ln

9 D

8 ln

9

Lời giải Chọn A

+) Ta có

     

1

2

109

2 d

12



     

 

 f x f x x x

         

1 1

2 2

2

2

1 1

2 2

109

2 d d d

12

  

 

 f x  f x x  x  x x    x x

   

1

2

2

3 d



  f x  x  x  f x  3 x

+) Vậy    

1 1

1

2 2

2

2 0

0 0

3 2

d d ln ln ln

1 1

  

         

     

 f x x  x x  dx x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 41: Cho hàm số y f x  có đạo hàm dương liên tục  0;1 thỏa mãn f  1  f  0 1

và        

1

2

0

1 d d

f x f x   x f x f x x

  Tính  

1

3

d

f x x

 

 



A 3

2 B

5 33 27 18



C 5 33

18 D

5 33 54 18

 Lời giải

Chọn C

Ta có    

1

2

1 d

f x f x   x

    2  

0

d d

f x f x x f x x

 

       

1

2

d

f x f x x f f

      2 1    2

0 0

d d d

f x f x x x f x f x  x

    

       

1

2

0

1 d d

f x f x   x f x f x x

     2    

0

1 d d

f x f x x f x f x x

 

     

   

1 2

0

1 d

f x f x x

  

     f   x f x 1    2 1 3 

f x f x f x x C

    

   

3

3

f x x C f x x C

      f x   0, x  0;1   C

Mà     3

1

f  f   C  C  3 3 

3 C C C C

     

3

3

3

C C

   27 33 27 33

3

27 18 18

C

C C C    C  

       

Suy  

1

3

0

27 33 33

d d

18 18

f x x  x   x

   

   

 

 

Câu 42: Cho hàm số y f x  nhận giá trị không âm liên tục  0;1 Đặt

   

0

1

x

g x   f t dt Biết g x  f x 3 với x 0;1 Tìm giá trị lớn  

1

2

0

g x dx

 

 



A 2 B 7

3 C

2

3 D

5

3

Lời giải

Chọn D

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có    

0

1

x

g x    f t dt  

   

0

2

g

g x f x

 

  





Do g x  f x 3    

2

g x

g x   

   

 

   

3

2

g x g x



 

 0;1

t

  ta có    

3

0

2

t t

g x

dx dx

g x 



   

3

0

3

2

t t

g x x

       

3

3

0

2 g t g t

 

       

 

 

3

2

2 g t t

      

3 1

3

g t t

      

3

0

4

1

3

g x dx  x dx

       

 

 

Cách 2.

Gọi F x  nguyên hàm f x  thỏa F 0 0 Ta có F x  f x 

Ta có       3 

0

1 2

x

g x   f t dt   F x  f x , với x 0;1

   

1 2F x F x

     ,  x  0;1    

3

1

F x F x 

  

 ,  x  0;1

Đặt    

 

3

1

t

F x

h t dx

F x

  

 

 

  

 

      

3

0

3 3

1 2

4 4

t t

h t  F x  x F t t

             

 

là hàm số nghịch biến  0;1 ,      

3

1

F t h t

F t 

   



   0

h x h

  ,  x  0;1 33 1 2  

4 F x x

      ,  x  0;1

 

3 1

3

g x x

     ,  x  0;1  

1

2

0

4

1

3

g x dx  x dx

       

 

 

Câu 43: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 0;     

  Biết f x cosx f x s inx1, 0;

6

x  

    f  0 1 Tính  

6

0

dx

I f x





A 2

2



 

B 3

2 

C 2

2 

D

2 

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết: f x cosx f x s inx1    2s inx 12

cos cos cos

f x f x

x x x



h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 

2

1

cos cos

f x

x x



 

  

 

 

2

1

dx dx

cos cos

f x

x x



 

   

 

 

 

=tanx cos

f x

C x

   f x s inxC.cosx

Do f  0 1 C 1 f x s inx cos x

Vậy      

6

0

3 3

dx= s inx cos dx= cos s inx

2 2

0

f x x x

  



       

 

Câu 44: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn

 

1

2

0

1

(0) 1, ( ) , (2 1) ( )

30 30

f   f x   x f x dx  Tính tích phân

1

0

( )

f x dx

 bằng:

A 11

30 B

1

30 C

11

4 D

11 12 Lời giải

Chọn D

Ta có      

1 1

1

2 2

0

0 0

1

(2 1) ( ) ( ) ( ) ( )

30

x f x dx f x d x x  x x f x  x x f x dx  

  

 

1

2

1

( )

30

f x x x dx

   

Mà  

1

2

1 30

x x dx

 nên suy       

1

2

2 2 2

0

( ) ( )

f x  f x x  x x x dx



 

1

2

( )

f x x x dx

  

    

( )

f x x x

   ( )

3

x x

f x C

   

Vì

3

(0) 1 ( )

3

x x

f    C f x   

Vậy

1

0

11 ( )

12

f x dx

 Chọn D

Câu 45: Cho hàm số y f x 0xác định có đạo hàm đoạn [0;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:    

0

1 2018

x

g x    f t dt;   2 

g x  f x Tính  

1

0

g x dx



A 1011

2 . B

1009

2 C

2019

2 D 505

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Theo giả thiết ta có g x' 2018f x 2 'f    x f x Vì f x 0trên đoạn [0;1]

   

' 1009 1009

f x f x x C

     g x   1009x C 2 Mặt khác g 0 1 f x 0trên đoạn [0;1] suy C 1

Vậy    

1

0

1011

1009

2

g x dx x dx

 

Câu 46: Số điểm cực trị hàm số    

3 1

2017

1

12 d

x

f x t t



    là:

A 1 B 0 C 3 D 2

Lời giải Chọn D

Giả sử nguyên hàm    

2017

12

g t  t   F t g t 

Khi      

1

f x F x  F  f x F x 313x g x2  31

  2  3 2 2017

3 12

f x x  x 

      

 

   3 2

0

1 12

x

f x

x

  

  

   



 3 2

1 12

x    x312 4

3

1

1

x x

    

  



1

x x

   

 



Bảng xét dấu:

Vậy hàm số có điểm cực trị

Câu 47: Cho hàm số f x  có đạo hàm đến cấp liên tục thỏa mãn  0  0

f  f  ,      

2

f x  f x  f x x  x với  x Tích phân

1

0

( )dx

f x



A 107 21

12  e B

107 12

21  e C

107 21

12  e D

107 12 21  e

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có: e f xx  e fx  x e f xx  

 

e f xx 2 e fx  x e fx  x e f xx        

   2

2

x x

e f x f x f x e x x

    

Lại có:     2  

1

dx= 2

x x x

e f x   x  x e x x  x e C

    

1

2 dx

x x

e f x x x x e C

     

   

1

10 12 (*)

x x

e f x x x x e C x C

      

   

1

1 12

0

2 12 10 13

C C

f f

C C

   

 

    

    

 

  13

4 10 12 x x

f x x x x

e



     

Bấm máy ta có kết A

Câu 48: [SởGD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 - Câu 49] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên

tục [0; ] 

thỏa mãn f(0)0,

2

2

[ '( )]

4

f x dx



 



2

0

sin ( )

x f x dx



 

 Tích phân

2

0

( )

f x dx



 bằng:

A 

B 1 C 2 D

2 

Lời giải Chọn B

Ta có

2

0

sin ( ) cos ( ) cos '( )

x f x dx x f x x f x dx

  

  

 

0

cos '( )

x f x dx





  , ta tính

2

cos

4

xdx



 

 Do

2 2

2

0 0

[ '( )]f x dx cos '( )x f x dx cos xdx

  

  

  

2

2

[ '( ) cos ]f x x dx



    f '( )x cosx f x( )sinx C f(0)0 nên C0 Vậy

( ) sin

f x  x suy

2

0

( )

f x dx





0

sinxdx



 

Câu 49: [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho

       

2

0

1 2 x f' x dx3f  f 2016

 Tích phân  

1

0

2 d

I  f x x A 4032 B 1008 C 0 D 2016

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Chọn B

Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có:

       2  

0

0

1

1 2 x f' x dx  x f x 2 f x dx

       

0

3f f f x dx

    

Mà    

2

0

2 2 x f' x dx 016

 3f 2  f  0 2016 nên

 

2

0

2 f x dx 2 2016  

2

0

2016 f x dx

 

Mặt khác  

1

0

2 d

I  f x x    

1

0

1

2

2 f x d x

   

2

0

1

2 f t dt

  (Ở đổi biến t2x)

Vậy    

2

0

1

2

I   f t dt   f x dx 201

2 10 8



Câu 50: [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần năm 2018] Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục

đoạn  0;1 thỏa mãn

1

1

( ) ,

3

x f x dx 

 1 2

0

(1) 1, '( ) 28

f   f x dx Tính  

1

2

( )

I  f x dx

A 37

I  B 37

9

I   C

5

I   D

5

I  Lời giải

Chọn A

Từ          

1

1 2

3

2

0 1

0

1 1

( ) ( ) ' '

3 3

x

x f x dx   f x  x f x dx   x f x dx

   (1)

Ta có            

2

1 1

2

3

0 0

1

' ' 28 '

7

x f x dx x dx f x dx x f x dx

 

 

      

   

    

Do từ (1) suy dấu đẳng thức xảy ra f ' x k x. 3 Thay vào (1) tính 14

k

Từ ( ) 7 4

f x  x C Mà    

1

4 2

f     C f x  x 

Vậy  

2

1

2

0

7 37

2

f x dx  x   dx

 

 

Câu 51: [Chuyên ĐH Vinh lần – 2018] Cho hàm số y f x  liên tục [0; 1] thỏa mãn  

1

0

d

xf x x

  

[0; 1]

max f x 1 Tích phân  

0

d

x

I e f x x thuộc khoảng

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A ;   

 

 . B

3 ; e   

 

  C

5 ;  

 

  D e  1; 

Lời giải Chọn B

Chú ý ex  1 x với x0 Thật vậy, xét hàm số f x   ex x với x0, ta có

 

f x ex 1 nên hàm đồng biến, f x  f  0 0, suy ex  1 x Vì

[0; 1]

max f x( ) 1 nên suy f x  1 f x  1 Ta có

 ex x 1f x  1 suy  

x

e f x   ex x xf x  f x 1  ex x xf x 

,  

 

1

1 0

( )d d

x x

I e f x x e  x xf x x 1 

0 d

x

e x x

  1, 21828

2

e

  

 ex x 1f x  1 suy  

x

e f x  x e x xf x  f x 1  x ex xf x 

,  

 

1

1 0

( )d d

x x

I e f x x x e xf x x 1 

0

3

d 1, 21828

2

x

x e x e

     

Câu 52: [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018]Cho hàm số f x  có đạo hàm thỏa x2   f x  x 1  f ' x ex  0

2

f  Tính f  2 ? A  2

3

e

f  B  2

6

e

f  C  

2

2

e

f  D  

2

2

e

f 

Lời giải

Chọn D

Ta có f x x 2 f ' x x 1 ex e f xx  x 2 e fx ' x x 1  ex

    2

1 x x

f x x e  e

 

   

Do        

2 2

2 2

0

0 0

1 x x x x

f x x e dx e dx f x x e e dx

      

 

  

   

2

3

2

e

e f f 

    2

6

e f

 

Câu 53: Cho hàm số f x  có đạo hàm thỏa 2x1 ln 2   f x   2x1  f ' x 2x

 0

f  Tính f  3 ? A  3

14

f  B  3 30

ln

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

C  3 15 56 ln 56

f   D  3 15

28ln 28

f  

Lời giải Chọn D

Ta có:

2x1 ln 2  f x   2x1  f ' x 2x

 

 

         2

2x 2x ln 2 f x 2x 2x f ' x 2x

       

  

2 2x x

f x x 

 

   

Do đó:      

3 3

3

2

1

1 1

2 2x x 2x x

f x x dx dx f x x dx

      

 

  

    22.3 22.1   15

56

2 ln 28ln 28

f f  f

     

Câu 54: Cho hàm số y f x  liên tục \ 0; 1   thỏa:

       

1 , 0;

x x f x  f x x   x x 

và f  1  2ln Biết

 2 ln  , 

f  a b a b

Tính 2

?

a b 

A 3

4 B

13

4 C

1

2 D

9

Lời giải Chọn D

Ta có x x 1  f x  f x  x x1

     1

f x

f x

x x



  

  

   2

1 1

f x

x x

f x

x x x



  

  

 

1

x x

f x

x x



 

  

 

 

Do  

2

1

1

x x

f x dx dx

x x



  

   

 

     2

1

ln

1

x

f x x x

x

 

    



 

    2  1 

2 ln ln ln ln

3 3

f f a b

         

2

3

2 2

ln ln

3

3

2

a

a b a b

b

  

       

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 55: Cho hàm số y f x  có đạo làm liên tục đoạn 0;     

  f      

  Biết  

4

d

f x x



 

 ,  

4

0

sin2 d

f x x x





  

 Tính  

8

0

2 d

I f x x





A

I  B

4

I  C I 2 D I 1

Lời giải Chọn B

Cách 1:

Ta thấy:

       

4 4

4

0 0

sin2 d sin2 d sin 2cos2 d

4

f x x x x f x x f x f x x x

  



 

           

   

   

4

0

sin 2cos2 d cos2 d

2 f f x x x f x x x

 

        

 

   

Do  

4

cos d

x x



 

 nên:        

4 4

2

0 0

d cos d cos d

f x x f x x x x x

  

  

  

    

0

cos d

f x x x



 

 

 

  f x cos 2x C

Do

4

f    

  C0, nên f x cos 2x

Vậy    

8

0

1

2 d cos d

4

I f x x I x x

 

   

Cách 2: Dùng bất đẳng thức Holder

   

 2 2  2 

d d d

b b b

a f x g x x  a f x x a g x x

  

Dấu xảy  f x k g x  , k

Theo cách thứ nhất, ta có:    

4

0

cos d

f x x x



 



       

2

2

2

4 4

0 f x cos 2x dx f x d x cos 2x dx 8 8 64

     

 

  

 

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Dấu xảy  f x k.cos 2x, k

Với f x k.cos 2x, k  4 

0 k.cos cos 2x x dx 8

 

 

 4 2

0 cos d 8

k x x

 



  k1 f x cos 2x

Vậy    

8

0

1

2 d cos d

4

I f x x I x x

 

   

Câu 56: (PTNK-HCM LẦN 1) Cho hai hàm f x  g x  có đạo hàm đoạn  1; thỏa mãn hệ thức    

       

1 1 4

' ; '

f g

g x x f x f x x g x

  



    

 Tính    

4

1

d I  f x g x  x

A 8ln B 3ln C 6ln D 4ln

Lời giải Chọn A

Ta có f x( )g x( ) x f x '( )g x'( )f x( )g x( ) d x  x f x '( )g x'( ) d x

 ( ) ( )  ( ) ( ) d

x f x g x f x g x x

      x f x ( )g x( )C f x( ) g x( ) C

x

   

Vì f(1)g(1)    C C

 

4

1

4

( ) ( ) d d =8ln2

I f x g x x x

x

   

Câu 57: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 f  0  f  1 0 Biết  

1

1 d

2

f x x

 ,    

1

0

cos d

2

f x x x

 Tính  

1

0

d

f x x



A  B 1

 C

2

 D

3 

Lời giải

Chọn C

Ta có                

1 1

0 0

1

cos d cos d cos sin d

0

f x x x x f x  f x x  f x x x

  

               

0 0

1

1 sin d sin d sin d

2

f f  f x x x  f x x x  f x x x

         

Áp dụng bất đẳng thức        

2

2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 



 

    ta có:

       

2

1 1

2

0 0

1

1 1 cos sin

sin d d sin d d

0

4 2 2 4

x x x

f x x x f x x x x  x 

    

        

 

    

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Dấu xảy f x ksinx Từ ta có:

   

1 1

2

0 0

1

1 cos sin

sin d sin d d

0

2 2 2

x k x k

f x x x k x x k   x x   k

         

 

  

Suy f x sinx Do  

1

0

1

cos

sin

0

x

f x dx xdx 

 

   

 

Câu 58: [Thi thử THPT Gia Bình - Bắc Ninh] Gọi m

n giá trị lớn a để bất phương

trình  

 

2

3

2

1 sin

2

a x

a x a

x



  

 có nghiệm, m n, số nguyên dương m

n phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P22m n

A 46 B 38 C 24 D 35

Lời giải Chọn B

Điều kiện: x1 Biến đổi tương đương bất phương trình ta

   

 

4

3

2

3

4

1 sin

2

1

1 sin sin

2

x

a x a x a

x x

a x a



 

    

   

       

 

 

Nếu

16

a

sin 0,

4

x

a   x

  nên bất phương trình vơ nghiệm

Nếu

16

a bất phương trình trở thành

 2 2

1 1

1 sin sin

8 2

x x

x  

       

 

   

   

2

2

sin

2

1

1 sin

8 2

x

x x





 

  

  



3,

x x

   

Vậy

16

a giá trị lớn để bất phương trình có nghiệm Suy m1;n16 P 22m n 22.1 16 38

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

      2 

0

1 2018 d ,

x

g x   f t t g x  f x Tính  

1

0

d

g x x



A 1011

2 B

1009

2 C

2019

2 D 505

Lời giải Chọn A

Ta có g 0 1

   

0

1 2018 d

x

g x    f t t

     

' 2018 2018

g x f x g x

       ' 2018 g x g x       0 '

2018 d

t t g x dx x g x       

2 g t 2018t

    g t 1009t1  

1

0

1011

g t dt

 

Câu 60: Cho hàm sốy f x xác định đoạn 0; 

 

 

  thỏa mãn

   

2

2

2 sin d

4

f x f x x x

                

 Tích phân  

2

0

d

f x x





A



B 0 C 1 D

2

 Lời giải

Chọn B

+) Đặt I     

2

2 sin d

4

f x f x x x

             

 Ta có

I     

2

2

0

2 sin 2sin d

4

f x f x x x x

                     

 2

0 2sin d x x           

I   

2

0

2 sin d

4

f x x x

             

 2

0 2sin d x x            +) Có 2 2sin d x x           

1 os d

2

c x x

             

 2 

0

1 sin 2x dx



 

0 cos2 | x x         2  

+) Mà I 

2  

suy  

2

0

2 sin d

4

f x x x

              

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

+) Áp dụng kết quả: Nếu f x liên tục không âm đoạn  a b;  d

b

a

f x x



Dấu " " xảy f x 0 với x a b; Từ (1) suy   sin

4

f x  x 

  hay f x  sin x 

 

   

  +) Do  

2

0

d

f x x







0

2 sin d

4

x x



    

 

 



0

2cos

4 |

x

 

 

   

  0 Chọn B

Câu 61: (Đề tham khảo BGD năm 2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0,  

1

2

d

f x x

 

 

  

1

1 d

3

x f x x

 Tích phân  

1

0

d

f x x



bằng A 7

5 B 1 C

7

4 D 4

Lời giải Chọn A

+) Đặt  2

d d

u f x

v x x

   

 

 

3

du f x dx

v x

     



 ,      

1

1

2 3

0

0

3x f x dxx f x  x f x dx

 

+) Ta có    

1

1 f x f x dx suy  

1

d

x f x x 



+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân        

2

2

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 



 

    Dấu

" " xảy f x kg x  với k số

Ta có  

2

1 d

b

a

x f x x

 



  

   

2

d d

b b

a a

x x f x x

   

1

0

7

x

1

 Dấu " " xảy  

f x kx với k số Mà  

1

d

x f x x 

 hay

1

d

kx x 

 suy k  7 +) Vậy  

7

f x   x nên  

4

f x   x c mà f  1 0 nên   7 4

1

f x  x suy  

1

0

7 d

5

f x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 62: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  0 1        

1

2

0

1

2 d d

9

f x f x x f x f x   x

 

  Tích phân  

1

d

f x x



A 5

4 B

3

2 C

8

5 D

7 Lời giải

Chọn D

+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân        

2

2

d d d

b b b

a a a

f x x g x x  f x g x x

 

   Dấu

" " xảy f x kg x  với k số

+) Ta có        

2

1 1

2

0 0

d x f x f x dx  f x f x dx

 

   (1) nên từ giả thiết suy

       

1

2

0

1

2 d d

3

f x f x x f x f x  x

      

2

0

1

3 d

3

f x f x x

 

 

 

 

hay    

2

0

1

3 d

3

f x f x x

 

  

 

      

1

0

1 d

3

f x f x x

 dấu " " (1) xảy ra, tức ta có    

   

1

0

1 d

3

f x f x x

f x f x k



 

 

  





3

k

  Từ tính   3

3

x

f x   suy  

1

7 d

6

f x x



Chọn D

Câu 63: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa mãn f  1 3,

1

2

4 [ '( )] d

11

f x x

  

1

7 d

11

x f x x

 Giá trị  

1

0

d

f x x



A 35

11 B

65

21 C

23

7 D

9 Lời giải

Chọn C

Cách1: Xét

1

( )d

Ax f x x, Đặt 4 5

'( ) dx ( )

1 d

5

du f x

u f x

v x

dv x x

1 1

5 5

0 0

1

1 7

( ) '( )d '( )d '( )d

0

5 11 5 11 11

A x f x x f x x x f x x x f x x

Lại có

1 10

1 d

11

x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 

1 1

2 5 10

0 0

'( ) d '( )d d

f x x x f x x x x

  

 

1

2

5

0

'( ) d '( )

f x x x f x x

     

6

10

( ) ( (1) 0)

3

x

f x  C C do f

     

1

0

10 23

3

x

I  dx

     

 



Cách 2: Trắc nghiệm

Từ

1

2

1

0

1

0

0

4 '( )

11

'( ) '( )

2 '( )

11

f x dx

f x f x x dx

x f x dx

Chọn

6

5 10 23

'( ) ( )

3

x

f x x f x I

Câu 64: Cho f x 0biết    

4

2

3

 

  x x

f x f x

x  

1

3

 

f Cho biết giá trị  1  2  3 2017 1

2

 

       

 

b

f f f f

a , với

b

a phân số tối giản Tính ab A 4070307 B 4070308 C 4066273 D 40662241

Lời giải Chọn B

Có

  2 

2

3

 

  x x

f x f x

x 

   

2

1

3



  

f x

x

f x x

 

 

2

1

d d

  

     

 

 f x x  x x

f x x

 

1

  x   x C

f x x

 

1

3

f    C

 

4

3

1  1

  x   x x x

f x x x

 

1

x f x

x x

  

    2 2 2

1

2 1



 

x

x x

   

   

2

2

1

1

2

    



   

x x x x

x x x x

     

2 1 1

 

    

   

 

f x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

 

2017

1

1 1 1 1

2 1.2 0.1 2.3 1.2 2017.2018 2016.2017



 

         

     

 



x

S f x

1 1

1

2 2017.2018

   

       

   

b a

2017.2018

 a  , b1  a b 4070308

Câu 65: Cho hàm số f x  có đạo hàm thỏa mãn 2017 2018

( ) 2018 ( ) 2018

   x

f x f x x e với

mọi x f(0)2018 Tính giá trị f(1)

A 2018

(1)2019

f e B 2018

(1)2019 

f e C 2018

(1)2018

f e D 2018

(1)2017

f e

Lời giải Chọn A

Ta có 2017 2018

( ) 2018 ( ) 2018

   x

f x f x x e  f x( ) 2018 ( )2018x f x 2018.x2017

e

1

2017 2018

0

( ) 2018 ( )

d 2018 d

 

 f x x f x x x x

e (1)

Xét

1 1

2018 2018

2018

0 0

( ) 2018 ( )

d ( )  d 2018 ( )  d

  

  x  x

x

f x f x

I x f x e x f x e x

e

Xét

1

2018

0

2018 ( )  d

 x

I f x e x Đặt ( ) 2018 d 2018( )d

d 2018  d 



 

 



    

 x  x

u f x u f x x

v e x v e

Do

1

2018 2018 2018

1 0

0

( ).(  ) ( )  d (1)  2018

  x  x   

I f x e f x e x I f e

Khi từ (1) suy 2018 20181 2018

0

(1)  2018 (1) 2019

    

I f e x f e

Câu 66: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm dương, liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f(0) 1

       

1

2

0

1

3 d d

9

f x f x x f x f x x

       

 

 

 

  Tính tích phân  

1

3

d

f x x

 

 



A 3

2 B

5

4 C

5

6 D

7

6

Lời giải Chọn D

Áp dụng BĐT Holder ta có:

  2

1 1

2 2

0 0

1

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9

f x f x dx f x f x dx f x f x dx

     

       

   

    

2

1

2

0

1

9 ( ) ( ) ( ) ( )

9

f x f x dx f x f x dx

   

 

       

 

  

2

2

0

1

9 ( ) ( ) ( ) ( )

9

f x f x dx f x f x

 

 

      

 

3

( )

3

f x

x C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Vì f(0) 1 nên

3

C Khi 3( ) 1

f x  x

Vậy  

1

3

0

1

( )

3

f x dx  x dx

 

 

Câu 67: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 49] Cho hàm số f x( ) dương có đạo hàm liên tục  0; thỏa mãn  0  1

16

f  f  , f x   0 x  0;

   

1

3

1

1 dx=

8

x f x 

 ,  

 

3

2

1 d =

64

f x x

f x

 

 



 

 

 Tính tích phân  

1

0

dx

f x



A

24 B

1

32 C

1

8 D

1 Lời giải

Chọn B Ta có:

         

1 1

3

0

0

1 ( )dx= dx

x f x x f x  x f x

 

mà  0  1 , 16

f  f     

1

3

1

1 dx=

8

x f x 



Nên    

1

2

1

1 dx=

16

x f x



Vì f x 0,f x   0 x  0; nên  

 

3

2

f x

f x

 

  



 

 

;  x 1  f x 0  x  0;

   

1

2

1

1 dx

16  x f x

 

     

1

2 3

2

0

1 ' dx

f x

x f x

f x

 

 

 

      

 

    

 

  

     

3

1

3

3

2

0

dx dx

f x

x f x

f x

   

  

    



   

 

  .3

64 16

 

   

  Dấu "" xảy

 

     

3

3

2

f x

k x f x

f x

 

    



 

 

   

1 1

f x

f x k x



 

    

1

ln f x ln x C

k

    

Do  0

f  ,  1

16

f  nên ln1

C , 31

k      2

1

f x x

 

  

1

0

1 dx

32

f x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 68: [THPT ĐẶNG THÚC HỨA LẦN 1- 2018] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục

 0; thỏa mãn f  1 1, f x   0 x  0;  

1

2

9 dx=

5

f x

 

 

 ,  

1

0

2 dx=

5

f x

 Tính

tích phân  

1

0

dx

I  f x

A

I  B

4

I  C

4

I  D

5

I 

Câu 69: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Lần - 2018)Cho hai hàm f x  g x  có đạo hàm đoạn  1; thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với x 1;

   

   

1 2

1

' ; '

( ) ( )

f g

f x g x

g x f x

x x x x

 

 

   

 

Tính  

4

1

( ) ( )

I  f x g x dx

A 4ln B 4 C 2ln D 2

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết ta có f x g x'( ) ( )

x x

 g x f x'( ) ( )

x x

  , suy

1

'( ) ( ) '( ) ( )

f x g x g x f x

x x

   , hay f x g x( ) ( )

x x



 

Do f x g x    dx C

x x x

    Lại có f    1 g 2.1 2 nên C 0

 

4

1

2

( ) ( ) x x=4

I f x g x d d

x

  

Câu 70: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0

     

1

2

0

1

d e d

4

x e

f x x x f x x 

 

 

  Tính tích phân  

1

0

d

I  f x x

A I  2 e B I  e C e

I  D e

2

I  

Lời giải Chọn B

Xét    

1

0

1 ex d

A x f x x

Đặt  

 

d xd

u f x

v x e x

  

 



 

d d

ex

u f x x

v x

     

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Suy    

1

0

ex ex d

Ax f x x f x x  

1

0

d

x

xe f x x

   

0

1 d

4

x e

xe f x x 

 

Xét

1 2

d

x

x e x



1

2

0

1 1

2

x

e  x x 

    

 

2

1

e 



Ta có :    

1 1

2 2 2

0 0

d x d xd

f x x xe f x x x e x

 

 

   1   2

0

d

x

f x xe x

  

Suy f x xex   0, x  0;1 (do f x xex2   0, x  0;1 )   x

f x xe

    f x   1 x e xC Do f  1 0 nên f x   1 x e x

Vậy      

1

1

0

d xd x

I f x x x e x x e  e

Câu 71: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm đến cấp (0) 0, '(1)

2

f  f  ,

1

2

39 [ '( )]

4

f x dx

 ,

1

5

( ) "( )

2

x x f x dx

 Tính

tích phân

2

0

( )

I  f x dx A 14

3 B 14 C

7

3 D 7

Lời giải Chọn D

Chọn 9

( ) ax , (0) 0; '( ) , '(1)

2

f x  bx f  f x  ax b f   a b  (1)

1

2 2 2

0

4 39

[ '( )] ( ) ( )

3

f x  ax b  ax b dx  a  ab b  (2)

Lại có:

1

2

0

5 5

"( ) ( ) "( ) ( )

3 2

a a

f x  a x x f x dx a x x dx    a (3)

Thay (3) vào (1) ta

b Từ thay a b, vào (2) kiểm chứng (2)

Vậy ta tìm

( ) ( )

2

f x  x x Vậy

2

2

0

3

( ) (x )

2

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 72: Cho hàm số f x  liên tục  thỏa mãn f  x x 1, x x



     f  1 1 Tìm giá trị nhỏ f  2

A 3 B 2 C 5 ln

2 D 4

Lời giải Chọn C

Theo giả thiết f  x x 1, x x



     nên lấy tích phân hai vế với cận từ đến ta được:  

2

1

1

d d ln

2

f x x x x

x

 

      

 

 

Mà          

2

2 1

d 2

f x x f x  f  f  f 

 nên  2 ln

2

f   

Suy  2 ln 2

f  

Đẳng thức xảy f  x x 1,x

x

   

Suy  

2

ln ,

2

x

f x   x C mà f  1 1 nên

C

Do  

2

1

ln

2

x

f x   x

Vậy giá trị nhỏ  2 ln 2

f    

2

1

ln

2

x

f x   x

Câu 73: Cho hàm số f x  g x  thỏa mãn

                   

1 1; 2

1

1

   



  

         

  



f g f g f

x

f x g x g x f x f x

x Tính tích phân    

2

1





I f x g x

A 1ln

I   B 1ln

4

I    C 1ln

I   D 1ln

4

I    Lời giải

Chọn D

         

1        

 

f x g x g x f x f x

x

         

   

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

        

g x xf x  xf x g x x

     

xf x g x  x

   

2



xf x g x  x C

Do f 1 g 1 1 nên    

2

1

2

  x 

xf x g x hay    

2

  x

f x g x

x

Lấy tích phân cận từ đến ta

       

2

1

3 1

ln d d

4 2

  

       

 

 x x  f x g x x f x g x I

x

ln

I

   

Câu 74: Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 1; 2    

  thỏa mãn  

1

2f x f

x x

    

  ,

* x

  Tính tích phân  

2

1

d

f x

I x

x



A

I  B

2

I  C ln 15

8

I   D ln 15

I  

Lời giải Chọn A

Đặt: t x

 x

t

  dx 12dt t

   Đổi cận:

2

2

2

1

d

f t

I t

t t      



1

1

d

f t

t t

 

  

 



1

1

d

f x

x x

 

  

  

 

2

1

2

1

3I f x dx f dx

x x x

 

    

 

   

1

1

2f x f dx

x x

  

    

 

 



1

1

dx

x x

 2

1

3

dx

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

2 2

1 d

I x

x

 

2

1

1

2

x

 

   

 

Câu 75: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn     2018

3f x xf x x ,

 0;1

x

  Tính  

1

0

d

I  f x x

A

2019.2021

I  B

2018.2019

I  C

2018.2020

I  D

2019.2020

I 

Lời giải

Chọn A

Nhân

x vào hai vế giả thiết ta     2020   ' 2010

3x f x x f ' x x x f x  x

Suy      

2021 2018

3 2010

3

d d

2021 2021



        

 

 x f x x x x x f x x c f x x c

x Chọn  

2018

2021

x

f x  ta có

 

1 2018 2019

0 0

1

d d

2021 2019.2021 2019.2021

  