PP he so bat dinh trong giai PT

TÌM HIỂU SÂU THÊM TOÁN SƠ CẤP PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Kiều Đình Minh Cao học khoá14, ĐHSPHN Gv.THPT Thanh Ba, Phú Thọ Có lẽ nhiều bạn làm quen với phương pháp hệ số bất định Tuy nhiên việc vận dụng phương pháp giải toán thực chưa bàn đến nhiều Bài báo nêu lên thuận lợi phương pháp hệ số bất định số toán giải phương trình chứa căn, phương trình mũ lôgarit có dạng đặc biệt Chúng ta tìm hiểu qua toán sau Bài toán Giải phương trình x −1 = + log (6 x − 5) (1) x −1 (1) ⇔ − log (6 x − 5) = Ta cần tìm α , β cho Lời giải Tập xác định D = ( ;+∞) α + β = α = −6 = α ( x − 1) + β (6 x − 5) ⇔ = (α + 6β ) x + ( −α − 5β ) ⇔  ⇔ − α − β = β = phương trình viết lại sau (1) ⇔ x −1 − log (6 x − 5) = −6( x − 1) + (6 x − 5) ⇔ x −1 + 6( x − 1) = x − + log (6 x − 5) > 0, ∀t > nên ϕ (t ) hàm đồng biến Do xét hàm ϕ (t ) = t + log t có ϕ ′(t ) = + t ln phương trình tương đương với ϕ (7 x −1 ) = ϕ (6 x − 5) ⇔ x −1 = x − ⇔ f (t ) = t − 6t − = 0, (t = x − 1) có f ′(t ) = t ln − 6, f ′(t ) = ⇔ t = log − log ln Hàm số f (t ) nghịch biến khoảng (−∞ ; t ) đồng biến khoảng (t ;+∞) nên f (t ) có không hai nghiệm Dễ thấy t1 = 0, t = hai nghiệm f (t ) suy phương trình cho có hai nghiệm x1 = 1, x = Nhận xét: Bài toán đặt ẩn phụ dẫn đến việc giải hệ phương trình (xem bài: Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình có hai phép toán ngược nhau.THTT số năm 2002) Bài toán tổng quát: Giải phương trình a) a f ( x ) − k log a g ( x) = h( x), a > 1, k > Giả sử h( x) = g ( x) − kf ( x) , phương trình trở thành a f ( x ) + kf ( x) = g ( x) + k log a g ( x) xét hàm ϕ (t ) = t + k log a t , t > ta ϕ (a f ( x ) ) = ϕ ( g ( x)) ⇔ a f ( x ) = g ( x) b) a f ( x ) + k log a g ( x) = h( x),0 < a < 1, k > Giả sử h( x) = g ( x) + kf ( x) , phương trình trở thành a f ( x ) − kf ( x) = g ( x) − k log a g ( x) xét hàm ϕ (t ) = t − k log a t , t > ta ϕ (a f ( x ) ) = ϕ ( g ( x)) ⇔ a f ( x ) = g ( x) Khảo sát biến thiên hàm số φ ( x) = a f ( x ) − g ( x) để biết số nghiệm tìm nghiệm Bài toán Giải phương trình lôgarit log ( x − 1) = x − 18 x − 31 (2) 2x + 1 Lời giải Tập xác định D = (− ;+∞) − {1} α , β , γ Ta cần tìm cho x − 18 x − 31 = α ( x − 1) + β (2 x + 1) + γ ⇔ x − 18 x − 31 = αx + (2 β − 2α ) x + α + β + γ α = α =   ⇔ 2 β − 2α = −18 ⇔ β = −8 α + β + γ = −31 γ = −24   phương trình tương đương với   8log ( x − 1) − log (2 x + 1) = ( x − 1) − 8(2 x + 1) − 24  2  ⇔ log ( x − 1) − log (2 x + 1) = ( x − 1) − (2 x + 1) − 2 ⇔ log ( x − 1) + − ( x − 1) = log (2 x + 1) − (2 x + 1) 2 ⇔ log xét hàm số 1 ( x − 1) − ( x − 1) = log (2 x + 1) − (2 x + 1) 8 f (t ) = log t − t , t > có đạo hàm f ′(t ) = 1 t ln − < 0, ∀t > nên hàm số f (t ) nghịch biến (0;+∞) Do phương trình tương đương với 1 f ( ( x − 1) ) = f (2 x + 1) ⇔ ( x − 1) = x + ⇔ x − 18 x − = ⇔ x = ± 22 ∈ D 8 Bài toán tổng quát: Giải phương trình log a f ( x) = h( x ) g ( x) , f ( x ) > 0; g ( x) > +) Nếu h( x) = − f ( x) + a k g ( x) + k phương trình tương đương với f ( x) = − f ( x ) + a k g ( x) + k ⇔ log a f ( x) + f ( x) = log a a k g ( x) + a k g ( x) ⇔ f ( x) = a k g ( x), (a > 1) g ( x) +) Nếu h( x) = f ( x) − a k g ( x) + k phương trình tương đương với log a f ( x) = f ( x) − a k g ( x) + k ⇔ log a f ( x ) − f ( x) = log a a k g ( x) − a k g ( x) ⇔ f ( x) = a k g ( x), (0 < a < 1) g ( x) +) Nếu h( x) = kg ( x) − kf ( x) phương trình tương đương với log a f ( x) + kf ( x) = log a g ( x) + kg ( x) ⇔ f ( x) = g ( x ) a > 1, k > < a < 1, k < log a Bài toán Giải phương trình mũ 1 x x − x ( )1− x = x − x − (3) { } D = R − Lời giải Tập xác định 1 2x − 2x − (3) ⇔ x − ( )1− x = 2x α , β , γ Ta cần tìm cho 2x − 2x − 1 x − x − − βx + (β + γ ) x + α = α ( ) + β (1 − x) + γ ⇔ = 2x x 2x x  α = −  − β = 2   ⇔ 2( β + γ ) = −2 ⇔ β = −1 2α = −1 γ =    phương trình tương đương với 1 1 x − ( )1− x = − − (1 − x ) ⇔ x + = x −1 + x − 2x 2x t t ′ xét hàm số f (t ) = + t có đạo hàm f (t ) = ln + > 0, ∀t ∈ R nên hàm đồng biến R Do phương trình tương đương với f( 1 1± ) = f ( x − 1) ⇔ = x − ⇔ 2x − 2x − = ⇔ x = 2x 2x Bài toán tổng quát: Giải phương trình a f ( x ) − a g ( x ) = h( x ) Giả sử h( x) = kg ( x) − kf ( x) , ta phương trình a f ( x ) + kf ( x) = a g ( x ) + kg ( x ) từ xét hàm ϕ ( x) = a t + kt dẫn đến ϕ ( f ( x)) = ϕ ( g ( x)) ⇔ f ( x) = g ( x) Bài toán Giải phương trình mũ 2 x +5 x +1 − 50.9 x + x − 812 x −1 = (4) Lời giải Tập xác định D = R 2 (4) ⇔ x +5 x +1 − 50.3 x + x − 38 x −4 = Ta cần tìm α , β , γ cho x + x + = α (2 x + x) + β (8 x − 4) + γ ⇔ x + x + = 2αx + (2α + 8β ) x − β + γ  α = 2α =    ⇔ 2α + 8β = ⇔ β = − β + γ =   γ =   phương trình viết lại sau 32 ( x + x ) + (8 x − ) + − 50.3 x +2 x − 38 x −4 = ⇔ 27.3 x + x + x −2 − 50.3 ( x +x) − 2( x −2 ) = đặt u = x + x , v = 34 x − ta phương trình 27uv − 50u − v = ⇔ (25uv − 50u ) − (v − 2uv) = ⇔ (v − 2u )(25u − v ) = 3 x −2 = 2.3 x + x  x − x + + log = v = 2u ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∃x  2  x − x + + log 25 = 3 x −2 = 25.3 x + x v = 25u Bài toán tổng quát: Giải phương trình ma f ( x ) + na g ( x ) + la h ( x ) + p = Giả sử h( x) = αf ( x) + βg ( x) , đặt u = a f ( x ) , v = a g ( x ) ta phương trình u, v phân tích Bài toán Giải phương trình chứa − x + = − x − + x + − x (5) Lời giải Tập xác định D = [ − 1;1] Ta tìm α , β cho α − β = −1 α = − x + = α (1 + x) + β (1 − x) ⇔  ⇔ α + β = β = phương trình viết lại sau (1 + x) + 2(1 − x) − − x + + x − − x = đặt u = + x , v = − x (u, v ≥ 0) ta u + 2v − 2v + u − 3uv = ⇔ (u − 2uv) + (u − 2v) − (uv − 2v ) = ⇔ (u − 2v)(u − v + 1) =  x=   1+ x = 1− x u = 2v ⇔ ⇔ ⇔  u − v + =  + x + = − x  x = − Bài toán tổng quát: Giải phương trình p ( x) = a − x + b + x + c − x Biểu diễn p(x) theo − x,1 + x đặt u = + x , v = − x (u, v ≥ 0) Khi phương trình u, v phân tích Bài toán Giải phương trình x − 11x + 21 − 33 x − = (6) Lời giải Tập xác định D = R Ta cần tìm α , β , γ cho x − 11x + 21 = α (4 x − 4) + β ( x − 4) + γ ⇔ x − 11x + 21 = 16αx + (4β − 32α ) x + (16α − 4β + γ )  α = 16α =    ⇔ 4 β − 32α = −11 ⇔ β = − 16α − β + γ = 21   γ = 12   phương trình cho tương đương với (4 x − 4) − (4 x − 4) + 12 − 33 x − = ⇔ t − 14t − 24t + 96 = 0, (t = x − ) 4 ⇔ (t − 2) (t + 4t + 12t + 18t + 24) = ⇔ t = ⇔ x = t ≤ ⇒ t − 14t − 24t + 96 > 0, t > ⇒ t + 4t + 12t + 18t + 24 > Sử dụng phương pháp hệ số bất định cho ta lời giải toán cách tự nhiên rõ ràng Cuối xin mời bạn giải số phương trình sau: 1− x 1− x 1 − x 3co sx +1 − 3co s x + co s x = 4co s x + 2co s x − 4co sx − 2 x2 −2 = x2 x + x + 21− x = ( x +1) + x +3 x − 6.3 x + x − x −1 + = 2 2 8x + 3x − x − = log ( x + 1) x2 + x +1 = 2x − x log x x = + x + log (5 x + 1) x − log (1 + x) = + x x − = −3 − x + + x + − x 10 x − x − = x + 5 ...  x = − Bài toán tổng quát: Giải phương trình p ( x) = a − x + b + x + c − x Biểu diễn p(x) theo − x,1 + x đặt u = + x , v = − x (u, v ≥ 0) Khi phương trình u, v phân tích Bài toán Giải phương