Chuyen de dung tham so giai PT

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN THAM SỐ HOÁ TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiều Đình Minh (GV.THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ) Phương trình hệ phương trình trung tâm Toán học sơ cấp mà thường xuất tất kỳ Có nhiều phương pháp giải phương trình hệ phương trình biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá, Bài viết tác giả muốn đề cập đến phương pháp giải đẹp sáng sủa cách tham số hoá để đưa đẳng thức Chúng ta tìm hiểu qua thí dụ sau: Thí dụ 1: (THTT) Giải phương trình x − x − 16 x + = Lời giải Viết phương trình cho dạng ( x + α ) = 2(1 + α ) x + 16 x − (1 − α ) Ta cần chọn α cho vế phải có dạng bình phương ( ) ∆ ′ = + 2(1 + α ) − α = ⇒ α = Khi phương trình cho tương đương với (x ) ( )( ) + = 8( x + 1) ⇔ x + 2 x + + 2 x − 2 x + − 2 = ⇔ x = ± 2 − 2 Thí dụ 2: (THTT) Giải phương trình 54 x − x + = Lời giải Ta tìm cách viết vế trái phương trình dạng x + a + b − 3abx Như a, b nghiệm hệ phương trình  3 a + b = 1 54 ⇒ a , b ⇒a=b= nghiệm phương trình t − t + = ⇔ t =  54 18 54 a b = 18  Khi phương trình cho tương đương với ( x + a + b ) ( x + a + b − a x − bx − ab ) = ⇔  x +   2 1 x+ =0⇔ x=− ;x =  x − 18   3 Thí dụ 3: (KĐM) Giải phương trình chứa − x + = 1− x − 1+ x + 1− x2 Lời giải Tập xác định D = [ − 1;1] Ta tìm α , β cho α − β = −1 α = − x + = α (1 + x) + β (1 − x) ⇔  ⇔ α + β = β = phương trình viết lại sau (1 + x) + 2(1 − x ) − − x + + x − − x = đặt u = + x , v = − x (u, v ≥ 0) , ta u + 2v − 2v + u − 3uv = ⇔ (u − 2uv) + (u − 2v) − (uv − 2v ) = ⇔ (u − 2v)(u − v + 1) =  x =   1+ x = 1− x u = 2v ⇔ ⇔ ⇔  u − v + =  + x + = − x  x = − Thí dụ 4: (VMO 2010) Giải hệ phương trình  x − y = 240   x − y = x − y − 4( x − y ) ( (I ) ) Lời giải Hệ cho viết lại sau  x = y + 240 (1)   x − x + x = y − 12 y + 32 y Suy ( ) ( x + λ x − 3x + x = y + 240 + λ y − 12 y + 32 y ) ⇔ x + λx − 3λx + 4λx = y + 2λy − 12λy + 32λy + 240 Ta cần chọn λ cho ( 3) có dạng ( x − a ) = ( y − 4) So sánh ( 4) ( 3) (2) (3) ⇔ x − 4a x + 6a x − 4a x + a = y − 4by + 6b y − 4b y + b ( 4) − a = λ  6a = −3λ − 4a = 4λ a =   ⇔ b = − 4b = 2λ 6b = −12λ λ = −8   − 4b = 32λ  b − a = 240 Như ta có x−2= y−4 ⇔ x − = − y  ( x − 2) = ( y − 4) ⇔  +) x = y − thay vào (1) ta ( x = y − x = − y  ) y − 24 y + 32 y + 224 = ⇔ ( y + ) y − 40 y + 112 = ⇔ y = −2 ⇒ x = −4 +) x = − y thày vào (1) ta ( ) y − y + 36 y − 44 = ⇔ ( y − ) y − y + 22 = ⇔ y = ⇒ x = Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm  x = −4   y = −2 x =  ■ y = ; Nhận xét: Với cách làm cho dù toán có hệ số lớn giải Có thể hình dung tác giả sang tạo toán sau: Xuất phát từ ( x − 2) = ( y − 4) ta có x − x + 24 x − 32 x + 16 = y − 16 y + 96 y − 256 y + 256  x − y = 240  x − y = 240 ⇒ ⇒ ⇒ (I)  − x + 24 x − 32 x = −16 y + 96 y − 256 y  x − x + x = y − 12 y + 32 y Nếu bạn để ý chút thấy hệ không chứa đơn thức dạng mx α y β Do ta tách ẩn riêng đưa đẳng thức Bây giờ, phép đổi biến ta có hệ phương trình khó Thí dụ 5: (KĐM 2008) Giải hệ phương trình 6 x y + y + 35 = (1)  5 x + y + xy + x + 13 y = ( II ) (2) Lời giải u+v u−v ; y= Đặt x + y = u; x − y = v suy x = thay vào phương trình hệ biến đổi (1) trở thành ( ( u + v) u − v u − v) +2 2 ( ) ( ) + 35 = ⇔ u + 2uv + v ( u − v ) + u − 3u v + 3uv − v + 280 = 2 ⇔ u − u v + 2u v − 2uv + uv − v + 2u − 6u v + 6uv − 2v + 280 = ⇔ u − v + 35 = (3) ( ( 2) trở thành ( u + v) ) ( u − v) + u+v u −v u+v u−v + + 13 =0 4 2 2 ⇔ 10u + 10v + u − v + 10u + 10v + 26u − 26v = ⇔ 3u + 2v + 9u − 4v = + ( ) (4) Ta có hệ u = v + 35  3u + 9u = −2v + 4v Suy ( ) ( ) u + λ 3u + 9u = v + 35 + λ − 2v + 4v ⇔ u + 3λu + 9λu = v − 2λv + 4λv + 35 (5) Ta cần chọn λ cho ( 5) có dạng ( u − a ) = ( v − b ) ⇔ u − 3au + 3a u − a = v − 3bv + 3b v − b So sánh ( 6) ( 5) suy (6) − 3a = 3λ   a = −3 3a = 9λ   − 3b = −2λ ⇔ b = 3b = 4λ λ =   3 a − b = 35 Như ta có ( u + 3) = ( v − 2) ⇔ u = v − , thay vào ( 3) ta ( v − 5) − v + 35 = ⇔ v − 5v + = ⇔ v = 2; v = +) v = ⇒ u = −3 ta có hệ phương trình  x=−  x + y = −   ⇔  x − y = y = −  +) v = ⇒ u = −2 ta có hệ phương trình  x=   x + y = −2  ⇔  x − y =  y = −  Kết luận: Hệ cho có hai nghiệm   x = −  y = −    x = ; ■ y = −  Cuối để kết thúc viết xin mời bạn luyện tập qua số phương trình hệ phương trình sau: x − x + 12 = (THTT) 2 x − = −3 − x + + x + − x (KĐM)  x + xy = −49   x − xy + y = y − 17 x (VMO 2004) ... λx − 3λx + 4λx = y + 2λy − 12λy + 32λy + 240 Ta cần chọn λ cho ( 3) có dạng ( x − a ) = ( y − 4) So sánh ( 4) ( 3) (2) (3) ⇔ x − 4a x + 6a x − 4a x + a = y − 4by + 6b y − 4b y + b ( 4) − a = λ... −4   y = −2 x =  ■ y = ; Nhận xét: Với cách làm cho dù toán có hệ số lớn giải Có thể hình dung tác giả sang tạo toán sau: Xuất phát từ ( x − 2) = ( y − 4) ta có x − x + 24 x − 32 x + 16... Ta cần chọn λ cho ( 5) có dạng ( u − a ) = ( v − b ) ⇔ u − 3au + 3a u − a = v − 3bv + 3b v − b So sánh ( 6) ( 5) suy (6) − 3a = 3λ   a = −3 3a = 9λ   − 3b = −2λ ⇔ b = 3b = 4λ λ = 