MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THÚ VỊ ! (Lê Phúc Lữ, lớp 12T, trường THPT Chuyên Bến Tre) Phương trình vô tỉ dạng toán khó kì thi Toán làm quen nhiều với vài phương pháp giải quen thuộc Trong này, xin giới thiệu với bạn thêmhai phương pháp thú vò khác, xin tạm gọi phương pháp “nhân lượng liên hợp” phương pháp “tam thức bậc hai” Hy vọng qua đó, bạn có thêm vài kiến thức cần thiết, làm phong phú thêm kinh nghiệm 1) Phương pháp nhân lượng liên hợp: * Bài toán mở đầu: Giải phương trình sau: x + + x + + x + + x + 16 = x + 100 Tuy phương trình chứa thức bậc hai dạng đơn giản phương pháp thông thường để giải phương trình vô tỉ bình phương để khử thức dùng bất đẳng thức tác dụng, ta tìm hiểu cách giải độc đáo dựa vào kiến thức quen thuộc cho lời giải ấn tượng sau *Ý tưởng chính: Trong nhiều trường hợp, ta nhẩm nghiệm phương trình chứa thức đoán tất nghiệm phương trình cho chưa chứng minh Khi đó, ta thử dùng phương pháp thêm bớt, nhân lượng liên hợp, đưa phương trình cho tích, chắn có nhân tử dẫn đến nghiệm ta nhẩm (còn nhân tử lại thường phương trình vô nghiệm) *Lời giải toán mở đầu: Điều kiện: x ≥ −1 , ta nhẩm thấy x= nghiệm phương trình, tiến hành biến đổi sau: ( x + − 1) + ( x + − 2) + ( x + − 3) + ( x + 16 − 4) = ( x + 100 − 10) x x x x x ⇔ + + + = x +1 +1 x+4+2 x+9 +3 x + 16 + x + 100 + 10 x = ⇔ 1 1 + + + = x+4+2 x+9 +3 x + 16 + x + 100 + 10 x + + 1 < ⇒ VT > VP , phương trình vô Ta có: x + 100 + 10 > x + + ⇒ x + 100 + 10 x +1 +1 nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ta làm tìm hiểu thêm ví dụ sau để thấy rõ hiệu phương pháp này: VD1: Giải phương trình sau: x + 15 = 3 x + x + − Giải: PT cho tương đương với: x + 15 − = 3( x − 1) + x + − x −1 ⇔ x + 15 + = x2 = 3( x − 1) x −1 + ⇔ 2 = x + x +1 x +8 +3 x + 15 + 2 Xét phương trình (*), ta có: x + + < x + 15 + ⇒ 3 x4 + x2 + 1 < x + 15 + + x2 + + x2 + + (*) suy ra: VT2 >VT 1+ = (*) 2 ( x − 1) + ( x − 1) + x −2 +5 VP = x + 3x + x −2 +5 > ⇔ x + x − > x − ⇔ ( x + x − 1) − 4( x − 2) > ⇔ x + x + x − x + > ⇔ ( x + x) + ( x − 3) + x > 0, ∀x ≥ x+3 VT = + < ⇔ x < ( x − 1)2 + ( x − 1) + 2 3 ( x − 1) + ( x − 1) + Đặt t= ( x − 1) > Cần chứng minh: t + < t + 2t + ⇔ t + 3t + 6t + 4t > 0, ∀t > , Vậy (*) vô nghiệm hay phương trình cho có nghiệm x= 100 VD3: Giải phương trình sau: ∑ x + k = x + 5049 (*) k =2 Giải: Ta nhẩm thấy x= nghiệm phương trình nên tiến hành biến đổi sau: (chú ý ta chứng minh quy nạp n 100 n(n + 1) 100.(100 + 1) k = ⇒ k= − = 5049 ) ∑ ∑ 2 k =1 k =2 100 100 100 x2 + k − k k =2 (x + k ) + k x + k + k (*) ⇔ ∑ ( x + k − k ) = x + 5049 − ∑ k ⇔ ∑ k =2 k =2 3 3 = x + 5049 − 5049 x = ⇔∑ = x ⇔ 100 3 = (**) ∑ k =2 (x + k ) + k x + k + k k = ( x + k )2 + k x + k + k 100 100 100 1 1 = ∑( − ) = 1− < = VP Xét phương trình (**), ta có: VT < ∑ < ∑ k 100 k =2 k k = k ( k − 1) k =2 k − Suy (**) vô nghiệm Vậy (*) có nghiệm x= 100 x2 2 * Bài tập áp dụng: Giải phương trình hệ phương trình sau: x −1 + 5x − = x + 1/ 2/ x + + x = 3x + 49 x + + x + + x + 81 = ( x + 4) 3/ 4/ x + x2 −1 = ( x − 1) x − x + 21 = y − + y 5/ y + 21 = x − + x 2) Phương pháp tam thức bậc hai: * Ý tưởng chính: Đặt biểu thức phương trình ban đầu ẩn khác (thường biểu thức dấu căn) ta chưa đưa hết phương trình cho ẩn mà viết phương trình dạng tam thức bậc hai theo ẩn có tham số ẩn lại Khi đó, ta tiếp tục tính ∆ phương trình thông thường ∆ tính số bình phương biểu thức chứa biến Tiếp tục giải theo công thức tìm nghiệm đến phương trình đơn giản VD1: Giải phương trình sau: (4 x − 1) x + = x + x + (*) Giải: Đặt: t = x + ≥ (*) ⇔ 2( x + 1) − (4 x − 1) x + + x − = ⇔ 2t − (4 x − 1)t + x − = ∆ = (4 x − 1) − 4.2.(2 x − 1) = 16 x − 24 x + = (4 x − 3) (4 x − 1) − (4 x − 3) t = t= (1) ⇒ ⇔ t = (4 x − 1) + (4 x − 3) (2) t = x − (1) nghiệm điều kiện t 2 3 x − x = x + = x − x + = (2 x − 1) (2) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x= x − ≥ 2 x − ≥ 2 x − ≥ Phương trình cho có nghiệm x = VD2: Tìm nghiệm dương phương trình sau: x + Giải: Điều kiện: x ≥ Đặt t = − x −1 1 = 1− + x − x x x ≥ Phương trình cho trở thành: x t − (1 + + x )t + x = t = 2( x + + 1) ∆ = (1 + + x ) − x = + + x + ( x + 1) = ( x + + 3) Suy ra: t = x + − (*) (**) -Từ (*), suy ra: 1− 1− = 2( x + + 1) Phương trình vô nghiệm do: x < < 2( x + + 1) x x −1 = x + − 1, x ≥ ⇔ = x + − x +1 ⇔ x +1 = x +1+ x x x 1± ⇔ x + x + − x x + = ⇔ ( x − x + 1) = ⇔ x = x + ⇔ x = 1+ Do x ≥ nên phương trình cho có nghiệm dương là: x = VD3: Giải phương trình sau: ( x − x + 1) x + 21 + x − x + x = 21 (*) -Từ (**), suy ra: 1− Giải: Đặt t = x + 21 > (*) ⇔ ( x + 21) − ( x − 3x + 1) x + 21 − ( x − x + x) = ⇔ t − ( x − x + 1)t − ( x − x + x ) = ∆ = ( x − x + 1) + 4.( x − x + x) = x − x + x + x − x + = ( x − x + 1) Suy phương trình ẩn t có hai nghiệm là: (1) t = − x ( x − x + 1) ± ( x − x + 1) ⇒t = ⇒ (2) t = x − x + x + 21 = − x x + 21 = x (1) ⇔ ⇔ x < x < Phương trình vô nghiệm (2) ⇔ x + 21 = x3 − x + ⇔ x + 21 − = x − x − x = x2 − ⇔ = ( x − 2)( x + x + 2) ⇔ x+2 = x2 + 2x + x + 21 + x + 21 + (3) x+2 < x + x + = VP Suy (3) vô nghiệm Vậy phương trình (*) có nghiệm x=2 Xét (3) : VT ≤ VT < *Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: ]1/ 2/ x2 − − x2 + + x2 x2 + = 2x −1− x x + + x + = 3/ x − x + 12 = (3 x − 2) x + 11 4/ ( + x − 1)( − x + 1) = x 5/ ( x + 2)( x + 3)(4 x − 3) = 4 x − + x( x + 1) ... tam thức bậc hai theo ẩn có tham số ẩn lại Khi đó, ta ti p tục tính ∆ phương trình thông thường ∆ tính số bình phương biểu thức chứa biến Ti p tục giải theo công thức tìm nghiệm đến phương trình... Giải phương trình sau: ∑ x + k = x + 5049 (*) k =2 Giải: Ta nhẩm thấy x= nghiệm phương trình nên ti n hành biến đổi sau: (chú ý ta chứng minh quy nạp n 100 n(n + 1) 100.(100 + 1) k = ⇒ k= − = 5049... việc chứng minh phương trình thứ hai vô nghiệm không đơn giản, cần kết hợp vài bất đẳng thức để so sánh vế: VD2: Giải phương trình sau: x − + x = x − Giải: Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương