Su dung dao ham de giai PT

Dùng đạo hàm để giải phơng trình Ta biết phơng trình đa dạng f ( x) = , hàm số f ( x) thể đầy đủ tính chất nghiệm phơng trình Do đó, ta khảo sát đợc hàm số f ( x) , ta có đợc nhìn tổng quát phơng trình, xác định đợc phơng trình có nghiệm, thuộc miền nào,những tính chất tất nhiên rõ ràng nh việc tìm đợc nghiệm cụ thể phơng trình nhng có nhiều lợi ích mà việc tìm lời giải cho toán phơng trình không tiến hành thuận lợi cách biến đổi tơng đơng, đặt ẩn phụ Và nh thế, công cụ đạo hàm trờng hợp thực thể rõ tính hiệu nó; cách dùng đạo hàm, ta xác định đợc xác số nghiệm phơng trình cho trớc; sau đó, ta tiến hành bớc lập luận cho điều kiện đủ toán mà thông thờng gọi nhẩm nghiệm để phơng trình có nghiệm hoàn tất lời giải Sử dụng đạo hàm để giải phơng trình Trong phần này, tìm hiểu số ứng dụng trực tiếp đạo hàm vào giải phơng trình thấy có nhiều toán cách thực đợc Trớc hết, ta có kết quen thuộc sau: (1) Trên miền xác định D hàm số f ( x) , f '( x) (hoặc f '( x ) < ) hàm số f ( x) đơn điệu phơng trình f ( x) = có không nghiệm (2) Nếu hàm số f ( x) liên tục [a, b] f ( a) f (b) < phơng trình f ( x) = có nghiệm (a, b) (3) Giả sử f ( x) có đạo hàm đến cấp n khoảng (a, b) Khi đó, phơng trình f ( n ) ( x) = có k nghiệm phơng trình f ( n1) ( x) = có tối đa k + nghiệm (hệ định lí Rolle) (4) Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b) tồn c (a, b) cho f '(c) = f (b) f (a ) ba Vì vậy, việc trình bày lời giải toán theo ý qua hai bớc là: - Dùng đạo hàm chứng minh phơng trình có không k nghiệm - Chỉ đợc đầy đủ k nghiệm (hoặc chứng minh đề không yêu cầu tìm nghiệm mà dừng lại việc xác định số nghiệm ta dùng định lí hàm liên tục để khoảng chứa nghiệm phơng trình kết luận) Ví dụ 1: Giải PT: x + + x + + x + + x + 16 = x + 100 Lời giải Ta thấy với phơng trình này, cách đặt ẩn phụ hay biến đổi tơng đơng không tác dụng Ta giải dễ dàng đạo hàm nh sau: Điều kiện xác định phơng trình là: x > Xét hàm số: f ( x) = x + + x + + x + + x + 16 x + 100, x (1; +) 1 1 + + + x + x + x + x + 16 x + 100 1 > Nhng x + 100 > x + > , suy ra: f '( x) > tức hàm số x +1 x + 100 Ta có: f '( x) = cho đồng biến hay phơng trình cho có không nghiệm Hơn nữa, ta thấy x = nghiệm phơng trình Vậy phơng trình cho có nghiệm x = Ta xét thêm ví dụ để thấy tác dụng công cụ Ví dụ Giải phơng trình: x = x + x Lời giải Điều kiện xác định: x Xét hàm số: f ( x) = f '( x ) = x + x x + 8, x ( ;3) Ta có: 2 x x ln + x < 0, x Suy phơng trình cho có không nghiệm Ta dễ dàng nhẩm đợc nghiệm x = lời giải hoàn tất Ví dụ Chứng minh phơng trình sau có nghiệm dơng: x + ( x3 b)3 + a x = với a, b > Lời giải Xét hàm số: f ( x) = x + ( x b)3 + a x Ta thấy: f '( x ) = x8 + x ( x3 b) + a 0, a, b > , tức f ( x) hàm đồng biến hay phơng trình cho có không nghiệm Hơn nữa: f (0) = b3 < 0, f ( b ) = b3 + a b > nên suy phơng trình cho có nghiệm thuộc (0, b ) Rõ ràng nghiệm số dơng Từ hai điều suy phơng trình cho có nghiệm dơng Ta có đpcm Ví dụ Giải phơng trình: x = x + Lời giải Rõ ràng đứng trớc phơng trình dạng hỗn hợp, vừa có hàm số mũ, vừa có hàm tuyến tính này, ta áp dụng biến đổi đại số thông thờng Việc sử dụng cách đạo hàm để khảo sát hàm số tất yếu Xét hàm số f ( x) = x ( x + 1) Ta có: f '( x) = x.ln 1, f ''( x) = x ( ln ) > suy phơng trình f ( x) = cho có không hai nghiệm Vậy phơng trình cho có hai nghiệm x = 0, x = x x x x Ví dụ Giải phơng trình: + 10 = + Hơn nữa, ta nhẩm đợc hai nghiệm x = 0, x = Lời giải Phơng trình cho có dạng: x x = 10 x x Xét hàm số: f (t ) = (t + 2) x t x , x0 nghiệm phơng trình Phơng trình cho viết lại là: f (4) = f (8) Rõ ràng hàm số liên tục [4,8] nên theo định lí Lagrange 0 f (4) f (8) = x0 (t + 2) x0 = x0 t x0 48 Phơng trình có hai nghiệm x0 = 0, x0 = nên x0 nghiệm phơng trình cho phải thuộc {0,1} Thử lại, ta tồn c (4,8) cho: f '(c) = thấy thỏa Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 0, x = Sử dụng đạo hàm để giải hệ phơng trình Những ứng dụng đạo hàm việc giải hệ phơng trình xoay quanh số vấn đề chủ yếu là: - Tìm đợc quan hệ biến phơng trình hệ để vào phơng trình khác giải - Dùng tính đơn điệu hàm số để giải toán hệ lặp Ví dụ Giải hệ phơng trình: x x = y y 4 x + y = Lời giải Ta thấy toán dạng đặc trng cho phơng pháp đợc nêu cách đề thờng hay đợc sử dụng đề thi CĐ - ĐH, thi HSG Điều quan trọng cần chứng minh đợc x = y từ hệ Điều không khó, từ phơng trình thứ hai hệ, ta thấy: x, y Khi đó, ta xét hàm số f (t ) = t 3t , t [1,1] f '(t ) = 3t , suy f (t ) hàm nghịch biến Phơng trình thứ thực chất là: f ( x) = f ( y ) x = y Thay vào phơng trình thứ hai hệ, ta đợc: x = x = 1 2 Vậy hệ phơng trình cho có hai nghiệm ( x, y ) = , ữ, , ữ Ví dụ Giải hệ phơng trình: x + x + ln( x x + 1) = y y + y + ln( y y + 1) = z z + z + ln( z z + 1) = x Lời giải Xét hàm số: f (t ) = t + 3t + ln(t t + 1), t Ă Ta có: f '(t ) = 3t + + 2t 3t 3t + 6t t + 3(t t + t ) + (3t t + 2) = = >0 t2 t +1 t2 t +1 t2 t +1 Suy f (t ) hàm đồng biến Giả sử x y từ hệ phơng trình trên, suy ra: f ( x) f ( y ) y z f ( y ) f ( z ) z x Do đó: z x y z hay x = y = z Ta thay lại vào hệ trên, quy việc giải phơng trình: x + x + ln( x x + 1) = Lại xét hàm số: g (t ) = t + 2t + ln(t t + 1) Ta có: g '(t ) = 3t + + 2t 3t 3t + 5t + 3(t t + t ) + 2t + = = > , tức hàm g (t ) t2 t +1 t2 t +1 t2 t +1 đồng biến Hơn nữa, ta thấy phơng trình g (t ) = có nghiệm t = Từ suy hệ cho nghiệm ( x, y, z ) = (1,1,1) Bài tập áp dụng: Giải phơng trình sau: a x = x + 1, x = x + b x3 + x + + ln( x + x + 1) = c x + x + 3x + x = 1 + x + x x + x x + 16 x Giải phơng trình sau: a 4( x 2) [ log ( x 3) + log3 ( x 2) ] = 15( x + 1) b x3 x x + = x + x Giải phơng trình sau: a x + x = x + b x + x = 3x + x + 10 x x Giải hệ phơng trình sau: x + 3x + ln(2 x + 1) = y y + y + ln(2 y + 1) = x Giải phơng trình sau: a 3x + x = 2.5x b 10 x + 40 x = 20 x + 30 x Giải hệ phơng trình sau: log (1 + x ) = log y 2 x + cos x = y + cos y Giải hệ phơng trình: ( x 1) + 5.log (6 y ) = x ( y 1) + 5.log (6 z ) = y ( z 1) + 5.log (6 x) = z Sử dụng đạo hàm để giải phơng trình bất phơng trình Lời giải 50 Giải phơng trình: (a) x = x + Xét hàm số: f ( x) = x (2 x + 1), x Ă Ta có: f ( x) = x.ln 2, f ( x) = x.(ln 4) > Suy phơng trình f ( x) = có không hai nghiệm 1 Ta lại thấy f (0) = f ữ = nên x = 0, x = nghiệm phơng trình 2 f ( x) = Vậy phơng trình cho có hai nghiệm x = 0, x = (b) x = x + Tơng tự câu (a), phơng trình có hai nghiệm x = 0, x = (c) x + x + + ln( x + x + 1) = Xét hàm số: f ( x) = x3 + x + + ln( x + x + 1), x Ă Ta có: 2x + (3 x + x3 + x + x + 2) + (2 x + 1) = = x2 + x + x2 + x + (3 x + x3 + x ) + (2 x + x + 3) = > 0, x Ă x2 + x + f ( x) = x + + Suy hàm số đồng biến phơng trình f ( x) = có không nghiệm Hơn nữa: f (1) = (1) + ì(1) + + ln ( ( 1) + (1) + 1) = nên phơng trình cho có nghiệm x = (d) x + x + 3x + x = 1 + x + x x + x x + 16 x 1 x x x x Xét hàm số f ( x) = + + + x + x + x ữ+ x x + x 16, x Ă Ta có: ln ln ln f ( x) = x.ln + x.ln + 3x.ln + x.ln + x + x + x ữ+ 12 x x + > Suy hàm số đồng biến phơng trình f ( x) = có không 1 nghiệm Ta thấy f (1) = + + + + + ữ+ + 16 = Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 51 Giải phơng trình: (a) 4( x 2) ì[log ( x 3) + log ( x 2)] = 15 ì( x + 1); Điều kiện: x > Phơng trình cho viết lại là: log ( x 3) + log ( x 2) = Ta có: ( log ( x 3) + log ( x 2) ) = 15 x + x2 1 + > 0, x > , ln ì( x 3) ln ì( x 2) 15 x + 15 < 0, x > ì ữ= ì ( x 2) x2 Suy vế trái hàm số đồng biến theo biến x, vế phải hàm nghịch biến theo biến x nên phơng trình cho có không nghiệm Ta thay x = 11 vào phơng trình thấy thỏa mãn Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 11 (b) x x x + = x + x Đặt y = x + x y = x + x Suy ra: y + y = ( x x x + 6) + (7 x + x 4) = x + x + x + = ( x + 1)3 + ( x + 1) Ta thấy hàm số: f (t ) = t + t , t Ă có f (t ) = 3t + > đồng biến phơng trình tơng đơng với: f ( y ) = f ( x + 1) y = x + Do đó: x + x = x + x + x = x + 3x + 3x + x x x + = Giải phơng trình ra, ta đợc ba nghiệm là: x = 5, x = Đây ba nghiệm phơng trình cho 52 Giải phơng trình: (a) x + x = x + Xét hàm số f ( x) = x + x (8 x + 2) Ta thấy: f ( x) = x ì(ln 4) + x ì(ln 6) > nên phơng trình f ( x) = có không hai nghiệm Ta nhẩm đợc hai nghiệm x = 0, x = Phơng trình dạng gọi phơng trình Bernoulli Ngoài cách dùng hàm số này, ta dùng BĐT Bernoulli để đánh giá (b) (1 + x) ì(2 + x ) = 3ã4 x ; Ta xét hàm số: f ( x) = (1 + x) ì(2 + x ) ì4 x = ( x 2) ì4 x + ì( x + 1) (1, +) f ( x) = ( x 2) ì4 x ìln + x + f ( x) = ( x 2) ì4 x ì(ln 4) + ì4 x ìln f ( x) = ( x 2) ì4 x ì(ln 4)3 + ì4 x ì(ln 4) = x ì(ln 4) ì[( x 2) ìln + 3] Suy ra: f ( x) = ( x0 2) ìln + = x = x0 = ln Ta thy: hm f ( x0 ) nghch bin (1, x0 ) , ng bin ( x0 , +) f ( x) = + nên phơng trình f ( x) = có v f (1) < 0, f ''( x0 ) < 0, xlim + nghim Do ó, f ( x) = có không hai nghiệm phơng trình cho có không ba nghiệm Hơn nữa: f (0) = f (1) = f ( ) = nên ph2 ơng trình cho có ba nghiệm x = 0, x = 1, x = (c) x + x = 3x + x + 10 x x; Xét hàm số f ( x) = x + x (3x + x + 10 x x), x Ă Ta thấy: f ( x) = x ì(ln 5)3 + x ì(ln 4) 3x ì(ln 3)3 x ì(ln 2)3 Ta thấy x < nghiệm phơng trình cho ngợc lại thì: x + x < 3x + x , 10 x x > x + x < 3x + x + 10 x x , mâu thuẫn Do x f ( x) > Suy phơng trình f ( x) = có không ba nghiệm phân biệt Hơn nữa: f (0) = f (1) = f (2) = nên phơng trình cho có ba nghiệm x = 0, x = 1, x = (d) x + 3x = (2 x + 1) ì2 x +1 Tơng tự (b) Ta dùng đạo hàm chứng minh phơng trình có không hai nghiệm nhẩm đợc hai nghiệm x = 0, x = x + x + ln(2 x + 1) = y 53 Giải hệ phơng trình y + y + ln(2 y + 1) = x 1 Điều kiện: x, y > Xét hàm số: f (t ) = t + 3t + ln(2t + 1), t > 2 Ta thấy: f (t ) = 2t + + 1 > 0, t > nên hàm đồng biến 2t + Giả sử x y từ hệ suy ra: f ( y ) f ( x) y x Do ( x, y ) nghiệm hệ x = y Ta cần giải phơng trình: x + x + ln(2 x + 1) = Dễ thấy vế trái hàm đồng biến nên phơng trình có không nghiệm Hơn nữa, thay x = vào phơng trình, ta thấy thỏa mãn Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm x = y = 54 Giải phơng trình: (a) 3x + x = 2ã5 x Phơng trình cho tơng đơng với: 3x x = x x Xét hàm số f (t ) = t x0 (t + 2) x0 , x0 nghiệm phơng trình trên, suy ra: f (3) = f (5) Ta thấy hàm số liên tục Ă nên liên tục [3,5] , theo định lí Lagrange, ta có: c (3,5) : f (c) = ( f (3) f (5) = hay: 35 ) x0 ì t x0 (t + 2) x0 = Từ đẳng thức này, ta thấy x0 = x0 = , tức x0 nghiệm phơng trình cho x0 = x0 = Thử lại, ta thấy hai nghiệm thỏa Vậy phơng trình cho có hai nghiệm x = 0, x = (b) 10 x + 40 x = 20 x + 30 x Bài giải hoàn toàn tơng tự Xét hàm số f (t ) = t x0 (t + 10) x0 với x0 nghiệm phơng trình cho Ta tìm đợc hai nghiệm x0 = 0, x0 = 55 Giải hệ phơng trình ( ) log + x = log y 2 x + 2cos x = y + 2cos y Điều kiện: x 0, y > ( ) Ta thấy x = log y = log + x = y = , thay vào phơng trình thứ hai, ta thấy không thỏa Suy x > Khi đó, ta xét hàm số: f (t ) = t + 2cos t , t > Ta thấy: f (t ) = 2t 2sin t = 2(t sin t ) > 0, t > nên hàm số đồng biến (0; +) phơng trình thứ hai hệ tơng đơng với f ( x) = f ( y ) x = y ( ) Thay vào phơng trình thứ hệ, ta đợc: log x = log + x ( ) t t Đặt log x = log + x = t x = ( 3) = Suy ra: t t t t ( 3) + = ữ + ữ = Vế trái rõ ràng hàm nghịch biến nên phơng trình có không nghiệm Ta dễ thấy nghiệm phơng trình x = Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = (2, 2) 56 Giải hệ phơng trình ( x 1) + ìlog (6 y ) = x ( y 1) + ìlog (6 z ) = y ( z 1) + ìlog (6 x) = z Điều kiện: x, y, z < Hệ cho tơng đơng với: x log (6 y ) = x2 2x + y log (6 z ) = y2 y + z log (6 x) = z2 2z + Xét hàm số: f (t ) = f (t ) = t t 2t + 6t (t 2t + 6) ì t 2t + , t ( ,6) Ta có: > 0, t (,6) nên hàm đồng biến Xét hàm số g (t ) = log (6 t ), t ( ,6) Ta có: g (t ) = nên suy phơng trình cho có nghiệm thuộc (0, b ) Rõ ràng nghiệm số dơng Từ hai điều suy phơng trình cho có nghiệm dơng Ta có đpcm Ví dụ Giải... t + 3(t t + t ) + (3t t + 2) = = >0 t2 t +1 t2 t +1 t2 t +1 Suy f (t ) hàm đồng biến Giả sử x y từ hệ phơng trình trên, suy ra: f ( x) f ( y ) y z f ( y ) f ( z ) z x Do đó: z ... trên, suy ra: log (6 y ) log (6 z ) log (6 x) y z x Do đó: y = z , dễ dàng có đợc: x = y = z -Nếu x z y Do f (t ) hàm đồng biến nên f ( x) f ( z ) f ( y ) , từ hệ trên, suy ra: