Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bài 7

Buổi HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ KIẾN THỨC: - Lập công thức truy hồi dãy số cho bới công thức tổng quát - Áp dụng giải số dạng khác NỘI DUNG III LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI Phương pháp Phương trình đặc trưng (2 + 3) n − (2 − 3) n ;n ≥ Lập công thức truy hồi tính U n + theo Ví dụ: Cho dãy số U n = U n +1 , U n B1 Lập phương trình đặc trưng: Gọi x1 = + 3; x = − ⇒ x1 + x = 4; x1x = Vậy x1 , x lànghiệm phương trình: x − 4x + = B2 Lập công thức truy hồi: viết x thành u, chuyển số thành số mũ cộng thêm n x − 4x + = ⇒ x − 4x1 + 1x = ⇒ u − 4u1 + 1u = ⇒ u n +2 − 4u n +1 + u n +0 = ⇒ u n + − 4u n +1 + u n = ⇒ u n + = 4u n +1 − u n Phương pháp Giải hệ phương trình Ví dụ (TTT Số 40) Cho U n = (10 + 3) n − (10 − 3) n a) Tính U1; ;U4 b) Tính Un+2 theo Un;Un+1 c) Lập trình ấn phím tính Un+2 theo Un;Un+1 Tính U5; ;U16 Giải c) * Đặt U n + = aU n +1 + bU n ta có U1 = 1; U = 20; U = 303; U = 4120 303 = a.20 + b.1  4120 = a.303 + b.20 * Thay vào ta có hệ  * Giải hệ máy tính ta có: MODE MODE Nhập hệ số 20 = 303 = 1= 303 = 20 = 4120 = * Vậy U n + = 20U n +1 − 97U n ta a = 20, b = -97 Phương pháp Chứng minh quy nạp (10 + 3) n − (10 − 3) n Ví dụ (TTT Số 40) Cho U n = c) Lập trình ấn phím tính Un+2 theo Un;Un+1 Tính U5; ;U16 (10 + 3) n (10 − 3) n * Đặt a n = ;b n = 3 (10 + 3) n + (10 − 3) n + (10 + 3) n (10 − 3) n ⇒ U n + = a n+ − bn + = − = (10 + 3) − (10 − 3) 2 3 3 = a n (10 + 3) − b n (10 − 3) = a n (103 + 20 3) − b n (103 − 20 3) = a n  20(10 + 3) − 97  − b n  20(10 − 3) − 97  = 20a n (10 + 3) − 20b n (10 − 3) − 97(a n − b n ) = 20(a n +1 − b n +1 ) − 97(a n − b n ) = 20U n +1 − 97U n n n  3+   3−  ÷ + ÷ − n = 0; 1; 2; … Bài 3: Cho dãy số un =  ÷  ÷     a) Tính số hạng b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un-1 c) Lập quy trình tính un+1 máy casio HD n n 3+  3−   +   − , sau nhấn phím CALC, =, nhập giá a) Nhập máy  2     trị X = 0; 1; 2; 3; kết quả:u0 = ; u1 = ; u2 = ; u3 = 16 ; u4 = 45 b) Đặt a = 3+ b = 3− n n n +1 n +1 n  3+  n  3−  +b −2= a  Ta có: un = a + b − ;un +1 = a ÷+ b  ÷− 2     2 n  3+  n  3−  −2 = a  ÷ +b  ÷ −2 2     n  9+ +  n  9− +  =a  ÷+ b  ÷− 4     n  18 + −  n  18 − −  =a  ÷+ b  ÷− 4      n  3+  n  −  n n +b  − a + b −2 = a  ÷ ÷  2      n +2 un + = a n +2 +b ) ( ( )  n  3+   n  3−  n n +b  − 2 − a + b − + = a  ÷ ÷ 2       Vậy un + = 3un+1 – un + c) gán: → A ; → B ; ghi A = 3B – A + : B = 3A – B + bấm “=” (u2) = … IV MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ: ( 5+ 7) −( 5− 7) = n Bài 1: Cho dãy số U n n với n = 0; 1; 2; 3; a) Tính số hạng U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + Un HD giải: a) Thay n = 0; 1; 2; 3; vào công thức ta U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 b) Chứng minh: Giả sử Un + = aUn + + bUn + c Thay n = 0; 1; công thức ta hệ phương trình: U = aU1 + bU + c  a + c = 10   U = aU + bU1 + c ⇔ 10a + b + c = 82 U = aU + bU + c 82a + 10b + c = 640   Giải hệ ta a = 10, b = -18, c = c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U1 vào A, tính U2 đưa U2 vào B SHIFT STO A x 10 – 18 x SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + với n = 2, 3, x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) Bài 2: Cho dãy số { U n } tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = a) Lập quy trình tính un b) Tính giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; c) Có hay không số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu không chứng minh Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + = Un + Un + 1, (n =1; 2; ) Quy trình tính Un máy tính Casio 500MS trở lên: SHIFT STO A x + SIHFT STO B Lặp lại dãy phím x ALPHA A + SHIFT STO A x ALPHA B + SHIFT STO B b) Ta có giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; bảng sau: U0 = U1 = U2 = U3 = U4 = U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167 Bài 3(TTT số 36) Cho dãy xác định U1 = 1, U = 3, U n = 3U n −1 n chẳn U n = 4U n −1 + 2U n −2 n lẻ a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un b) Tính U10 , U11 , U12 , U14 , U15 Bài 4(TTT số 33) Cho dãy xác định bởi: U1 = 0, U = 14, U = −18; U n +1 = 7U n −1 − 6U n −2 , n ≥ a) Lập trình tính Un Tính U4, U5, , U20 b) Lập chứng minh công thức tổng quát c) Chứng minh với số nguyên tố p Up chia hết cho p a) SHIFT STO A 14 SHIFT STO B ( −) 18 SHIFT STO C SHIFT STO M ALPHA M ALPHA = ALPHA M + ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B − ALPHA A ALPHA : ALPHA M ALPHA = ALPHA M + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C − ALPHA B ALPHA : ALPHA M ALPHA = ALPHA M + ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA A − ALPHA C b) U n +1 = 7U n −1 − 6U n −2 ⇒ U n +3 = 7U n +1 − 6U n ⇒ x n +3 = 7x n +1 − 6x n ⇒ x = 7x1 − 6x ⇒ x = 7x1 − 6x ⇒ x − 7x + = Giải phương trình máy fx 570ms MODE MODE MODE w 1= = − = = = = (Kết x1 = 1; x = 2; x = − ) n n * Phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát: x n = c1 + c2 + c3 (−3) n n n n * x n = c1 + c2 + c3 (−3) ⇒ U n = c1 + c2 + c3 (−3) c1 + 2c − 3c3 =  * Thay vào ta có hệ : c1 + 4c + 9c3 = 14 c + 8c − 27c = −18  * Giải hệ máy ta có: MODE MODE MODE 1= = − = = 1= = = 14 = 1= = − 27 = (Kết c1 = c = c3 = ) − 18 = Vậy U n = + + (−3) Cách 2: Chứng minh quy nạp n n U n +1 = 7U n −1 − 6U n −2 = 7(1 + n −1 + (−3) n −1 ) − 6(1 + 2n −2 + (−3) n −2 ) 1 −1 = + 7.2n −1 + 7.(−3) n −1 − − 6.2n − − 6.(−3) n −2 = + 2n (7 − ) + (−3) n (7 − ) −7 = + 2n ( − ) + (−3) n ( − ) = + 2n.2 + (−3) n (−3) = + n +1 + ( −3) n +1 2 3 p c) Với p nguyên tố ta có ≡ 2(mod p);(−3) p ≡ (−3)(mod p) (định lý nhỏ Phéc ma) p p Vậy U p = + + (−3) ≡ (1 + − 3) ≡ 0(mod p) hay U p Mp Bài (2012-2013) Cho dãy số nguyên , fi , fi+1, thoả mãn tính chất số dãy tổng hai số sát trước số (f i = fi-1+fi-2) Cho biết fi fj hai phần tử thuộc dãy với giá trị i = fi = 8; j = fj = Tính giá trị f9 Bài 6: Cho dãy số u0 = ; u1 = ; un+1 = u2n + u2n-1 a) Lập quy trình tính un b) Tính u2 , u3, u4 , u5 Hướng dẫn: a) Gán: → A ; → B ; ghi A = B2 + A2 : B = A2 + B2 ấn liên tục dấu “=” b) Kq: u2 = 13 ; u3 = 178 ; u4 = 31853 ; u5 = 1014645293 Bài 7: Cho dóy số thứ tự u1 , u2 , u3 , …, un, un + 1… Biết u1 = 1; u2 = ; u3 = un = un – + 2un – + 3un – a) Tớnh u4 , u5 ; u6 ; u7 b) Viết quy trỡnh bấm phớm liờn tục để tớnh giỏ trị un với n ≥ c) Sử dụng quy trỡnh trờn để tớnh giỏ trị u22 , u25 ; u28 ; u30 Hướng dẫn: a) Vì un = un – + 2un – + 3un – => u4 = u3 + 2u2 + 3u1 = + 2.2 + 3.1 = 10 ; tương tự ta tính u5 ,u6 ,u7 Kết quả: u5 = 22 ; u6 = 51 ; u7 = 125 b) Gỏn: → A ; → B ; → C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B : C = B + 2A + 3C , ấn liờn tục dấu “=” cỏc số hạng dóy c) u22 = 53147701 ; u25 = 711474236 ; u28 = 9524317645 ; u30 = 53697038226 Bài 8(2012-2013) Đường lên động Thiên Đường hệ thống bậc cấp gồm nhiều bậc Một bậc người khổng lồ lên hệ thống bậc cấp loại bước có số lượng bậc cấp 1,2,3 bậc Hai cách gọi khác hai cách tồn bước khác trình tự bước Yêu cầu: Đếm số cách người khổng lồ từ sàn (bậc 0) đến bậc thứ 40 hệ thống bậc cấp Ví dụ: - Cần xác định số cách từ sàn đến bậc thứ hệ thống cấp bậc Có loại bước đi, bước loại cấp bậc, loại cấp bậc, loại cấp bậc - Khi có cách từ sàn đến bậc thứ Cách Thứ tự bậc người khổng lồ qua Từ bậc đến bậc đến bậc đến bậc Từ bậc đến bậc đến bậc 3 Từ bậc đến bậc đến bậc Từ bậc đến bậc u o = 0, u1 = Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi:  u n + = 1999u n +1 − u n , n ∈ N Tìm tất số tự nhiên n cho un số nguyên tố BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (08-11-2013) ( + 3) −( − 3) = n Bài 1: Cho dãy số un n , n = 0, 1, 2, a) Chứng minh un nguyên với n tự nhiên n b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho n  3+   3−  ÷ ÷ ÷ +  ÷ − với n = 1; 2; 3;     Bài 2: Cho dãy số U n =  a) Tính số hạng U1, U2, U3, U4 , U5 b) Lập công thức truy hồi tính Un + theo Un Un – c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + máy Casio Bài 3: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức U n = (13 + ) n − (13 − ) n với n = , , , k , a) Tính U ,U ,U ,U ,U ,U ,U ,U b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n U n−1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+1 theo U n U n −1 Bài 4: Dãy số (an) xác định theo công thức: ( ) n n  2+ n an =  +  , n ∈ N * )  2+ 3)   ( (  ; (kí hiệu phần nguyên số ) Chứng minh dãy (an) dãy số nguyên lẻ Bài 5: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + = 3Un + Un – (n ≥ 2) a) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio b) Tính giá trị Un với n = 18, 19, 20 Bài 6: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + = Un + Un – (n ≥ 2) c) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio d) Tính giá trị Un với n = 12, 48, 49, 50 Bài 7: Cho dãy số thứ tự với U = 2, U2 = 20 từ U3 trở tính theo công thức U n + = 2Un + Un + (n ≥ 2) a) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 Bài 8: Cho U0 = ; U1 = ; Un = 2Un-1 – Un-2 Với số tự nhiên n lớn Tìm: a) U20 = ? b) S20 = U1 + U2 + U3 + + U20 a o =  Bài 9: Cho dãy số (an) xác định bởi:  − 60 , n ∈ N* a = 4a + 15a  n n n +  a) Xác định công thức số hạng tổng quát an b) Chứng minh số: A = ( a 2n + 8) biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên liên tiếp với n ≥  a = 5, a = 11  Bài 10: Cho dãy số (an) xác định bởi:  Chứng minh rằng:  a n +1 = 2a n − 3a n −1 , n ≥ 2,n ∈ N a) Dãy số có vô số số dương, số âm b) a2002 chia hết cho 11 Bài 11: Cho dãy số (an) xác định bởi: a = a =    a2 + , a n = n −1 a n −2  n ≥ 3,n ∈ N Chứng minh an nguyên với n tự nhiên Bài 12(TTT số 33) Cho dãy số với U1 = 1, U2 = 2, U4 = 12 U n +1.U n −1 = U n2 ± Chứng tỏ có dãy số xác định từ công thức để Un dương với n = 2,3,4, Bài 13 (TTT Số 37) Cho a = 2005, a n +1 = a 2n , n = 0,1, 2, an +1 a) Với n = 0,1,2,3,4,5 tính [ a n ] phần nguyên an b) Chứng minh [ a n ] = 2005-n với ≤ n ≤ 2003 HD a) 2005 = x ÷ ( Ans + ) = = a1 = 2004, 0004 → [ a1 ] = 2004 = a = 2003, 0009 → [ a ] = 2003 ấn = liên tục ta có = a = 2002, 0010 → [ a ] = 2002 = a = 2001, 0010 → [ a ] = 2001 = a1 = 2000, 0020 → [ a ] = 2000 Vây ta có [ a n ] = 2005 − n a 2n a = n = 1+ > hay { a n } giảm Vì an > nên với n ta có a n − a n +1 = a n − an +1 an +1 an +1 Ta lại có a n = a + (a1 − a ) + (a − a1 ) + + (a n − a n −1 ) 1 1 1 = 2005 − (1 − ) − (1 − ) − − (1 − ) = 2005 − n + + + + > 2005 − n a0 +1 a1 + a n −1 + a + a1 + a n −1 + Với ≤ n ≤ 2003 , dãy { a n } giảm a n > 2005 − n > nên 1 1 n 1003 1003 + + < + + < ≤ < u4 = u3