Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bà 4

Buổi HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨC KIẾN THỨC: - Tính giá trị biểu thức - Tìm thương dư phép chia đa thức cho ax + b NỘI DUNG I Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = P(-5,1289) = ; P( ) = Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345 H.Dẫn: - áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = Từ tính P(0,53241) = Tương tự: ( x − 1)(1 + x + x + + x ) x10 − = x −1 x −1 x9 − Q(x) = x + x + + x + x + x = x (1 + x + x + x + + x ) = x x −1 10 2 Từ tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:  a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + = 16a + 8b + 4c + 2d + e + = 1 1  81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + = ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1  256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 1 1  625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 Tính A = P (5) − P(6) =? P (7) H.Dẫn: - Giải tương tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + A= P (5) − P(6) = P (7) x( x + 1) Từ tính được: Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k ∈ Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999a + b + 2000 = a = −1 ⇔ ⇔ 2000a + b + 2001 = b = −1 ⇒ g(x) = f(x) - x - * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) ⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Từ tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = ⇒ a, b, c nghiệm hệ phương trình: a + b + c + =  9a + 3b + c + 11 =  25a + 5b + c + 27 =  a = −1  ⇒ MTBT ta giải được: b = c = −2  ⇒ g(x) = f(x) - x2 - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + f(-2) = (-3)(-5)(-7)(-2-x0) + + = 210 + 105x0 + = 216 + 105x0 7f(6) = 7.5.3.1(6-x0) + 36 + = 630 - 105x0 + 38 = 668 - 105x0 Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = 216 + 105x0 - 668 - 105x0 = 884 Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nên:  d = 10  a + b + c + d = 12   8a + 4b + 2c + d =  27a + 9b + 3c + d = lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kết quả: a = ; b = − ⇒ f ( x) = x − 25 ; c = 12; d = 10 25 x + 12 x + 10 ⇒ f (10) = Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) dư f(-1) = -18 Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tương tự 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính f(2005) = Bài 10: Cho đa thức P( x) = 13 82 32 x − x + x − x + x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên P( x) = ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x −1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) 2.5.7.9 Vì só nguyên liên tiếp tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên II Tìm thương dư phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải:  b  b  −b  - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ P  −  = 0.Q  −  + r ⇒ r = P    a  a  a  Bài 1: Tìm dư phép chia P(x) = 3x - 5x + 4x - cho (2x - 5) Giải:         - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ P   = 0.Q   + r ⇒ r = P   ⇒ r = P   2 2 2 2 5 5 5 Tính máy ta được: r = P   = 2 Bài toán 2: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b 0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r - b2c) Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng quát Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Bài 2: Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: -2 -3 0 -1 -5 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756 * Tính máy tính giá trị sau: ( −) SHIFT STO M × ANPHA M + = + (-5) : ghi giấy -5 (23) : ghi giấy × ANPHA M × ANPHA M - = (-118) : ghi giấy -118 × ANPHA M + = (590) : ghi giấy × ANPHA M + = (-2950) : ghi giấy -2950 × ANPHA M + = (14751) : ghi giấy 14751 × ANPHA M - - = 23 590 = (-73756) : ghi giấy -73756 x - 2x - 3x + x - = (x + 5)(x - 5x + 23x - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài 3: Tìm thương dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Giải: 1  - Thực phép chia P(x) cho  x −  , ta được: 2  1  7  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x −   x + x −  + Từ ta phân tích: 2  4  1  7  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x −   x + x −  + 2  4  7 1 = (2x - 1)  x + x −  + 8 2 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta P(x) = Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho ax +b m + r = b a hay m = -r = - P( − ) Như toán trở dạng toán Bài 1: Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)     Ta có: P1  −  + m = ⇒ m = − P1  −   3  3 2 Tính máy giá trị đa thức P1(x) x = − ta m = Bài 2: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung x0 = H.Dẫn: 1 nghiệm P(x) m = − P1   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 2 1 x0 = nghiệm Q(x) n = −Q1   , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 2 1 1 Tính máy ta được: m = − P1   = ;n = −Q1   = 2 2 x0 = Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm H.Dẫn: a) Giải tương tự 16, ta có: m = ;n = b) P(x) M(x - 2) Q(x) M(x - 2) ⇒ R(x) M(x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x + x + 3), x2 + x + > với x nên R(x) có nghiệm x = Bài 4: Chia x8 cho x + 0,5 thương q 1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q 2(x) dư r2 Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính hệ số đa thức q1(x), q2(x) số dư r1, r2: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 − − − − − − 2 Vậy: r2 = − -1 4 − 16 16 32 − 16 64 64 128 − 16 256 16 Bài 5: a) Tìm phần dư R(x) chia đa thức x 2010 − x11 + 212 cho 2011x2 – 2011 b) Xác định phần dư R(x) chia đa thức P(x) = 1+ x + x9 + x10 + x2010 + x2011 cho Q(x) = x3 – x Tính R (79,102011) HD a Giả sử f(x) = x 2010 − x11 + 212 = (2011x2 – 2011).Q(x) +R(x) = 2011(x – 1)(x + 1).Q(x) + ax + b ( đa thức chia có bậc 2) Ta có : f(1) = a + b = 12010 – 6.111 + 212 = 4091 f(-1) = - a + b = (-1)2010 – 6.(-1)11 + 212 = 4103 ⇒ a = - ; b = 4097 Vậy đa thức dư phép chia x 2010 − x11 + 212 cho 2011x2 – 2011 R(x) = -6x + 4097 b P(x) = 1+ x7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 = (x3 – x) T(x) + R(x) = (x3 – x) T(x) + ax2 + bx + c = x(x-1)(x+1) T(x) + ax2 + bx + c Ta có: P(0) = ⇔ c = P(1) = ⇔ a + b + c = P(-1) = ⇔ a - b + c = Vậy a = 2, b = 3, c = Vậy R(x) = 2x2 + 3x + BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (NGÀY 14/10/2013) Bài Cho đa thức g(x) = 8x −18x + x + a) Tìm nghiệm đa thức g(x) b) Tìm hệ số a,b,c đa thức bậc ba f (x) = x + ax + bx + c , biết chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) đa thức dư r(x) = 8x + 4x + c) Tính xác giá trị f (2008) Bài Cho đa thức P(x) = x + 5x -4x +3x-50 Gọi r1 phần dư phép chia P(x) cho x – r2 phần dư phép chia P(x) cho x – Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ? Bài Xác định hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư 1, chia cho (x-3) có số dư chia cho (x – 14) có số dư Bài Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 Bài Cho f (x) = x 2010 + (k + 1)x 2009 + (2k + 1)x 2008 + + (2009k + 1)x + (2010k + 1) với ∀k ∈ R Tính f (1 − k) Bài Xác định phần dư R(x) chia đa thức P(x) = 1+ x7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 cho Q(x) = x3 – x Tính R (79,102011) Bài Tìm phần dư phép chia P(x) = x2010 + x2011 + 11 cho x2 – Bài Đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e biết P(1) = 11 , P(2) =14 , P(3) = 19 , P(4) = 26 , P(5) = 35 Hãy tính P(11) , P(12) , P(13) , P(14) , P(15) , P(16) Bài Biết (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + … + a45x45 Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44 Bài 10 a Khi chia đa thức f (x) = 2x + 8x - 7x + 8x - 12 cho đa thức (x - 2) ta thương đa thức Q(x) có bậc Tìm hệ số a x đa thức Q(x) số dư r phép chia b Phân tích đa thức P(x) = a - 6a + 27a - 54a +32 thành nhân tử Bài 11 Giả sử có biểu thức: T(x) = ( + x ) = a + a1 x + a x + a x3 + + a 29 x 29 + a 30 x 30 15 Tính xác giá trị H = - 2a1 + a − a + a - a + + a 28 − a 29 + a 30 Bài 12: Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – 7)32 Tính xác đến đơn vị: a) Số dư phép chia Q(x) cho x – b) Tổng hệ số đa thức Q2(x) Bài 13: Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – )64 Tính tổng hệ số đa thức xác đến đơn vị Bài 14.a) Tìm phần dư chia đa thức: x100 − x 51 + cho x − 28 29 30 b) Cho đa thức f ( x ) = x + x + có năm nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Ký hiệu p( x ) = x − 81 tìm P = p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 ) p( x5 ) Bài 15 Cho đa thức f(x) = (x2 + 3x -1)2012 Tính tổng hệ số hạng tử chứa lũy thừa bậc chẵn x  ... P(11) , P(12) , P(13) , P( 14) , P(15) , P(16) Bài Biết (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + … + a45x45 Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a 44 Bài 10 a Khi chia đa thức... hay m = -r = - P( − ) Như toán trở dạng toán Bài 1: Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H .Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m... được: m = − P1   = ;n = −Q1   = 2 2 x0 = Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức