Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bà 6

Buổi HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ KIẾN THỨC: - Lập công thức truy hồi dãy số cho bới công thức tổng quát - Áp dụng giải số dạng khác NỘI DUNG I TÍNH SỐ HẠNG THỨ N CỦA DÃY SỐ: 1) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n ∈ N* f(n) biểu thức n cho trước Un = Ví dụ Cho dãy 2n + 2n − a) Viết số hạng đầu dãy b) Tìm xem số hạng thức 17 Giải PP1: Nhập công thức (FX 570MS) ALPHA Y ALPHA = ( ALPHA X + ) a b / c ( ALPHA X − ) a) ấn tiếp CALC = U1 = CALC = ab/c 1↵2↵3 U2 = CALC = ab/c 1↵2↵5 CALC = ab/c 1↵2↵7 CALC = ab/c 1↵2↵9 CALC = ab/c 1↵2↵11 U3 = U4 = U5 = U6 = 11 b) SHIFT SOLVE a b / c a b / c 17 = SHIFT SOLVE Vậy số hang thứ 17 Cách (Tất máy) Khai báo A = 0, B = 0; A ← A + 1; B ← (2A+1)/(2A-1) SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA A + SHIFT STO A ( ALPHA A + ) a b/c ( ALPHA A − SHIFT STO B a) ấn liên tiếp r = ta U0, , U6 b) ấn liên tiếp r = ta thấy A = B = 2 số hạng thứ 17 17 Cách (Sử dụng hàm Calc 570MS, 570ES) ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ( ALPHA A + ) a b/c ( ALPHA A − ) a) CALC = ấn liên tiếp = b) ấn liên tiếp = = a b / c = lần ta U0, , U6 2 ta thấy A = B = số hạng thứ 17 17 Ví dụ Cho dãy U n = 2n − 2n a) Tính U , U , U8 dãy b) Tìm xem 2047 số hạng thức 2048 Giải ALPHA Y ALPHA = ( ^ ALPHA X − ) a b / c ^ ALPHA X a) ấn tiếp 15 U4 = 16 255 U8 = 256 U2 = CALC = ab/c 3↵4 CALC = ab/c 15↵16 CALC = ab/c 255↵256 11 b) SHIFT SOLVE 2047 a b / c 2048 = SHIFT SOLVE Vậy 2047 số hạng thứ 11 2048  n n  +   −    ÷ − ÷ , n = 1;2; Ví dụ 3: Tính 10 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: u n =  ÷  ÷    Giải: - Ta lập quy trình tính un sau: ( ÷ ÷ ) ) ) ∧ ( ( ( + ) ÷ ) ∧ ANPHA A - ( ( - ANPHA A - Sử dụng Calc tính CALC = lặt lại 10 Ta kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55 2) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng:  u1 = a f(un) biểu thức un cho  u = f(u ) ; n ∈ N*  n+1 n trước  u1 =  Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi:  un +  u n +1 = u +1 , n ∈ N * n  Giải: Cách 1.- Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: = (u1) ( ANS + ) ÷ ( ANS + ) = (u2) = = - Ta giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u7 = 1,414201183 Cách (570MS, ES) u13 = 1,414213562 u14 = = u20 = 1,414213562 ALPHA A ALPHA = ( ALPHA A + ) a b/c ( ALPHA A + CALC = Lặp lại = liên tục u =33  Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi:  33  u n +1 = ( u n ) , n ∈ N *  Tìm số tự nhiên n nhỏ để un số nguyên Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: SHIFT ANS ∧ = (u1) SHIFT 3 = (u2) (u4 = 3) Vậy n = số tự nhiên nhỏ để u4 = số nguyên = =  U1 =  U n +1 = 2U n ; n ≥ Ví dụ Cho dãy  Tính U1, U , U3 , U S4 = U1 + U + U + U ; P4 = U1U U U Giải Cách (FX 570MS, Vn 570MS) Khai báo A =1, B =3, C = (tổng), D = (tích) A = A+1; B = 2A; C = C+B; D = D.B SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO C SHIFT STO D ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D × ALPHA B ấn liên tiếp phím = sau = A= →n=2 = B= → U2 = = C= → S2 = = D= → P2 = 18 Vậy ta có S4 = 45, P4 = 5184 Cách (FX 570MS, Vn 570MS) Khai báo A = 2A; C = C+A; D = D.A (A giá trị U, C: tổng, D : tích) ALPHA A ALPHA = ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA D × ALPHA B CALC (Máy hỏi A?) = = (Kết A = U2 = 6) (Máy hỏi C? C = C + A = 3) = = (Kết C = S = 6) (Máy hỏi D? D = DA = 3) = = (Kết D = P = 18) Lặp lại = = = a) Lập trình ấn phím tính U n +1 Ví dụ 4: Cho dãy số U1 = ; U n +1 = U 3n + b) Tính U30 , U31 , U32 Giải Cách a) U n +1 = U 3n U 3n +1 = + 3 ab/ c = a b / c + Ans x a b / c ấn = liên tục ta tính Un+1 b) ấn = liên tục 10 lần ta thấy hình có giá trị 0.347296355 ấn tiếp = không thay đổi Vậy U30 = U 31 = U32 = 0.347296355  u = a, u = b 3) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng:   u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n ∈ N*  u = 1, u = Ví dụ 1: Cho dãy số xác định bởi:   u n+2 = 3u n+1+ 4u n + ; n ∈ N* Hãy lập quy trình tính un Cách Tính máy SHIFT STO A SHIFT STO B × + ALPHA A + SHIFT STO A × + ALPHA B + SHIFT STO B Lặp lại ∆ = ta dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Cách (FX 570MS, Vn 570MS) SHIFT STO A SHIFT STO B × + ALPHA A + SHIFT STO A (U 3) × + ALPHA B + SHIFT STO B (U 4) ∆ SHIFT COPY Lặp lại = = Cách (FX 570MS, Vn 570MS) SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA B + ALPHA A + ALPHA ALPHA B ALPHA = ALPHA A + ALPHA B + Lặp lại = = Cách (FX 570MS, Vn 570MS) : ALPHA A ALPHA = ALPHA B + ALPHA A + ALPHA ALPHA B ALPHA = ALPHA A + ALPHA B + CALC : (Máy hỏi B?) = (Máy hỏi A?) = Lặp lại = = = Ví dụ 2: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=U2=1, Un+2= Un+1+ 2Un Tính tích 10 số hạng đầu dãy Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): ALPHA A ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C ALPHA A ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA A + ALPHA B ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C ALPHA B B? Bấm = CALC máy hỏi: A? Bấm = C? Bấm = Lặp lại = = = Trong X số hạng thứ A, B giá trị dãy số; D tích số hạng  U1 = 3, U = Viết số hạng đầu tính tổng S7,P7 số hạng  U n = 3U n −2 − 2U n −1; n ≥ Ví dụ Cho dãy  HD: Nhập biểu thức A = 3A – 2B:C=C+A:D=DA:B=3B-2A:C=C+B:D=DB ALPHA A ALPHA = ALPHA A − ALPHA B ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA A ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D ALPHA A ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B − ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D ALPHA B A? Bấm = B? Bấm = C? Bấm = D? Bấm = CALC máy hỏi: Lặp lại = = = Ví dụ Cho U1 = -3, U2 = 7, Un+1 = Un + Un-1 a) Lập tình tính Un+1 theo Un, Un-1 b) Tính U3,U4, .U7 c) Tính xác đến chữ số điền vào bảng sau: U2 U1 U3 U2 U4 U3 U5 U4 U6 U5 U7 U6 Giải.Tính FX570MS a) (−) SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA A ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA A + ALPHA B Lặp lại = = = c) (−) SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA C ALPHA = ALPHA B ÷ ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA B ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA A ÷ ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ALPHA A Lặp lại = = =  u = a 4) Dãy số cho hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:   u n+1 = f ( { n, un } ) ; n ∈ N*  u1 =  Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi:  n ( u +1 ) ; n ∈ N*  u n+1 = n+1 n  Hãy lập quy trình tính un Cách 1 SHIFT STO M SHIFT STO A ALPHA M ( ALPHA M + SHIFT ALPHA Lặp lại ∆ = Cách (570 MS) SHIFT STO M ALPHA ) A ALPHA ) A ALPHA = ALPHA ALPHA : ALPHA CALC máy hỏi: ( ALPHA M + SHIFT STO A STO M ALPHA M = , 3, ALPHA M M ALPHA Lặp lại = = , 1, , 2, ta dãy: 2 Cách (Fx 570 MS, Vn 570MS) ALPHA ÷ SHIFT STO A ALPHA : + ) A M ALPHA ( ALPHA = ALPHA A M + ) ÷ ( ALPHA M + ÷ ( ALPHA M + + , ( ALPHA = ALPHA A M + ) + M? Bấm = A? Bấm = Lặp lại = = = Ví dụ 2: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=1, Un+1=5Un-2n Tính U20 tổng 20 số hạng Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): A=5A-2X: ALPHA A ALPHA = ALPHA A − ALPHA X ALPHA : C= C+A: ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA C ALPHA : X=X+1 ALPHA X ALPHA = ALPHA X + Bấm CALC máy hỏi: A? Bấm 1= CALC = X? Bấm 1= 1= C? Bấm 1= 1= Lặp lại === = = = Ví dụ 3(TTT số 36) Cho dãy xác định U1 = 1, U = 3, U n = 3U n −1 n chẳn U n = 4U n −1 + 2U n −2 n lẻ a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un b) Tính U10 , U11 , U12 , U14 , U15 Cách × + × SHIFT STO A → U = 14 ×3 = → U = 42 × + ALPHA A SHIFT STO A → U = 196 = Lặp lại dãy phím cách ấn  Cách (Fx 570 MS, Vn 570MS) SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A × + ALPHA A SHIFT STO A ALPHA A SHIFT STO B × SHIFT STO B  SHIFT COPY =  SHIFT COPY = ấn = liên tục ta có : U10 = 115248; U11 = 537824; U12 = 1613472; U14 = 22588608; U15 = 105413804 Cách Tính FX570MS, ES ALPHA A ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA A CALC Máy hỏi: B? bấm = A? bấm = ấn = liên tục ta có : U10 = 115248; U11 = 537824; U12 = 1613472; U14 = 22588608; U15 = 105413804 II TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Phương pháp quy nạp: - Lập quy trình MTBT để tính số số hạng dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát - Chứng minh công thức tìm quy nạp a =  n(n + 1) Ví dụ 1: Tìm a2004 biết:  (a n + 1) ; n ∈ N * a n +1 = (n + 2)(n + 3)  Giải: - Trước hết ta tính số số hạng đầu dãy (an), quy trình sau: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ÷ ( ( ( ANPHA = ANPHA A ANPHA B + ) ANPHA A + ) ANPHA ( ( ANPHA A ANPHA A : ANPHA + ) A + ) ) × ANPHA = ANPHA A + ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C 27 11 13 , , , , , , 20 50 15 14 - Từ phân tích số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: 1.5 2.7 2.7 27 3.9 = = = a1 = 0; a2 = = = ; a3 = ; a4 = 30 3.10 20 40 4.10 50 5.10 - Ta dãy: ⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát: a n = * Chứng minh a n +1 = a n +1 = (n − 1)(2n + 1) 10(n + 1) n(2n + 3) 10(n + 2) n(n + 1) n(n + 1)  (n − 1)(2n + 1)  n(n + 1) (n − 1)(2n + 1) + 10(n + 1) (a n + 1) = + 1 =  (n + 2)(n + 3) (n + 2)(n + 3)  10(n + 1) 10(n + 1)  (n + 2)(n + 3) n(n + 1) 2n − n − + 10n + 10 n(n + 1) 2n + 9n + n(n + 1) (2n + 3)(n + 3) = = = (n + 2)(n + 3) 10(n + 1) (n + 2)(n + 3) 10(n + 1) (n + 2)(n + 3) 10(n + 1) n(2n + 3) Vậy a n +1 = 10(n + 2) 2003.4009 ⇒ a 2004 = 20050 a1 = 1, a = Ví dụ 2: Xét dãy số:  * Chứng minh số A = 4a n.an+2 + số a n + = 2a n +1 − a n + 1; n ∈ N phương Giải: - Tính số số hạng đầu dãy (an) quy trình: SHIFT STO A × - + SHIFT STO B × - ANPHA A + SHIFT STO A × - ANPHA B + SHIFT STO B ∆ SHIFT COPY = = - Ta dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - Tìm quy luật cho dãy số: 1(1 + 1) 2(2 + 1) 3(3 + 1) 4(4 + 1) 5(5 + 1) a1 = = ; a2 = = ; a3 = = ; a = 10 = ; a = 15 = 2 2 n(n + 1) Dự đoán công thức số hạng tổng quát: a n = (n + 2)(n + 3) * Chứng minh a n + = Ta có a n + = 2a n +1 − a n + = a n +2 = (n + 1)(n + 2) n(n + 1) 2n + 6n + − n − n + n + 5n + − +1 = = 2 2 (n + 2)(n + 3) - Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 ⇒A số phương Cách giải khác: Từ kết tìm số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Với n = A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Với n = A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Với n = A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) Phương pháp phương trình đặc trưng: Ví dụ Cho dãy U n + = U n +1 + U n , U = U1 = Tìm số hạng tổng quát dãy số B1 Lập phương trình đặc trưng, Giải phương trình, tìm nghiệm đặc trưng + Lập phương trình: Thay u x, n 0, chuyển số thành số mũ U n + = U n +1 + U n ⇒ x n + = x n +1 + x n ⇒ x 0+ = x +1 + x ⇒ x = x1 + x ⇒ x − x − = + Giải phương trình: x1 = 1+ ; x2 = 1− 2 n n n + Nghiệm tổng quát phương trình đặc trưng: x n = c1x1 + c x + + c k x k ( x1 , x , , x k nghiệm pt n n 1+  1−  + c đặc trưng) ⇒ x n = c1  ÷ ÷ 2     n n 1+  1−  B2 Tìm số hạng tổng quát: Thay x u, giải tìm c ⇒ U n = c1  ÷ + c2  ÷      +1 c1 + c = c1 =  U0 =   1−  ⇒  ⇔  1+    U1 = c1  ÷+ c2  ÷ = c = −       n n n +1 n +1 +1 +  −11 −  1+  1−  ⇒ Un = + = −  ÷  ÷  ÷  ÷     5  5  BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (01-11-2013) Bài 1: Cho dãy số un = (2 + 3)n − (2 − 3)n n = 1; 2; … a) Tính số hạng dãy số b) Lập quy trình tính un máy casio b.Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un c Tìm tất số tự nhiên n để un chia hết cho 13+ ) - ( 13- ) Bài Cho dãy số công thức : U = ( n n n với n = 1, 2, 3, ……, k, … a Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 b Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un Un-1 c Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un Un-1 13+ ) - ( 13- ) Bài Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức: U = ( n n b Chứng minh : U n = a Tính U1; U2; U3; U4 n U n +1 + 166U n −1 26 c Lập quy trình bấm phím tính Un+1 Tính U8 - U5 a 3n + a n Bài 4: Cho dãy số a1 = 3; an + = + a 3n a Lập quy trình bấm phím tính an + b Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 xn3 + Bài 5: Cho dãy số x1 = ; xn +1 = a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + Tính x30 ; x31 ; x32 + xn Bài 6: Cho dãy số xn +1 = (n ≥ 1) + xn a) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = tính x100 b) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 tính x100 Bài 7: Cho dãy số xn +1 = xn2 + (n ≥ 1) + xn2 a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính giá trị xn + Bài 8: Cho dãy số x1 = 0,5 , xn +1 = 11xn + xn +1 * ( ∀n ∈ N ) - Viết quy trình bấm phím liên tục tính xn+1 theo xn Bài 9: Cho dãy số x10 = , xn = 11xn +1 + xn +1 + Tính x100 - Tính x5; x10 * ( ∀n ∈ N ) Hãy tính x1 ; x5 Bài 10 Dãy số {xn} xác định sau: x0 = 3, x n +1 = 3.x n − , n = 1;2;3;… xn + a Lập qui trình ấn phím để tính xn tính x3 ; x6 ; x9 ; x12 b Tính x2009 Bài 11 Cho dãy xác định U1 = 1, U = 3, U n = 3U n −1 n chẳn U n = 4U n −1 + 2U n −2 n lẻ a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un b) Tính U10 , U11 , U12 , U14 , U15 Bài 12 Dãy số {un} xác định sau: u1 = ; u2 = 2,008u n −1 + 2,009u n −2 un =   2,008u n −1 − 2,009u n −2 a Lập qui trình tính un ví i n lÎ ví i n ch¼ n b Tính u5; u10; u15; u20  ... u10 = 1,41421 362 5 u4 = 1,4 166 666 67 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213 564 u6 = 1,414285714 u7 = 1,414201183 Cách (570MS, ES) u13 = 1,414213 562 u14 = = u20 = 1,414213 562 ALPHA A ALPHA... SHIFT STO A × + ALPHA B + SHIFT STO B Lặp lại ∆ = ta dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61 167 , 24 466 6, 97 867 1 Cách (FX 570MS, Vn 570MS) SHIFT STO A SHIFT STO B × + ALPHA A + SHIFT STO A (U 3)... 2047 số hạng thức 2048 Giải ALPHA Y ALPHA = ( ^ ALPHA X − ) a b / c ^ ALPHA X a) ấn tiếp 15 U4 = 16 255 U8 = 2 56 U2 = CALC = ab/c 3↵4 CALC = ab/c 15↵ 16 CALC = ab/c 255↵2 56 11 b) SHIFT SOLVE 2047