Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bà 5

Buổi HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨC KIẾN THỨC: - Tính giá trị biểu thức - Tìm thương dư phép chia đa thức cho ax + b NỘI DUNG Tìm điều kiện tham số P ( x ) thỏa mãn điều kiện đó: Ví dụ 1: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c a) Tìm a, b, c biết x nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 12x – c) Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989 Giải: a) Thay giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c 1,44a + 1,2b + c = 1993  ta hệ 6,25a + 2,5b + c = 2045 13,69a + 3,7b + c = 2123  Giải hệ phương trình ta a =10 ; b =3 ; c = 1975 b) Số dư phép chia P(x) =x 3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 giá trị P(-2,5) đa thức P(x) x=-2,5 ĐS ; 2014,375 c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0 x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126 Ví dụ 2: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 7− 1) Xác định số hữu tỉ a b để x = 2) Với giá trị a, b tìm tìm nghiệm lại P(x) Giải: x = 6- 35 ⇒ b = 7+ nghiệm P(x); − x − ax =6+ 35 -(6- 35 )2 - a(6- 35 ) x (a+13) = b+6a+65 = ⇒ a = -13 ; b =13 ⇒ P(x) =x3-13x2+13x-1 (x-1)(x2-12x+1) = ⇒ x = ; x ≈ 0,08392 x ≈ 11,916 Ví dụ 3: Xác định hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư chia cho (x – 14) có số dư Hướng dẫn: Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ⇒ P(a) = r Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 =  2197.a + 169b + 13.c = 2008  Tính máy rút gọn ta hệ ba phương trình : 27a + 9b + 3c = 2009  2744 + 196b + 14c = 2010  Tính máy : a = 3,693672994 ≈ 3,69 b = –110,6192807 ≈ –110,62 c = 968,2814519 ≈ 968,28 Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng toán ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r 0+r1(x-c)+r2(xc)2+…+rn(x-c)n Ví dụ Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – - Trước tiên thực phép chia P(x)=q 1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q 1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau: -3 -2 x4-3x2+x-2 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 28 q2(x)=x3+3x+1,r1=28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vậy x – 3x + x – = + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4 Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = a - 6a + 27a - 54a +32 thành thừa số Alpha A + Alpha 27 Shift ^ Slove = x=2 A = Alpha − x2 Shift Mode − 54 A Shift x3 − A + 32 Alpha -6 -5 Mode = 22 = w − 32 1 -5 -3 Alpha A = Alpha Shift x3 ⇒ A =1 Slove 1 x=1 Mode − 27 22 = = = -54 -32 32 ⇒x=2 22 16 -32 P(x) = (x − 1)(x − 2)(x - 3x + 16) Tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Ví dụ 1: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) dư f(-1) = -18 Tính f(2005) = ? Giải: - Đặt f(x) = ax3 + bx2 + cx + d - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 a + b + c + d =  8a + 4b + 2c + d = Ta có hệ phương trình:  27a + 9b + 3c + d = −a + bc + d = −18  - Giải hệ tìm a = 1, b = -6, c = 11, d = Ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính f(2005) = Ví dụ Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là: a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + =  16a1 + 8b1 + 4c1 + 2d1 + e1 + =  81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + = ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1  256a1 + 64b1 + 16c1 + 4d1 + e1 + 16 = 625a + 125b + 25c + 5d + e + 25 = 1 1  Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Ví dụ 3: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) Giải: Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 Ví dụ Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 Tính A = P(5) − 2P(6) =? P(7) H.Dẫn: - Giải tương tự, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + x(x + 1) P(5) − 2P(6) = P(7) Xây dựng công thức tính tổng đa thức Ví dụ 1: a Đặt S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) Tính S(100) S(2009) b Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n+2).Tính P(100) P(2009) HD - Từ tính được: A = a Đặt g(x) = x(x +1) = x + x Ta có: S(1) = g(1) = 1.2; S(2) = g(2) = 2.3; .; S(n) = g(n) = n.(n+1) - Tìm đa thức f(x) bậc biết: g(x) = f (x) − f (x −1) Ta có: S(1) = 1.2 = g(1) = f(1) – f(0); S(2) = 2.3 = g(2) = f(2) – f(1); .; S(n) = n.(n+1) = g(n) = f(n) – f(n-1) Vậy S = g(1) + g(2) + + g(n) = f(n) – f(n-1) - Đặt f (x) = ax +bx +cx+d g(x) = f (x) − f (x −1) ⇔ x + x = ax + bx + cx + d - a(x-1)3 - b(x-1)2 - c(x-1) - d ⇔ x + x = 3ax - (3a + 2b)x + (a - b + c) 3  a = 3a =   ⇔ −3a + 2b = ⇔ b = a − b + c =   c =  3 Vậy f (x) = x + x + x , Suy S = f (n) − f (0) = n + n + n b Tương tự b, S = n + n + 11 n + n Tính tổng hệ số đa thức bậc n Ví dụ 1: Cho f (x) = x 2010 + (k + 1)x 2009 + (2k + 1)x 2008 + + (2009k + 1)x + (2010k + 1) với ∀k ∈ R Tính f (1 − k) HD Ta biết đa thức f(x) có nghiệm x0 f(x0) = hay f(x) : (x - x0) dư Dùng lược đồ Hooc-ne cho đa thức f(x) ta có k+1 2k + 2009k + 2010k + 1-k 2010 2011 Như f(x) : (x – (1-k) dư 2011 hay f(1 - k) = 2011 Ví dụ Biết (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + … + a45x45 Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44 HD: Đặt P(x)= đa thức cho Có S1 = P(1) - P(0) = 515 − 215 ; có 514 = 6103515625 ;515625.5 = 2578125 6130.5.106 = 30515000000 Cộng lại ta có S1 = P (−1) = ( −1)15 = −1 ; S2 = ( P(1) + P(−1) ) Ví dụ Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – 7)32 Tính xác đến đơn vị: a) Số dư phép chia Q(x) cho x – b) Tổng hệ số đa thức Q2(x) HD b Tổng hệ số đa thức Q(x) giá trị đa thức x = Gọi tổng hệ số đa thức A, ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7) 64 = 264 Để ý : 264 = ( 232 ) = 42949672962 Đặt 42949 = X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.10 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2 Tính máy kết hợp với giấy ta có: X2.1010 = 4 6 0 0 0 0 0 2XY.10 = 8 0 0 Y = 6 A= 4 4 7 5 6 Ví dụ Giả sử có biểu thức: T(x) = ( + x ) = a + a x + a x + a x + + a 29 x 29 + a 30 x 30 15 Tính xác giá trị biểu H = - 2a1 + 22 a − 23 a + a - 25 a + + 28 a 28 − 29 a 29 + 230 a 30 Ví dụ a) Tìm phần dư chia đa thức: x100 − x 51 + cho x − b) Cho đa thức f ( x ) = x + x + có năm nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Ký hiệu p( x ) = x − 81 tìm P = p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 ) p( x5 ) a b thức : BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (NGÀY 25/10/2013) Bài tập 1: Cho đa thức P ( x) = x − 3x + 4x − 5x + 6x + m Viết phương trình ấn phím để: a) Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 c) Tìm giá trị m để đa thức P(x) có nghiệm x = Bài tập 2: Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – x – Hãy tìm giá trị m, n tính tất nghiệm đa thức Bài tập Cho hai đa thức sau: f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b Tìm điều kiện a b để hai đa thức f(x) g(x) có nghiệm chung Bài tập 4: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x) ? Bài tập 5: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + evà cho biết P(1) = 1, P(2) = 7, P(3) = 17, P(4) = 31, P(5) = 49 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10) P(11) ? Bài tập 6: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11 a Tìm a, b, c, d Tính A = P ( 15 ) + P ( −12 ) + 15 20 Bài tập 7: a Phân tích biểu thức sau ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32 b Từ kết câu suy biểu thức n – 6n3 + 272 – 54n + 32 số chẵn với số nguyên n Bài tập 8: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư chia cho x – số dư -4 Hãy tìm cặp (M,N) biết Q(x) = x 81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2) Bài tập 9: Cho P(x) = ax17 + bx16 + cx15 + + m, biết P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) Bài tập 10: Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N? Bài tập 11: Cho đa thức Q(x) = ( 3x + 2x – )64 Tính tổng hệ số đa thức xác đến đơn vị Bài tập 12: Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000 Bài tập 13: Tìm nghiệm gần phương trình: a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = Bài tập 14: a) Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x – = c) Tìm số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377 ... 2x3) 15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + … + a45x 45 Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a 45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44 HD: Đặt P(x)= đa thức cho Có S1 = P(1) - P(0) = 51 5 − 2 15 ; có 51 4 = 610 351 56 25 ;51 56 25. 5 =... P (5) = 25 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) Giải: Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P (5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q (5) ... TAY (NGÀY 25/ 10/2013) Bài tập 1: Cho đa thức P ( x) = x − 3x + 4x − 5x + 6x + m Viết phương trình ấn phím để: a) Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3 ,5 ) m = 20 05 b) Tìm giá trị m để đa thức