Su dung dao ham de tim gioi han

Phơng pháp tìm giới hạn đạo hàm Nh biết, đạo hàm kết phép lấy giới hạn; nhng, nhiều toán tìm giới hạn, ngợc lại, giải cách dùng đạo hàm Theo định nghĩa đạo hàm: f ( x) khả vi x0 lim f ( x) f ( x0 ) = f '( x0 ) , ta áp dụng điều để phân tích tính x x0 giới hạn có liên quan Phơng pháp hữu hiệu việc khử dạng vô định giải đợc lớp rộng toán giới hạn có liên quan đến hàm lợng giác, hàm số mũ, hàm logarit mà phơng pháp đánh giá thông thờng phải khó khăn giải đợc! Dạng vô định thờng gặp xlim x g ( x) , đó: f ( x0 ) = , ta viết g ( x) dới x x0 dạng g ( x) = f ( x) f ( x0 ) tính giới hạn dạng: xlim x f ( x) f ( x0 ) = f '( x0 ) x x0 (thông thờng x0 = ) Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim x0 x +1 x +1 x Giải: Ta xét f ( x) = x + x + f (0) = , suy giới hạn viết lại là: lim x0 1 f ( x) f (0) = f '(0) , mà f '( x) = nên giới hạn cho là: 2 x +1 ( x + 1) x0 f '(0) = Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: lim x tan x cos x x Giải: Tơng tự ví dụ trên, ta xét hàm số f ( x) = tan x cos x , rõ ràng f ( x) , f '( x) = + tan x + sin x f ( ) = = nên ta đ4 a tính giá trị: khả vi x = f ( x) f ( ) tan x cos x = f '( ) = + + 2 = lim = lim x x x x 4 4 Vậy giới hạn cần tìm Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: lim x0 Giải: Xét hàm số f ( x) = e x f '( x ) = (2 x + 2).e x lim x0 ex +2 x x = lim x +2 x +2 x ex +2 x x f (0) = , rõ ràng f ( x) khả vi x = Do đó, giới hạn cần tìm là: f ( x) f (0) = f '(0) = (2.0 + 2)e0 + 2.0 = x0 Bài tập áp dụng: Tính giới hạn sau: lim x0 2011 4x +1 x Từ chứng minh giới hạn tổng quát: lim x0 Tính giới hạn sau: lim x n ax + a * = với a > 0, n Ơ x n 3.cos x + sin x tan x x ữ 3 x + x + x + x + 125 x0 5x Tính giới hạn sau: lim ( x + 1) n (1 x) n = 0? x0 x Với giá trị n lim e1ln x ln x x e xe Tính giới hạn sau: lim Bằng cách dùng định nghĩa đạo hàm, tính giới hạn sau: cos x + ln( x + 1) + 3e x x + x + x0 x.cos5 x lim Tính giới hạn sau: cos x cos x cos3 x cos 2011 x lim ữ x0 x 2x 3x 2011x Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn Lời giải 85 2011 Tính giới hạn: lim x 4x + 1 x 2011 x + f ( x) = Xét hàm số f ( x) = 20112011 (4 x + 1) 2010 Ta thấy: f ( x) khả vi f (0) = nên: 2011 lim x 4x + 1 f ( x) f (0) = lim = f (0) = x x x0 2011 Ta cần chứng minh công thức giới hạn tổng quát: Nếu a > n Ơ * lim x n ax + a = x n Bằng lập luận tơng tự, toán tổng quát, ta xét hàm số: f ( x) = n ax + f ( x) = n lim x 86 a n n (ax + 1) n Suy ra: ax + f ( x) f (0) a = lim = f (0) = x x x0 n Tính giới hạn: Xét hàm số: lim x 3 ìcos x + sin x tan x ì x ữ f ( x) = 3.cos x + sin x tan x f ( x) = sin x + cos x (1 + tan x) Ta thấy: f ( x) khả vi f ( ) = nên: 3 ìcos x + sin x tan x lim = ìlim x x 3 ì x ữ Vậy giới hạn cần tìm 15 f ( x) f ( ) = ìf ( ) = 15 x 87 Tính giới hạn sau x + x + x + x + 125 x 5x lim Xét hàm số: f ( x) = x + x + x + x + 125 f ( x) = 5(2 x + 9) x2 + x + 3x + 3 ( x3 + x + 125) thấy: f ( x) khả vi f (0) = nên: x + x + x + x + 125 f ( x) f (0) 3371 lim = ìlim = ìf (0) = x 5x x x0 750 Vậy giới hạn cần tìm 3371 750 88 Ta xét hai trờng hợp: -Nếu n số chẵn đặt n = 2m, m Ơ Xét hàm số: f ( x) = ( x + 1) m ( x 1) m f ( x) = 2m ì( x + 1) m ( x 1) m Ta thấy hàm số khả vi f (0) = nên: ( x + 1)2 m ( x 1) m f ( x) f (0) = lim = f (0) = 4m x x x x0 lim Để giới hạn 4m = m = n = -Nếu n số lẻ đặt n = 2m + 1, m Ơ Xét hàm số: f ( x) = ( x + 1) m+1 + ( x 1) m +1 f ( x) = (2m + 1) ì( x + 1) m + ( x 1) m Ta thấy hàm số khả vi f (0) = nên: ( x + 1)2 m+1 ( x 1)2 m+1 f ( x) f (0) = lim = f (0) = 2(2m + 1) x x x x0 lim Ta Để giới hạn 2(2m + 1) = m = , loại Vậy giá trị n thỏa mãn đề n = e1ln x ln x 89 Tính giới hạn: lim x e xe e e Xét hàm số: f ( x) = e1ln x ln x = ln x f ( x) = x x x Ta thấy: f ( x) khả vi e f (e) = nên: e1ln x ln x f ( x ) f (e) lim = lim = f (e) = x e x e xe xe e Vậy giới hạn cần tìm e cos x + ln( x + 1) + 3e x x + x + x x cos5 x Trớc hết, ta thấy cos5 x x 90 Tính giới hạn: lim Xét hàm số f ( x) = cos x + ln( x + 1) + 3e x x + x + dễ thấy hàm khả vi f (0) = nên: cos x + ln( x + 1) + 3e x x + x + f ( x) f (0) = lim = f (0) x x x cos x x0 lim Ta có: f ( x) = ìsin x ìcos x + 1 + ìe x ì x+4 ì3 x + x +1 x+4 ( x + 8) 1 10 nên f (0) = + + ì2 ì2 = 12 Vậy giới hạn cần tìm 91 10 Tính giới hạn: cos x cos x cos3 x cos 2011 x lim ì ì ìL ì ữ x x 2x 3x 2011x cos k x Trớc hết, ta tính giới hạn dạng tổng quát: lim x kx Ta xét hàm số: f ( x) = cos k x 1, k  f ( x) = k sin x.cos k x Dễ thấy hàm khả vị f (0) = nên: cos k x 1 f ( x) f (0) f (0) lim = ìlim = = x kx k x x0 k cos x cos x cos x cos 2011 x ì ì ìL ì Vậy giới hạn cho lim ữ= x x 2x 3x 2011x ... tơng tự, toán tổng quát, ta xét hàm số: f ( x) = n ax + f ( x) = n lim x 86 a n n (ax + 1) n Suy ra: ax + f ( x) f (0) a = lim = f (0) = x x x0 n Tính giới hạn: Xét hàm số: lim x 3 ìcos