Phuong phap giai PT chua an o mau

Dành cho THCS MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU Kiều Quang Cường - Kiều Đình Minh Gv.THPT Thanh Ba, Phú Thọ Trong số báo THTT có nghiên cứu sâu sắc phương trình vô tỉ Trong viết đề cập đến lớp phương trình quan trọng, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Đó phương trình dạng phân thức có chứa ẩn mẫu Chúng ta giải khó khăn bạn học sinh gặp loại phương trình thông qua phương pháp giải sau I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI Phân tích nhóm phân thức Thí dụ Giải phương trình 1 + + = (1) x + x + x + 11x + 28 x + 17 x + 70 x − 2 Lời giải 1  Điều kiện: x ∉ − 10;−7;−4;−1;  (*)  (1) ⇔ 2 1 + + = ( x + 1)( x + 4) ( x + 4)( x + 7) ( x + 7)( x + 10) x − 1 1  1 1  1 1  ⇔  − − − +  +  =  x + x +   x + x +   x + x + 10  x − 1 1  ⇔  − ⇔ x + x + 12 = ⇔ x = −3; x = −4 =  x + x + 10  x − So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x = −3 ■ Thí dụ Giải phương trình x +1 x − x − x + + + + = (2) x −1 x + x + x − Lời giải Điều kiện: x ∉ { − 3;−2;1;4} (*) +1− +1− +1+ =4 x −1 x+2 x+3 x−4    5x − x + 12  ⇔ + + − =0 − =0⇔ ( x − 1)( x − 4) ( x + 2)( x + 3)  x −1 x −   x + x +  (2) ⇔ + 16 1 69   = ⇔ x =  − ± 2  1 69   ■ So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x =  − ± 2  ⇔ (5 x − 8)( x + 2)( x + 3) − (5 x + 12)( x − 1)( x − 4) = ⇔ x + x − Thí dụ Giải phương trình Lời giải 1 1 − = − (3) 2008 x + 2009 x + 2010 x + 2011x +  Điều kiện: x ∉ −  ;− ;− ;−  (*)  2008 2009 2010 2011  1 1 4019 x + 4019 x + (3) ⇔ + = + ⇔ = 2008 x + 2011x + 2009 x + 2010 x + ( 2008 x + 1)(2011x + 5) (2009 x + 2)(2010 x + 4)   1  = ⇔ ( 4019 x + )  − ( 2008 x + )( 2011 x + ) ( 2009 x + )( 2010 x + )   4019 x + = ⇔ (2008 x + 1)(2011x + 5) − (2009 x + 2)(2010 x + 4) =  x = −  4019 x = −6 4019 ⇔ ⇔  x = −1; x = − 2 x + x + =  So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x = − ; x = −1; x = − ■ 4019 2 Đưa phương trình bậc cao giải Thí dụ Giải phương trình 2x 13x + = (4) x − x + 3x + x + 2 Lời giải  2 Điều kiện: x ∉ 1;   3 (4) ⇔ x (3 x + x + 2) + 13 x(3 x − x + 2) = 6(3 x − x + 2)(3 x + x + 2) ⇔ 54 x − 117 x + 105 x − 78 x + 24 = ⇔ (2 x − 1)(3 x − 4)(9 x − 3x + 6) = ⇔ x = ;x = So sánh với điều kiện (*) nghiệm phương trình x = ; x = ■ Thí dụ Giải phương trình 1 − = (5) x −1 x +1 x Lời giải Điều kiện: x > 0; x ≠ (*) (5) ⇔ = x −1 x +) Nếu < x < vế trái âm vế phải dương nên phương trình vô nghiệm +) Nếu x > hai vế không âm nên bình phương hai vế ta phương trình ( ) ( )( ) x − x − 16 x + = ⇔ x + − 8( x + 1) = ⇔ x − 2 x + − 2 x + 2 x + + 2 = 2 ⇔ x = + 2 − ( x > 1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = + 2 − ■ II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đặt ẩn phụ Thí dụ Giải phương trình Lời giải x + 3x + = (6) x3 + x − x  −1±   (*)   x + 3x + 1 x2 + + t = t2 + x x (6) ⇔ = ⇔ = = ⇔ t − t + = ⇔ t = x − đặt ta t = t +1 x + x2 − x x  x − + x x2 Điều kiện: x ∉ 0; 1± x +) t = ⇔ x − = ⇔ x − x − = ⇔ x = ± x +) t = ⇔ x − = ⇔ x − x − = ⇔ x = 1± So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x = ; x = ± ■ Thí dụ Giải phương trình 13 + = (7) x − x + 3x + x + x Lời giải  1 Điều kiện: x ∉ 0;1;  (*)  (7 ) ⇔ 3x − + x 3 + 13 3x + + x =6 x đặt 3x + − = t ta phương trình 13 + = ⇔ 2t + 7t − = ⇔ t = ; t = −4 t t+6 +) t = ⇔ x − 11x + = ⇔ x = ; x = 2 +) t = −4 ⇔ 3x − x + = ⇔ ∃x So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x = ; x = ■ Thí dụ Giải phương trình 1 + = 15 (8) x ( x + 1) Lời giải Điều kiện: x ≠ −1; x ≠ (*)   ( x + 1) + x 2x + 2x  + (8) ⇔ = 15 ⇔ + − 15 = ⇔  − 15 = 2 2 x( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1)  x ( x + 1)  Đặt x( x + 1) = t ta phương trình t + 2t − 15 = ⇔ t = 3; t = −5 +) t = ⇔ − ± 21 = ⇔ 3x + x − = ⇔ x = x( x + 1) +) t = −5 ⇔ −5± = −5 ⇔ x + x + = ⇔ x = x( x + 1) 10 − ± 21 −5± So sánh với điều kiện (*) phương trình có bốn nghiệm x = ;x = ■ 10 Đặt hai ẩn phụ Thí dụ Giải phương trình 2 x +1  x +1   x −2 = 12   +  (9) x−3  x −2  x −3 Lời giải Điều kiện: x ≠ 2; x ≠ (*) x +1 x−2 ;v = ta u + uv = 12v ⇔ (u − 3v)(u + 4v) = ⇔ u = 3v; u = −4v x−2 x−3 x +1 x−2 ± 46 +) u = 3v ⇔ =3 ⇔ x + x + = x − 12 x + 12 ⇔ x − 16 x + = ⇔ x = x−2 x−3 x +1 x−2 = −4 ⇔ x + x + = −4 x + 16 x − 16 ⇔ x − 12 x + 19 = ⇔ ∃x +) u = −4v ⇔ x−2 x−3 ± 46 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = ■ Đặt u = III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Thí dụ 10 Giải phương trình − = (10) x + x + x + 3x + x Lời giải Điều kiện: x ≠ (*) + = x + 3x + x x + x+3 2 x + x + > ; x > , ∀ x ≠ Do theo bất đẳng thức AM – GM Để ý 1 1   + = 2 + +  ≥ 2 = 2 x + 3x + x x + x + 18 x + x +  x + x + x + 3x + x  (10) ⇔ Vì (10) ⇔ x + 3x + = x ⇔ x − x − = ⇔ x = ± 13 ± 13 So sánh với điều kiện (*) phương trình có nghiệm x = ■ Chúng cố gắng chia thành ba phương pháp phù hợp với bạn THCS Hy vọng qua viết có nhìn công cho phương trình có chứa ẩn mẫu Rất mong nhận bổ sung thêm bạn để phương trình dạng phong phú Cuối cùng, xin mời bạn vận dụng phương pháp nêu để giải số phương trình sau 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 x −1 x − x − x − − − + =0 x+2 x+3 x+5 x+6 1 1 + = − (T3/348 - THTT) x − 2006 x + 2004 15 x − 2007 x − 2005 x2 = x − x − (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN.2007) ( x + 2) 2 x + 25 x = 11 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong, T.P.Hồ Chí Minh.2007) ( x + 5) x 6125 210 12 x + + − =0 (T2/247 – THTT) x x x3 + x =2 ( x − x + 1) 4x 5x + =− 2 x + x + x − 5x + 3 x 3x + − = (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN 2000) x + x −1 ( x − 1) 2 x2 −  x −2  x + 2 + − 11 =0    x2 −1  x +1   x −1  18 18 + = 2 x + 2x − x + 2x − x + 2x − x + 16 − = + (Thi HSG toán lớp tỉnh Quảng Ngãi 2007) x +6 x +1 x + x + 2x + x + 2x − = − x (Bài 3(69) – TTT2) x3 + 1 1 + = (Bài 2(72) – TTT2) 5x x − x + 36 x − x + 16 ( x − 1) + ( x − 3) + = 3x − x − 2 ( x − 3) ( x − 2) 10 10 11 12 13 14 15 x3 + m3 x3 + n3 x3 + p3 3 x − m x − n x − p + + − + = (HSGQG.THPT 1975) 16 ( x + m) ( x + n ) ( x + p ) 2 x + m x + n x + p ... phù hợp với bạn THCS Hy vọng qua viết có nhìn công cho phương trình có chứa ẩn mẫu Rất mong nhận bổ sung thêm bạn để phương trình dạng phong phú Cuối cùng, xin mời bạn vận dụng phương pháp nêu... 2007 x − 2005 x2 = x − x − (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN.2007) ( x + 2) 2 x + 25 x = 11 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong, T.P.Hồ Chí Minh.2007) ( x + 5) x 6125 210 12 x +... x ≠ Do theo bất đẳng thức AM – GM Để ý 1 1   + = 2 + +  ≥ 2 = 2 x + 3x + x x + x + 18 x + x +  x + x + x + 3x + x  (10) ⇔ Vì (10) ⇔ x + 3x + = x ⇔ x − x − = ⇔ x = ± 13 ± 13 So sánh với