CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT CHỨA căn

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT CHỨA CĂN Tôi viết tài liệu này với mục đích trang bị cho các em những kiến thức,phương pháp cơ bản cũng như nâng cao để vận dụng chinh phục các bài toán liên qua

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT CHỨA CĂN

Tôi viết tài liệu này với mục đích trang bị cho các em những kiến thức,phương pháp cơ bản cũng như nâng cao để vận dụng chinh phục các bài toán liên quan phương trình vô tỷ (phương trình chứa căn )

Để trình bày ,giải quyết tốt các phương trình khó đòi hỏi ở các em trước hết cần nắm thật vững kiến thức cơ bản Sau đây là những dạng cơ bản của phương trình

mà các em cần nắm được

Dạng 1 : A B B 0

A B





   

 hoặc

0

A

A B

A B





   



Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2

2x  3x 1   2x  2

Lời giải

2

1

2x 3x 1 2x 2 2x 1 0

2

x x

TM x

x

 



 

Qua ví dụ ta thấy tùy theo đề bài cho mà ta chọn biến đổi cho phù hợp , biểu thức trong căn đơn giản thì ta sẽ chọn làm điều kiện

Dạng 2 : A B B 02







Ví dụ 2 : Giải phương trình : 2

x    x

Lời giải

2

2 2

4 0

4x 6 8x 16

x

x

 





 



*Chú ý : Nếu các em biến đổi như sau sẽ bị thừa

2

0 0

B

A B

 



  

 







 





lý bài toán thêm phức tạp

Tất nhiên đề thi không cho những bài tập quá đơn giản như vậy ,nhưng nếu các

em không nắm chắc kiến thức thì khi các em quy về những phương trình cơ bản như trên các em vẫn bị mắc sai lầm

Đó là 2 dạng cơ bản nhất của PT chứa căn các em phải nắm được Sau đây chúng ta đi vào các ví dụ phức tạp hơn Khi đó đòi hỏi các em nắm được các phương pháp cơ bản giải quyết

Dưới đây tôi xin đưa ra các phương pháp chính nhất để giúp các em tư duy khi gặp bất kể phương trình chứa căn nào

1.Phương pháp nhân liên hợp (kết hợp Casio ) trở nên rất mạnh tuy nhiên để lại

vế sau liên hợp đôi khi việc đánh giá ,xử lý không hề đơn giản

2.Phương pháp bình phương hai vế (áp dụng cho 2 vế đều không âm ,nếu ta chưa biết cụ thể âm hay dương có thể dùng phép biến đổi hệ quả sau đó thử lại nghiệm)

3.Phương pháp đặt ẩn phụ (kỹ thuật này khá phong phú giúp ta đưa về ẩn phụ mới đơn giản hơn ,dễ làm hơn có thể là ẩn phụ hoàn toàn ,không hoàn toàn … )

4.Phương pháp đưa về tổng bình phương

5.Phương pháp hàm số (sau khi học đạo hàm chúng ta có thêm công cụ xử lý)

6.Phương pháp đánh giá kết hợp sử dụng bất đẳng thức

Ngoài ra còn vài phương pháp khác nữa như đưa về biến đổi lượng giác, …

Tuy nhiên yêu cầu các em cần nắm vững 6 phương pháp trên để linh hoạt hơn trong các bài toán và đưa ra nhiều cách giải hay

Sau đây là bài toán minh họa nhiều cách giải cho các em nắm rõ

Ví dụ 3 : Giải phương trình : x  5 x  5

Lời giải

*Điều kiện x 0

Cách 1 : Bình phương hai vế không âm

2

2

0 10

5x 100 20x

x

 





Cách 2 : Nhân liên hợp

0

4

4

0(VN x 0)

x

x









Cách 3 : Đặt ẩn phụ

5

1 5

0

a b

a b a b

a b

a b

b x



x





Đôi khi các em còn có thể làm như sau :

5

5

4

x

 

Như vậy việc nắm rõ nhiều phương pháp giúp chúng ta linh hoạt hơn trong việc

xử lý các bài toán Sau đây tôi xin trình bày chi tiết các phương pháp

1.Phương pháp nhân liên hợp kết hợp Casio

Đây thực sự là phương pháp mạnh trong những năm trở lại đây bởi nhờ trợ giúp máy tính Casio giúp chúng ta giải quyết khá nhiều bài toán phức tạp mà để làm theo những phương pháp khác gặp không ít khó khăn

Quay trở lại cùng phân tích ví dụ trên giúp ta hiểu rõ hơn

Cách 2 : Nhân liên hợp

0

4

4

0(VN x 0)

x

x









Câu hỏi đặt ra với nhiều em mới tiếp cận là tại sao ta lại có thể tách ra được như vậy Đơn giản với chiếc máy tính Casio trong tay dò ra nghiệm x 4

4 2

x

x

    





Đây chỉ là ví dụ đơn giản khi vế sau liên hợp chứng minh vô nghiệm quá dễ

Chúng ta cùng xét ví dụ phức tạp hơn

Ví dụ 4 : Giải phương trình : 2

2x  5x 1   x 2   4 x 

Lời giải

2

2x 5x 3 ( x 2 1) ( 4 x 1)

(2x 1)(x 3)

ĐK : 2

x 2 1 4 x 1

x 3

x 2 1 4 x 1

x 4









 



Vấn đề quan trọng lúc này là phải xử lý phương trình (*),thật sự nhiều em đã bó tay không thể giải quyết trọn vẹn

Từ đó kỹ thuật đánh giá vế sau liên hợp xuất hiện với tên gọi truy ngược dấu liên hợp.Thế nào là truy ngược dấu ? Đơn giản là sau khi bấm Casio thấy PT(*)

vô nghiệm ta tách làm sao cho vế sau liên hợp luôn dương hoặc âm với x thuộc TXĐ.Cụ thể tôi xin phân tích chi tiết như sau :

2

2

2

PT 2x 5x 1 x 2 4 x 0

x 2 x 2 (1 4 x ) 2x 6x 0

x 2( x 2 1) (1 4 x ) 2x 6x 0

x 2(x 3) x 3

2x(x 3) 0

x 2 1 4 x 1

x 3

2x 0(VN x [2; 4])

x 2 1 4 x 1







 



Việc tách như vậy giúp chúng ta tránh dấu – trong vế sau liên hợp và giúp đánh giá vế sau vô nghiệm đơn giản hơn rất nhiều

(x 3) x    4 (x 9) x 11    x  9x 10 

Lời giải

2

2

2

2

PT 4(x 9x 10) 4(x 3) x 4 4(x 9) x 11 0

2(x 3x 40) (x 3)(x 7 4 x 4) (x 9) x 11( x 11 4) 0

(x 3) (x 5) (x 9) x 11(x 5)

x 7 4 x 4 x 11 4

x 5

(x 3) (x 9) x 11

x 7 4 x 4 x 11 4









Phần 2 của tài liệu chúng ta cùng nghiên cứu truy ngược dấu cho PT sau cùng các phương pháp tiếp theo

Ví dụ 6 : Giải phương trình : 3 2

x 6   x 1   x  1