Một số phương pháp giải PT chứa ẩn ở mẫu

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. Phân tích hoặc nhóm các phân thức: a) Ví dụ 1 : Giải phương trình 24 3 7017 1 2811 1 45 1 222 − = ++ + ++ + ++ xxxxxxx Lời giải: ĐK: x       −−−−≠ 2 1 ;1;4;7;10 . Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 3 10.7 1 7.4 1 4.1 1 − = ++ + ++ + ++ xxxxxxx 24 3 10 1 7 1 . 3 1 7 1 4 1 . 3 1 4 1 1 1 . 3 1 − =       + − + +       + − + +       + − + ⇔ xxxxxxx 24 3 10 1 1 1 . 3 1 − =       + − + ⇔ xxx 107 2 −=⇔=+⇔ xxx hoặc x = -4. Đối chiếu với ĐK ta có phương trình đã ch có nghiệm duy nhất x = -3. b) Ví dụ 2 : Giải phương trình 4 4 4 3 3 2 2 1 1 = − + + + − + + − + − + x x x x x x x x Lời giải: ĐK: { } 4;1;2;3 −−≠ x . Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với: 4 4 8 1 3 6 1 2 4 1 1 2 1 = − ++ + −+ + −+ − + xxxx 0 3 3 2 2 4 4 1 1 =       + + + −       − + − ⇔ xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3.2 125 4.1 85 = ++ + − −− − ⇔ xx x xx x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 04.1.1253.2.85 =−−+−++−⇔ xxxxxx 0 5 16 2 =−+⇔ xx         −−=⇔ 5 69 1. 2 1 x hoặc         +−= 5 69 1. 2 1 x Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm:         −−= 5 69 1. 2 1 x và         +−= 5 69 1. 2 1 x . c) Ví dụ 3 : Giải phương trình: . 52011 1 42010 1 22009 1 12008 1 + − + = + − + xxxx NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Lời giải: ĐK: . 2011 5 ; 2010 4 ; 2009 2 ; 2008 1       −−−−≠ x Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với: . 42010 1 22009 1 52011 1 12008 1 + + + = + + + xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) 42010.22009 64019 52011.12008 64019 ++ + = ++ + ⇔ xx x xx x 064019 =+⇔ x hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) 42010.22009 1 52011.12008 1 ++ = ++ xxxx 064019 =+⇔ x hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) 042010.2200952011.12008 =++−++ xxxx 064019 =+⇔ x hoặc 0352 2 =++ xx 4019 6 −=⇔ x hoặc 2 3 ;1 =−= xx Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 4019 6 −= x ; 2 3 ;1 =−= xx 2. Đưa về phương trình bậc cao giải được a) Ví dụ 4: Giải phương trình: 6 23 .13 253 .2 22 = ++ + +− xx x xx x Lời giải: ĐK       ≠ 3 2 ;1x . Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với 2x.(3x 2 +x+2) + 13x.(3x 2 -5x+2) = 6.(3x 2 -5x+2).(3x 2 +x+2) ⇔ 54.x 4 - 117.x 3 + 105.x 2 - 78.x + 24 = 0. ⇔ (2x – 1).(3x – 4).(9x 2 – 3x + 6) = 0. ⇔ x = 2 1 hoặc x = 4 3 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 2 1 v à x = 4 3 . b) Ví dụ 5: Giải phương trình: x xx 2 1 1 1 1 1 = + − − Lời giải. ĐK : x > 0 và x ≠ 1. Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với x x 2 1 1 2 2 = − (1) +) Nếu 0 < x < 1 thì vế trái của (1) là số âm, trong khi vế phải là số dương ( (mâu thuẩn). Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng (0 ; 1). +) Nếu x > 1 thì hai vế của phương trình (1) đều dương, bình phương hai vế ta được : x 4 – 2x 2 – 16x + 1 = 0 ⇔ (x 2 + 3) 2 – 8(x + 1) 2 = 0 ⇔ (x 2 - 2 2 x + 3 - 2 2 ).( x 2 + 2 2 x + 3 + 2 2 ) = 0. Kết hợp với ĐK x > 1 ta có x = .1222 −+ II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1. Đặt một ẩn phụ : NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU a) Ví dụ 6 : Giải phương trình : .3 13 23 24 = −+ ++ xxx xx Lời giải : ĐK : 2 51 ;0 ±− ≠≠ xx . Chia cả tử số và mẫu số ở vế trái cho x 2 rồi rút gọn ta được. 0 1 1 3 1 2 2 = +− ++ x x x x . Đặt x xt 1 −= , phương trình trên trở thành : 02.33 1 5 2 2 =+−⇔= + + tt t t ⇔ t =1 hoặc t = 2. +) Với t = 1, ta có : 2 51 011 1 2 ± =⇔=−−⇔=− xxx x x . +) Với t = 2, ta có : 2 1 =− x x ⇔ 21012 2 ±=⇔=+− xxx . Kết luận : Phương trình đã cho có 4 nghiệm là : 2 51 ± = x và 21 ±= x . b) Ví dụ 7 : Giải phương trình : xxxxx 6 123 13 143 2 22 = ++ + +− . Lời giải : ĐK 1,0 ≠≠ xx và 3 1 ≠ x . Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương với : 6 1 23 13 1 43 2 = ++ + +− x x x x . Đặt t = 4 1 3 −+ x x , phương trình trở thành. 6 6 132 = + + tt ⇔ 2t 2 + 7t – 4 = 0 ⇔ t = 2 1 hoặc t = -4. +) V ới t = 2 1 , ta có : 4 1 3 −+ x x = 2 1 ⇔ 6x 2 – 11x + 4 = 0 ⇔ x = 3 4 hoặc x = 2 1 . +) Với t = -4, ta có : 4 1 3 −+ x x = -4 ⇔ 3x 2 + 1 = 0. Phương trình này không có nghiệm thực. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 3 4 v à x = 2 1 . d) Ví dụ 8 . Giải phwơng trình : ( ) 15 1 11 2 2 = + + x x . Lời giải : ĐK 0 ≠ x và 1 −≠ x . Phương trình đã cho tương đương với : ( ) ( ) ( ) ( ) 15 1. 2 1. 1 15 1. 1 2 2 2 2 2 = + +         + ⇔= + ++ xxxx xx xx . Đặt t = )1.( 1 + xx , phương trình trở thành t 2 +2t – 15 = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = -5. NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU +) Với t = 3, ta có )1.( 1 + xx = 3 ⇔ 3x 2 + 3x – 1 = 0 ⇔ x = 6 213 ±− . +) Với t = -5, ta có )1.( 1 + xx = -5 ⇔ 5x 2 + 5x +1 = 0. ⇔ x = 10 55 ±− . Vậy phương trình có 4 nghiệm : 6 213 ±− , 10 55 ±− . 2. Đặt hai ẩn phụ : a) Ví dụ 9. Giải phương trình sau : . 3 2 .12 3 1 2 1 22       − − = − + +       − + x x x x x x Lời giải. ĐK : x ≠ 2 và x ≠ 3. Đặt u = 2 1 − + x x , v = 3 2 − − x x . Phương trình đã cho trở thành u 2 +uv = 12v 2 ⇔ (u – 3v).(u + 4v) = 0 ⇔ u = 3v hoặc u = -4v. +) Với u = 3v, ta có 3 1 − + x x = 3. 3 2 − − x x . ⇔ 2x 2 – 16x + 9 = 0 ⇔ x = 2 468 ± . +) Với u = -4v, ta có 3 1 − + x x = -4. 3 2 − − x x ⇔ 5x 2 -12x + 19 = 0. Phương trình này không có nghiệm thực. Vậy Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 468 ± . b) Ví dụ 10. Giải phương trình : 0 2 )9.(7 2 3 .6 2 3 2 2 22 = − − −       + − +       − + x x x x x x . Lời giải. ĐK : x ≠ 2 và x ≠ -2. Đặt u = 2 3 − + x x , v = 2 3 + − x x thì 4 9 2 2 − − x x = uv. Phương trình đã cho trở thành : u 2 – 7uv + 6v 2 = 0. ⇔ (u – v).(u – 6v) = 0. ⇔ u = v hoặc u = 6v. +) Với u = v, ta có : 2 3 − + x x = 2 3 + − x x . ⇔ x 2 + 5x +6 = x 2 – 5x + 6 ⇔ 10x = 0 ⇔ x = 0. (TMĐK) +) Với u = 6v, ta có : 2 3 − + x x = 6. 2 3 + − x x ⇔ x 2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 6. (TMĐK). Vậy Phương trình đã cho có 3 nghiệm : x = 0 ; x = 1 và x = 6. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình sau : 1. 20056 1 200715 1 20045 1 20064 1 − − − = + + − xxx . NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 2. 11 )5( 25 2 2 = + + x x . 3. 363 )2( 2 2 2 −−= + xx x x . 4. 0 5 122106125 5 2 2 =−++ x xx x . 5. 18 1 4213 1 3011 1 209 1 222 = ++ + ++ + ++ xxxxxx . 6. 14 1 5615 1 . 127 1 65 1 23 1 2222 = ++ ++ ++ + ++ + ++ xxxxxxxx . 7. 0 6 5 5 4 3 2 2 1 = + − + + − − + − − + − x x x x x x x x . 8. 12 18 22 18 32 1 222 −+ = −+ + −+ xxxxxx . NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG 5 . MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. Phân. II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1. Đặt một ẩn phụ : NGUYỄN ĐĂNG ÁNH - TRƯỜNG THCS CỬA TÙNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU a) Ví dụ 6 : Giải