Vậy phương trình không có nghiệm trong khoảng (0 ; 1).. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1..[r]
(1)MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU
I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1 Phân tích nhóm phân thức: a) Ví dụ : Giải phương trình
1
x2+5x+4+
1
x2+11x+28+
1
x2+17x+70=
3 4x −2
Lời giải: ĐK: x {−10;−7;−4;−1;1
2}
Với ĐK phương trình cho tương đương với
(x+1).(x+4)+
1
(x+4).(x+7)+
1
(x+7).(x+10)=
3 4x −2
⇔1
3.(
x+1−
1
x+4)+ 3.(
1
x+4−
x+7)+
1 3.(
1
x+7−
x+10)= 4x −2
⇔1
3.(
x+1−
1
x+10)= 4x −2
⇔x2
+7x=0⇔x=−1 x = -4
Đối chiếu với ĐK ta có phương trình ch có nghiệm x = -3 b) Ví dụ : Giải phương trình
x −x+11+x −2 x+2+
x −3
x+3+
x+4
x −4=4
Lời giải: ĐK: x ≠{−3;−2;1;4}
Với ĐK phương trình cho tương đương với: 1+
x −1+1−
x+2+1−
6
x+3+1+
x −4=4
⇔(
x −1+
x −4)−(
x+2+
3
x+3)=0 ⇔ 5x −8
(x −1).(x −4)−
5x+12 (x+2).(x+3)=0
⇔(5x −8).(x+2).(x+3)−(5x+12).(x −1).(x −4)=0 ⇔x2+x −16
5 =0
⇔x=1
2.(−1−√ 69
5 ) x=
2.(−1+√ 69
5 )
Đối chiếu điều kiện, phương trình cho có hai nghiệm: x=1
2.(−1−√ 69
5 ) x=
2.(−1+√ 69
5 )
c) Ví dụ : Giải phương trình: 20081x+1−
2009x+2=
1 2010x+4 −
(2)Lời giải: ĐK: x ≠{−
2008;− 2009;−
4 2010;−
5 2011}
Với ĐK trên, phương trình cho tương đương với:
1 2008x+1+
1 2011x+5=
1 2009x+2+
1 2010x+4
⇔4019x+6
(2008x+1).(2011x+5)=
4019x+6
(2009x+2).(2010x+4) ⇔4019x+6=0
(2008x+1).(2011x+5)=
1
(2009x+2).(2010x+4)
⇔4019x+6=0 (2008x+1).(2011x+5)−(2009x+2).(2010x+4)=0
⇔4019x+6=0 2x2+5x+3=0
⇔x=−
4019 x=−1; x=
Vậy phương trình cho có nghiệm x=−
4019 ; x=−1; x=
2 Đưa phương trình bậc cao giải a) Ví dụ 4: Giải phương trình: 2.x
3x2−5x+2+ 13 x
3x2+x+2=6 Lời giải: ĐK x ≠{1;2
3} Với ĐK phương trình cho tương đương với
2x.(3x2+x+2) + 13x.(3x2-5x+2) = 6.(3x2-5x+2).(3x2+x+2) ⇔ 54.x4 - 117.x3 + 105.x2 - 78.x + 24 = 0.
⇔ (2x – 1).(3x – 4).(9x2 – 3x + 6) = 0. ⇔ x = 12 x = 34
Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 12 v x = 34 b) Ví dụ 5: Giải phương trình: x −11−
x+1=
1 2√x Lời giải ĐK : x > x
Với ĐK phương trình cho tương đương với
x2−1=
1
2√x (1)
+) Nếu < x < vế trái (1) số âm, vế phải số dương ( (mâu thuẩn) Vậy phương trình khơng có nghiệm khoảng (0 ; 1) +) Nếu x > hai vế phương trình (1) dương, bình phương hai vế ta :
x4 – 2x2 – 16x + = 0
⇔ (x2 + 3)2 – 8(x + 1)2 = 0
⇔ (x2 - 2
√2 x + - √2 ).( x2 + √2 x + + √2 ) =
Kết hợp với ĐK x > ta có x = √2+√2√2−1
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đặt ẩn phụ :
a) Ví dụ : Giải phương trình : x4+3x2+1 x3
(3)Lời giải : ĐK : x ≠0; x ≠−1±√5
2
Chia tử số mẫu số vế trái cho x2 rút gọn ta được. x2+1
x2+3 x −1
x+1
=0 Đặt t=x −1x , phương trình trở thành :
t2
+5 t+1=3⇔t
2
−3.t+2=0 ⇔ t =1 t = +) Với t = 1, ta có : x −1
x=1⇔x
2
− x −1=0⇔x=1±√5
2
+) Với t = 2, ta có : x −1
x=2 ⇔ x2−2x+1=0⇔x=1±√2 Kết luận : Phương trình cho có nghiệm : x=1±√5
2 x=1±√2
b) Ví dụ : Giải phương trình :
3x2−4x+1+
13
3x2+2x+1=
6
x Lời giải : ĐK x ≠0, x ≠1 x ≠1
3
Với ĐK phương trình cho tương đương với :
2 3x −4+1
x +13
3x+2+1 x
=6
Đặt t = 3x+1
x−4 , phương trình trở thành
2
t+
13
t+6=6
⇔ 2t2 + 7t – = ⇔ t =
2 t = -4
+) V ới t = 12 , ta có : 3x+1
x−4 =
1
⇔ 6x2 – 11x + = ⇔ x =
3 x =
+) Với t = -4, ta có : 3x+1
x−4 = -4
⇔ 3x2 + = Phương trình khơng có nghiệm thực.
Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 43 v x = 12 d) Ví dụ Giải phwơng trình : x12+
1
(x+1)2=15
Lời giải : ĐK x ≠0 x ≠ −1 Phương trình cho tương đương với : (x+1)2+x2
x2.
(x+1)2=15⇔(
1
x.(x+1))
2
+
x.(x+1)=15 Đặt t = x.(x+1 1) , phương trình trở thành t2 +2t – 15 = ⇔ t = t = -5. +) Với t = 3, ta có x.
(x+1) = ⇔ 3x
2 + 3x – = 0
⇔ x = −3±√21
(4)+) Với t = -5, ta có x.
(x+1) = -5 ⇔ 5x
2 + 5x +1 = 0. ⇔ x = −5±√5
10
Vậy phương trình có nghiệm : −3±√21
6 ,
−5±√5
10
2 Đặt hai ẩn phụ :
a) Ví dụ Giải phương trình sau : (x −x+12)2+ x+1 x −3=12.(
x −2
x −3)
2
Lời giải ĐK : x x Đặt u = x −x+12 , v = x −x −23 Phương trình cho trở thành
u2 +uv = 12v2 ⇔ (u – 3v).(u + 4v) = 0
⇔ u = 3v u = -4v
+) Với u = 3v, ta có x −x+13 = x −x −23
⇔ 2x2 – 16x + = ⇔ x = 8±√46
2
+) Với u = -4v, ta có x −x+13 = -4 x −x −23
⇔ 5x2 -12x + 19 = Phương trình khơng có nghiệm thực. Vậy Phương trình cho có hai nghiệm x = 8±√46
2
b) Ví dụ 10 Giải phương trình : (x −x+32)2+6 (x −3
x+2)
2
−7 (x
2
−9)
x2−2 =0
Lời giải ĐK : x x -2 Đặt u = x −x+32 , v = x −x +2
x2−9
x2−4 =
uv
Phương trình cho trở thành : u2 – 7uv + 6v2 = 0. ⇔ (u – v).(u – 6v) =
⇔ u = v u = 6v
+) Với u = v, ta có : x −x+32 = x −x+23 ⇔ x2 + 5x +6 = x2 – 5x + ⇔ 10x = ⇔ x = (TMĐK)
+) Với u = 6v, ta có : x −x+32 = x −x
+2 ⇔ x
2 – 7x + = 0 ⇔ x = x = (TMĐK)
Vậy Phương trình cho có nghiệm : x = ; x = x = III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Giải phương trình sau : 4x −12006+
5x+2004=
1 15−2007 −
1
6x −2005
2
x+5¿2 ¿ ¿
x2+25
¿
(5)3
x+2¿2 ¿ ¿
x2
¿
x
2
5 + 6125
x2 +
210
x −
12x
5 =0
5
x2+9x+20+
1
x2+11x+30+
1
x2+13x+42=
1 18
6
x2
+3x+2+
1
x2
+5x+6+
1
x2
+7x+12+ +
1
x2
+15x+56=
1 14
7 x −x+21−x −2 x+3 −
x −4
x+5+ x −5
x+6=0
8
x2
+2x −3+
18
x2
+2x −2=
18
x2