BÀI TẬP NGUYÊN HÀM HỮU TỶ THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân NGUYÊN HÀM H U T ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Nguyên hàm h u t thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Tr c Ệhi ệàm t p ph n này, b n xem tr Bài Tính tích phân I   dx v i: x  2x  k c “Tích phân s đ gi i tích phân t ng quát” 1) k  2) k  3) k  Gi i: 1) V i k  : 4dx (2 x  3)  (2 x  1)  x 1    2  I  dx    dx  ln  x  8x  (2 x  1)(2 x  3) x 1 x   2x 3 x2  x  0 dx 2 2 dx dx    2 x  x  ( x  1) x 1 3) V i k  : I   dx dx  x  x  ( x  1)   ln 15 2 2) V i k  : I   2   3dt    t x   tan t v i t    ;   dx   3.(1  tan t )dt x :  t :  cos t  2  Khi I     3.(1  tan t )dt 33 3 dt t      3.(tan t  1)  18 6 Bài Tính tích phân sau: dx dx 1) I1   2) I   4x 1 2x  x  1 5) I   3x  dx 4x  4x 1 Gi i: 4x  dx x  x 2 6) I   2 dx 3) I   x  6x  7) I  x 1 4) I   dx x  2x  2 x3 dx  2x  2 3 dx  ln x   ln 1) I1   4x 1 4 1 2) I  dx dx 1 x2  x   1 ( x  1)(2 x  3)  (2 x  3)  2( x  1) dx ( x  1)(2 x  3) 1  x 1       dx  ln 1  x  x   2x  3) I   1 ln  ln   1 dx dx 1    2 x  x  ( x  3) x  12 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 4) I   Nguyên hàm – Tích phân dx dx  x  x  ( x  1)  dt     t x   tan t v i t    ;   dx   (1  tan t )dt x :  t :   cos t  2 0 (1  tan t )dt  Khi I     dt  t    tan t  4     4 4x  ( x  1)  3( x  2)   5) I   dx   dx      dx   ln x   3ln x    4ln ( x  1)( x  2) x  x x  x 1  0 0 Chú ý: Vi c phân tích x   x   3( x  2) có đ c ta tìm h s a , b th a mãn: a  b  a  x   a ( x  1)  b( x  2)  x   (a  b) x  a  2b   a  2b  5 b  3 2  x  1   3x  dx   6) I   dx   dx   2   4x  4x 1 (2 x  1) 2(2 x  1) 2(2 x  1)  1 1 1 3  7   ln x     ln  4(2 x  1)  4 2  2x  2  (2 x  2) x3 dx 7) I    A B (*) dx   dx   dx   2 1 x  x  x  2x  x  2x  x  2x  1 1 1 2 (2 x  2) d ( x2  x  4) +) Tính A   dx    ln x2  x  x  2x  x  2x  1 1 2 2 1  2ln (1) dx dx +) Tính B    x  x  1 ( x  1)  1  3dt    t x   tan t v i t    ;   dx   3.(1  tan t )dt x : 1  t :  cos t  2    3.(1  tan t )dt 3  dt t     tan t  3 B  Thay (1) (2) vào (*) ta đ c: I  ln   Bài Tính tích phân sau: 2 x3  x2  x  dx 1) I1   2x 1 1 2) I   4x  4x  7x  dx x2  x  1 3) I   5) I   (2) x4  x3  x2  x  dx x2  x  ( x  1) dx (D – 2013) x2  1 4) I   x2  x  dx x2  x  6) I   x2  3x  dx (B – 2014) x2  x Gi i: 2  x3  x3  x2  x   10  1) I1   dx    x2   dx   ln   x  ln x     2x 1 2x 1   1 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2) I   Nguyên hàm – Tích phân 1  2( x  1)  ( x  3)  x4  x3  x2  x  x5       dx x dx x 1 dx    2   ( x  1)( x  3)  x  2x  x  2x   0   x3     dx    x2        x  2ln x   ln x    2ln  ln    x  x    0 0 3) 2  3(2 x  1)     x3  x2  x  6x    dx x dx x dx x dx           2  2    4x  4x 1 4x  4x   (2 x  1)  x  (2 x  1)  1   I3    x2  11    ln x      ln 2(2 x  1)   2 ( x  1) 4) I   dx ( D – 2013) x 1 1 2x  2x x2   x d ( x2  1)  ln( 1) I4   dx dx dx dx dx x x            ln   0  x2   0 0 x2  0 0 x2  x2  1 1 1   2 (2 x  2)    x2  x   x   dx     5) I    dx  dx     2 4       x x x x x x   0 0    2 2 3 dx d ( x2  x  4)     x  ln( x2  x  4)   I   ln  I (*)  2 dx    6 2 x  2x   x  2x  0 0 2 Tính I   dx dx  x  x  ( x  1)   dt  3(1  tan t )dt   dx     t x   tan t (v i t    ;  )   x :  t :  cos t  2 ( x  1)2   3(1  tan t )   I     3(1  tan t )dt 3 3  dt  t   3(1  tan t )   18 Thay (2*) vào (*) ta đ (2*) 3 c: I   ln  x2  3x  dx (B – 2014) 6) I   x2  x 2  x  x  1 x2  3x   2x 1  I6   dx   1  dx  dx   1  x x x  x x( x  1)  1  2 1    1    dx   x  ln x   ln x    ln x 1 x  V y I   ln Chú ý: V i toán b n có th trình bày theo cách nh sau: 2 2 2x 1 d ( x2  x)  2x 1  I   1  dx   dx    x  ln x2  x  dx   dx   x  x x x x x 1 1 1  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t    ln T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân Bài Tính tích phân sau:  3) I  x3 dx (B – 2012) x4  3x2  1) I1   x7 dx (3  x4 ) 2) I   x2  dx x( x4  3x2  2) 2x  dx ( )( 3) x x x x    4) I   1 x2  5) I   dx x  x3  x2  x  2 6) I   x 7) I   dx (1  x)3 8) I8   dx x  x5 dx x 1  x2014  x2 dx 9) I   (1  x)8 1 10) I10   x3  x dx x4  Gi i: x dx (B – 2012) x  3x2  1) I1    I1   t t  x2  dt  xdx hay xdx  dt x :  t :  x2 xdx t.dt 2(t  1)  (t  2)   dt          dt 2  t  t 1  x  3x  2 t  3t  2 (t  1)(t  2) 1 1     ln t   ln t    ln  ln 2  0  3      dt x dx x dx dt  x t t   2x   x :  t :  2) I   dx  t (3  x4 ) x   3t 1 x x t 3 Khi I       dx x dx dt dt 4 2      x x t t (3 ) (3 ) 16 0 1  1 1  ln       dt     ln t   16  t t  16  t 16 1 3) I   x2  dx x( x4  3x2  2) t t  x2  dt  xdx  xdx  Khi I   dt x :1  t :1  2 ( x2  1) t 1 xdx   dt 2 t (t  3t  2) x ( x  3x  2) Lúc ta s phân tích t 1 thành t ng phân th c có m u b c b ng ph t (t  3t  2) ng pháp đ ng nh t t 1 t 1 A B C     t (t  3t  2) t (t  1)(t  2) t t  t   t 1  A(t  1)(t  2)  Bt (t  2)  Ct (t  1) (*) h s C th : Vi c tìm A, B, C có th làm theo cách : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân Cách 1: (*)  t   ( A B  C )t  (3 A 2B  C )t  A  A    A B  C    3 A B  C    B  2 A  1   C    +) Ch n t  1 (*) có d ng: 2  B  B  Cách 2: +) Ch n t  (*) có d ng: 1  A  A   +) Ch n t  2 (*) có d ng: 3  2C  C   2   ln  11.ln   dt    ln t  ln(t  1)  ln(t  2)    Khi I        2t t  2(t  2)  4  1 V y I3  7ln 11.ln 2x  2x  2x  dx   dx   dx 4) I   2 ( x  x)( x  x  3) ( x  3x)( x2  3x  2) x( x  2)( x  1)( x  3) 1 2 Cách 1: (đ i bi n) t t  x2  3x  dt  (2 x  3)dx x :1  t :  10 1  dt t Khi I       dt  ln t2 t (t  2)  t t   10 10 Cách 2: (tách ghép s d ng ph  15 ln 12 ng pháp vi phân) 2 ( x  3x  2)  ( x  3x)  (2 x  3)  (2 x  3)dx (2 x  3)dx    dx   2   21 ( x  3x)( x  3x  2)  x  3x x2  3x   I4  10  d ( x2  3x) d ( x2  3x  2)  x2  3x     ln   x  3x x  3x   x2  3x  2 1 5) I  x 2  1 15 ln 12 x 1 dx  x  x2  x  Chia c t m u bi u th c tích phân cho x2 ta đ c:   1 1 1 1   dx  x  x I5   dx   1   1 2 x2  x   2  x2    4 x      x x x   x  Cách 1: (đ i bi n)    dt  1   dx    x  t t  x   x : 2  1 t :   2 x t  x2    x2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2 2 2    Nguyên hàm – Tích phân 2 dt dt dt 1     Khi I   2 t   36 (t  2)  4t  t  4t  (t  2) 2 2 Cách 2: (tách ghép s d ng ph ng pháp vi phân – dành cho nh ng cự Ệ n ng phân tích t t) 1     dx d x    1 1     1 x  x     I5     2  36 1 1   2  2  x   x    4 x     x   2 x 2 x x x     2 dx dx 6) I     x x x (1  x2 ) 1 Cách 1: (đ i bi n) t t  x2  dt  xdx  xdx  dt x :1  t :1  4 4 1   (t  1)  t  xdx dt (t  1)  t Khi I   dt     dt   dt      t t (t  1)  t t (t  1)  x (1  x2 ) 1 t (t  1) 1 t (t  1) 1 1  1 t 1  dt     ln       ln    t t t  1 2 t t 1 8 Cách 2: (Dùng Ệ thu t tách ghép) 2  (1  x2 )  x2  1  x  (1  x2 )  x2 1 dx    dx dx    3   dx    3     x x(1  x )  x x  x2  x (1  x ) x x(1  x )  1   1 I6   5 d (1  x2 )    1     ln x  ln(1  x2 )    ln  ln   ln      dx   2 2 8 1 x x x  2x 1 1 2 8) I8   dx x 1  x2014  t t   x2014  dt  2014 x2013dx  x2013dx  x2013dx  Khi I8   2014 2014 1  x  2014 x 1 22014  dt x :1  t :   22014 2014 dt  (t  1)t 2014 1 22014   1   dt   t 1 t  t 1  ln 2014 t 9) I  1 22014  2015ln  ln(1  22014 ) 2014 x dx  (1  x) 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân t t   x  dt  dx x : 1  t :1  (1  t )2 dt  2t  t 1 t 1 t dt Khi I  2 1  33 1 1        dt        t t t  3t 5t  4480  7t 1 x3  x x3 2x 10) I10   dx   dx   dx  A B x 1 x 1 x 1 0 1 x3 d ( x4  1) 1  ln x4   ln +) Tính A   dx   x 1 x 1 4 0 1 1 +) Tính B   2x dx x 1 i c n x   t  x   t  t t  x  dt  xdx ; dt t 1 Khi B   t t  tan u  dt  du     (1  tan u )du v i t    ;  ; cos u  2  i c n t   u  t   u     (1  tan t )dt    dt  t   tan t 0 Suy B    V y I10  ln  4 Bài Tính tích phân sau: ( x  3)8 1) I1   dx (2 x  1)10 e 2) I   (ln x  2)2013 dx x(ln x  1)2015 1 dx 4) I   ( x  x  x  8) dx 3) I   ( x  1)3 ( x  2) x2014 5) I   dx (1  x5 ) 404 Gi i: ( x  3)8 dx  x3   x3   x3   x3    dx    1) I1     d    10 (2 x  1) x   (2 x  1)  x    x   63  x   0 8 91 318  29  63.39 Nh n xét: D ng tích phân cách gi i t ng quát cho toán nh sau:    (ax  b)n 1 dx  ax  b   ax  b   ax  b   ax  b   (cx  d )n2 dx   cx  d  (cx  d )2  ad  bc   cx  d  d  cx  d   (ad  bc)(n  1)  cx  d  n (ln x  2) 2013  ln x   dx    2) I    2015 x(ln x  1) ln x   1 e e  ln x       ln x   e Hocmai.vn – Ngôi tr 2013 2013 n n 1   dx x(ln x  1)  ln x    ln x   d     ln x   6042  ln x   ng chung c a h c trò Vi t 2014 e  1  4028 6024.22014 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân dx dx dx  ( x  2)  ( x  1)    3   x ( x  1) ( x  2)  x     ( x  2) 0  x 1   x ( 2)      x   x  1 3) I   x 1  dx  1    x   ( x  2)  x 1      x  i c n x   t  ; x 1 t  t t x 1 dx  dt  ( x  2)2 x 2 3 2 ; 2 (1  t )  1   Khi I   dt       dt      ln t     ln t t t t  2t  1t Nh n xét : toán ph ng pháp đ i bi n ta có th s d ng ph ng pháp tách ghép ho c ph pháp đ ng nh t h s nh sau ( x  2)  ( x  1) ( x  2)  ( x  1) + ) Tách ghép:    3 ( x  1) ( x  2) ( x  1) ( x  2) ( x  1) ( x  1) ( x  2)  1 1 1       3 ( x  1) ( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  1) ( x  1) x 1 x  A B C D dùng ph     ( x  1) ( x  2) x  ( x  1) ( x  1) x  suy A, B, C, D + ) Phân tích: ng ng pháp đ ng nh t h s đ dx dx dx   2 ( x  x  x  8) ( x  2) ( x  2) 0  x    ( x  2) x    4) I   dx dx 1 1  ( x  2)  ( x  2)   x     1      256  x    256  x    x   ( x  2)4 x  ( x  2)      x   x  x dx dt 4 dx   dt   t t 2 ( x  2) ( x  2) x 4 i c n x   t  1 ; x   t  3 1 Khi I  1 1 1 1 t  4t  6t  4t  dt  1   t dt   1      dt     256 3 t 1024 3 1024 3  t t t t  t 1   41 ln    t  4ln t      1024  t t 3t  3 5184 256  dx n  ( ax  b) (cx  d ) Nh n xét : D ng tích phân t ng quát cho I I I   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t m T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) m, n  * đ      m n k   I   c gi i b ng cách đ t t  ax  b tr cx  d Nguyên hàm – Tích phân c phân tích :  dx  ax  b  m n   (cx  d )  cx d   m 1  c(ax  b)  a (cx  d )   m  m n    (cb  ad ) cx  d    ax  b     cx  d   1  ax  b   a c m  m n   (cb  ad ) cx  d    ax  b      cx  d  m n  m n  dx (cx  d ) dx (cx  d ) x2014 dx (1  x5 ) 404 5) I   Cách 1: dt  4 dt  x dx  x dx  t t  1 x   ;  x  t 1  x  402 Khi I   (1  x ) V y I5  (t  1) 402  t 1  dt     404  51 t 51 t  x4 dx  404  1   1   51 t 402 403  402 dt t2 2015.2403 2015.2403  x5  x2014 Cách 2: I    dx 0   x5  (1  x5 )404 t t  1  1 d 1    1    t  5.403  t  +) i c n x   t 1 ; x 1 t  402 x4 dx (1  x5 )2 x5 x4 x4 dt  dt  dx  dx  5 1 x (1  x ) (1  x ) Khi I   t 402 dt  t      5  403  2015.2403 403 V y +) i c n x   t  x   t  Giáo viên Ngu n : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn Nh n xét: Trong toán đ i bi n b n s nh n m t u (r t quan tr ng ph n đ i bi n), đ i bi n b c ti p theo b c vi phân c v Sau làm xong u b n s bi t toán có h ng hay không C th : N u sau vi phân ta có: f (t )dt  g ( x)dx x y kh n ng: + ) Trong đ có ch a g ( x)dx (có th ph i thêm b c tách ghép, thêm b t đ nhìn th y nó) ph n l i c a bi u th c d i d u tích phân (n u có) ch a bi n x mà ta rút đ c theo t Khi xác su t ta theo h ng cao + ) Trong đ l ng g ( x) đ ta ch nh (vì dx m t lúc “không n” ph i có m t g ( x) hay ph i có g ( x)dx ta m i chuy n đ c theo f (t )dt ) Khi b n nên ngh t i vi c t nhân thêm vào (đ không cho ta t cho) ch nh b ng cách nhân v i l ng t ng ng d i m u s ph n phát sinh thêm sau nhân v i bi u th c tr c s rút đ c theo t ( c hai toán ta t nhân c t m u l n l t v i x e x ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | -