Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân NGUYÊN HÀM H U T ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Nguyên hàm h u t thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Tr c Ệhi ệàm t p ph n này, b n xem tr Bài Tính tích phân I dx v i: x 2x k c “Tích phân s đ gi i tích phân t ng quát” 1) k 2) k 3) k Gi i: 1) V i k : 4dx (2 x 3) (2 x 1) x 1 2 I dx dx ln x 8x (2 x 1)(2 x 3) x 1 x 2x 3 x2 x 0 dx 2 2 dx dx 2 x x ( x 1) x 1 3) V i k : I dx dx x x ( x 1) ln 15 2 2) V i k : I 2 3dt t x tan t v i t ; dx 3.(1 tan t )dt x : t : cos t 2 Khi I 3.(1 tan t )dt 33 3 dt t 3.(tan t 1) 18 6 Bài Tính tích phân sau: dx dx 1) I1 2) I 4x 1 2x x 1 5) I 3x dx 4x 4x 1 Gi i: 4x dx x x 2 6) I 2 dx 3) I x 6x 7) I x 1 4) I dx x 2x 2 x3 dx 2x 2 3 dx ln x ln 1) I1 4x 1 4 1 2) I dx dx 1 x2 x 1 ( x 1)(2 x 3) (2 x 3) 2( x 1) dx ( x 1)(2 x 3) 1 x 1 dx ln 1 x x 2x 3) I 1 ln ln 1 dx dx 1 2 x x ( x 3) x 12 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 4) I Nguyên hàm – Tích phân dx dx x x ( x 1) dt t x tan t v i t ; dx (1 tan t )dt x : t : cos t 2 0 (1 tan t )dt Khi I dt t tan t 4 4 4x ( x 1) 3( x 2) 5) I dx dx dx ln x 3ln x 4ln ( x 1)( x 2) x x x x 1 0 0 Chú ý: Vi c phân tích x x 3( x 2) có đ c ta tìm h s a , b th a mãn: a b a x a ( x 1) b( x 2) x (a b) x a 2b a 2b 5 b 3 2 x 1 3x dx 6) I dx dx 2 4x 4x 1 (2 x 1) 2(2 x 1) 2(2 x 1) 1 1 1 3 7 ln x ln 4(2 x 1) 4 2 2x 2 (2 x 2) x3 dx 7) I A B (*) dx dx dx 2 1 x x x 2x x 2x x 2x 1 1 1 2 (2 x 2) d ( x2 x 4) +) Tính A dx ln x2 x x 2x x 2x 1 1 2 2 1 2ln (1) dx dx +) Tính B x x 1 ( x 1) 1 3dt t x tan t v i t ; dx 3.(1 tan t )dt x : 1 t : cos t 2 3.(1 tan t )dt 3 dt t tan t 3 B Thay (1) (2) vào (*) ta đ c: I ln Bài Tính tích phân sau: 2 x3 x2 x dx 1) I1 2x 1 1 2) I 4x 4x 7x dx x2 x 1 3) I 5) I (2) x4 x3 x2 x dx x2 x ( x 1) dx (D – 2013) x2 1 4) I x2 x dx x2 x 6) I x2 3x dx (B – 2014) x2 x Gi i: 2 x3 x3 x2 x 10 1) I1 dx x2 dx ln x ln x 2x 1 2x 1 1 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2) I Nguyên hàm – Tích phân 1 2( x 1) ( x 3) x4 x3 x2 x x5 dx x dx x 1 dx 2 ( x 1)( x 3) x 2x x 2x 0 x3 dx x2 x 2ln x ln x 2ln ln x x 0 0 3) 2 3(2 x 1) x3 x2 x 6x dx x dx x dx x dx 2 2 4x 4x 1 4x 4x (2 x 1) x (2 x 1) 1 I3 x2 11 ln x ln 2(2 x 1) 2 ( x 1) 4) I dx ( D – 2013) x 1 1 2x 2x x2 x d ( x2 1) ln( 1) I4 dx dx dx dx dx x x ln 0 x2 0 0 x2 0 0 x2 x2 1 1 1 2 (2 x 2) x2 x x dx 5) I dx dx 2 4 x x x x x x 0 0 2 2 3 dx d ( x2 x 4) x ln( x2 x 4) I ln I (*) 2 dx 6 2 x 2x x 2x 0 0 2 Tính I dx dx x x ( x 1) dt 3(1 tan t )dt dx t x tan t (v i t ; ) x : t : cos t 2 ( x 1)2 3(1 tan t ) I 3(1 tan t )dt 3 3 dt t 3(1 tan t ) 18 Thay (2*) vào (*) ta đ (2*) 3 c: I ln x2 3x dx (B – 2014) 6) I x2 x 2 x x 1 x2 3x 2x 1 I6 dx 1 dx dx 1 x x x x x( x 1) 1 2 1 1 dx x ln x ln x ln x 1 x V y I ln Chú ý: V i toán b n có th trình bày theo cách nh sau: 2 2 2x 1 d ( x2 x) 2x 1 I 1 dx dx x ln x2 x dx dx x x x x x x 1 1 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ln T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân Bài Tính tích phân sau: 3) I x3 dx (B – 2012) x4 3x2 1) I1 x7 dx (3 x4 ) 2) I x2 dx x( x4 3x2 2) 2x dx ( )( 3) x x x x 4) I 1 x2 5) I dx x x3 x2 x 2 6) I x 7) I dx (1 x)3 8) I8 dx x x5 dx x 1 x2014 x2 dx 9) I (1 x)8 1 10) I10 x3 x dx x4 Gi i: x dx (B – 2012) x 3x2 1) I1 I1 t t x2 dt xdx hay xdx dt x : t : x2 xdx t.dt 2(t 1) (t 2) dt dt 2 t t 1 x 3x 2 t 3t 2 (t 1)(t 2) 1 1 ln t ln t ln ln 2 0 3 dt x dx x dx dt x t t 2x x : t : 2) I dx t (3 x4 ) x 3t 1 x x t 3 Khi I dx x dx dt dt 4 2 x x t t (3 ) (3 ) 16 0 1 1 1 ln dt ln t 16 t t 16 t 16 1 3) I x2 dx x( x4 3x2 2) t t x2 dt xdx xdx Khi I dt x :1 t :1 2 ( x2 1) t 1 xdx dt 2 t (t 3t 2) x ( x 3x 2) Lúc ta s phân tích t 1 thành t ng phân th c có m u b c b ng ph t (t 3t 2) ng pháp đ ng nh t t 1 t 1 A B C t (t 3t 2) t (t 1)(t 2) t t t t 1 A(t 1)(t 2) Bt (t 2) Ct (t 1) (*) h s C th : Vi c tìm A, B, C có th làm theo cách : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân Cách 1: (*) t ( A B C )t (3 A 2B C )t A A A B C 3 A B C B 2 A 1 C +) Ch n t 1 (*) có d ng: 2 B B Cách 2: +) Ch n t (*) có d ng: 1 A A +) Ch n t 2 (*) có d ng: 3 2C C 2 ln 11.ln dt ln t ln(t 1) ln(t 2) Khi I 2t t 2(t 2) 4 1 V y I3 7ln 11.ln 2x 2x 2x dx dx dx 4) I 2 ( x x)( x x 3) ( x 3x)( x2 3x 2) x( x 2)( x 1)( x 3) 1 2 Cách 1: (đ i bi n) t t x2 3x dt (2 x 3)dx x :1 t : 10 1 dt t Khi I dt ln t2 t (t 2) t t 10 10 Cách 2: (tách ghép s d ng ph 15 ln 12 ng pháp vi phân) 2 ( x 3x 2) ( x 3x) (2 x 3) (2 x 3)dx (2 x 3)dx dx 2 21 ( x 3x)( x 3x 2) x 3x x2 3x I4 10 d ( x2 3x) d ( x2 3x 2) x2 3x ln x 3x x 3x x2 3x 2 1 5) I x 2 1 15 ln 12 x 1 dx x x2 x Chia c t m u bi u th c tích phân cho x2 ta đ c: 1 1 1 1 dx x x I5 dx 1 1 2 x2 x 2 x2 4 x x x x x Cách 1: (đ i bi n) dt 1 dx x t t x x : 2 1 t : 2 x t x2 x2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2 2 2 Nguyên hàm – Tích phân 2 dt dt dt 1 Khi I 2 t 36 (t 2) 4t t 4t (t 2) 2 2 Cách 2: (tách ghép s d ng ph ng pháp vi phân – dành cho nh ng cự Ệ n ng phân tích t t) 1 dx d x 1 1 1 x x I5 2 36 1 1 2 2 x x 4 x x 2 x 2 x x x 2 dx dx 6) I x x x (1 x2 ) 1 Cách 1: (đ i bi n) t t x2 dt xdx xdx dt x :1 t :1 4 4 1 (t 1) t xdx dt (t 1) t Khi I dt dt dt t t (t 1) t t (t 1) x (1 x2 ) 1 t (t 1) 1 t (t 1) 1 1 1 t 1 dt ln ln t t t 1 2 t t 1 8 Cách 2: (Dùng Ệ thu t tách ghép) 2 (1 x2 ) x2 1 x (1 x2 ) x2 1 dx dx dx 3 dx 3 x x(1 x ) x x x2 x (1 x ) x x(1 x ) 1 1 I6 5 d (1 x2 ) 1 ln x ln(1 x2 ) ln ln ln dx 2 2 8 1 x x x 2x 1 1 2 8) I8 dx x 1 x2014 t t x2014 dt 2014 x2013dx x2013dx x2013dx Khi I8 2014 2014 1 x 2014 x 1 22014 dt x :1 t : 22014 2014 dt (t 1)t 2014 1 22014 1 dt t 1 t t 1 ln 2014 t 9) I 1 22014 2015ln ln(1 22014 ) 2014 x dx (1 x) 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân t t x dt dx x : 1 t :1 (1 t )2 dt 2t t 1 t 1 t dt Khi I 2 1 33 1 1 dt t t t 3t 5t 4480 7t 1 x3 x x3 2x 10) I10 dx dx dx A B x 1 x 1 x 1 0 1 x3 d ( x4 1) 1 ln x4 ln +) Tính A dx x 1 x 1 4 0 1 1 +) Tính B 2x dx x 1 i c n x t x t t t x dt xdx ; dt t 1 Khi B t t tan u dt du (1 tan u )du v i t ; ; cos u 2 i c n t u t u (1 tan t )dt dt t tan t 0 Suy B V y I10 ln 4 Bài Tính tích phân sau: ( x 3)8 1) I1 dx (2 x 1)10 e 2) I (ln x 2)2013 dx x(ln x 1)2015 1 dx 4) I ( x x x 8) dx 3) I ( x 1)3 ( x 2) x2014 5) I dx (1 x5 ) 404 Gi i: ( x 3)8 dx x3 x3 x3 x3 dx 1) I1 d 10 (2 x 1) x (2 x 1) x x 63 x 0 8 91 318 29 63.39 Nh n xét: D ng tích phân cách gi i t ng quát cho toán nh sau: (ax b)n 1 dx ax b ax b ax b ax b (cx d )n2 dx cx d (cx d )2 ad bc cx d d cx d (ad bc)(n 1) cx d n (ln x 2) 2013 ln x dx 2) I 2015 x(ln x 1) ln x 1 e e ln x ln x e Hocmai.vn – Ngôi tr 2013 2013 n n 1 dx x(ln x 1) ln x ln x d ln x 6042 ln x ng chung c a h c trò Vi t 2014 e 1 4028 6024.22014 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân dx dx dx ( x 2) ( x 1) 3 x ( x 1) ( x 2) x ( x 2) 0 x 1 x ( 2) x x 1 3) I x 1 dx 1 x ( x 2) x 1 x i c n x t ; x 1 t t t x 1 dx dt ( x 2)2 x 2 3 2 ; 2 (1 t ) 1 Khi I dt dt ln t ln t t t t 2t 1t Nh n xét : toán ph ng pháp đ i bi n ta có th s d ng ph ng pháp tách ghép ho c ph pháp đ ng nh t h s nh sau ( x 2) ( x 1) ( x 2) ( x 1) + ) Tách ghép: 3 ( x 1) ( x 2) ( x 1) ( x 2) ( x 1) ( x 1) ( x 2) 1 1 1 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 1) ( x 1) x 1 x A B C D dùng ph ( x 1) ( x 2) x ( x 1) ( x 1) x suy A, B, C, D + ) Phân tích: ng ng pháp đ ng nh t h s đ dx dx dx 2 ( x x x 8) ( x 2) ( x 2) 0 x ( x 2) x 4) I dx dx 1 1 ( x 2) ( x 2) x 1 256 x 256 x x ( x 2)4 x ( x 2) x x x dx dt 4 dx dt t t 2 ( x 2) ( x 2) x 4 i c n x t 1 ; x t 3 1 Khi I 1 1 1 1 t 4t 6t 4t dt 1 t dt 1 dt 256 3 t 1024 3 1024 3 t t t t t 1 41 ln t 4ln t 1024 t t 3t 3 5184 256 dx n ( ax b) (cx d ) Nh n xét : D ng tích phân t ng quát cho I I I Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t m T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) m, n * đ m n k I c gi i b ng cách đ t t ax b tr cx d Nguyên hàm – Tích phân c phân tích : dx ax b m n (cx d ) cx d m 1 c(ax b) a (cx d ) m m n (cb ad ) cx d ax b cx d 1 ax b a c m m n (cb ad ) cx d ax b cx d m n m n dx (cx d ) dx (cx d ) x2014 dx (1 x5 ) 404 5) I Cách 1: dt 4 dt x dx x dx t t 1 x ; x t 1 x 402 Khi I (1 x ) V y I5 (t 1) 402 t 1 dt 404 51 t 51 t x4 dx 404 1 1 51 t 402 403 402 dt t2 2015.2403 2015.2403 x5 x2014 Cách 2: I dx 0 x5 (1 x5 )404 t t 1 1 d 1 1 t 5.403 t +) i c n x t 1 ; x 1 t 402 x4 dx (1 x5 )2 x5 x4 x4 dt dt dx dx 5 1 x (1 x ) (1 x ) Khi I t 402 dt t 5 403 2015.2403 403 V y +) i c n x t x t Giáo viên Ngu n : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn Nh n xét: Trong toán đ i bi n b n s nh n m t u (r t quan tr ng ph n đ i bi n), đ i bi n b c ti p theo b c vi phân c v Sau làm xong u b n s bi t toán có h ng hay không C th : N u sau vi phân ta có: f (t )dt g ( x)dx x y kh n ng: + ) Trong đ có ch a g ( x)dx (có th ph i thêm b c tách ghép, thêm b t đ nhìn th y nó) ph n l i c a bi u th c d i d u tích phân (n u có) ch a bi n x mà ta rút đ c theo t Khi xác su t ta theo h ng cao + ) Trong đ l ng g ( x) đ ta ch nh (vì dx m t lúc “không n” ph i có m t g ( x) hay ph i có g ( x)dx ta m i chuy n đ c theo f (t )dt ) Khi b n nên ngh t i vi c t nhân thêm vào (đ không cho ta t cho) ch nh b ng cách nhân v i l ng t ng ng d i m u s ph n phát sinh thêm sau nhân v i bi u th c tr c s rút đ c theo t ( c hai toán ta t nhân c t m u l n l t v i x e x ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | -