(Sáng kiến kinh nghiệm) giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai

I : PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Trong giai đoạn nay, với phát triễn mạnh mẽ khoa học kỷ thuật, với phát triễn tồn diện xã hội, cơng nghiệp hóa, đại hóa CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM tiến nhanh ngày, người khơng kịp nắm bắt thời Độc lập – Tự – Hạnh phúc gian ngắn trở thành lạc hậu, phải để tiến kịp khoa học kỹ thuật đại giới, theo kịp phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật, kho tàng kiến thức nhân loại tăng lên nhanh chóng Cái mà hơm ngày mai trở thành lạc hậu Chính lẻ giáo dục u cầu giáo viên thường xuyên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tăng cường đổi phương pháp, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin dạy học, lấy học sinh làm trung tâm, kích thích tính tự lập, độc lập sáng tạo tư học sinh, học sinh phải tự biết, tự nhận vấn đề, tìm hướng giải vấn đề, khơng thụ độngSÁNGđợichờKIẾNsựtruyềnKINHtảicủaNGHIỆMgiáoviên.Điều quan trọng giáo viên phải trang bị cho em lực tự học để tự tìm kiếm nhữngGIÚPkiếnthứcHỌCkhicầnthiếtSINHtrongtơngTRÁNHlai SAI LẦM VỀ GIẢItốn lớpTỐN9chương CĂNI“CănbậcBẬChai– CănHAIbậc ba” phần kiến thức khó đối Đối với mơn với học sinh, phần kiến thức thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh vào trung học phổ thơng tỉnh có câu chương này, thường chiếm 1,5 đến 2,0 điểm Do đó, theo tơi học sinh cần nắm thật chắn mảng kiến thức này, đặc biệt học sinh giỏi cần có nhìn thật đầy đủ “Căn bậc hai- bậc ba” để vận dụng Sau nghiên cứu nhiều tài liệu tham khảo viết vấn đề thấy, tác giả đưa toán đa dạng phong phú, nhiên dạng tản mạn, nằm nhiều tài liệu khác nhau, gây khơng khó khăn cho việc dạy giáo viên học sinh Trong trình giảngHọ dạyvàtên:thực tếMaitrênXuânlớp đãHiếunhiều năm trường THCS tơi nhận cịn nhiềuChức họcvụ: sinhGiáothựcviênhành– Tổkỹtrưởngnăng tổgiảiKHTNtốn cịn yếu, nhiều ngun nhân năngĐơnlựcvị; tTrườngduyngônTHCSngữ,MỹkhảThủynăng chuyển thể từ ngôn ngữ văn học thành quan hệ tốn học, có nhiều học sinh chưa thực hiểu kỹ bậc hai thực phép toán bậc hai, hay có nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực sai mục đích Vì dạy chương “Căn bậc hai - bậc ba” thời gian đầu năm học có khó khăn, phần em biết sơ qua “ Căn bậc hai” nhờ khái niệm đơn giản lớp 7, thêm số em hè tự học hay học thêm số giáo viên không thường dạy tốn 9, họ khơng cụ thể nên học sinh bị nhiểu nhiều, thiếu sót, xác, khó điều chỉnh Mặt khác dạng tốn chương học sinh dễ nhầm lẫn thực sai phép tính, giúp học sinh nhận nhầm lẫn giúp LệcácThủyemtránhthángđược5nămsự 2013nhầm lẫn công việc vô cần thiết cấp bách, mang tính đột phá cao, giúp em có am hiểu vững lượng kiến thức học bậc hai, tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau 1.2.Phạm vi nghiên cứu: a/ Phạm vi đề tài: Áp dụng toán trường THCS, nghiên cứu đưa biện pháp điều chỉnh “ Giúp học sinh tránh sai lầm giải toán bậc hai” toán 9.Tiền đề cho em thi tuyển sinh mà Sở Giáo Dục Quảng Bình giới hạn cho câu 2,0 điểm Đối tượng học sinh lớp trường THCS nơi giảng dạy lớp : 9A 9B b/ Thời gian nghiên cứu: Kinh nghiệm năm trước năm học 2012 – 2013 II PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng Những dạy lớp rút kinh nghiệm từ năm trước, qua kiểm tra miệng đầu giờ,qua luyện tập, ôn tập Giáo viên cần lưu ý đến toán bậc hai, xem xét kỹ phần giải học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm sai sót giải, từ giáo viên đặt câu hỏi để học sinh tự sửa chữa phần giải cho xác Qua kiểm tra 15 phút sau học xong “ liên hệ phép chia phép khai phương” 55 em thuộc hai lớp 9A 9B trường, tỉ lệ học sinh sai lầm giải tốn tìm bậc hai cao Lớp Số Giỏi - Khá Tr bình lượng SL % SL % Yếu SL Kém % SL Ghi % 9A 30 10 33,3 30,0 20,0 16,7 9B 25 24,0 24,0 28,0 24,0 16 29,1 15 27,3 13 23,6 11 20,0 Tổng Tôi hiểu chất lượng điều đáng lo, nhiên nhiều năm dạy Toán tỉ lệ xem tạm kiểm tra chương I – Đại số năm trước số học sinh mắc sai lầm giải toán có chứa bậc hai chiếm tỉ lệ 45,0%, năm 2010 có lớp đạt 30% TB Như số lượng học sinh mắc sai lầm giải toán bậc hai tương đối cao, việc sai lầm học sinh để em tránh giải tập năm học việc vô quan trọng cần thiết trình giảng dạy mơn tốn trường THCS, học sinh khối lớp Nguyên nhân dẫn đến kết là: Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải tập cụ thể học sinh chưa linh hoạt Khi gặp tốn địi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải toán dẫn đến lời giải sai không làm Một vấn đề kỹ giải tốn tính tốn số học sinh yếu Học sinh phụ thuộc nhiều vào máy tính cá nhân để tính tốn, mà chương cần biết phân tích số thành tích số có số phương HS thường chịu Khi áp dụng khai phương thương, tích HS thường lấy máy bấm nên kết số thập phân, số gần đúng, không yêu cầu cần đạt Đặc biệt sau sử dụng phép biến đổi HS lúng túng cần tách số để thực Trong vận dụng để giải phương trình có chứa bậc hai khó khăn viết biểu thức dấu dạng bình phương tổng ( hiệu) để đưa ngoài, kỷ giá trị tuyệt đối Để giúp học sinh làm tốt tập bậc hai phần chương I đại số người thầy phải nắm khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ có phương án “ Giúp học sinh phát tránh sai lầm giải tốn bậc hai” Trong sáng kiến tơi nêu số “ số dạng thường sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trình làm tập bậc hai chương I - Đại số Phân tích sai lầm số toán cụ thể để học sinh thấy lập luận sai thiếu chặt chẽ dẫn tới giải khơng xác Từ định hướng cho học sinh phương pháp giải toán bậc hai 2.2 Các giải pháp - Chương bậc hai – bậc ba nội dung kiến thức phong phú, xuất dày đặc chương với số tiết không nhiều nên số kiến thức giới thiệu để làm sở để hình thành kỹ tính tốn, biến đổi Thậm chí số kiến thức nêu dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa bậc hai, điều kiện xác định thức bậc hai, phương pháp rút gọn yêu cầu rút gọn ) - Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều dễ nhầm lẫn, tạo nguy khó hiểu khái niệm (chẳng hạn bậc hai, bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân bậc hai, khử mẫu, trục thức ) Vì học chương học sinh mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau : a Sai lầm tên gọi hay thuật ngữ toán học: Định nghĩa bậc hai : * lớp : - Đưa nhận xét 32=9; (-3)2 =9 Ta nói -3 bậc hai - Định nghĩa : Căn bậc hai số a không âm số x cho x a - Số dương a có hai bậc hai, số dương ký hiệu a số âm ký hiệu - a * lớp nhắc lại lớp đưa định nghĩa bậc hai số học Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a Sau đưa ý : với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a x ≥ x a ; Nếu x ≥ x a x = a Ta viết x = x a a x - Nguy dẫn đến học sinh mắc sai lầm thuật ngữ “ bậc hai” và"căn bậc hai số học” Ví dụ : Tìm bậc hai 16 Rõ ràng học sinh dễ dàng tìm số 16 có hai bậc hai hai số đối - Ví dụ : Tính 16 * Lời giải sai: 16 = - có nghĩa 16 = Như học sinh tính số 16 có hai bậc hai hai số đối : 16 = 16 = - * Phân tích sai lầm : Do việc tìm bậc hai bậc hai số học nhầm lẫn với * Lời giải là: 16 = ( giải thích thêm > 42 = 16) Trong tốn sau khơng cần yêu cầu học sinh phải giải thích - So sánh bậc hai số học : Với hai số a b khơng âm, ta có a b a b Ví dụ : so sánh 15 *Học sinh loay hoay nên so sánh chúng theo hình thức theo định nghĩa số 15 bậc hai số học 15 đem so sánh với số số có hai bậc hai số học -2 với suy nghĩ học sinh đa lời giải sai sau : < 15 (vì hai bậc hai nhỏ 15 ) Tất nhiên sai học sinh em hiểu nhầm sau học xong mà sau học thêm loạt khái niệm hệ thức học sinh khơng ý đến vấn đề quan trọng Lời giải : 16 > 15 nên 16 > 15 Vậy = 16 > 15 giáo viên cần nhấn mạnh ta so sánh hai bậc hai số học! - Sai thuật ngữ ý định nghĩa bậc hai số học : với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a x ≥ x a; Nếu x ≥ x a x = a Ví dụ : Tìm số x, khơng âm biết : x = 15 *Học sinh áp dụng ý thứ giải sai sau : Nếu x = a x ≥ x a ; phơng trình x a có nghiệm x = a x =- a học sinh giải lớp nên em giải toán sau : Do x ≥ nên x2 = 152 hay x = 225 x = - 225 Vậy tìm hai nghiệm x1 = 225 x2 = - 225 *Lời giải : từ ý bậc hai số học, ta có x = 152 Vậy x = 225 - Sai thuật ngữ khai phương : Ví dụ : Tính - 25 * Học sinh hiểu phép tốn khai phương phép tốn 25 tìm bậc hai số học số không âm nên học sinh nghĩ bậc hai âm số dương 25, dẫn tới lời giải sai nh sau : - 25=5 - *Lời giải : - 25 = -5 - Sai sử dụng thức bậc hai đẳng thức A2 =|A| Với A biểu thức đại số, người ta gọi A2 thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A2 xác định (hay có nghĩa ) A lấy giá trị không âm ∙ Hằng đẳng thức : A2 = | A| Cho biết mối liên hệ phép khai phương phép bình phương Ví dụ : Hãy bình phương số -8 khai phương kết vừa tìm *Học sinh với vốn hiểu biết có lời giải sau (lời giải sai) : = 64 , nên khai phương số 64 lại - 8 = 64 *Lời giải : 64 = Mối liên hệ a2 = | a| cho thấy “ Bình phương số, khai phương kết đó, chắc số ban đầu” Ví dụ : Với a2 = A A chắc a Cụ thể ta có = 25 25 = 5; nhiều ví dụ tương tự khẳng định kết b Sai lầm tính tốn áp dụng : - Sai lầm việc xác định điều kiện tồn bậc hai : Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ : * Lời giải sai : A= x + x = (x+ A=x+ x x + ) -1 = ( x + 4 )2 ≥-1 Vậy A = - * Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥ - , chưa trường hợp xảy f(x) = Xảy 4 x = - (vô lý) * Lời giải : Để tồn x x ≥0 Do A = x + x ≥ hay A = x = Ví dụ : Tìm x cho B có giá trị 16 B = 16x 16 - 9x + 4x + x với x ≥ -1 * Lời giải sai : B = x -3 x + x + x = x => B 16 16 = x 4= x 142 = ( x )2 hay 16 = ( x )2 16 = | x+ 1| Nên ta phải giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + x = 15 2) 16 = -(x+1) x = - 17 * Phân tích sai lầm : Với cách giải ta hai giá trị x x 1= 15 x2= - 17 có giá trị x1 = 15 thoả mãn, cịn giá trị x2= -17 không Đâu nguyên nhân sai lầm ? Chính áp dụng rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện cho toán, với x ≥ -1 biểu thức tồn nên không cần đưa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! * Lời giải : B = x -3 x + x + x = x 16 = x = x (do x ≥ -1) 16 = x + Suy x = 15 - Sai lầm kỹ biến đổi : Trong học sinh thực phép tính em có đơi bỏ qua dấu số chiều bất đẳng thức dẫn đến giải tốn bị sai Ví dụ : Tìm x, biết : 3(4 (4- 17 ).2x * Lời giải sai : 17) (4- 17 ).2 x 17 ) 2x < ( chia hai vế cho 4- 17 ) x < 3(4 * Phân tích sai lầm : Nhìn qua thấy học sinh giải khơng có vấn đề Học sinh nhìn thấy tốn thấy tốn khơng khó nên chủ quan không để ý đến dấu bất đẳng thức : “Khi nhân chia hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều” Do rõ ràng sai chỗ học sinh bỏ qua việc so sánh 17 bỏ qua biểu thức - 17 số âm, dẫn tới lời giải sai * Lời giải : Vì = 16 < 17 nên - 17 < 0, ta có (4- 17 ).2x 3(4 17 ) 2x > 3x > Ví dụ : Rút gọn biểu thức : x2 y2 x y Ví i x 0,y 0,x y Bài tốn có cách giải cách thứ đưa biểu thức vào căn, thứ hai đưa biểu thức ngồi dấu Ở tốn áp dụng cách giải đưa biểu thức dấu học sinh khơng mắc sai lầm áp dụng cách thứ học sinh dễ mắc sai lầm 3x y2 x2 y2 3.2 x y 2 2x2 6x y2 y2 x y2 x y2 x y Phân tích sai lầm: Học sinh không ý đưa biểu thức vào trong phép biến đổi A B A2 B A, B không âm *Lời giải Với x>y thì: 3x y2 3.22 x y x2 y 2 Với x a a a * Lời giải sai : 1 : M a a Ta có M = a a a 1 a M= a a a a = a a a a a a a a a : a a => M 1 a , ta nhận thấy M < a >0 a a Do M = a = * Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết tốn rút gọn khơng sai, sai chỗ học sinh lập luận đưa kết giá trị nhỏ M lại sai Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết a = a = a- 1= 0, điều mâu thuẫn điều kiện tồn phân thức * Lời giải : a a M= a a a Ta có M a = a a => M 1 a , ta nhận thấy M < a >0 a a a a ta nhận thấy M < a > Nếu M = 0, a = 1(mâu thuẫn với điều kiện) Vậy < M < 1, < a < x 4x x Ví dụ : Khi rút gọn biểu thức: * Lời giải sai x 22 x2 4x x x x x * Phân tích sai lầm: Nguyên nhân sai lầm học sinh không ý xét điều kiện biến bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Lời giải đúng: x2 4x x x 22 x x x nÕu x -2 1nÕu x -2 Như tốn có hai đáp số phụ thuộc vào điều kiện biến a a a a Ví dụ: Cho biểu thức A a : a a với a ≥0, a≠1 a Rút gọn biểu thức A b Với giá trị a A A * Lời giải sai a A a aa : a aa a a1 a Điều kiện xác định a ≥ 0, a ≠ a a1 a a a A a : a a a a a2 : a a a a a a 1 a2 a 1 a b Muốn A A A ≥ a 1 a a1 1 a2 : a2 a 21 a a a a Vậy với a AA * Phân tích sai lầm: Bài tốn học sinh khơng bị mắc sai lầm rút gọn biểu thức dễ mắc sai lầm câu b tìm giá trị a để A A giải xong kết luận a ≤ A A mà khơng kết hợp với điều kiện xác định cho đề * Lời giải : Muốn A A A≥0 a a a Kết hợp với điều kiện xác định a ≥ 0, a ≠ Ta có a Với a A A Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A : A x2 Giải : Ta phải có |x| ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức phụ sau : B = = 2- x2 A Ta có : ≤ ≤2 x2 ≤ => - ≤- x2 ≤ => 2- ≤ - x2 giá trị nhỏ B = 2- 33 = x2 =2+ x=0 Khi giá trị lớn A = Giá trị lớn B = 10 x2 = x= , 1 giá trị nhỏ A = B = * Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A, ta phải xét biểu thức phụ A Vì giáo viên ý cho học sinh biến đổi thực toán bậc hai cách sử dụng hệ thức công thức học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai phương tích, quy tắc nhân bậc hai, quy tắc khai phương thương, quy tắc chia hai bậc hai, đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, Khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mẫu… Ngoài hệ thức nêu trên, tính tốn học sinh gặp tốn có liên quan đến bậc hai biểu thức, toán lại yêu cầu tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức cho Hay yêu cầu tìm giá trị tham số để biểu thức âm dương hoặc giá trị đó… giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức cho hướng dẫn học sinh thực nhẹ nhàng mà học sinh hiểu tốn Trên số phương pháp giải toán bậc hai sai lầm mà học sinh hay mắc phải, trong trình hướng dẫn học sinh giải tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề để học sinh tìm phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hiểu sai đầu dẫn đến kết khơng xác 2.3 Kết thực hiện: Qua thực tế giảng dạy chương I môn đại số năm học 2012-2013 Sau đúc rút kinh nghiệm kết hợp năm trước, xây dựng đề cương chi tiết kinh nghiệm rút từ năm học 2011-2012 vận dụng vào dạy lớp 9A, 9B chủ yếu vào tiết dạy tập trung tạo điều kiện cho em phát sai lầm mình, tự điều chỉnh thông qua tiết luyện tập, ôn tập, học ôn thi tuyển sinh Qua việc khảo sát chấm chữa kiểm tra nhận thấy tỉ lệ tập học sinh giải tăng lên Cụ thể : Lớp Số Giỏi - Khá lượng SL % Tr bình SL Yếu % SL Kém % SL % 9A 30 15 50,3 11 36,7 10,0 3,3 9B 25 10 40,0 10 40,0 16,0 4,0 25 45,5 21 38,2 12,7 3,6 Tổng 11 Ghi Như sau tơi phân tích kỹ sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tốn bậc hai số học sinh giải tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm lập luận tìm lời giải giảm nhiều Từ chất lượng dạy học mơn Đại số nói riêng mơn Tốn nói chung nâng lên, đặc biệt em nắm bước thực dạng thời gian ôn luyện tuyển sinh đở phần “ Rút gọn” để giành thời gian cho phần khác Qua q trình giảng dạy mơn Tốn, qua việc nghiên cứu phương án giúp học sinh tránh sai lầm giải toán bậc hai chương I-Đại số 9, rút số kinh nghiệm sau : Đối với giáo viên : - Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình giảng dạy, quan tâm đến chất lượng học sinh, nắm vững đặc điểm tâm sinh lý đối tượng học sinh phải hiểu gia cảnh khả tiếp thu học sinh, từ tìm phương pháp dạy học hợp lý theo sát đối tượng học sinh Đồng thời dạy tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần rõ sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ lập luận sai để học sinh ghi nhớ rút kinh nghiệm làm tập Sau giáo viên cần tổng hợp đưa phương pháp giải cho loại để học sinh giải tập dễ dàng - Thông qua phương án phương pháp giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời em làm tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho em, đặc biệt lôi đại đa số em khác hăng hái vào công việc - Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi rút kinh nghiệm cho thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức học sinh, không ngừng đổi phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy học * Đối với học sinh : - Bản thân học sinh phải thực cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì chịu khó trình học tập - Trong học lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu chất vấn đề, có kỹ vận dụng tốt lí thuyết vào giải tập Từ học sinh tránh sai lầm giải tốn III- PHẦN KẾT LUẬN : Phần kiến thức bậc hai chương I- Đại số rộng sâu, tương đối khó với học sinh, nói có liên quan mang tính thực tiễn cao, tập kiến thực rộng, nhiều Qua việc giảng dạy thực tế nhận thấy để dạy học đợc tốt phần chương I- Đại số cần phải nắm vững 12 sai lầm học sinh thường mắc phải bên cạnh học sinh phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng qt, lơgic có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức Để nâng cao chất lượng dạy học giúp học sinh hứng thú học tập mơn Tốn nói chung phần chương I- Đại số nói riêng giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh cầu nối linh hoạt kiến thức học sinh Với sáng kiến “Giúp học sinh tránh sai lầm toán bậc hai” tơi cố gắng trình bày sai lầm học sinh thường mắc phải cách tổng quát nhất, bên cạnh tơi phân tích điểm khó phần kiến thức so với khả tiếp thu học sinh để giáo viên có khả phát sai lầm học sinh để từ định hướng đưa hướng biện pháp khắc phục sai lầm Bên cạnh tơi ln phân tích sai lầm học sinh nêu phương pháp khắc phục định hướng dạy học dạng để nâng cao cách nhìn nhận học sinh qua giáo viên giải vấn đề mà học sinh mắc phải cách dễ hiểu Đề tài có hạn tơi nghiên cứu phạm vi nhỏ chương chưa đưa hết dạng liên quan đến bậc hai dạng tốn có chứa tham số m, giải biện luận phương trình có bậc hai Vì tơi đưa vấn đề để áp dụng vào năm học qua đúc rút năm học trước dạy Vì khả có hạn, kinh nghiệm chưa cao, nên khó tránh khỏi thiếu sót khiếm khuyết Rất mong lãnh đạo đồng nghiệp giúp đỡ bổ sung cho để sáng kiến đầy đủ vận dụng tốt có chất lượng năm học sau 13 ... số học sinh mắc sai lầm giải tốn có chứa bậc hai chiếm tỉ lệ 45,0%, năm 2010 có lớp đạt 30% TB Như số lượng học sinh mắc sai lầm giải toán bậc hai tương đối cao, việc sai lầm học sinh để em tránh. .. mà học sinh thường mắc phải, từ có phương án “ Giúp học sinh phát tránh sai lầm giải toán bậc hai? ?? Trong sáng kiến nêu số “ số dạng thường sai lầm? ?? mà học sinh thường mắc phải trình làm tập bậc. .. hạn bậc hai, bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân bậc hai, khử mẫu, trục thức ) Vì học chương học sinh mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau : a Sai lầm tên gọi hay thuật ngữ toán