(Luận văn thạc sĩ) về định lý helly và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HÂN VỀ ĐỊNH LÝ HELLY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HÂN VỀ ĐỊNH LÝ HELLY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập compact Rn 1.1.1 Tập compact 1.1.2 1.2 Dãy Cauchy 11 Tập hợp lồi 13 1.2.1 1.2.2 Khái niệm ví dụ 13 Tính chất tập lồi 14 Chương Về định lý Helly số ứng dụng 2.1 Tính chất giao hữu hạn 20 Định lý Helly 23 Một số ứng dụng Định lý Helly 28 2.2.1 2.2.2 2.3 20 Định lý Helly 20 2.1.1 2.1.2 2.2 4 Định lý Thư viện Nghệ thuật 28 Bài toán Vincensini 36 Một số toán áp dụng 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - người tận tâm, nhiệt tình bảo, động viên giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giáo sư Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học quốc gia Hà Nội; Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học Em xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè đồng nghiệp lớp Cao học Tốn K9B2 ln giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hân Mở đầu Tập hợp lồi khái niệm xuất từ lâu nhiều ngành Tốn học, nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu E Buchman F.A Vanlentine, V.L Klee, C Carathéodery Đặc biệt nhà toán học E Helly Định lý Helly kết hình học rời rạc giao tập hợp lồi Định lý cho ta điều kiện đủ để nhận biết họ hình lồi có giao khác rỗng Nó phát E Helly năm 1913, xuất vào năm 1923, chứng minh khỏc ca Radon (1921) v Kăonig (1922) ó c đăng Định lý Helly phát biểu sau: Giả sử F := {F1 , F2 , , Fk } họ gồm k tập hợp lồi F1 , F2 , , Fk Rn , k > n Nếu giao n+1 tập họ F khác rỗng, giao tất tập hợp họ F khác rỗng, nghĩa k j=1 Fj = ∅ Để áp dụng cho số vô hạn tập hợp ta cần có thêm tính chất compact: Nếu F := {Fα , α ∈ I} họ tập hợp lồi compact Rn giao không n + tập họ F khác rỗng giao tất tập hợp họ khác rỗng Mục đích đề tài luận văn tìm hiểu trình bày chứng minh định lý Helly, trình bày số ứng dụng định lý Helly định lý Thư Viện Nghệ Thuật, toán Vincensini, đồng thời tìm hiểu số đề thi học sinh giỏi toán quốc gia quốc tế áp dụng định lý Helly để giải Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số khái niệm tính chất tập compact, tập hợp lồi không gian Rn Chương trình bày chứng minh định lý Helly, số ứng dụng định lý Helly số toán áp dụng định lý Helly để giải Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức tập hợp compact tập hợp lồi không gian Rn Mục 1.1 giới thiệu khái niệm tập hợp compact số tính chất tập compact Rn Mục 1.2 giới thiệu tập hợp lồi số tính chất tập hợp lồi Nội dung chương viết sở tài liệu [6], [7] 1.1 1.1.1 Tập compact Rn Tập compact Định nghĩa 1.1.1 Một tập K Rn gọi tập compact tập vơ hạn K có điểm tụ thuộc K Chú ý 1.1.2 Cho K ∈ Rn tập compact, Định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn hai điều kiện: (i) Mỗi tập hợp vô hạn K có điểm tụ p; (ii) Điểm tụ p phải thuộc K Định lý 1.1.3 (xem [6]) Tập hợp K Rn compact (i) Mỗi tập hợp vô hạn K có điểm tụ p; (ii) Tất điểm tụ K thuộc K Định lý 1.1.4 (xem [6]) Tập tập hợp K compact Rn tập đóng bị chặn Cho I = {(x1 , x2 , , xn )} ∈ Rn ; ≤ xi ≤ bi , i = 1, n với a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) ta đặt l (I) cạnh lớn I, nghĩa l (I) = sup {b1 − a1 , b2 − a2 , , bn − an } Định lý 1.1.5 (Bolzano–Weierstrass) (xem [6]) Mọi tập vô hạn bị chặn Rn có điểm tụ Chứng minh Giả sử A tập hợp vô hạn bị chặn Rn cho I1 hình đóng chứa A Chia I1 thành 2n hình đóng cách cắt ngang cạnh Vì I1 chứa vơ số điểm A, nên tồn hình I2 số hình chia nhỏ chứa vô số điểm A Tiếp theo ta lại chia hình I2 thành 2n hình đóng cách cắt ngang cạnh nó, cho có hình đóng I3 , số hình chia nhỏ, chứa vô số điểm A Tiếp tục theo cách này, ta nhận dãy {Ik }k≥1 hình đóng lồng khác rỗng, hình chứa vơ hạn điểm A Chú ý cạnh dài hình thứ k thỏa mãn < l (Ik ) = l (I1 ) 2k−1 dãy số thực {l(Ik )}k≥1 hội tụ đến Như vậy, với i thỏa mãn ≤ i ≤ n, khoảng đóng [ak,i , bk,i ] Ik tạo thành dãy tập lồng khác rỗng compact R Do đó, tồn điểm pi ∈ R thỏa mãn: ∞ pi ∈ [ak,i , bk,i ] k=1 Nếu ta đặt p = (p1 , p2 , , pn ) ∈ Rn suy hình cầu B (p, ε) chứa điểm A khác p, ε số dương bé tùy ý Vì vậy, p điểm tụ A Định lý 1.1.6 (Heine–Borel) (xem [6]) Mỗi tập hợp Rn tập compact đóng bị chặn Hệ 1.1.7 (xem [6]) Tập hợp đóng tập hợp bị chặn tập compact Hệ 1.1.8 (xem [6]) Tập hợp đóng tập hợp compact tập compact Hệ 1.1.9 (xem [6]) Nếu K tập compact S tập đóng, K ∩S tập compact Định lý 1.1.10 (Định lý tập hợp lồng nhau) (xem [6]) Nếu K1 , K2 , K3 , họ tập khác rỗng compact Rn thỏa mãn K1 ⊇ K2 ⊇ K3 ⊇ ∞ Ki = ∅ i=1 Sau tương đương định nghĩa tập compact Rn với định nghĩa theo quan điểm phủ tập hợp mở Định lý 1.1.11 (xem [6]) Tập K không gian Rn tập compact phủ mở K có phủ hữu hạn Chứng minh Từ kết trên, ta cần chứng minh K đóng bị chặn (và compact) phủ mở K có phủ hữu hạn Giả sử phủ mở K có phủ hữu hạn Đặt U họ hình cầu mở dạng B (k, 1) tâm k bán kính 1, k ∈ K Hình cầu B (k, 1) phủ mở tập compact K có phủ hữu hạn Nếu {k1 , k2 , , km } tâm phủ này, m K⊂ B (ki , 1) i=1 tập K bị chặn Bây giờ, giả sử phủ mở K có một phủ hữu hạn Gọi U = Rn \K phần bù K Vì tập K bị chặn nên U = ∅ Ta khơng có điểm q ∈ U điểm tụ K Thật vậy, giả sử q ∈ U điểm tùy ý, với p ∈ K ta xét hình cầu mở B (p, δ (p)) = {x ∈ Rn : x − p < δ (p)} , δ (p) = p − q > p = q Họ U = {B (p, δ (p)) : p ∈ K} phủ mở K, có phủ hữu hạn Vì ta có điểm {p1 , p2 , , pm } K thỏa mãn m K⊂ B (pi , δ (pi )) i=1 Đặt r = {δ (pi ) : i = 1, 2, } xét lân cận B (p, r) q Nếu ≤ i ≤ m s ∈ B (q, r) 2δ (pi ) = q − pi ≤ q−s < r + s − pi + s − pi ≤ δ (pi ) + s − pi , s − pi > δ (pi ) với i = 1, , m s ∈ / B (pi , δ (pi )) với i = 1, , m Suy m m B (q, r)∩K ⊂ B (q, r)∩ B (q, r)∩B (pi , δ (pi )) = ∅ B (pi , δ (pi )) = i=1 i=1 Vì B (p, r) ⊂ Rn \K Rn \K tập mở nên K tập đóng Ngược lại, giả sử tập K tập đóng bị chặn Rn U = {Uα : α ∈ I} họ tập mở Rn cho K ⊂ ∪ {Uα : α ∈ I} Giả sử K không chứa hợp họ hữu hạn tập mở U Vì tập K bị chặn nên có số M > cho K ⊆ I1 I1 hình đóng Rn cho I1 = {(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : |xk | ≤ M, k = 1, , n} Bằng cách cắt ngang cạnh I1 , ta nhận 2n khoảng đóng I1 chứa điểm K không chứa hợp số 35 Vì u ∈ x + C nên u − x ∈ C, tương v ∈ y + C nên v − y ∈ C C tập nên ta có (1 − λ) (u − x) + λ (v − y) = (1 − λ) u + λv − [(1 − λ) x + λy] = (1 − λ) u + λx − z thuộc C Tức (1 − λ) u + λv ∈ z + C Ngoài ra, A tập lồi, u v thuộc A nên (1 − λ) u + λv ∈ A, (1 − λ) u + λv ∈ (z + C) ∩ A (z + C) ∩ A khác rỗng, z ∈ A′ A′ tập lồi (ii) Giả sử Ai1 , Ai2 , , Ain+1 n + phần tử A′ Theo giả thiết có ′ ′ ′ số tịnh tiến C, hay gọi p + C, giao phần tử Ai1 , Ai2 , , Ain+1 G Nhưng theo định nghĩa A′ p có mặt tập Ai1 , Ai2 , , Ain+1 Như n + phần tử A′ có giao ′ ′ ′ khác rỗng Định lý Helly cho họ hữu hạn (Định lý 2.1.10) suy có điểm q chung cho tất tập A′ , A ∈ G Điều có nghĩa q + C giao với thành phần A G chứng minh kết trường hợp G hữu hạn Đối với trường hợp C tất phần tử G tập lồi compact Rn ta A′ tập lồi (n + 1) phần tử A′ có giao khác rỗng Như vậy, ta cần với A ∈ G A′ tập compact Giả sử {xi }i≥1 dãy điểm A′ Theo định nghĩa A′ , với xi phải có điểm ui (xi + C) ∩ A Sử dụng tính compact A từ dãy {ui }i≥1 ta phải có dãy {uik }k≥1 hội tụ đến điểm u0 thuộc A Vì uik ∈ xik + C nên uik − xik ∈ C C tập compact nên dãy {uik − xik }k≥1 có dãy con, ta ký hiệu {uik − xik }k≥1 hội tụ điểm đến z0 thuộc C Vì lim (uik − xik ) = lim uik − lim xik = z0 k→∞ k→∞ k→∞ suy u0 − lim xik = z0 nghĩa lim xik = u0 − z0 Đặt x0 = u0 − z0 k→∞ k→∞ 36 dãy {xik }k≥1 dãy {xi }i≥1 hội tụ đến x0 Để chứng minh A′ tập compact, ta cần x0 ∈ A′ Tuy nhiên, z0 ∈ C suy x0 + z0 ∈ x0 + C u0 = x0 + z0 ∈ x0 + C Vì u0 thuộc x0 + C A suy (x0 + C) ∩ A = ∅, x0 ∈ A′ Định lý Helly tập lồi compact (Định lý 2.1.11) hàm ý có điểm q chung cho tất tập A′ A ∈ G Hơn nữa, điều có nghĩa q + C giao với thành phần A G chứng minh kết cho trường hợp C thành phần G compact 2.2.2 Bài toán Vincensini Một ứng dụng khác định lý Helly phát sinh từ toán Vincensini Câu hỏi đặt liệu định lý Helly mở rộng cho tập hợp có đường chung thay cho việc có điểm chung: Câu hỏi 2.2.6 Giả sử G họ tập hợp lồi Rn Liệu có số "Helly" k cho k thành phần G giao cắt vài đường thẳng, tồn họ G giao cắt vài đường thẳng hay khơng? Nếu khơng có hạn chế gắt gao đặt lên họ G câu trả lời khơng thể có Do câu hỏi trở thành: Với hạn chế đặt lên họ G, đặt lên đường thẳng cắt câu trả lời khẳng định? Để thuận tiện cho việc trình bày, ta giới thiệu số thuật ngữ sau Định nghĩa 2.2.7 Một đường thẳng L giao cắt với thành phần họ G gọi đường hoành chung cho G, hay đơn giản gọi đường hoành cho G Nếu họ G có đường hồnh chung ta nói G có tính chất T Nếu m-họ họ G có tính chất T ta nói họ G có tính chất T(m) Dùng thuật ngữ này, tốn trở thành "Tìm điều kiện cho có số tự nhiên m để từ tính chất T(m) suy tính chất T" 37 Bổ đề 2.2.8 (xem [6]) Trong Rn cho họ G tập hợp lồi có số hữu hạn phần tử phần tử tập compact Nếu có véc tơ v cho n thành phần G có đường hồnh hướng với v họ G có đường hồnh hướng v Chứng minh Đường theo hướng v đơn giản đường song song với véc tơ khác khơng v, nghĩa đường có phương trình có dạng x = a + λv, −∞ < λ < ∞ Nếu H siêu phẳng vng góc với v H khơng gian affin (n − 1) chiều Bây giờ, với A G, giả sử A′ phép chiếu theo phương v lên H hình bên dưới: Hình 2.8 Vì phép chiếu theo phương v lên H ánh xạ tuyến tính, nên bảo tồn tính lồi, hay A′ tập lồi với A ∈ G Vì phép chiếu ánh xạ tuyến tính liên tục, nên A tập compact, tập A′ tập compact Do vậy, A tập đóng bị chặn A′ tập đóng bị chặn Mặt khác, họ G ′ = {A′ : A ∈ G} có tính chất từ G, chẳng hạn có hữu hạn phần tử mà phần tử lồi phần tử họ G ′ tập lồi compact Bây giờ, thực tế n phần tử họ G có đường hồnh song song với v, suy n phần tử họ G ′ có điểm 38 chung Áp dụng định lý Helly cho không gian affin (n − 1) chiều H suy kết luận có điểm chung cho tất phần tử họ G ′ Nhưng đường thẳng qua p song song với v phải đường hoành chung cho họ G Một họ tập lồi compact R2 gọi hồn tồn tách có hướng v cho đường theo chiều hướng giao nhiều phần tử họ, hình Hình 2.9 Tính chất lồi tập suy tập nằm song song tách rời mặt phẳng Trong báo, Vincensini đưa câu hỏi việc mở rộng Định lý Helly, ông chứng minh định lý sau Định lý 2.2.9 (Định lý Vincensini) (xem [6]) Với họ hoàn toàn tách G tập lồi compact R2 , tính chất T(4) suy tính chất T Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử đường song song với trục hoành giao cắt nhiều phần tử họ G Điều có nghĩa A B phần tử G A B khơng có đường hồnh ngang chung Nếu định nghĩa [A, B] tập tất góc dương mà đường hồnh chung cho A B tạo với trục hồnh, [A, B] khoảng có điểm cuối phía trái khơng nhỏ điểm cuối bên phải nhỏ π Mặt khác, tập hợp [A, B] tập lồi compact R 39 Bây giả sử F họ tất khoảng sinh tất cặp có G Cứ bốn phần tử A, B, C, D G có đường hồnh chung, nghĩa hai phần tử [A, B], [C, D] F có giao khác rỗng Áp dụng định lý Helly cho đường thẳng thực R suy phần tử F có điểm α chung Điều có nghĩa hai phần tử G có đường hồnh tạo với trục hồnh góc α Từ bổ đề suy phần tử G có đường hồnh hợp với trục hồnh góc α, định lý chứng minh Sau Victor Klee cho thấy số Helly giảm xuống Chú ý số Helly nhỏ cho tốn đường hồnh họ có tính chất T(2) Trong định lý sau ta tìm hiểu cách rút gọn Klee Định lý 2.2.10 (Định lý Klee) (xem [6]) Với họ hoàn toàn tách G tập hợp lồi compact R2 , tính chất T(3) suy tính chất T Chứng minh Khơng làm tính tổng quát, ta giả sử đường thẳng song song với trục hoành giao cắt nhiều với phần tử G Như định lý ta gọi [A, B] tập tất góc dương mà đường hồnh chung cho A B tạo với trục hoành Như trên, [A, B] tập hợp lồi compact R giả sử F họ tất khoảng tạo tồn cặp có G Từ Định lý 2.2.9 đủ để T(3) suy T(4) Mặt khác, A, B, C D bốn phần tử G đủ thấy từ T(3) suy A, B, C D có đường hồnh chung Do đó, ta rằng: [A, B] ∩ [A, C] ∩ [A, D] ∩ [B, C] ∩ [B, D] ∩ [C, D] = ∅ Để chứng tỏ điều này, theo định lý Helly cho đường thẳng R đủ thấy hai phần tử có điểm chung Từ T(3) rõ ràng hai số dạng [U, V ] [V, W] có điểm chung, ta cần quan tâm cặp giống [A, B] [C, D] Ta cho thấy hai trường hợp này, hai [A, B] [C, D] phải có điểm chung Thật vậy, giả sử điều khơng đúng, phải có điểm α nằm [A, B] [C, D] 40 Chú ý [A, C], [A, D], [B, C], [B, D] có điểm chung với [A, B] [C, D] Điều có nghĩa α nằm tập [A, C] , [A, D] , [B, C] , [B, D] Vì vậy, cặp {A, C} , {A, D} , {B, C} , {B, D} có đường hồnh chung hợp với trục hồnh góc α Mặt khác, việc α không [A, B] [C, D] có nghĩa A B C D tách đường thẳng tạo với trục hồnh góc α, hình vẽ (trừ việc vị trí A, B, C D đổi thứ tự) Hình 2.10 Tuy nhiên, điều có nghĩa cặp {A, C} , {A, D} , {B, C} , {B, D} phải tách đường thẳng hợp với trục hồnh góc α Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta kết luận [A, B] [C, D] phải có điểm chung Định lý chứng minh Chiến thuật dùng chứng minh Định lý 2.2.10 là: đường hoành hay đường "biến đổi" thành điểm khơng gian hữu hạn chiều thích hợp F, tập hợp đường hoành thành tập hợp lồi F Định lý Helly sử dụng để điểm chung cho tất tập hợp lồi, điểm làm nghịch đảo "phép biến đổi ngược" vào đường hoành chung 41 Định lý minh họa theo cách khác chiến thuật sử dụng Định lý 2.2.11 (xem [6]) Cho G họ hữu hạn đoạn thẳng song song R2 Nếu G có tính chất T(3) G có tính chất T Chứng minh Kẻ đường L1 L2 song song với đoạn thẳng chứa đoạn thẳng chúng Không làm tính tổng quát giả sử L1 L2 thẳng đứng, nghĩa hệ tọa độ Đề các, L1 có phương trình x = x1 L2 có phương trình x = x2 Ta giả sử đường thẳng đứng khơng cắt hai đoạn, thuộc trường hợp này, suy từ T(3) mà đường thẳng chứa toàn đoạn thẳng, định lý chứng minh Đối với đoạn thẳng S, quan tâm đến đường thẳng giao với S không song song với S Một đường thẳng M giao với đường thẳng điểm (x1 , a1 ) ∈ L1 (x2 , a2 ) ∈ L2 Như vậy, thiết lập tương ứng đường M với điểm (a1 , a2 ) R2 Với đoạn S, giả sử S ′ đồ thị tất điểm (a1 , a2 ) cho đường thẳng qua (x1 , a1 ) L1 (x2 , a2 ) L2 giao với S, hình bên Hình 2.11 Để chứng minh tập S ′ tập lồi, ta giả sử (a1 , a2 ) (b1 , b2 ) điểm thuộc S ′ , λ số Ta điểm (1 − λ) (a1 , a2 ) + λ (b1 , b2 ) 42 nằm S ′ , nghĩa là, ta điểm (1 − λ) a1 + λb1 , (1 − λ) a2 + λb2 tạo đường thẳng giao với đoạn S Để xác định, giả sử S có điểm cuối (x0 , s) (x0 , t) với x1 < x0 < x2 với s < t Giả sử µ số cho x0 = (1 − µ) x1 + µx2 Bây giờ, đường qua (x1 , a1 ) (x2 , a2 ) cắt S (x0 , y0 ) y0 = (1 − µ) a1 + µa2 , cho s ≤ (1 − µ) a1 + µa2 ≤ t tương tự s ≤ (1 − µ) b1 + µb2 ≤ t Ta muốn s ≤ (1 − µ) [(1 − λ) a1 + λb1 ] + µ [(1 − λ) a2 + λb2 ] ≤ t Điều đạt việc nhân bất đẳng thức thứ với (1 − λ), nhân bất đẳng thức thứ hai với λ, cộng chúng với (1 − λ) s + λs ≤ (1 − λ) [(1 − µ) a1 + µa2 ] + λ [(1 − µ) b1 + µb2 ] ≤ (1 − λ) t + λt, nghĩa s ≤ (1 − λ) [(1 − µ) a1 + µa2 ] + λ [(1 − µ) b1 + µb2 ] ≤ t, điều suy điểm (1 − λ) (a1 , a2 ) + λ (b1 , b2 ) thực tạo đường thẳng qua S Thực tế họ đoạn thẳng S có tính chất T(3) có nghĩa họ tập lồi compact S ′ có tính chất ba phần tử có điểm chung Áp dụng định lý Helly R2 suy có điểm chung tất thành phần S ′ Điểm tạo nên đường thẳng nhất, điểm thuộc tập S ′ nên đường thẳng tương ứng qua đoạn S ∈ G 43 Chú ý 2.2.12 Định lý có xem hệ tất yếu Định lý 2.2.9 Định lý 2.2.13 (xem [6]) Cho G họ hữu hạn đoạn thẳng Rn , đoạn thẳng có độ dốc âm (khơng thiết độ dốc) Giả sử ba phần tử G có đường hồnh tăng G có đường hồnh tăng Chứng minh Đường tăng (đường lên) nói đến đường ngang, dọc, hay đường có độ dốc dương Giả sử L1 L2 phần chứng minh định lý trước Đối với đoạn thẳng S G, giả sử S ′ tập điểm (y1 , y2 ) cho y1 ≤ y2 cho đường thẳng M qua (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) đường ngang lên cho tập S Vì M tăng dần S giảm nên chứng minh S ′ lồi phần lại chứng minh làm tương tự định lý trước Hệ 2.2.14 (xem [6]) Cho G họ hữu hạn hình chữ nhật R2 , hình chữ nhật có cạnh biên song song với trục tọa độ Nếu ba phần tử G có đường hồnh tăng, G có đường hồnh tăng Chứng minh Rõ ràng đường thẳng tăng cắt với hình chữ nhật cắt đường chéo hình chữ nhật với độ dốc âm Hệ 2.2.15 (Santalo) (xem [6]) Cho G họ hữu hạn hình chữ nhật, hình chữ nhật có cạnh biên song song với trục tọa độ Nếu G có tính chất T(6) G có tính chất T Chứng minh Nếu khơng G khơng có đường hồnh tăng mà khơng có đường hồnh giảm Theo hệ trước, phải có ba phần tử khơng có đường hồnh tăng, từ hệ trước, có ba phần tử khơng có đường hồnh giảm Cùng với đó, có sáu tập hợp (hoặc hơn) khơng có đường hồnh tăng hay giảm 44 2.3 Một số toán áp dụng Bài toán 2.3.1 (Olympic Toán Canada 2009) Cho n điểm mặt phẳng (n ≥ 4), điểm ln phủ kín hình trịn bán kính đơn vị Chứng minh tồn hình trịn bán kính đơn vị phủ kín n điểm Lời giải: Ta xét hình trịn bán kính với tâm n điểm cho (n ≥ 4) Điều kiện "3 điểm ln phủ kín hình trịn bán kính đơn vị" tương đương với điều kiện "3 hình trịn (bán kính với tâm điểm trên) ln có giao khác rỗng", chúng có điểm chung tâm hình trịn phủ kín điểm Theo định lý Helly, n hình trịn kể có giao khác rỗng hay có hình trịn bán kính phủ kín n điểm ban đầu Bài tốn 2.3.2 Cho số hữu hạn n đường thẳng (n ≥ 4) Biết với đường thẳng tùy ý tồn hình trịn bán kính r cắt đường thẳng Chứng minh tồn hình trịn bán kính r cắt n đường thẳng Lời giải: Gọi Si hình trịn tâm Ai , bán kính ri , i = 1, n Si = (Ai , ri ) Gọi wi hình trịn tâm Ai , bán kính ri + r, i = 1, n wi = (Ai , ri + r) Như tâm tất hình trịn có bán kính r mà cắt Si nằm wi Xét n tập lồi w , w2 , , w n Với i, j, k tùy ý mà i, j, k ∈ 1, n, theo giả thiết tồn hình hình trịn (Oi,j,k , r) cắt tất Si , Sj , Sk , tức Oi,j,k ∈ wi ∩ wj ∩ wk Điều chứng tỏ wi ∩ wj ∩ wk = ∅ với i, j, k ∈ 1, n Theo định lý Helly suy n i=1 wi = ∅ Vậy tồn O∗ ∈ n i=1 wi Xét hình trịn tâm O∗ bán kính r, (O∗ , r) Hình trịn rõ ràng cắt tất Si , ∀i = 1, n Bài toán chứng minh 45 Bài toán 2.3.3 Cho tập hợp lồi A mặt phẳng họ gồm k (k > 3) nửa mặt phẳng phủ A Chứng minh tồn họ gồm ba nửa mặt phẳng mà chúng phủ A Lời giải: Cho H1 , H2 , , Hk nửa mặt phẳng phủ A (nghĩa điểm A nằm tập Hi , i = 1, 2, , k) Ta giả sử không ba nửa mặt phẳng phủ A ta xét tập hợp A1 , A2 , , Ak , Ai , i = 1, 2, , k nhận từ A bỏ điềm thuộc mặt phẳng Hi Những tập hợp Ai lồi Ta chứng minh ba tập hợp chúng có điểm chung áp dụng định lí Helly Ta khẳng định A1 , A2 , A3 có điểm chung Bởi vì, theo giả thiết phản chứng, nửa mặt phẳng H1 , H2 , H3 không phủ A, tìm điểm x0 thuộc A khơng chứa tập H1 , H2 , H3 Nghĩa điểm x0 chung cho A1 , A2 , A3 Ta áp dụng định lí Helly tìm điểm y0 chung cho tất tập hợp Ai , i = 1, 2, , k Suy điểm y0 nằm A không nằm tập H1 , H2 , , Hk Ta thấy vơ lí với giả thiết cho Do đó, tốn chứng minh 46 Bài toán 2.3.4 (Olympic Toán Canada 2003) Trên đường thẳng có 2k−1 đoạn thẳng màu trắng 2k − đoạn thẳng màu đen cho đoạn thẳng cắt k đoạn thẳng khác màu Chứng minh có đoạn thẳng màu trắng cắt tất đoạn thẳng màu đen có đoạn thẳng màu đen cắt tất đoạn thẳng màu trắng Lời giải: Ta chứng minh có đoạn thẳng màu đen cắt tất đoạn thẳng màu trắng Với đoạn thẳng màu trắng cho trước ta xây dựng tập lồi đoạn thẳng tạo thành cách lấy tập hợp đoạn thẳng với tất đoạn thẳng màu đen có giao với Mỗi tập lồi gồm k đoạn thẳng màu đen ta có tổng cộng 2k − đoạn thẳng màu đen nên hai tập lồi chắn có đoạn thẳng màu đen chung Do theo định lý Helly tất tập lồi có đoạn thẳng màu đen chung Đây đoạn thẳng màu đen chung Hồn tồn tương tự có đoạn thẳng màu trắng cắt tất đoạn thẳng màu đen Bài toán 2.3.5 (Olympic Toán Iran 2006) Trên bầu trời đêm có hữu hạn ngơi Mỗi ngơi tỏa sáng khoảng thời gian định Biết với k ngơi (k > 1), có hai tỏa sáng thời điểm Chứng minh chụp k − ảnh bầu trời cho tỏa sáng ảnh Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo k Với k = 2, toán theo định lý Helly Giả sử ta có khẳng định với k ≥ 2, ta chứng minh khẳng định với k + Thật tất đoạn kể trên, chọn đoạn In = [an , bn ] cho an lớn Chọn điểm an Khi tất đoạn có giao với In chứa an Bỏ tất đoạn xét đoạn cịn lại Nếu đoạn cịn lại có k đoạn đôi không giao nhau, mâu thuẫn Do với k đoạn đoạn cịn lại ln có hai đoạn giao Từ theo quy nạp ta xác định k − điểm cho đoạn đoạn lại chứa điểm Cộng thêm điểm an ta có k điểm cần tìm 47 Bài toán 2.3.6 (Chọn đội tuyển Iran thi Olympic Tốn quốc tế 2002) Cho đường cong kín mặt cầu đơn vị cho đường tròn lớn có giao điểm với đường cong Chứng minh đường cong có độ dài 2π Lời giải: Ta biết điểm đường cong nằm nửa không gian tạo mặt phẳng qua tâm cầu tồn đường cong nằm nửa không gian tạo mặt phẳng qua tâm cầu, mâu thuẫn Do tồn điểm A, B, C, D đường cong cho tâm cầu O nằm khối tứ diện ABCD Phần đường cong nối hai điểm A, B có độ dài nhỏ cung trịn AB Khi đường cong kín ban đầu có độ dài nhỏ tổng độ dài cung tròn AB, BC, CD, DA Gọi D′ điểm đối xứng tâm D Khi D′ nằm chỏm cầu giới hạn đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta thấy AB + BC ≥ AD′ + D′ C Do AB + BC + CD + DA ≥ AD′ + D′ C + CD + DA = 2π 48 Kết luận Đề tài luận văn giới thiệu số kiến thức tập hợp compact tập hợp lồi không gian Rn ; trình bày tính chất giao hữu hạn định lý Helly, trình bày số ứng dụng định lý Helly toán Vincensini ứng dụng với định lý Thư viện Nghệ thuật Ngoài ra, đề tài sưu tầm số toán đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế áp dụng định lý Helly để giải 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Hữu Bình (2002), Các tốn hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [2] Vũ Đình Hịa (2001), Một số kiến thức sở hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [3] Vũ Đình Hịa (2003), Định lý vấn đề đồ thị hữu hạn, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục Tiếng Anh [5] J H van Lint, R M Wilson (2001), A course in Combinatorics, Cambridge [6] I E Leonard, J E Lewis (2016), Geometry of Convex sets, Wiley [7] J Pach, P K Agarwal (1995), Combinatorial Geometry, Wiley ... Chương Về định lý Helly số ứng dụng 2.1 Tính chất giao hữu hạn 20 Định lý Helly 23 Một số ứng dụng Định lý Helly 28 2.2.1 2.2.2 2.3 20 Định lý Helly. .. Minkowski A + B 20 Chương Về định lý Helly số ứng dụng Chương trình bày số khái niệm tính chất giao hữu hạn, nội dung định lý Helly, số ứng dụng định lý Helly Phần cuối chương số đề thi học sinh giỏi... gia quốc tế áp dụng định lý Helly để giải Nội dung chương viết ba mục Mục 2.1 giới thiệu định lý Helly Mục 2.2 trình bày số ứng dụng định lý Helly Mục 2.3 giới thiệu số toán áp dụng Kiến thức