(Luận văn thạc sĩ) một số thuật toán giải quy hoạch phân tuyến tính dựa trên phép đổi charnes cooper

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH VĂN DŨNG MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH VĂN DŨNG MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU THÁI NGUYÊN - 2016 Mục lục Mở đầu Phép biến đổi Charnes - Cooper 1.1 Tập lồi đa diện 1.2 Hàm phân thức afin 1.3 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính 10 1.4 Cách tiếp cận Charnes - Cooper 13 1.4.1 Phép biến đổi Charnes - Cooper 14 1.4.2 Thuật toán giải (LFP) 21 1.4.3 Ví dụ minh họa 22 Bài toán qui hoạch phân thức với hệ số mục tiêu thay đổi 26 2.1 Nội dung toán 26 2.2 Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương 29 2.3 Thuật toán giải 33 2.4 Ví dụ minh họa 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Qui hoạch phân tuyến tính (Linear Fractional Programming, viết tắt (LFP) tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm phân thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin) với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Qui hoạch phân tuyến tính trường hợp riêng qui hoạch phi tuyến, thường dùng để mơ hình hố toán thực tế với hay nhiều mục tiêu (chẳng hạn lợi nhuận / chi phí, sản phẩm / số lao động, v.v ) ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khác kỹ thuật, kinh tế, tài chính, v.v Một tốn qui hoạch phân thức sớm mơ hình cân kinh tế Von Neumann nêu năm 1973 (xem [5]) Charnes Cooper [7] năm 1962 qui hoạch phân tuyến tính biến đổi tương đương qui hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biến phi tuyến, gọi phép biến đổi Charnes - Cooper Về sau, phép biến đổi nhiều tác giả vận dụng mở rộng Nói riêng, tác giả [4], [5] [6] sử dụng để đưa thuật toán giải dạng qui hoạch phân tuyến tính mở rộng như: qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi, qui hoạch phân thức giá trị tuyệt đối, qui hoạch tích phân thức tuyến tính, v.v Các thuật tốn đáng ý tham khảo Sau học chun đề giải tích lồi, tối ưu hóa kiến thức có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn: "Một số thuật tốn giải qui hoạch phân tuyến tính dựa phép biến đổi Charnes - Cooper" Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày tốn qui hoạch phân tuyến tính số toán mở rộng, phép biến đổi Charnes - Cooper đưa br qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính tương đương giới thiệu thuật toán dựa phép biến đổi để giải số tốn qui hoạch phân tuyến tính mở rộng Cụ thể toán qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi tốn qui hoạch phân tuyến tính với giá trị tuyệt đối Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [2] - [4] [6] Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Chương “Phép biến đổi Charnes - Cooper” nhắc lại kiến thức tập lồi đa diện tính chất đặc trưng tập này; nhắc lại khái niệm hàm afin tính chất đáng ý hàm afin, giới thiệu toán qui hoạch phân tuyến tính cách tiếp cận Charnes - Cooper đưa tốn phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính tương đương Cuối chương, nêu thuật tốn giải qui hoạch phân tuyến tính đưa hai ví dụ minh họa cho hai tình tiêu biểu thường gặp tốn: Có nghiệm tối ưu hữu hạn có nghiệm tối ưu tiệm cận với infimum hữu hạn hàm mục tiêu toán Chương 2: Chương "Bài toán qui hoạch phân thức với hệ số mục tiêu thay đổi" trình bày mở rộng cách tiếp cận đưa [4] tìm nghiệm tối ưu cho toán qui hoạch phân tuyến với hệ số mục tiêu thay đổi khoảng Thuật toán giải dùng phép biến đổi Charnes - Cooper đưa toán qui hoạch tuyến tính với nhiều biến hai ràng buộc so với toán ban đầu Cuối chương dẫn ví dụ số minh hoạ cho thuật tốn giải trình bày Do thời gian kiến thức cịn hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 01 năm 2016 Học viên Đinh Văn Dũng Chương Phép biến đổi Charnes - Cooper Chương nhắc lại số kiến thức cần thiết tập lồi đa diện tính chất đáng ý hàm phân thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), giới thiệu tốn qui hoạch phân tuyến tính phép biến đổi Charnes - Cooper đưa toán qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3] [6] 1.1 Tập lồi đa diện Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu tuyến tính Định nghĩa 1.1 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m, nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với a = (aij ∈ Rm×n ), b = (b1 , , bm )T (1.1) Nhận xét 1.1 Do phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm hệ (hữu hạn) phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện: ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi , i = 1, 2, , k, ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi , i = k + 1, , m, Một tập lồi đa diện bị chặn không bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình trịn, v.v ) ví dụ cụ thể đa diện lồi R2 Cho D tập lồi đa diện xác định hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Sau để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng (tức ∄a, b ∈ D cho λa + (1 − λ)b ∈ D với λ ∈ R) Hai yếu tố cấu tạo nên tập lồi đa diện D đỉnh cạnh vô hạn D Theo giải tích lồi [1, Hệ 2.6], hiểu khái niệm sau Định nghĩa 1.2 Điểm x0 ∈ D gọi đỉnh D rank {ai : , x0 = bi } = n (với = (ai1 , , ain ), i = 1, , m) Định nghĩa tương đương: x0 ∈ D đỉnh D ∄x1 , x2 ∈ D, x1 = x0 x2 = x0 , ∄λ ∈ (0, 1) cho x0 = λx1 + (1 − λ)x2 , nói cách khác: x0 khơng thể điểm nằm đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D Định nghĩa 1.3 Đoạn thẳng [x1 , x2 ], x1 = x2 , gọi cạnh hữu hạn D x1 , x2 đỉnh D rank {ai : , x1 = , x2 = bi } = n − Định nghĩa 1.4 Tia Γ = {x0 +λd : λ ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ Rn , gọi cạnh vô hạn D rank {ai : , x = bi , ∀x ∈ Γ} = n − Để hiểu rõ tập lồi đa diện ta cần biết số khái niệm sau Định nghĩa 1.5 Véctơ d ∈ Rn , d = 0, gọi hướng lùi xa D ∃x ∈ D cho {x + λd : λ ≥ 0} ⊆ D Tập hợp hướng lùi xa D cộng với gốc tạo thành nón lồi đóng, gọi nón lùi xa D, ký hiệu rec D Định nghĩa 1.6 Hướng lùi xa d D gọi hướng cực biên không tồn hai hướng lùi xa khác d1 , d2 cho d = λd1 + λ2 d2 với λ1 , λ2 > Có thể chứng minh tập lồi đa diện D không bị chặn rec D = {0}, nghĩa D có hướng lùi xa Hình 1.1: Đỉnh, cạnh vô hạn tập lồi đa diện Trong toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm }, tức S tập nghiệm không âm hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính Tập khơng chứa đường thẳng (do x ≥ 0) nên S có đỉnh [1, tr 59] Từ định nghĩa nêu cho thấy: a) Điểm x0 ∈ S đỉnh S hệ véctơ {ak : ak , x0 = bk } ∪ {ek : x0k = 0} có hạng n b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) S nghiệm sở hệ Ay ≤ 0, eT y = 1, y ≥ 0, eT = (1, , 1) c) Giả sử tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0}, x0 đỉnh d hướng cực biên S Khi Γ cạnh vô hạn S rank ({ak : ak , x = bk , ∀x ∈ Γ} ∪ {ek : xk = 0, ∀x ∈ Γ}) = n − 1.2 Hàm phân thức afin Hàm phân thức afin thường gặp toán tối ưu Hàm có dạng f (x) = p(x) pT x + α = T , q(x) q x+β p, q ∈ Rn , α, β ∈ R dom f = {x ∈ Rn : q T x + β > 0} Ký hiệu S tập lồi cho q(x) = q T x + β = với x ∈ S Nếu q(x) có dấu khác S, tức có x, y ∈ S cho q T x + β > q T y + β < hàm q(x) liên tục nên tồn z ∈ [x, y], tức z ∈ S, cho q(z) = Vì thế, khơng giảm tổng qt, ta giả thiết q(x) > với x ∈ S Trường hợp q(x) < với x ∈ S nhân tử số p(x) 29 Lấy x ∈ X (Ax ≤ b, x ≥ 0) Do giả thiết q0 + q1 x1 + · · · + qn xn > nên y = (y0 , y1 , , yn ) với y0 = > 0, yk = y0 xk ≥ 0, k = 1, , n, (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) thoả mãn ràng buộc toán (Q) Mặt khác, y ∗ nghiệm tối ưu (Q) nên phải có p0 (t0 )y0∗ + p1 (t1 )y1∗ + · · · + pn (tn )yn∗ ≤ p0 (t0 )y0 + p1 (t1 )y1 + · · · + pn (tn )yn Bằng cách thay yk∗ = y0∗ x∗k , xk , k = 1, , n (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) y0 = (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) yk = ta thấy y0∗ (p0 (t0 )+p1 (t1 )x∗1 + · · · + pn (tn )x∗n ) ≤ ≤ (p0 (t0 ) + p1 (t1 )x1 + · · · + pn (tn )xn ) (q0 + q1 x1 + · · · + qn xn ) Chia vế trái bất đẳng thức cho q T y ∗ = y0∗ (q0 +q1 x∗1 +· · ·+qn x∗n ) = ta nhận p0 (t0 ) + p1 (t1 )x∗1 + · · · + pn (tn )x∗n p0 (t0 ) + p1 (t1 )x1 + · · · + pn (tn )xn ≤ q0 + q1 x∗1 + · · · + qn x∗n q0 + q1 x + · · · + qn x n Đó điều cần chứng minh 2.2 Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương Ký hiệu αk = pk (t), β = max pk (t), k = 0, 1, , n (αk , βk ak ≤t≤bk tồn giả thiết pk (t) liên tục) ak ≤t≤bk 30 Khi đó, ràng buộc cuối (Q) viết lại dạng   pk (tk ) = αk + (βk − αk )λk với ≤ λk ≤ 1, k = 0, 1, , n, (2.1)  qk = ck + (dk − ck )µk với ≤ µk ≤ 1, k = 0, 1, , n Thay pk (tk ), qk theo (2.1) vào (Q) ta nhận toán, ký hiệu (R):    (α0 + (β0 − α0 )λ0 )y0 + (α1 + (β1 − α1 )λ1 )y1 + · · ·        +(αn + (βn − αn )λn )yn → min,       (c0 + (d0 − c0 )µ0 )y0 + (c1 + (d1 − c1 )µ1 )y1 + · · · (2.2)   +(cn + (dn − cn )µn )yn = 1,         −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0, y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥      0 ≤ λk ≤ 1, ≤ µk ≤ 1, k = 0, 1, , n Ràng buộc đẳng thức (2.2) viết lại thành (d0 − c0 )µ0 y0 + (d1 − c1 )µ1 y1 + · · · + (dn − cn )µn yn + (2.3) + c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn = 1, Do yk ≥ 0, ≤ µk ≤ 1, ck − dk ≤ với k = 0, 1, , n, nên ta có ≥ + (c0 − d0 )µ0 y0 + (c1 − d1 )µ1 y1 + · · · + (cn − dn )µn yn (2.4) ≥ + (c0 − d0 )y0 + (c1 − d1 )y1 + · · · + (cn − dn )yn Thay số biểu thức (2.4) biểu thức (2.3) ta nhận ≥ c y0 + c1 y + · · · + cn yn ≥ + (c0 − d0 )y0 + (c1 − d1 )y1 + · · · + (cn − dn )yn (2.5) Từ bất đẳng thức đầu bất đẳng thức cuối (2.5) cho thấy c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn ≤ 1, (2.6) 31 d0 y0 + d1 y1 + · · · + dn yn ≥ (2.7) Ngược lại, có y = (y0 , y1 , , yn )T thoả mãn (2.6) - (2.7) đặt k = với k,   cT y =      dT y = 1, (2.8)  µ=    − (c0 + c1 x1 + · · · + cn yn )    (d0 − c0 ) + (d1 − c1 )y1 + · · · + (dn − cn )yn ta nhận q = c + (d − c)µ q T y = 1, tức y, q thoả mãn (2.2) Do cách sử dụng (2.6) - (2.7) thay cho (2.2), toán (R) biến đổi thành toán qui hoạch phi tuyến, ký hiệu (S):    (α0 + (β0 − α0 )λ0 )y0 + (α1 + (β1 − α1 )λ1 )y1 + · · ·       + (αn + (βn − αn )λn )yn →        c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn ≤ 1,     d0 y0 + d1 y1 + · · · + dn yn ≥      −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0,        y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥       0 ≤ λk ≤ 1, k = 0, 1, , n Hàm mục tiêu toán có dạng đặc biệt Ta tìm cách thay hàm tuyến tính Thật vậy, giả sử y¯ = (y¯1 , y¯2 , , y¯n ) lời giải chấp nhận toán (S) với ≤ λk ≤ 1, βk − αk ≥ với k = 0, 1, , n 32 Khi giá trị hàm mục tiêu y¯ có đánh giá (α0 + (β0 − α0 )λ0 )y¯0 + (α1 + (β1 − α1 )λ1 )y¯1 + · · · + (αn + (βn − αn )λn )y¯n = = α0 y¯0 + α1 y¯1 + · · · + αn y¯n + + (β0 − α0 )λ0 y¯0 + (β1 − α1 )λ1 y¯1 + · · · + (βn − αn )λn y¯n ≥ ≥ α0 y¯0 + α1 y¯1 + · · · + αn y¯n (do y¯k , λk , βk − αk ≥ ∀k = 0, 1, , n) Điều chứng tỏ lời giải tối ưu (S) đạt λk = Chính thay toán tối ưu phi tuyến (S) qui hoạch tuyến tính:     α0 y0 + α1 y1 + · · · + αn yn → min,        c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn ≤ 1,    (LP) d0 y0 + d1 y1 + · · · + dn yn ≥ 1,       −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0,       y ≥ 0, y ≥ 0, , y ≥ 0 n Như vậy, toán qui hoạch phân thức (P) qui tốn qui hoạch tuyến tính (LP) Từ nghiệm tối ưu tốn tuyến tính với pk (tk ) = αk , tức tk = argmin pk (t) (tương ứng với λk = 0), qk = ck + (dk − ck )µk , µk = µ tính theo (2.8), ta thu nghiệm tối ưu tốn (Q) Từ đó, theo Định lý 2.1 ta tính nghiệm tối ưu tốn (P) ban đầu 33 2.3 Thuật toán giải Để đưa thuật tốn giải, ta nhắc lại tóm tắt lập luận sau Bài toán qui hoạch phân thức với hệ số mục tiêu thay đổi có dạng  p0 (t0 ) + p1 (t1 )x1 + · · · + pn (tn )xn   ,    q0 + q1 x + · · · + qn x n xk , yk , tk A1 x1 + · · · + An xn ≤ b, x1 ≥ 0, , xn ≥ 0,      ak ≤ tk ≤ bk , ck ≤ qk ≤ dk , k = 0, 1, , n, ak , bk , ck , dk ∈ R, Ak ∈ Rm (k = 1, , n), b ∈ Rm cho trước; pk (t) hàm liên tục theo t ∈ [ak , bk ] Giả thiết: a) X = {x ∈ Rn : A1 x1 + · · · + An xn ≤ b, x ≥ 0} = ∅, compac b) q0 + q1 x1 + · · · + qn xn > ∀x = (x1 , , xn )T ∈ X, ∀qk ∈ [ck , dk ] Thực phép biến đổi Charnes - Cooper y0 = , yk = y0 xk , k = 1, , n q0 + q1 x + · · · + qn x n toán ban đầu đưa dạng (các biến yk , tk , qk , k = 0, 1, , n)    p0 (t0 ) + p1 (t1 )y1 + · · · + pn (tn )yn → min,       q0 y0 + q1 y1 + · · · + qn yn = 1, (Q)   −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0, y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥       ak ≤ tk ≤ bk , ck ≤ qk ≤ dk , k = 0, 1, , n, Đặt αk = (t), βk = max (t) Thực phép đổi biến số ak ≤t≤bk ak ≤t≤bk pk = αk + (βk − αk )λk , qk = ck + (dk − ck )µk , k = 0, 1, , n 34 đưa toán (Q) toán (R) (theo biến yk , λk , µk , k = 0, 1, , n)    (α0 + (β0 − α0 )λ0 )y0 + (α1 + (β1 − α1 )λ1 )y1 + · · ·        +(αn + (βn − αn )λn )yn → min,       (c0 + (d0 − c0 )µ0 )y0 + (c1 + (d1 − c1 )µ1 )y1 + · · ·   +(cn + (dn − cn )µn )yn = 1,         −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0, y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥      0 ≤ λk ≤ 1, ≤ µk ≤ 1, k = 0, 1, , n Thay ràng buộc đẳng thức (R) hai bất đẳng thức tương đương ta có tốn, ký hiệu (S):     (α0 + (β0 − α0 )λ0 )y0 + (α1 + (β1 − α1 )λ1 )y1 + · · ·        +(αn + (βn − αn )λn )yn → min,        c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn ≤ 1,    d0 y0 + d1 y1 + · · · + dn yn ≥ 1,       −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0,        y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, , yn ≥       0 ≤ λk ≤ 1, k = 0, 1, , n 35 Cho λk = ta đến tốn qui hoạch tuyến tính (theo biến yk , k = 0, 1, , n)     α0 y0 + α1 y1 + · · · + αn yn →        c0 y0 + c1 y1 + · · · + cn yn ≤ 1,    (LP) d0 y0 + d1 y1 + · · · + dn yn ≥ 1,       −by0 + A1 y1 + · · · + An yn ≤ 0,       y ≥ 0, y ≥ 0, , y ≥ 0 n Tóm lại, thuật tốn lập giải qui hoạch tuyến tính (LP) Giả sử ta nhận lời giải tối ưu y ∗ = (y0∗ , y1∗ , , yn∗ )T Khi đó, lời giải tối ưu toán qui hoạch phân thức ban đầu ∗ x = (x∗0 , x∗1 , , x∗n )T với x∗k yk∗ = ∗ ∀k = 0, 1, , n y0 tk = arg (t), qk = ck + (dk − ck )µk , với µk xác định theo (9) ak ≤t≤bk 2.4 Ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 Giải toán qui hoạch phân thức phi tuyến p0 (t0 ) + p1 (t1 )x1 + p2 (t2 )x2 xk , tk , qk q0 + q1 x + q2 x với điều kiện    −x1 + x2 ≤ 2, x1 + 2x2 ≤ 10, x1 − 4x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,       p0 (t0 ) = t0 + 5, p1 (t1 ) = t2 + 2, p2 (t2 ) = t3   ≤ t0 ≤ 3, −1 ≤ t1 ≤ 2, −1 ≤ t2 ≤ 3,       1 ≤ q0 ≤ 5, ≤ q1 ≤ 4, ≤ q2 ≤ 36 Miền chấp nhận X toán vẽ Hình 2.1 Ta thấy α0 = min{p0 (t0 )} = 5, α1 = min{p1 (t1 )} = 2, α2 = min{p2 (t2 )} = −1 Thay toán cần giải tốn qui hoạch tuyến tính:    5y0 + 2y1 − y2 → min,       y0 + 2y1 + y2 ≤ 1, 5y0 + 4y1 + 3y2 ≥ 1,   −2y0 − y1 + y2 ≤ 0, −10y0 + y1 + 2y2 ≤ 0, −4y0 + y1 − 4y2 ≤ 0,       y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ Lời giải tối ưu toán y0∗ = 0, 04; y1∗ = 0, 08; y2∗ = 0, 16 với giá trị mục tiêu tối ưu = 0, Từ suy lời giải tối ưu toán ban đầu x∗1 = y1∗ y2∗ ∗ = = 2, x =4 y0∗ y0∗ với giá trị mục tiêu tối ưu fmin = (5 + × − × 4) = = 0, (5 + × + × 4) 25 37 Hình 2.1: Tập ràng buộc X Để kiểm chứng cho lời giải tối ưu trên, lấy tk , qk khoảng biên thiên cho giải toán, ta thấy lời giải tối ưu nhận khơng tốt lời giải tối ưu có Chẳng hạn, với t0 = t1 = t2 = p0 = 6, p1 = 3, p2 = 1, q0 = 2, q1 = 3, q2 = ta giải toán x∈X + 3x1 + x2 + 3x1 + 2x2 với điều kiện x ∈ X (Hình 2.1), cụ thể    −x1 + x2 ≤ 2,       x1 + 2x2 ≤ 10,   x1 − 4x2 ≤ 4,       x1 ≥ 0, x2 ≥ 38 Đưa toán qui hoạch tuyến tính tương đương (biến đổi Charnes - Cooper):    6y0 + 3y1 + y2 → min,       2y0 + 3y1 + 2y2 = 1,   −2y0 − y1 + y2 ≤ 0, −10y0 + y1 + 2y2 ≤ 0, −4y0 + y1 − 4y2 ≤ 0,       y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, Giải tốn tuyến tính ta nhân lời giải tối ưu y0∗ = 0, 0625; y1∗ = 0, 125; y2∗ = 0, 25 Từ suy lời giải tối ưu toán phân tuyến tính cần giải x∗1 y1∗ y2∗ ∗ = ∗ = 2, x2 = ∗ = y0 y0 với giá trị mục tiêu tối ưu (6 + × + × 4) 16 = = > fmin = 0, (2 + × + × 4) 16 Nhận xét 2.1 Trường hợp riêng pk (tk ) ≡ tk với k = 0, 1, , n, toán (P) xét [3] gọi tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu Thuật tốn trình bày chương mở rộng thuật toán đề xuất [3] Ví dụ 2.2 ([4], tr 3449) Giải tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng hàm mục tiêu: [−2, −5] + [−3, −1]x1 + [2, 4]x2 x1 , x2 [3, 5] + [0, 5; 1, 5]x1 + [0, 5; 1, 5]x2 với điều kiện −x1 + x2 ≤ 2, 2x1 + 3x2 ≤ 14, x1 − x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 39 Với ký hiệu tốn (P) − ≤ t0 ≤ −5, −3 ≤ t1 ≤ −1, ≤ t2 ≤ 4, ≤ q0 ≤ 5, 0, ≤ q1 ≤ 1, 5, 0, ≤ q2 ≤ 1, Thay toán cần giải toán qui hoạch tuyến tính tương đương:     −2y0 − 3y1 + 2y2 → min,        3y0 + 0, 5y1 + 0, 5y2 ≤ 1,        5y0 + 1, 5y1 + 1, 5y2 ≥ 1,    −2y0 − y1 + y2 ≤ 0,       −14y0 + 2y1 + 3y2 ≤ 0,        −5y0 + y1 − y2 ≤ 0,       y0 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ Lời giải tối ưu toán y0∗ = 0, 1818; y1∗ = 0, 9091; y2∗ = với giá trị mục tiêu tối ưu −3, 0909 Từ suy lời giải tối ưu toán ban đầu x∗1 y1∗ y2∗ ∗ = ∗ = 5, x2 = ∗ = y0 y0 với giá trị mục tiêu tối ưu fmin = 17 (−2 − × + × 0) =− = −3, 0909 (3 + 0, × + 0, × 0) 5, Tóm lại, chương giới thiệu mở rộng thuật toán nêu tài liệu tham khảo [4] để giải toán qui hoạch phân thức với hệ số mục tiêu thay đổi, toán tổng quát tốn xét [4] Thuật tốn có chung ý tưởng dùng phép biến đổi Charnes - Cooper để đưa toán ban đầu toán qui hoạch tuyến tính, với biến số hai 40 ràng buộc nhiều so với toán ban đầu Cuối chương dẫn hai ví dụ số để minh hoạ cho thuật tốn giải trình bày 41 Kết luận Luận văn đề cập tới tốn qui hoạch phân tuyến tính cách tiếp cận Charnes - Cooper qui hoạch phân tuyến tính Cách tiếp cận dựa phép biến đổi Charnes - Cooper tạo sở lý thuyết cho nhiều thuật tốn giải tốn qui hoạch phân tuyến tính Luận văn trình bày nội dung sau Một số kiến thức tập lồi đa diện đặc trưng tập này, hàm phân thức afin tính chất đáng ý hàm Giới thiệu toán qui hoạch phân tuyến tính khái niệm có liên quan Cách tiếp cận Charnes - Cooper đưa toán qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Thuật tốn giải qui hoạch phân tuyến tính dựa cách tiếp cận Xây dựng hai ví dụ số minh họa hai tình tiêu biểu thường gặp tốn: Có nghiệm tối ưu hữu hạn có nghiệm tối ưu tiệm cận với infimum hữu hạn hàm mục tiêu toán Thuật tốn giải tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi, dựa việc áp dụng phép biến đổi Charnes - Cooper để đưa toán ban đầu toán qui hoạch tuyến tính Dẫn hai ví dụ số để minh hoạ cho thuật tốn giải trình bày Đóng góp tác giả luận văn tìm hiểu, xếp trình bày lại số thuật giải tốn qui hoach phân tuyến tính, dựa phép biến đổi 42 Charnes - Cooper xây dựng hai ví dụ (Ví dụ 1.1 1.2) minh họa thuật tốn Tác giả luận văn hy vọng tương lai có dịp tìm hiểu thêm số thuật tốn khác giải qui hoạch phân tuyến tính tốn mở rộng 43 Tài liệu tham khảo [1] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Bajalinov E.B (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software, Kluwer Academic Publishers [3] Bazara M.S et al (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, 3rd Edition A John Willey and Sons, Inc., Publication [4] Borza M., Rambely A.S and Saraj M (2012), "Solving Linear Fractional Programming Problems with Interval Coefficients in the Objective Function", Applied Mathematical Sciences, Vol 6, no 69, 3443 3452 [5] Borza M., Rambely A.S and Saraj M (2013), "Mixed 0-1 Linear Programming for an Absolute Value Linear Fractional Programming with Interval Coefficients in the Objective Function", Applied Mathematical Sciences, Vol 7, no 73, 3641 - 3653 [6] Chandrasekaran R (1997), Linear Programming and Extensions, UT Dallas March 27, 1997 Chapter [7] Charnes A and Cooper W.W (1962), "Programming with linear fractional functions", Naval Research Logistics Quaterly, 9, 181-186 ... tuyến tính dựa phép biến đổi Charnes - Cooper" Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày tốn qui hoạch phân tuyến tính số toán mở rộng, phép biến đổi Charnes - Cooper đưa br qui hoạch phân tuyến tính. .. KHOA HỌC ĐINH VĂN DŨNG MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI CHARNES - COOPER Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... tốn qui hoạch tuyến tính tương đương giới thiệu thuật toán dựa phép biến đổi để giải số tốn qui hoạch phân tuyến tính mở rộng Cụ thể toán qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đổi tốn