(Luận văn thạc sĩ) việc xây dựng giải tích toán học trong thế kỷ 19

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LỆNH ANH MINH VIỆC XÂY DỰNG GIẢI TÍCH TỐN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LỆNH ANH MINH VIỆC XÂY DỰNG GIẢI TÍCH TỐN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 Chun nghành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2015 Người viết luận văn Lệnh Anh Minh Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Hà Huy Khối Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN i http://www.lrc.tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc thầy giáo GS.TSKH Hà Huy Khối Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, thầy giáo Khoa Tốn - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, thầy Viện Toán học - Viện Hàn lâm KHCN Việt Nam tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2015 Người viết luận văn Lệnh Anh Minh Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNii http://www.lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: HOÀN CẢNH RA ĐỜI NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TỐN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 1.1 Khái niệm hàm số 1.2 Định nghĩa Cauchy khái niệm giải tích 1.2.1 Biến 1.2.2 Giới hạn 1.2.3 Đại lượng vô bé 1.2.4 Liên tục 1.2.5 Hội tụ 1.2.6 Đạo hàm 1.2.7 Tích phân 1.3 Cauchy Cours d’analyse 1.3.1 Biến giới hạn 11 1.3.2 Đại lượng vô bé 13 1.3.3 Liên tục 13 1.3.4 Tổng chuỗi số 15 1.3.5 Đạo hàm 16 1.3.6 Tích phân 17 1.3.7 Phương trình hàm định lý nhị thức 20 1.4 Gauss, Bolzano Abel 21 1.4.1 Gauss 21 1.4.2 Bolzano 21 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNiii http://www.lrc.tnu.edu.vn 1.4.3 Abel 23 1.5 Sự hội tụ chuỗi Fourier 24 1.6 Weierstrass 27 1.7 Hàm đặc biệt ý tưởng giải tích 30 Chƣơng 2: PHỔ BIẾN VÀ PHÁT TRIỂN GIẢI TÍCH TỐN HỌC THẾ KỶ 19 32 2.1 Phổ biến chấp nhận phân tích nghiêm ngặt giải tích 32 2.2 Phá vỡ chặt chẽ 33 KẾT LUẬN CHUNG 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNiv http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Tìm hiểu hình thành phát triển giải tích tốn học kỷ 19 giúp nhận thức rõ chất khái niệm kết giải tích tốn học Điều quan trọng người làm công tác giảng dạy, với học sinh, sinh viên, người nghiên cứu giải tích tốn học Vì chúng tơi chọn việc trình bày q trình hình thành phát triển số khái niệm kết giải tích tốn học kỷ 19 làm đề tài luận văn Thế kỷ 19 thường gọi thời kỳ chặt chẽ Sự chặt chẽ không vấn đề làm rõ số khái niệm thay đổi cách chứng minh số định lý bản; mà cịn xâm chiếm gần tất phần giải tích làm cho có diện mạo học trường trung học đại học Phong trào tiến tới chặt chẽ xem trình sáng tạo Nó tạo lĩnh vực hồn tồn tốn học, đặt tảng cho giải tích, topo với khái niệm hồn tồn như: liên tục (hội tụ) theo điểm liên tục (hội tụ) đều, tính compact, tính đầy đủ, … Tuy nhiên, sai lầm cho kỷ 19 chặt chẽ coi vấn đề cấp bách giải tích Phần lớn nhà toán học làm việc chủ yếu để mở rộng áp dụng lý thuyết giải tích mà họ thừa hưởng từ người trước Chuỗi Fourier đặc biệt quan trọng lĩnh vực kể từ thách thức ý tưởng cũ khái niệm hàm số, tích phân, hội tụ, liên tục, …, phương trình vi phân, lý thuyết vị, phương trình elliptic lĩnh vực khác góp phần vào trình chặt chẽ Giảng dạy động lực thúc đẩy chặt chẽ giải tích Một số nhà tốn học thấy khó khăn phải giới thiệu giải tích; họ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN1 http://www.lrc.tnu.edu.vn định cải cách Đó sở trực tiếp cải cách Cauchy Weierstrass, việc xây dựng tập số thực Dedekind Méray Người ta nhận thấy tảng giải tích cần phải sửa đổi Trong kỷ 18 đầu kỷ 19 Pháp, giải tích liên kết chặt chẽ với vật lý lý thuyết Điều có nghĩa xác quy tắc giải tích chứng thực thành cơng ứng dụng; cụ thể hơn, chẳng hạn, tồn nghiệm phương trình vi phân, tồn tổng chuỗi suy từ tượng vật lý Tuy nhiên, suốt nửa đầu kỷ 19, đặc biệt Đức, trường trung học đại học, trường kỹ thuật, trở thành trung tâm đào tạo nghiên cứu toán học Điều thúc đẩy phát triển toán học túy lĩnh vực độc lập Nhờ đó, cung cấp cho tốn học, bao gồm giải tích, tảng vững riêng nó, độc lập với ứng dụng Trong thời gian giải tích tách rời khỏi hình học Kể từ Euclid, hình học coi tảng tốt để hình thành tốn học, khái niệm số mở rộng để bao gồm số vô tỉ số siêu việt, hầu hết nhà toán học tìm cách lý giải khái niệm mở rộng số lý thuyết đại lượng Euclid Bức tranh chung thay đổi kỷ 19 Nhiều lỗ hổng phát lập luận Euclid, hệ tiên đề Hilbert hình học đời Nó định lý giải tích xưa dựa trực giác hình học cần sở vững hơn, tiên đề dãy đoạn thắt Đặc biệt số nhà toán học tìm cách chứng minh định lý giá trị trung gian, nói hàm số liên tục nhận hai giá trị dương âm khoảng nhận giá trị không Số thực (và phức) xây dựng từ số hữu tỉ, số hữu tỷ lại xây dựng từ số tự nhiên, giải tích xây dựng hồn tồn bỏ qua hình học Mặc dù Pasch, Peano, Pieri Hilbert đưa tảng vững tiên đề hình học thời điểm đó, khơng lấy lại vai trị sở giải tích Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN2 http://www.lrc.tnu.edu.vn Người ta phân chia q trình chặt chẽ hố giải tích thành hai giai đoạn: giai đoạn Pháp, chiếm ưu Cauchy, giai đoạn hai Đức chiếm ưu Weierstrass Điều phản ánh hình ảnh chung chấp nhận kỷ 19, theo đó, Pháp quốc gia toán học hàng đầu khoảng kỷ, sau Đức vượt lên dẫn trước Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày hồn cảnh đời khái niệm giải tích tốn học kỷ 19 Chương trình bày q trình phổ biến phát triển giải tích tốn học kỷ 19 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN3 http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng HOÀN CẢNH RA ĐỜI NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TỐN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 Trong chương tơi trình bày hoàn cảnh đời định nghĩa, định lý khái niệm Giải tích tốn học kỷ 19 Nội dung chương trình bày theo tài liệu [1], [3], [4], [6], [7] 1.1 Khái niệm hàm số Kể từ Euler, giải tích coi lý thuyết hàm số Tuy nhiên, hàm số gì? Ý nghĩa khái niệm thay đổi theo thời gian Euler đưa hai định nghĩa: Introductio in analysis infinitorum (1748) (Nhập mơn giải tích vơ bé), hàm số định nghĩa biểu thức giải tích (ví dụ, cơng thức) có chứa số biến, Institutiones Calculi differentialis (1755) (Phép tính vi phân) định nghĩa phụ thuộc biến phụ vào biến khác Trong Cours d'Analyse (Giáo trình giải tích) Cauchy, sách giáo khoa báo trước kỷ nguyên chặt chẽ, hàm số định nghĩa cách biến phụ thuộc vào biến số khác Giả sử đại lượng biến thiên kết nối với nhau, cho giá trị trong biến biết, giá trị tất biến cịn lại biểu diễn biến Khi ta nói biến biến độc lập; đại lượng khác thể qua biến độc lập mà gọi hàm số biến Sau Cauchy, Fourier từ bỏ cách dứt khốt với việc xem hàm số Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN4 http://www.lrc.tnu.edu.vn người đương thời ơng Cơng trình quan trọng ông dành cho định lý giá trị trung gian Theo Bolzano “hàm f ( x) liên tục tất giá trị x hiệu f ( x   )  f ( x) nhỏ so với đại lượng cố định  chọn nhỏ tùy ý “(Bolzano 1817, 162) Định nghĩa xác Bolzano tập Funktionenlehre xuất sau ơng (Bolzano 1930), nói rõ ràng f ( x   )  f ( x) nhỏ số cho  nhỏ so với số 0 Điều tương tự định nghĩa đại liên tục theo điểm Bolzano sau giới thiệu dãy (ngày gọi dãy Cauchy) “chứng minh” hội tụ tới “đại lượng khơng đổi” Tuy nhiên cách chứng minh không thỏa đáng Bolzano đưa khẳng định mà sau ta gọi “sự tồn cận đúng” Ông nhấn mạnh khác biệt sup max Cuối Bolzano chứng minh f  liên tục  ,   f ( )   ( ) f ( )   ( ) , tồn giá trị x  ( ,  ) mà f ( x)   ( x) Cauchy xem xét định lí giá trị trung gian Cours d’analyse ông Trong số viết ông yêu cầu trực giác hình học, On the numerical solution of equation ông sử dụng phương pháp số Lagrange để cung cấp “chứng minh” Ta so sánh hai phương pháp Cauchy Bolzano sau: Bolzano không sử dụng vô nhỏ định nghĩa chứng minh, Cauchy có Định nghĩa Bolzano tính liên tục rõ ràng Cauchy nghiêng điểm Trong Funktionenlehre ông nhận xét tính liên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN22 http://www.lrc.tnu.edu.vn tục không bao hàm liên tục thống nhất, ông không đánh giá cao tầm quan trọng thống Cả Cauchy Bolzano dựa vào tính đầy đủ tập hợp số thực Nhưng, Bolzano có hiểu biết khái niệm Cauchy Cauchy dựa vào đầy đủ việc đưa tiêu chuẩn ông khái niệm tích phân, ơng khơng có kết nối trường hợp Bolzano, nói cách khác sử dụng “tiêu chuẩn Cauchy” để suy cận định lí trung gian Cả Bolzano Ampère cố gắng để chứng minh tất các hàm số (liên tục theo nghĩa trường hợp Ampère) có đạo hàm trừ giá trị cô lập biến Bolzano, sách xuất năm 1930 xây dựng hàm liên tục, ông chứng minh khơng có đạo hàm tập trù mật (trong thực tế, hàm khơng có đạo hàm) Tuy nhiên Cauchy không cố gắng để chứng minh định lí sai lầm hàm số liên tục có đạo hàm Tuy nhiên Bolzano có ý tưởng xa thời ông chặt chẽ giải tích 1.4.3 Abel Nhà tốn học thứ ba bắt đầu cải cách tảng toán học Abel Năm 1826, ông viết thư cho giáo sư mình, Hansteen: “Tơi cố gắng dùng tất sức lực để mang ánh sáng vào bóng tơi bao la bao trùm giải tích Có định lí giải tích chứng minh cách thuyết phục Ở khắp nơi người ta tìm thấy phương pháp khơng thích hợp, kết luận từ đặc biệt đến chung” Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN23 http://www.lrc.tnu.edu.vn Trước ơng viết cụ thể thư gủi cho người bạn Holmboe: “Tồn dãy phân kỳ ảo thuật, thực điều đáng xấu hổ mà khơng giám phản đối Người ta làm họ muốn sử dụng chúng” Abel phát nhiều điểm yếu lập luận người đương thời với ơng, có số điều (như đạo hàm theo số hạng) bị bỏ qua Cauchy Gauss Trong gửi cho Hansteen ông công bố ông xuất số viết nhỏ dựa câu hỏi Crelle-Journal, có lẽ chết sớm mình, ơng xuất định lí nhị thức Một phần thú vị viết ông ông lặp lặp lại số nhận xét quan trọng từ viết dãy định lí tổng quát chuỗi Để thay định lí sai lầm Cauchy Abel đưa định lý mà ngày gọi định lí Abel 1.5 Sự hội tụ chuỗi Fourier Năm 1826 Abel lấy chuỗi lượng giác 1 sin   sin 2  sin 3  (1.21) phản ví dụ định lí Cauchy Cùng Abel chứng minh hội tụ Ơng khơng đề cập đến cách chứng minh tổng quát hội tụ chuỗi Fourier cách chứng minh chặt chẽ chưa tồn trước Khi Fourier xuất lập luận ông, người cạnh tranh với ông Poisson xuất lập luận (Poisson 1820) chuỗi cosin Ý tưởng ơng khó xử lí chuỗi Fourier a n cos nx (với an cho tích phân Fourier), dễ thấy xảy chuỗi tích Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN24 http://www.lrc.tnu.edu.vn p số hạng chuỗi tổng hình học n với p  (0,1) Chuỗi tích   p a cosnx (1.22) n n 1 n hội tụ, Poisson tìm thấy tổng số hạng nó, ngày gọi tích phân Poisson Ơng đặt p  sử dụng lập luận để kết f ( x) Tất nhiên vấn đề chứng minh chuỗi gốc hội tụ Đối với Cauchy câu hỏi chính, theo quan điểm ông, chuỗi không hội tụ, tổng Ông đưa lập luận theo hướng sử dụng Poisson để chứng minh tổng “tương đương” với f ( x) Nhưng, ông tiếp tục “ điều quan trọng chứng minh hội tụ” Sau ông áp dụng ý tưởng để chứng minh phần cịn lại định lí Biến đổi chuỗi Fourier thành chuỗi  v n 1   2n 1 2n 1 e e   n x 1 a   n x 1 a   n với  e z  f  az   1   a  2n    az  f 1   dz  2n   e f  az   1   a  2n    az  1   dz f   2n  z (1.23) Tuy nhiên, với giá trị đủ lớn n tích phân biểu diễn (1.43) rút gọn dạng [  n ]  sin2n [ f (a)  f (0)] a 2n (1.24) Nhưng rõ ràng chuỗi có số hạng tổng quát chuỗi hội tụ Với nhận xét Cauchy kết thúc chứng minh mình, ơng ngụ ý  n hội tụ v n phải hội tụ Như Dirichlet (Dirichlet 1829) ra, phần kết luận khơng có sở, chẳng hạn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN25 http://www.lrc.tnu.edu.vn  (1)n n n 1   n   n 1     n 1 (1)n  (1) n  1   n  n  (1.25) Chuỗi hội tụ chuỗi thứ hai không hội tụ, tỉ lệ số hạng thứ n hai chuỗi có xu hướng n tiến đến vô Dirichlet bác bỏ cách chứng minh Cauchy lập luận Hơn nữa, Dirichlet lập luận sử dụng lí thuyết hàm phức hàm f biểu diễn dạng biểu thức giải tích, khơng xác định ta gán giá trị nằm bên tập xác định Những lời phê bình Dirichlet cơng bố Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent a représenter une fonction arbitraire entre des limites données (Dirichlet 1829) Trong viết ông đưa cách chứng minh hội tụ Ơng xét phần (n  1) số hạng chuỗi Fourier biến đổi thành     1  sin  n   (  x) 2 f ( )  d 2sin (  x) (1.26) Các hạt nhân liên quan gọi hạt nhân Dirichlet Sau ơng chứng minh phần định lí Giả sử h đại lượng dương nhỏ  g đại lượng dương nhỏ h , tích phân  h g f ( ) sin i d sin  (1.27) f (  ) liên tục cận tích phân ln ln tăng giảm từ   g đến   h , hội tụ đến giới hạn xác định số i lớn Giới Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN26 http://www.lrc.tnu.edu.vn hạn 0, ngoại trừ g có giá trị 0; trường hợp có giá trị  f (0) Với lập luận ông hy vọng chứng minh (1.26) hội tụ f ( x) f hàm liên tục, điểm gián đoạn, chuỗi Fourier hội tụ đến  f (x   )  f (x   )  0 lim Hi vọng tổng quát tan vỡ năm 1873/1876, Bois-Reymond đưa ví dụ hàm số liên tục có chuỗi Fourier phân kì điểm 1.6 Weierstrass Trước Seidel, Stokes Cauchy nghiên cứu tính chất hội tụ đều, tính chất sử dụng rộng rãi Weierstrass Năm 1838 viết hàm số elliptic, thầy Weierstrass Gudermann sử dụng khái niệm “ hội tụ theo cách đều” “các phương thức hội tụ” chuỗi   f ( x, , ) không n 1 n phụ thuộc vào biến   Ông nghĩ “thực đặc biệt” chuỗi hội tụ “theo cách đều”, ông không đưa khái niệm xác Mặc dù ơng sử dụng tính chất chứng minh số định lý Weierstrass, chắn học khái niệm Gudermann hàm elliptic 1839-1840 sử dụng để viết năm 1841, chuỗi hàm giải tích hội tụ miền liên thơng, tổng khả vi, ta lấy vi phân số hạng Tuy nhiên, phần cịn lại chưa cơng bố Werke Weierstrass xuất năm 1894, tốn học giới khơng quan tâm đến khái niệm cốt yếu ông hội tụ đều, ông bắt đầu giảng đại học Berlin năm 1856 Khái niện hội tụ phận Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN27 http://www.lrc.tnu.edu.vn tảng giải tích Bài giảng ơng đưa kỳ học bao gồm phần sau: Lý thuyết hàm giải tích Lý thuyết hàm elliptic Ứng dụng hàm elliptic vào hình học học Lý thuyết hàm Abel Với số thay đổi, ơng sửa đổi 16 lần từ năm 1857 đến 1887 Khi Weierstrass đến Berlin, ông thảo luận mà ông viết xong hàm elliptic hàm abel, môn học tiếp tục chu kỳ giảng Nó đặc biệt chỗ ơng nhấn mạnh quan trọng ứng dụng vật lý, lại khơng nói đến tảng giải tích.Ơng cảm thấy thích thú tranh luận với Kronecker Sau hợp tác Weierstras Kronecker tách biệt lĩnh vực khác tảng tốn học Từ 1864 Weierstrass bắt đầu thuyết trình lý thuyết hàm giải tích, xây dựng số thực Ông tiếp tục nghiên cứu tổng quát hàm số chuỗi, áp dụng kết vào chuỗi lũy thừa, mà sau hình thành sở lý thuyết hàm giải tích Cách tiếp cận Weierstrass đến tảng giải tích tìm thấy tổng quan ông hàm số chuỗi Thông qua cách xây dựng ông số thực, Weierstrass giải câu hỏi liên quan đến tính đầy đủ mà Cauchy Bolzano lảng tránh Ông bắt đầu tiếng với khái niêm epsilon Cauchy sử dụng đại lượng  , ,n0 , bất đẳng thức, chứng minh mình, Weierstrass sử dụng kỹ thuật tất chứng minh định nghĩa Ví dụ, năm 1861 ông định nghĩa hàm số liên tục sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN28 http://www.lrc.tnu.edu.vn Giả sử f ( x) hàm số với biến x Hiệu f ( x  h)  f ( x) gọi số gia hàm số x biến thiên thành x  h Bây giờ, tồn  cho giá trị tuyệt đối h nhỏ  , f ( x  h)  f ( x) nhỏ đại lượng nhỏ tùy ý, ta nói thay đổi vô nhỏ đối số tương ứng thay đổi vô nhỏ hàm số Khi ta nói hàm số biến thiên liên tục với đối số Ta thấy Weierstrass giảng dùng khái niệm đại lượng vơ nhỏ Định nghĩa ơng hồn toàn rõ ràng, tương ứng với liên tục theo điểm Trong cách tương tự Weierstrass định nghĩa giới hạn hàm số chuỗi cách rõ ràng phân biệt theo điểm và hội tụ đoạn Ông tích phân theo số hạng chuỗi không phù hợp với giả thiết từ trước phù hợp với giả thiết chuỗi liên tục Từ chỗ khái niệm tạm thời, hội tụ trở thành tính chất trung tâm Sự khác biệt hội tụ theo điểm hội tụ tăng lên nghiên cứu chuỗi lượng giác; vấn đề đưa đến tranh luận khác biệt liên tục theo điểm liên tục Tuy nhiên Weierstrass với kí hiệu  ,  tay, khác biệt trở thành hiển nhiên năm 1872 Heine tách thành hai khái niệm, chứng minh hàm số liên tục đoạn liên tục Dirichlet trình bày định lí năm 1854 Định nghĩa Heine xuất Funktionenlehre ông năm 1872 Mặc dù Heine học sinh Weierstrass, ông biết đến cách tiếp cận thông qua học sinh Weierstrass Cantor H.A.Schwarz, ơng hồn thiện viết Bài viết này, với hai nói chuyện với Weierstrass năm 1870 1872, phản ứng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN29 http://www.lrc.tnu.edu.vn cơng chúng đón nhận phương pháp Weierstrass Cuộc thảo luận Weierstrass thách thức hai niềm tin lan rộng Thứ liên quan đến khác biệt giá trị lớn cận (hoặc giá trị nhỏ cận đúng), trước Bolzano kêu gọi quan tâm đến khác biệt Thứ hai, Weierstrass đưa hàm số  f ( x)   b ncos(a n x ) (1.28) n 1 với a số lẻ, b[0,1) ab    ví dụ hàm số liên tục khơng khả vi Ta thấy Bolzano tìm (nhưng không công bố) hàm số tương tự, Weierstrass thơng báo Riemann đưa ví dụ khác giảng ông:  sin(n x) f1 ( x)   n2 n 1 (1.29) Tuy nhiên, không thật rõ Riemann tuyên bố f1 không khả vi hay không khả vi tập trù mật Weierstrass chứng minh f1 khơng khả vi Sau Grever năm 1970 f1 khả vi a với a có dạng 2m  2k  1.7 Hàm đặc biệt ý tƣởng giải tích Ví dụ Cauchy hàm C  không miêu tả chuỗi Taylo hội tụ hàm khơng khả tích Dirichlet xem ví dụ hàm đặc biệt Rieman đưa loạt ví dụ khác liên hệ chuỗi lượng giác tích phân Lượng giác chuỗi Fourier lý thuyết tích phân khơi dậy nhiều hàm kì dị Hankel (1870) Darboux (1875) xây dựng chuỗi Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN30 http://www.lrc.tnu.edu.vn hàm đặc biệt, chí ơng cịn tìm phương pháp để ta có hàm với điểm kì dị đặc biệt, ta xây dựng hàm số có tính chất tập trù mật điểm Ông gọi phương pháp “ngưng tụ tính kì dị” Các hàm đặc biệt mở hướng giải tích tốn học Trước đó, ý tưởng hàm số sinh từ ứng dụng toán học, nhà toán học tích cực tìm kiếm khơng thỏa mãn toán học túy miêu tả khái niệm hàm số, liên tục, đạo hàm, tích phân, Một vài nhà toán học đưa lời phê phán hướng Ví dụ Poincaré đưa hồi nghi ơng: “Chúng ta thấy loạt hàm số kỳ lạ mà bị buộc phải giống với hàm số trung thực phục vụ cho số mục đích Trong khoảng thời gian trước phát minh hàm số mới, phải có mục đích thiết thực, ngày họ cố tình tìm khiếm khuyết lý luận số người khác để tìm từ đó” (Poincaré 1899) Tuy nhiên, hàm số đặc biệt khái niệm Dirichlet hàm số chung chung để làm tảng giải tích Đối với Weierstrass “mục tiêu cuối ln ln miêu tả hàm số” Nhiều người thời học trò Weierstrass đưa ý tưởng biểu thức giải tích lớp hàm đặc biệt Cách tiếp cậnh đưa đến phương pháp chứng minh bác bỏ, giải tích thu chặt chẽ lẫn tổng quát, lịch đơn giản, xa lạ với ứng dụng vật lý Nhiều nhà toán học hối tiếc xu hướng này, thật khó để khỏi hàm đặc biệt bước vào khu vườn Địa đàng giải tích “ngây thơ” Kết q trình viết lại định lý cũ cho phù hợp với chứng minh chặt chẽ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN31 http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng PHỔ BIẾN VÀ PHÁT TRIỂN GIẢI TÍCH TỐN HỌC THẾ KỶ 19 Trong chương tơi trình bày q trình phổ biến phát triển Gải tích kỷ 19 Nội dung chương trình bày theo tài liệu [2], [5] 2.1 Phổ biến chấp nhận phân tích nghiêm ngặt giải tích Khi Cauchy giới thiệu tiêu chuẩn Ecole Polytechnique, ơng bị phê bình thành viên bậc tiền bối, nhấn mạnh yêu cầu ứng dụng Người giáo viên khóa học, Ampère cho Cauchy số phương pháp, Navier, người dạy ông năm 1819, nhấn mạnh ứng dụng, khơng thích hợp với tiêu chuẩn Cauchy Trong suốt năm 1840, phương pháp Cauchy lại dạy trường học, giáo sư Sturm Liouville không thấy thú vị chặt chẽ giải tích Tuy nhiên, Sturm bắt đầu gián tiếp có trách nhiệm với mở rộng ý tưởng Cauchy, tác phẩm xuất sau chết ông năm 1857 - 1859 đọc rộng rãi Ở trường học khác, bên ngồi nước Pháp, đọc lâu sau, ý tưởng Cauchy thay ý tưởng lỗi thời trước Ở Anh Lagrange tiếp cận đến quan điểm vi phân Newton năm 1810 Bước thứ hai trình cảm nhận Ecole Polytechnique năm 1893 – 1896, Jordan giới thiệu kí hiệu  ,  Weierstrass phần hai Cours d'analyse Cuốn sách đọc nhiều có uy tín việc mở rộng ý tưởng Tuy nhiên, nhiều trường đại học ý tưởng giải tích Cauchy dạy kỷ 20 Ví dụ, sách Sturm sử dụng Copenhagen tới năm 1915 Cả Cauchy Weierstrass phải 40 năm dạy lớp học chung Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN32 http://www.lrc.tnu.edu.vn Bản thân Cauchy có nghiên cứu lặp lặp lại rơi vào chống lại tiêu chuẩn nghiêm nghặt nghiên cứu Các ngành khác thường phát triển với lỏng lẻo định toán học Ta khơng nên đánh giá thấp khó khăn việc hiểu tiêu chuẩn chặt chẽ mới, nhà toán học Liouville thừa nhận bạn ơng, Dirichlet, “đã thấy khó khăn giải thích cách chứng minh mà Abel đưa ra” Khi Dirichlet xây dựng ngun lý mình, ơng gặp phải sai phạm chặt chẽ Tất điều khơng có đáng ngạc nhiên 2.2 Phá vỡ chặt chẽ Khoảng cuối kỷ 19, tiêu chuẩn nghiêm ngặt chiếm ưu nghiên cứu nhà toán học, có vài đối kháng Một số đối kháng đưa chủ nghĩa bảo thủ, mức độ định, điều kiện tốt nhằm chống lại dây chuyền nghiêm ngặt giải tích Poincare, người có tư tốt trực giác, cho tuân thủ chặt chẽ nghiêm ngặt làm tê liệt tư sáng tạo Poincare khéo léo công bố trường hợp không cần tuân theo ý tưởng chặt chẽ Một số nhà toán học kết luận chặt chẽ cực đoan Ví dụ: chuỗi khơng phân kì, họ loại bỏ nhiều lập luận thành cơng áp dụng vào vật lí thiên văn học Heaviside sử dụng lập luận trước chuỗi phân kì để áp dụng vào lý thuyết điện từ Ở Paris, người ta tạo lý thuyết gọi chuỗi tiệm cận, giúp giải thoát lập luận trước chuỗi phân kì Cách tiếp cận khác bắt đầu Frobenius năm 1880 Holder năm 1882 phát triển Cesaro (1890), họ định nghĩa tổng lớp lớn chuỗi phân kì Mặc dù chuỗi khơng gần với giá trị giới hạn số hạng chuỗi tăng, tổng định nghĩa theo cách hóa có ý nghĩa ứng dụng lý thuyết Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN33 http://www.lrc.tnu.edu.vn Một lĩnh vực khác rằng, chặt chẽ kỷ 19 cực đoan, nhấn mạnh hàm khả vi có đạo hàm Heaviside đề cập đến vấn đề Trong lí thuyết Laurent Schwartz hàm suy rộng (Schwartz 1950/1951), đạo hàm không cần phải tồn hàm số Schwartz (và Sobolev) xây dựng hàm  theo nghĩa sử dụng nhà toán học kỷ 19, Fourier, Kirchhoff Heaviside Năm 1960/1961 Robinson xây dựng trường phi – Archimed Ông thiết lập lại lập luận Leibniz, Euler chí Cauchy sở “cứng” Sự khám phá gọi giải tích phi tiêu chuẩn dường có ảnh hưởng đến tảng giải tích Thời gian sau có vài người chấp nhận ý tưởng Trong kỷ 20, lý thuyết chuỗi phân kì, đạo hàm suy rộng, hàm suy rộng khả tích đưa đến ý nghĩ chặt chẽ kỷ 19 không cần thiết, giai đoạn lầm lạc mà lẽ phát triển nhanh Tuy nhiên, cần nhận thấy ý tưởng tổng quát kỷ 20 có tảng kỷ 19 Ví dụ, hàm suy rộng Schwartz định nghĩa phiếm hàm không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact, trang bị topo phù hợp Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN34 http://www.lrc.tnu.edu.vn KẾT LUẬN CHUNG • Luận văn nhằm trình bày lịch sử phát triển số khái niệm nằm tảng giải tích, như: hàm số, liên tục liên tục đều, chuỗi tổng chuỗi, giới hạn • Những khái niệm xây dựng ngày chặt chẽ, q trình “chặt chẽ” hố khái niệm thúc đẩy phát triển vượt bậc giải tích kỷ 19, làm sở cho phát kiến kỷ 20 • Việc hiểu trình hình thành phát triển khái niệm tảng giải tích giúp hiểu sâu khái niệm đó, gợi ý cho sáng tạo nghiên cứu, học tập giảng dạy Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN35 http://www.lrc.tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt: [1] Hà Huy Khoái (1974), Kể chuyện nhà toán học, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Hà Huy Khoái (2007), Các nhà toán học Giải thưởng Fields (1936 2006), NXB Giáo dục [3] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Cơng nghệ Tài liệu tiếng Anh: [4] Lützen, J (2002), The Foundation of Analysis in the 19th Century, History of Analysis, Springer 2002 [5] Youschkevic, A.P (1976), The concept of function up to the middle of the 19th century, Archive for History of Exact Sciences 16 (1976), 37 - 85 Tài liệu tiếng Pháp: [6] Cauchy, A.L (1821), Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique 1re partie Analyse algébrique, Paris 1821 Oeuvres (2) Later editions: Gabay, Paris 1989 CLUEB, Bologna 1990 (ed Bottazzini) [7] Lagrange, J.L (1806), Lecons sur les calculs des fonctions, Paris 1896 in Oeuvres 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN36 http://www.lrc.tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LỆNH ANH MINH VIỆC XÂY DỰNG GIẢI TÍCH TỐN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 Chuyên nghành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng... với học sinh, sinh viên, người nghiên cứu giải tích tốn học Vì chúng tơi chọn việc trình bày q trình hình thành phát triển số khái niệm kết giải tích tốn học kỷ 19 làm đề tài luận văn Thế kỷ 19. .. phát triển giải tích tốn học kỷ 19 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN3 http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng HOÀN CẢNH RA ĐỜI NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TỐN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 Trong chương