Một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Trang Lời nói đầu Chương Một số kiến thức phép tính sai phân 1.1 Định nghĩa 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân 1.3 Định lý tồn nghiệm 12 1.4 Toán tử ∆ E 13 1.5 Các tính chất tốn tử sai phân 16 1.6 Toán tử ∆−1 phép lấy tổng 20 Chương Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 24 2.1 Các định nghĩa 24 2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng 26 2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 28 2.3.1 Phương trình tuyến tính tổng qt 28 2.3.2 Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn 31 2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rk yk 35 2.4 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 35 2.4.1 Tính tổng 35 2.4.2 Dãy Số Fibonacci 42 2.4.3 Đa thức Chebyshev 44 2.4.4 Một số dạng toán liên quan tới dãy số 47 Kết luận 53 Lời nói đầu Phương trình sai phân lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan tâm tính hữu hiệu giải số mơ hình đề xuất, ta tham khảo ứng dụng đa dạng phương trình sai phân tài liệu [3] tài liệu tham khảo Bên cạnh ứng dụng mạnh mẽ phương trình sai phân nghiên cứu mơ hình phức tạp phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu giải toán chương trình phổ thơng như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổng quát, chứng minh bất đẳng thức, Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày lại số kiến thức liên quan tới phương trình sai phân định lý tồn nghiệm, toán tử ∆ toán tử E, toán tử ∆−1 , Chương nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới thiệu số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp Phần cuối chương trình bày vài ứng dụng phương trình sai phân việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát dãy số số tốn liên quan Để thực hồn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phận Sau đại học - Phịng đào tạo, Khoa Tốn- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyên quý thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ em suốt trình hoc tập nghiên cứu Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè anh chị lớp tạo điều kiện giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh người hướng dẫn khoa học trực tiếp dành thời gian, cơng sức hướng dẫn em q trình nghiên cứu thực luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Thị Thu Huyền Chương Một số kiến thức phép tính sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan tới phép tính sai phân, định nghĩa định lý nghiệm, tồn nghiệm; toán tử sai phân ∆ tính chất bản, tốn tử dịch chuyển E Nội dung chương tham khảo Chương Chương tài liệu [2], Chương tài liệu [3] 1.1 Định nghĩa Một dãy số hàm mà miền xác định tập số nguyên Trong phần này, xét dãy mà miền xác định số nguyên không âm Ta ký hiệu số hạng tổng quát dãy yk sử dụng ký hiệu {yk } để biểu diễn dãy y0 , y1 , y2 , Cho dãy số {yk } thỏa mãn yk+n = F (k, yk+n−1 , yk+n−2 , , yk ) (1.1) Khi cho trước giá trị ban đầu ta tính tốn giá trị cịn lại Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng n giá trị liên tiếp yk xác định cách cụ thể dãy {yk } xác định Các giá trị cụ thể gọi điều kiện ban đầu Định nghĩa sau cho ta liên hệ dãy phương trình sai phân Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường quan hệ có dạng cho trước phương trình (1.1) Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình sai phân hiệu số cao số thấp xuất phương trình Phương trình cho dạng (1.1) phương trình sai phân cấp n thành phần yk xuất hàm F vế phải Chú ý dịch chuyển số không đổi cấp phương trình sai phân Chẳng hạn với số nguyên r yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1 , yk+n+r−2 , , yk+r ) (1.2) phương trình sai phân cấp n tương đương với phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân gọi tuyến tính cho dạng yk+n + a1 (k)yk+n−1 + a2 (k)yk+n−2 + · · · + an−1 (k)yk+1 + an (k)yk = Rk , (1.3) (k), i = 1, 2, , n Rk hàm k cho trước Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân gọi phi tuyến khơng tuyến tính Định nghĩa 1.5 Một nghiệm phương trình sai phân hàm φ(k) thỏa mãn phương trình Các ví dụ sau làm rõ định nghĩa vừa đưa phần Ví dụ 1.1 Xét số phương trình sau yk+1 − 3yk + yk−1 = e−k yk+1 = yk2 (bậc hai, tuyến tính), (bậc một, phi tuyến), (bậc bốn, tuyến tính), yk+4 − yk = k2k yk+1 = yk − (1/100)yk2 (bậc một, phi tuyến), yk+3 = cos yk (bậc ba, phi tuyến), k yk+2 + (3k − 1)yk+1 − yk = (bậc hai, tuyến tính) k+1 Ví dụ 1.2 Hàm φ(k) = 2k nghiệm phương trình vi phân tuyến tính bậc yk+1 − 2yk = 0, thay φ(k) vào phương trình, ta thu 2k+1 − 2.2k = Ví dụ 1.3 Phương trình phi tuyến bậc − yk2 = yk+1 có nghiệm φ(k) = √ (1.4) k+c c số Thật vậy, φ(k) vào phương trình (1.4) thu √ √ ( k + + c)2 − ( k + c)2 = (k + + c) − (k + c) = Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai yk+1 − yk−1 = có hai nghiệm, φ1 (k) = (−1)k , φ2 (k) = (1.5) Gọi c1 c2 hai số tùy ý Bây giờ, ta thấy hàm ϕ(k) = c1 ϕ1 (k) + +c2 ϕ2 (k) = c1 (−1)k + c2 nghiệm Thật vậy, ϕ(k) phương trình (1.5) ta c1 (−1)k+1 + c2 − c1 (−1)k−1 − c2 = 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân Giả sử yk phần tử tổng quát dãy {yk } xác định theo hàm cụ thể k n số c1 , c2 , , cn Bây giờ, ta yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Theo giả thiết, ta có yk = f (k, c1 , c2 , , cn ) (1.6) yk+1 = f (k + 1, c1 , c2 , , cn ), (1.7) yk+n = f (k + n, c1 , c2 , , cn ) Đây dãy gồm n + phương trình với n số ci , i = 1, 2, , n Khử số ci ta nhận quan hệ có dạng G(k, yk , yk+1 , , , yk+n−1 ) = (1.8) Đây phương trình sai phân cấp n Như vậy, phần tử tổng quát yk dãy {yk } biểu diễn hàm k n số yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev xác định biểu thức sau Ck (x) = 2k−1 cos(k cos−1 x), k = 0, 1, 2, , ; |x| < (1.9) Bây ta hàm quan hệ truy hồi với theo phương trình sau Ck+1 (x) − xCk (x) + Ck−1 (x) = (1.10) 40 Ta có 1 x ∆ sin (k − )x = sin (k + )x − sin (k − )x = cos kx sin 2 2 • Nếu sin x2 = hay x = m2π Cn = n • Nếu sin x2 = hay x = m2π ∆ sin (k − )x cos kx = x sin Do n n cos kx = Cn = k=1 k=1 ∆ sin (k − )x x sin = sin x2 = n k=1 ∆ sin (k − )x x 1 x sin (n + )x − sin sin 2 cos (n+1)x sin nx 2 = x sin Ví dụ 2.8 Chứng minh rằng: Un < 2, ∀n ∈ N ∗ với Un = n k=1 √ (k + 1) k Bài giải Ta có √ √ 1 k √ = = k − (k + 1)k k k+1 (k + 1) k √ 1 1 1 √ +√ 0, a2n ≤ an − an+1 Chứng minh an ≤ n Bài giải Ta có an+1 ≤ an − a2n ⇒ < an − a2n ⇒ < an < Mặt khác ak+1 ≤ ak (1 − ak ) ⇒ ak+1 hay ak+1 − ≥ 1 + = ak (1 − ak ) ak − ak 1 ≥ > ak − ak 42 Do n k=1 ak+1 − 1 1 >n⇒ >n+ > n + ⇒ an+1 < ak an+1 a1 n+1 Hay an ≤ 2.4.2 n Dãy Số Fibonacci Ký hiệu số Fibonacci thứ k Fk Những số xác định theo quy tắc số thứ k tổng hai số trước với số ban đâu F0 = F1 = Chúng thỏa mãn phương trình vi phân sau: (2.34) Fk = Fk−1 + Fk−2 Đây phương trình vi phân tuyến tính, bậc hai với hệ số khơng đổi giải dễ dàng Đặt Fk = rk ta thu phương trình đặc trưng r2 − r − = (2.35) nghiệm phương trình √ √ 1− 1+ , r2 = r1 = 2 Kết nghiệm chung phương trình (2.34) √ k √ 1+ 1− F k = C1 + C2 2 (2.36) k (2.37) Có thể tìm số tùy ý C1 C2 cách áp đặt điều kiện ban đầu F0 = F1 = Như ta nhận (1 + Từ ta có √ C1 + C2 = 0, √ 5)C1 + (1 − 5)C2 = C1 = −C2 = √ 43 Thay giá trị C1 , C2 vào phương trình (2.37) ta thu công thức tổng quát cho số Fibonacci thứ k sau  √  1+ Fk = √ k − √ k 1−  (2.38)  Trong phần lại mục này, ta kiểm tra số thuộc tính số Trước tiên ta xét giới hạn Fk+1 k→∞ Fk (2.39) lim Từ phương trình (2.38), ta có √ √ √ 1+ − [(1 − 5)/(1 + 5)]k+1 Fk+1 √ √ = Fk − [(1 − 5)/(1 + 5)]k Do √ 1− √ < 1+ Khi √ 1+ Fk+1 = = 1.618033988 (2.40) lim k→∞ Fk Tiếp theo, xét giá trị số Fibonacci số k số âm Cách trực tiếp để thu giá trị −k cho k phương trình (2.38) Làm ta  √ −k  1+ F−k = √ − =√ √ 1+ Do √ = 1+ √ 1+ k − √ 1− √ 1− √ =− 1− √ −k 1− 2 √ 1− =− √ 1+   k √ 1− (2.41) 44 Vì phương trình (2.41) có dạng sau:  √ √ k 1+ (−1)k  − F−k = √ − 2 hay k   F−k = (−1)k+1 Fk (2.42) (2.43) Đây mối quan số Fibonacci có số âm số dương Ngoài ra, sử dụng phương pháp quy nạp tốn học ta chứng minh F1 + F2 + + Fk = Fk+2 − (2.44) Thật vậy, rõ ràng phương trình (2.44) với k = Ta giả sử tới k, ta chứng minh phương trình (2.44) tới k + 1, tức là, F1 + F2 + + Fk+1 = Fk+3 − Thật vậy, thêm Fk+1 vào vế phương trình (2.44), ta có (F1 + F2 + + Fk ) + Fk+1 = Fk+1 + Fk+2 − = Fk+3 − Như công thức (2.44) tới k + 2.4.3 Đa thức Chebyshev Ký hiệu đa thức Chebyshev Tk (x) Hàm định nghĩa công thức công thức Tk+2 − xTk+1 + Tk = 0, (2.45) |x| ≤ T0 = 2, T1 = x Sử dụng phương trình giá trị cho T0 T1 , ta dễ dàng tính vài đa thức Chebyshev đầu tiên, cụ thể 3x T2 (x) = x3 − T2 (x) = x2 − T4 (x) = x4 − x2 + (2.46) 45 Theo cách này, ta thu Tk (x) cho số nguyên hữu hạn k Tuy nhiên, quy trình tốn cơng tốt nhiều có biểu thức rút gọn mơ tả rõ Tk (x) theo x k Điều thực dễ dàng phương trình (2.45) phương trình vi phân tuyến tính bậc hai với phương trình đặc trưng tương ứng r2 − xr + = (2.47) Phương trình có hai nghiệm r1,2 = (x ± (2.48) x2 − 1) Do đó, đa thức Chebyshev thứ k có dạng Tk (x) = 2k (2.49) [A(r1 )k + B(r2 )k ], A B số xác định từ điều kiện ban đầu T0 = T1 = x Ta có A + B = 2, r1 A + r2 B = 2r Do A = B = Thế giá trị A B vào phương trình (2.49) ta cơng thức cho Tk (x) sau Tk (x) = 2k [(x + x2 − 1)k + (x − x2 − 1)k ] (2.50) Tiếp theo ta tìm hiểu thêm số tính chất đa thức Đa thức Chebyshev xác định công thức (2.45) ứng với |x| ≤ 1, x2 ≤ 1, nên ta có x2 − = i − x2 , i = √ −1 Như x± x2 − = x ± i − x2 = e±iφ 46 Vì tan φ(x) = (x + x2 − 1)k + (x − √ − x2 x x2 − 1)k = eikφ + e−ikφ = cos(kφ) Thay vào công thức Tk (x), cho phương trình (2.50), đa thức Chebyshev viết dạng sau cos[kφ(x)] Tk (x) = 2k−1 Mặt khác cos φ = x hay ϕ = cos−1 x (2.51) (2.52) Do đó, từ phương trình (2.51) (2.52) đa thức Chebyshev biểu diễn dạng cos(k cos−1 x) , |x| ≤ 1, k = 0, 1, 2, 3, (2.53) Tk (x) = 2k−1 Sau ta xét số ví dụ liên quan tới đa thức Chebyshev Ví dụ 2.12 Khai triển hàm theo đa thức Chebyshev f (x) = 2x4 − 3x2 + x + (2.54) theo đa thức Trước tiên, ta phải nghịch đảo đa thức Chebyshev biểu diễn lũy thừa khác x theo chúng Ta dễ dàng làm điều thu kết sau: T0 (x) 1= x = T1 (x) x2 = T2 (x) + T1 (x), x3 = T3 (x) + x4 = T4 (x) − T2 (x) − Thế biến đổi (2.55) vào phương trình (2.54) ta T0 (x) f (x) = 2T4 (x) − T2 (x) + T1 (x) + (2.55) 47 2.4.4 Một số dạng toán liên quan tới dãy số Bài tốn Tìm số hạng tổng quát dãy số cho pxn + q , x0 = a xn+1 = rxn + s (2.56) Ta sử dụng định lý sau để tìm số hạng tổng quát dãy số (2.56) Định lý 2.4 Nếu yn , zn nghiệm hệ  yn+1 = pyn + qzn , y0 = a z = ry + sz , z = n+1 xn = n n yn nghiệm (2.56) zn Chứng minh Thật vậy, ta có x0 = Hơn xn+1 = yn+1 zn+1 y0 = a z0 yn +q pxn + q pyn + qzn zn = = = yn ryn + szn rx + s n r +s zn p Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.13 Cho dãy số {xn } thỏa mãn α+1 xn+1 = , x1 = 0, α = xn + α Tìm limn→∞ xn Bài giải • Nếu α = −1 xn = nên limn→∞ xn = • Nếu α = −1, xét hệ  un+1 = (α + 1)vn , u1 = 0, v = u + αv , v = n+1 n n 48 Từ hệ ta có un+2 = (α + 1)vn+1 = (α + 1)(un + αvn ) = (α + 1)(un + α un+1 ) α+1 Như un+2 = αun+1 + (α + 1)un , u1 = Giải phương trình đặc trưng: λ2 − αλ − (α + 1) = 0, có hai nghiệm λ1 = −1, λ2 = α + +) Nếu α + = −1 ⇒ α = −2, un = (c1 + nc2 )(−1)n Ta có  0 = u1 = −c1 − c2 α + = u = c + 2c 2  c1 = −(α + 1) ⇒ c = α + un+1 = −un+1 = (−1)n+3 n Như un = (−1)n+1 (n − 1) = α+1 n−1 Do xn = limn→∞ xn = n +) Nếu α + = −1 ⇒ α = −2, un = c1 (−1)n + c2 (α + 1)n   α+1  0 = u1 = −c1 − c2 (α + 1)  c1 = α+2 ⇒ α + = u = c + c (α + 1)2   c2 = 2 α+2 Do un = Vì (−1)n (α + 1) + (α + 1)n α+2 (−1)n+1 + (α + 1)n = α+2 (−1)n (α + 1) + (α + 1)n un = (−1)n+1 + (α + 1)n    0, α = −1    lim xn = 1, α = −2 |α + 1| > n→∞     −(1 + α), |α + 1| < 49 Ví dụ 2.14 Tìm nghiệm tổng quát phương trình xn+1 = 4xn − , x0 = xn + Bài giải Xét hệ Từ hệ ta có  yn+1 = 4yn − 2zn , y0 = 1, z n+1 = yn + zn , z0 = yn+1 = 4yn − 2zn = 4yn − 2(yn−1 + zn−1 ) = 4yn − 2yn−1 − 4yn−1 + yn = 5yn − 6yn−1 Như yn+2 − 5yn+1 + 6yn = 0, y0 = Phương trình đặc trưng λ2 − 5λ + = có hai nghiệm λ1 = 2, λ2 = Do yn = A.2n + B.3n Sử dụng điều kiện y0 = 1, y1 = 2, ta tính A = 1, B = Do yn = 2n tính zn = 2n Như xn = 1, ∀n Ví dụ 2.15 Tìm nghiệm tổng qt phương trình xn+1 = xn − , x0 = xn + Bài giải Xét hệ  yn+1 = yn − zn , y0 = 1, z = y + 3z , z = n+1 n n 50 Từ hệ ta có yn+1 = yn − zn = yn − yn−1 − 3zn−1 = yn − yn−1 − 3(yn−1 − yn ) = 4yn − 4yn−1 Như yn+2 − 4yn+1 + 4yn = 0, y0 = Phương trình đặc trưng λ2 − 5λ + = có nghiệm λ1 = λ2 = Do yn = (A + Bn)2n Sử dụng điều kiện y0 = 1, y1 = 0, ta tính A = 1, B = −1 Do yn = (1 − n)2n tính zn = (1 + n)2n Như 1−n xn = 1+n Bài tốn Tìm số hạng tổng qt dãy số cho x2n−1 + c , x1 = a, x2 = b xn = xn−2 Ta sử dụng định lý sau để tìm số hạng tổng quát dãy Định lý 2.5 Phương trình sai phân dạng phân thức x2n−1 + c xn = , x1 = a, x2 = b xn−2 (2.57) có dạng tuyến tính b2 + c a+ a x xn = n−1 − xn−2 , a, b = b Chứng minh Ta có   x2n−1 + c   xn xn−2 = x2 + c  xn = n−1 xn−2 ⇒ x +c x x   n−1 n−3 = xn−2 + c xn−1 = n−2 xn−3 51 Từ xn xn−2 − xn−1 xn−3 = x2n−1 − x2n−2 Hay xn xn−2 + x2n−2 = xn−1 xn−3 + x2n−1 , tương đương với (xn + xn−2 )xn−2 = (xn−3 + xn−1 )xn−1 Ta nhận hệ thức sau xn−3 + xn−1 x3 + x b2 + c xn + xn−2 = = ··· = = xn−1 xn−2 x2 a Do a+ xn = b2 + c a x n−1 − xn−2 b Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.16 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn } thỏa mãn x2n−1 + xn = , x1 = x2 = xn−2 Bài giải Áp dụng Định lý 2.5 ta nhận dạng tuyến tính phương trình xn = 4xn−1 − xn−2 Khi đa thức đặc trưng λ2 − 4λ + = có hai nghiệm phân biệt √ √ λ1 = + λ1 = − Khi √ √ xn = a(2 + 3)n + b(2 − 3)n Sử dụng điều kiện x1 = x2 = ta có  √ √ a(2 + 3) + b(2 − 3) = a(2 + √3)2 + b(2 − √3)2 = √  + 3  a = 4√ ⇒  + b = Từ ta nhận cơng thức số hạng tổng quát √ √ √ n 9+5 √ 5+3 (2 + 3) + (2 − 3)n xn = 4 52 Ví dụ 2.17 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn } thỏa mãn x2n−1 + , x1 = x2 = xn = xn−2 Bài giải Áp dụng Định lý 2.5 ta nhận dạng tuyến tính phương trình xn = 3xn−1 − xn−2 Khi đa thức đặc trưng λ2 − 3λ + = có nghiệm λ1 = √ 3−2 2 √ 3+2 2 , Khi √ √ 3+2 n 3−2 n xn = A( ) + B( ) 2 Sử dụng điều kiện x1 = x2 = ta có  √ √  A(3+2 2) + B(3−2 2) = √  A(3+2 2)2 + √ B(3−2 2)2 =1 ⇒  A = B = √ 2√2−1 2+8 √ 2√2+1 2−8 Từ ta nhận công thức số hạng tổng quát √ √ √ √ 2−1 3+2 n 2+1 3−2 n ( ( xn = √ ) + √ ) 2 2+8 2−8 λ1 = 53 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan toán tử sai phân, tốn tử dịch chuyển tính chất, đồng thời vài phương pháp để ứng dụng phương trình sai phân vào giải tốn tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng qt dãy số, có ví dụ minh họa kèm theo tập ứng dụng 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Tuấn (2015), Phương trình sai phân ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Ronald E Mickens (2015), Difference equations: Theory, Applications and Advance Topics, Chapman and Hall/CRC Third Edition [3] Walter G Kelley and Allan C Peterson (2001), Difference equations: An introduction with applications, Harcourt/Academic press Second Edition ... dãy phương trình sai phân Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường quan hệ có dạng cho trước phương trình (1.1) Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình sai phân hiệu số cao số thấp xuất phương trình. .. dạng phương trình sai phân tài liệu [3] tài liệu tham khảo Bên cạnh ứng dụng mạnh mẽ phương trình sai phân nghiên cứu mơ hình phức tạp phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu giải toán chương... pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp Phần cuối chương trình bày vài ứng dụng phương trình sai phân việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát dãy số số tốn liên quan Để