HSG Toan 9

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý..[r]

Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC A - CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp đổi tương đương * Để chứng minh: A B A B  A1 B1  An Bn Ta biến đổi (đây là bất đẳng thức đúng) A Bn  An  Bn  A1 B1  A B Hoặc từ bất đẳng thức đứng An Bn , ta biến đổi n Ví dụ 1.1 CMR : a )  a  b2   a  b  (1) b) a  b  c ab  bc  ca (2) Giải a)  1   a  b    a  b  0  a  b  2ab 0   a  b  0 (2) Do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) chứng minh b)  1   a  b  c    ab  bc  ca  0   a  2ab  b    b  2bc  c    c  2ca  a  0 2  a b  b c  c a 0 (2)       b) Bất đẳng thức (2) đúng suy điều phải chứng minh Ví dụ 1.2 CMR a )  a  b   a  b   a  b3  (1) b)  a  b  c   a  b  c   a  b3  c  (1) Giải a )  1  2a  2b4  a  a3b  ab3  b 0     a  a b    ab  b  0  a  a  b   b  a  b  0   a  b   a  b  0   a  b   a  ab  b  0   3 3 3 2 Do bất đẳng thức (2) đúng suy điều phải chứng minh b)  1  3a  3b4  3c   a  a3b  a 3c  b  ab3  b3c  ac  bc  c  0   a  b4  a3b  ab3    b4  c  b3c  bc3    a  c  a 3c  ac3  0 2   a  b   a  ab  b2    b  c   b  bc  c    a  c   a  ac  c  0 Ví dụ 1.3 CMR : a) b) a  b2   x  b   ax  by  a  b2  c  d   a  c  1 bd  1 Giải a )  1  a x  a y  b x  b y a x  2abxy  b y  a y  2abxy  b y 0   ay  bx  0 1) a b)  1  a  b  c  d   a 2  b   c  d   a  c    b  d   b   c  d  ac  bd (2) Nếu ac + bd < thì (2) đúng Nếu ac  bd 0 thì     a  b   c  d   ac  bd   a 2c  a d  b2c  b2 d a 2c  2abcd  b d 2   ad  bc  0 Suy đpcm a b2 c2  a  b  c b c a Ví dụ 1.4 Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng:  1 Giải  1  a3c  b3a  c 3b  a 2bc  b ac  c 2ab 0  ac  a  2ab  b   ab  b  2bc  c   bc  c  2ca  a  0 2  ac  a  b   ab  b  c   bc  c  a  0  đpcm Ví dụ 1.5 2 a b  c  a  b a  c  b  c      b  a  c  3abc (1) Cho a, b, c > CMR: Giải G / s a, b c   1  3abc  a  b  c  a   b  a  c  b   c  b  a  c  0  a  a  ab  ac  bc   b  b  bc  ba  ac   c  c  ac  bc  ab  0  a  a  b   a  c   b  b  c   b  a   c  c  a   c  b  0   a  b   a  ac  b  bc   c  a  c   b  c  0   a  b   a  b  c   c  a  c   b  c  0 Suy ĐPCM Phương pháp biến đổi đồng Để chứng minh BĐT: A  B Ta biến đổi biểu thức A – B thành tổng các biểu thức có giá trị không âm Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng: a )a  b  c  d ab  ac  ad b)a  4b  4c 4ab  4ac  8bc  1  1 Giải a) Ta có a  b  c  d  ab  ac  ad  a2   a2   a2  a2 =   ab  b     ac  c     ad  d         2 2 a  a  a  a   b     c     d   0 2  2  2  2 b) Ta có : a  4b  4c  4ab  4ac  8bc  a  4ab  4b   4c   4ac  8bc  2  a  2b   4c  4c  a  2b   a  2b  2c  0 Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng: a)  a3  b3   a  b  b) 3 với a, b > 3  a  b  c   a  b    b  c    c  a  c)  Giải 3 3 với a, b, c > a  b  c  a  b  c  24abc với a, b, c 0 2 a) Ta có :  a  b3    a  b   a  b    a  ab  b    a  b   3  a  b   a  b  0   3 b) Ta có :8  a  b3  c3    a  b    b  c    c  a  3 3   a  b3    a  b      a  c    c  a      b3  c    b  c         2 3 a  b   a  b    a  c   a  c    b  c   b  c  0 c) Ta có :  a  b  c   a  b3  c  24abc  a  b    a  b  c   a  b  c  c  a  b3  c  24abc a  3a 2b  3ab  b3  3a 2c  6abc  3ac  3bc  a  b3  24abc 3  a 2b  c 2b  2abc    a 2c  b 2c  2abc    b 2a  c 2a  2abc  2 3b  a  c   3c  a  b   3a  b  c  0 Ví dụ 2.3 Với a, b, c > Chứng minh rằng: 1 1 a)   ; b)    a b a b a b c a bc a b c c)    b c c a a b Giải 2 a  b   4ab  a  b  1  a) Ta có :     0 a b a b a b a b  1 1 a b  b c  a c  b)Ta có :  a  b  c                      a b c b a  c b  c a   a  b  ab  b  c  bc  a  c  ac 0 a b c  a 1  b 1  c 1             b c c a a b  b c 2  c a 2  a b   a  b   a  c    b  a    b  c    c  a    c  b   2 b  c 2 c  a 2 a  b c)Ta có :  1  1  1        a  b      b  c     c  a    b c c a   a c a b   a b b c  2  b  c a  c   a  b        0   a  c   b  c   a  c   a  b   a  b   b  c   Cách Ta có : a b c  a 1  b 1  c             1  b c c a a b  b c   c a 2  a b     a  b   a  c  a  b   b  c  a  c   b  c      6 2 bc ac ab   a  b b  c   bc a c   a c a b      2     2       0  b  c a b   a c bc   a b a c  Ví dụ 2.4 a) Cho a, b 0 CMR: a + b 2 ab (Bất đẳng thức Cô – si) b) Cho a, b, c 0 CMR: a + b + c 3 abc c) Cho a b c và x  y z.CMR  a  b  c   x  y  z  3 ax  by  cz  (Bất đẳng thức Cô – si) (Bất đẳng thức Trê bư sếp) Giải a) Ta có:  a  b  ab  a  b  c  3 abc  b)  a b  0 a3b3c    a b   c b    a  b  c   x  y  z   3 ax  by  cz   y  x   a  b    z  x   b  c    x  z   c  a  0 c) Ví dụ 2.5 Cho a, b, c > Chứng minh: a) bc ac ab bc ac ab   a  b  c; b)    3 a  b2  c2  a b c a b c Giải 2 bc ac ab  a  b  a  c  b  c a)     a  b  c  c  b  a 0 a b c ab ac bc  bc ac ab  b)       a  b  c  b c   a 2  c2 a2 b2 2 2   2  a  b   2  c  b   2  a  c   0 2a b cb ac  Ví dụ 2.6 Chứng minh 1   2  a  b  ab ab  1 b)   2  a  b  ab a2 + b2 < 1 c)    a  b  ab -1 < a, b < 1 1 d)   2   a    b   ab a) a, b > Giải a) 1   1     =    +  2 2  a  b  ab   a  ab    b  ab   a  b   ab  1 0   a    b2   ab  1 ab  0 a2  b2  a  b   ab  1 0 b) ab  1    2 ab  0   a    b   ab  1 a c  0   c) 1   1     =    +  2 2  a  b  ab   a  ab    b  ab  1  a d) 2) 2 1  a b     b   ab  1  a  b 2 1  a  0 1 b 2 ab  a  b    ab  1  = 0  ab   a    b    ab  Phương pháp sử dung tính chất bất đẳng thức Cơ sở phương pháp này là các tính chất bất đẳng thức và số bất đẳng thức như: a )a b, b c  a c b)a b và a.b >  1  a b a b 0 c)   ac bd c d 0 d )  a  b  0 e) a , b   1   a b a b a4  b4  Ví dụ 3.1 Cho a + b > Chứng minh: Giải  a  b  a  b 0  a  b  Ví dụ 3.2 Với a, b, c > CMR a  b2   1 4   a b   2 a b3 c   ab  ac  bc b c a a b3 c3 b)   a  b  c b c a a) Giải x2 a) Ta có : x  xy  y y  x, y   a b3 c3     a  ab  b    b  bc  c    c  ac  a  ab  ac  bc b c a x3 b) Ta có : 3 x  y  x, y   y a b3 c     3a  2b    3b  2c    3c  2a  a  b  c b c a Ví dụ 3.3 Cho a, b, c > CMR: bc ac ab   a  b  c a b c a2 b2 c2 a b c b)    b c c a a b a) Giải bc ac  2c  a b a) dễ dàng chứng minh đpcm a bc  a  dễ dàng chứng minh b  c đpcm b) Ví dụ 3.4 a) cho x, y, z >0 t/m: 1 1 1   4.CMR :   1 x y z 2x  y  z x  y  z x  y  2z b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1      a b c a c  b bc  a a b c c) Cho a, b, c > thỏa mãn: abc = ab + bc + ca Chứng minh: 1    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 Giải 1   a b a b 1 1 1  2 1         x  y  z  x  y    x  zx   x  y x  z  16  x y z  a) Ta có : a, b   Tương tự: 1  1 1  1 2     ;      x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  1 1 1        1 x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  1    a  b  c a  b  c 2a a 1   ; a b  c b c  a b 1   a  bc bc  a c 1 1 1       a b  c a  b c b c  a a b c  1 1 1 1 c)        a  2b  3c  a  c    b  c   a  c  b  c   16a 32b 32c b) 1 1    ;    3a  b  2c 32a 16b 32c 2a  3b  c 32a 32b 16c 1 1 1         a  2b  3c 3a  b  2c 2a  3b  c 32  a b c  16 tt: Ví dụ 3.5 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a b c a b c a b c    2; b)      a b b c c a b  c c  a a  b  a  b2  c2 Giải x  y  0, t  ta có: a) áp dụng BĐT: y y t  x x t a a c b ba c c b  ;  ;  a b a b c b c b c a c a a b c a b c    2 a b b c c a Ta có : a  a 1 a b c     a 1 b 1 c 1 a b c mà    b c c a a b b) suy điều phải chứng minh 4)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Co-si Ta có : a  2 a  *) Cho a1 , a2 , , an 0, ta có : a1  a2   an n n a1.a2 an Dấu “=” xảy a1 a2  an 0 Ví dụ 4.1 Cho a, b > thỏa mãn ab = CMR: Giải Áp dụng BĐT Cosi ta có  a  b  1  a  b2   a  b 2ab 2 a  b 2 ab 2 4 a b 4   a  b  1  a  b2   2  a  b  1  a b a b    a  b     a  b   4   8 a b   a b  2 a b  a  b Ví dụ 4.2 Chứng minh rằng: a  b  a b a)  a b  b a với a, b 0 b) a b c   2 bc ca a b với a,b,c > Giải  a  b a) Ta có : a b a b  1 1    a  b    ab  a  b    2 2  1 1  mà a   a , b   b   a  b    a  b 4 2   a  b  a b a b  b a bc 1 b c  a b c b) 1    1  a 2 a a     a a  b c a b c tt: b b c c  ;  a c a b c a b a b c 8 a b Cộng vế với vế ta được: a b c   2 bc ca a b a b  c  b a  c  a  b  c 0 c a  b Dấu “=” xảy  vô lí Vậy dấu “=” không xảy Gi¶i ¸p dông B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) √ a(b+ c)  √ a 2a ≥ b+ c a+ b+c Tơng tự ta thu đợc : b 2b c 2c , ≥ ≥ c +a a+ b+c a+ b a+b+ c Dấu ba BĐT trên không thể đồng thời xảy , vì đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c là số dơng ) a b c Từ đó suy : + + >2 b+ c c+ a a+ b Ví dụ 4.3 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: √ √ √ √ √ a2 b2 c2 a  b3  c a)    b  c2 c2  a a  b2 2abc 1 a  b3  c b)     3; (a  b2  c 1) 2 2 a b b c c a 2abc Giải a2 a2 b2 b2 c2 c2 a) Ta có :  ;  ;  b  c 2bc a  c 2ac a  b 2ab a2 b2 c2 a2 b2 c2 a  b3  c  2      b c a  c a  b 2bc 2ac 2ab 2abc 1 1   b) Ta có :    a  b2  c      2 2 a b b c c a c  a2   a b b c  c2 a2 b2 a  b3  c     3 a  b2 b  c c  a 2abc Ví dụ 4.4 Cho a, b, c > Chứng minh 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Giải Ta có : a  b 2ab  a  b3 ab  a  b    abc abc c   a3  b3  abc ab  a  b   abc a  b  c tt: abc a abc b  ;  3 b  c  abc a  b  c c  a  abc a  b  c Cộng vế với vế suy điều phải chứng minh Ví dụ 4.5 Cho a, b, c > thỏa mãn a2 +b2 + c2 = Chứng minh ab bc ca   3 (1) c a b Gải a 2b b c c a  1      a  b2  c  3  a  b2  c  c a b 2 2 2 ab bc ca ab bc ab ac bc ca mà :         a  b  c c a b c a c b a b Suy điều phải chứng minh Ví dụ 4.6 Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Chứng minh x3 a) 1  y 1  z  y3 z3   1  z  1  x 1  x 1  y  xy yz zx   1 5 x  xy  y y  yz  z z  zx  x5 b) Giải x3 1  y  1  z    y  z 3x   8 a) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: x  y  z 3 xyz 3     4 Tương tự suy VT 2 5 2 b) Ta có : x  y 2 xy  x  y  x y  x  y    xy xy z    2 x  xy  y xy  x y  x  y   xy  x  y  x  y  z yz x zx y  ;  5 y  yz  z x  y  z z  xz  x xyz xy yz zx    1 x  xy  y y  yz  z z  xz  x tt: x3 y z   x  y  z yz zx xy Ví dụ 4.7 Cho x, y, z > Chứng minh : Giải Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x3 y3 z3  z  y 3 x;  z  x 3 y;  x  y 3 z yz zx xy x3 y z    x  y  z yz zx xy 5)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Bunhiacopski a *) a *) 2 b  x y   xa  by  dấu “=” xảy  b  c   x  y  z   xa  by  cz  a kx  b ky a kx  b ky c kz dấu “=” xảy  Tổng quát: a  a22   an2   x12  x22   xn2   a1 x1  a2 x2   an xx  Ví dụ 5.1 Cho a, b > Chứng minh dấu “=” xảy = kxi 1 a)   a b a b n2 m2  m  n  b)   a b a b Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:    1 a b  4     a  b   b  a b  a  1    a b a b  n2 m2  m  n  b)   a b   n  m    a  b   b  b  a   a n2 m2  n  m     a b a b Tổng quát: 2 a12 a22 an2  a1  a2   an      bn b1  b2   bn  Cho bi  0, i 1.n thì b1 b2 (1) a1  a2   an   a1 a2 an     cn a1c1  a2c2   ancn (2)  Với ci  với i 1.n thì c1 c2 Thật vậy:  a1   a12 a22 an2  a2 an    b  b   b  b  b   b    n n   a1  a2   an   bn  b2 bn  b1 b2  b1  a2 a2 a  a  a   an      n  b1 b2 bn b1  b2   bn đặt aici = bi > thay vào (1) (2) Ví dụ 5.2 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 a)   a  b  c b c a a b3 c c)   a  b  c b c a a2 b2 c2 a b c b)    b c c a a b a3 b3 c3 a  b2  c d)    b c c a a b Giải a b2 c2  a  b  c  a ) Ta có :    a  b  c b c a a b c a2 b2 c2  a  b  c  a  b  c b)    b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 2 a b3 c3 a b4 c  a  b  c  c)       a  b  c b c a ab bc ca ab  bc  ca 3 a b c a b4 c4 a  b2  c2 d)       b  c a  c a  b ab  ac ab  bc ac  bc 25a 16b c   8 Ví dụ 5.3 Cho a, b, c > Chứng minh: b  c c  a a  b Giải c  a   b  Ta có : VT 25   1  16   1    42   bc   c a  a b 25 16     1  42 8    a  b  c     a  b  c  2 a  b  c   b c c a a b  b c a c a b    a 0 Dấu “=” xảy vô lí suy điều phải chứng minh 2 x y z x y z      2 y z x y z x Ví dụ 5.4 Cho x, y, z > Chứng minh: Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có x2 y2 z  x y z   x y z   x y z  x y z              y z x  y z x   y z x   y z x  y z x C¸C BÊT §¼NG THøC KH¸C Bµi : Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng Chøng minh r»ng : 1 + ≥ a+1 b+1 Gi¶i: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) 9 4ab + 1 4ab  (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng Suy điều phải chứng minh Bµi 2: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Gi¶i: Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = [ ( a+b)+c ] ≥ (a+b)c => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc T¬ng tù : b + c abc c+a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a3 +b3 a+b ; đó a > ; b > ≥ 2 Gi¶i : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > ; b > => a + b > a3 +b3 a+b ≥ 2 a+b a+b a+b ( a2 − ab+b 2) ≥  2 2 a+b  a2 - ab + b2 2  4a - 4ab + 4b a2 + 2ab + b2 2  3a - 6ab + 3b 3(a2 - 2ab + b2) 3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy : a +b ≥ a+b 2 Bµi 4: Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab Gi¶i : 1 Ta cã : a3 + b3 + ab <=> a3 + b3 + ab 2 <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V× a + b = <=> 2a2 + 2b2 - 2 <=> 2a + 2(1-a) - ( v× b = a -1 ) <=> 4a2 - 4a + <=> ( 2a - )2 <=> a2 + b2 - Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab DÊu '' = '' x¶y a = b = Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a3 +b3 a+b ≥ 2 ( ) Trong đó : a > , b > Gi¶i : Víi a > , b > => a + b > 3 Ta cã : a +b ≥ a+b 2 <=> a+b ( a − ab+b2 ) ≥ a+ b a+ b 2 2 <=> a2 −ab+ b2 ≥ a+b 2 <=> 4a - 4ab + 4b a2 + 2ab + b2 2 <=> 3(a - 2ab + b ) <=> 3(a - b)2 Bất đẳng thức này đúng 3 => a +b ≥ a+b 2 DÊu '' = '' x¶y a = b Bài : Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a b −√a √b − √b √a Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a b −√a √b − √b √a  ( a √ a+b √ b ¿ − √ab ( √ a+ √ b) √b ¿  √ a ¿ +¿ − √ ab (√ a+ √ b)≥ ¿ ¿  ( √ a+ √ b)(a − √ ab+b)− √ ab( √ a+ √ b)≥  ( √ a+ √ b)(a − √ ab+ b)≥  ( a  b )( a  b ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) a b −√a √b − √b √a Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy a b Víi a, b > , + ≥2 b a C¸c vÝ dô : Bµi 2: Cho x , y lµ sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x √ 1− y 2+ y √1 − x Chøng minh r»ng : 3x + 4y Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( x √ 1− y 2+ y √1 − x )2 ( |x|≤1 ; | y|≤1 ) (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x + y2 Bất đẳng thức cuối đúng ; suy : Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 => 3x + 4y §¼ng thøc x¶y  (32 + 42)(x2 + y2) x2 + y 2=1 x >0 , y >0 x y = {  { 25 y= x= ≤x≤ 2 Bµi 3: Cho a, b, c ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, √ a+b+ √ b +c + √ c+ a ≤ √ b, √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Gi¶i a, ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã : 2 ( √ a+b 1+ √ b+c 1+ √ c +a ) ≤ ( 1+1+1 ) [ ( √ a+b ) + ( √b+ c ) + ( √ c+ a ) ] => ( √ a+b+ √ b+c + √ c+ a )2 ≤3 (2 a+2 b+ ac)=6 => √ a+b+ √ b +c + √ c+ a ≤ √ DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a+1)+1 a = +1 √ a+1 ≤ 2 b c T¬ng tù : √ b+1 ≤ +1 ; √ c+ 1≤ +1 2 Cộng vế bất đẳng thức trên ta đợc : a+b+ c +3=3,5 √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = VËy : √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Phơng pháp ; Dùng các tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập C¸c vÝ dô : Bµi : Cho sè x , y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x + y = Chøng minh r»ng : x4 + y4 Gi¶i Theo tÝnh chÊt b¾c cÇu ta cã : (x2 - y2)  x + y4 2x2y2  2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2  x2 + y2 2xy 2  2(x + y ) (x +y)2 2(x2 + y2 ) V× : x + y =  x + y2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 DÊu '' = '' x¶y x = y = Bµi 2: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b 3 T¬ng tù : b + c < + b2c ; c3 + a3 < + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a §iÒu kiÖn : Ph¬ng ph¸p : Chøng minh ph¶n chøng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết đề bài để suy điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , là điều trái nhợc , từ đó suy đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với điều đúng + Phủ định suy hai điều trỏi ngợc + Phủ định suy kết luận C¸c vÝ dô : Bài : Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh ; ít có bất đẳng thức sau là sai : 2a(1 - b) > 1; 3b(1 - c) > 2; 8c(1 - d) > 1; 32d(1 - a) > Gi¶i: Giả sử ngợc lại bốn đẳng thức đúng Nhân ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a(1 − a) ][ b(1− b) ][ c (1 −c )][ d (1 − d) ] > (1) 256 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a+ 1− a 1 => a(1 - a) √ a(1 −a)≤ = T¬ng tù : b(1 - b) c(1 - c) d(1 - d) Nhân các bất đẳng thức ; ta có : (2) [ a(1 − a)][ b( 1− b)][ c (1 −c )][ d (1 − d)] > 256 Tõ (1) vµ (2) suy v« lý Điều vô lý đó chứng tỏ ít bất đẳng thức cho đầu bài là sai Bài : ( Phủ định suy hai điều trái ngợc ) Chứng minh không có số dơng a, b, c nào thoả mãn ba bất đẳng thức sau : 1 a+ <2 ; b+ < ; c + < b c a Gi¶i Giả sử tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức : 1 a+ <2 ; b+ < ; c + < b c a Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta đợc : 1 a+ +b+ +c+ <6 b c a 1  (a+ )+(b+ )+( c+ )<6 (1) a b c 1 V× a, b, c > nªn ta cã : (a+ )≥ ; (b+ )≥ ; (c + )≥ a b c 1 => (a+ )+(b+ )+( c+ )≥ §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1) a b c Vậy không tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức nói trên => đpcm Bài : Chứng minh không có các số dơng a,b, c thoả mãn bất đẳng thức sau : 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a ) > Híng dÉn : t¬ng tù nh bµi : Bài :( Phủ định suy trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b Gi¶i : Gi¶ sö : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = ) Chia hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => > (a - b)2 V« lý VËy : a + b Ph¬ng ph¸p : §æi biÕn sè - Kiến thức : Thực phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho dạng đơn giản , gọn , dạng bài toán đã biết cách giải C¸c vÝ dô : Bµi : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a b c + + ≥ b+c c +a b+ a Gi¶i: §Æt : b +c = x , c + a = y , a + b = z x+ y+z => a + b + c = y+z − x z+x − y x+y −z => a = , b= , c= 2 Khi đó : a b c y + z − x z + x − y x+ y − z VT = = + + + + b+c c +a b+ a 2x 2y 2z y x z x z y 3 = ( + )+ ( + )+ ( + ) − ≥ 1+1+ 1− = x y x z y z 2 Bài : Chứng minh ; với số thực x, y ta có bất đẳng thức : 2 1+ y ¿ ¿ 2 1+ x ¿ ¿ ¿ 2 2 ( x − y )( x y ) ≤ ¿ Gi¶i: x2 − y2 − x2 y2 §Æt : a = vµ b = (1+ x 2)(1+ y ) (1+ x 2)(1+ y ) 1+ y ¿ 1+ x ¿2 ¿ => ab = ¿ 2 2 ( x − y )(1 − x y ) ¿ a+ b ¿2 a −b ¿ ≤ ab ≤ ¿ Ta cã dÔ thÊy víi mäi a, b th× : ¿ 2 Mµ : (a - b)2 = − x +1 2 (a + b) = − y +1 1 Suy : ab 4 Bµi : Cho a, b, c > ; a + b + c Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a +2 bc b +2 ca c + 2ab Gi¶i : §Æt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bµi to¸n trë thµnh : Cho x, y, z > , x + y + z Cøng minh r»ng : 1 + + ≥9 x y z 1 Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( + + ¿ ≥9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi 1 Mµ : x + y + z nªn suy + + ≥9 x y z [ [ ] ]