KS HSG Toán 7

ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7 (Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1. a) Tìm nghiệm của đa thức 2004 4 2005 3 2006 2 2007 1 )( + − + − + + + = xxxx xg . b) Chứng tỏ rằng đa thức 2 9 2 7 )( 2 ++= yyyh không có nghiệm. c) Tìm các số nguyên z thoả mãn 2 1 7 7 1 3 6 1 4: 2 1 3 3 1 21437 +       +−       +≥≥− z Câu 2. Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và ba đường cao tương ứng có độ dài là h a , h b , h c . Biết rằng h a , h b , h c tỉ lệ với 20, 15, 12. Chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác vuông. Câu 3. Cho tam giác ABC có 0 60 ˆ = A . Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D, tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại F, hai tia phân giác này cắt nhau tại I. Các đường phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại K. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng BI và KC. a) Tính các góc: CKBCEBCIB ˆ , ˆ , ˆ . b) Chứng minh ID = IF. Câu 4. Cho đa thức bậc hai baxxxf ++= 2 )( , biết rằng với mọi giá trị của biến x thoả mãn 1 ≤ x thì 2 1 )( ≤ xf . Tính giá trị của đa thức 33 ba + . HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7 Câu 1 (3 điểm) a) Ta có ⇔= 0)(xg 0 2004 4 2005 3 2006 2 2007 1 = + − + − + + + xxxx 0 2004 2008 2005 2008 2006 2008 2007 2008 = + − + − + + + ⇔ xxxx ( ) 0 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 =       −−++⇔ x ( ) 200802008 −=⇔=+⇔ xx Vậy đa thức có nghiệm duy nhất 2008 −= x 1 điểm b)Ta có Rxyyyyh ∈∀>+       +=+       ++= ,0 16 7 1 4 7 16 7 1 4 7 4 7 .2)( 22 2 suy ra đa thức không có nghiệm. 1điểm c) Ta có ;3,21437 >− và 86 69 1 2 1 7 7 1 3 6 1 4: 2 1 3 3 1 2 =+       +−       + do đó từ đó 2 1 7 7 1 3 6 1 4: 2 1 3 3 1 21437 +       +−       +≥≥− z suy ra ⇒≥> 86 69 13,2 z z = 2 vì z là số nguyên. 1 điểm Câu 2 (1,5 điểm) Theo đề ra ta có 12:15:20:: = cba hhh Mặt khác ==⇒==⇒=== cba cba cbaABC hhh cba h c h b h a chbhahS 1 : 1 : 1 :: 111 2 1 2 1 2 1 2525169 5:4:3 12 1 : 15 1 : 20 11 : 1 : 1 :: 22222 bacba hhh cba cba + ===⇒===⇒ 222 bac +=⇒ suy ra tam giác ABC là tam giác vuông . Câu 3 (2,5 điểm) Vẽ đúng hình (Trang sau) 0,5 điểm a) + Theo tính chất phân giác và tổng ba góc trong tam giác tính được: 0 00 0 120 2 60180 180 ˆ = − −= CIB + Ta có FC⊥CE , EB⊥ BK (Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ 0 90 ˆ = ECI , 0 90 ˆ = KBE Từ đó 000 3090120 ˆ =−= CEB (T/c góc ngoài tam giác IEC), 000 603090 ˆ =−= EKB 1 điểm b) Vẽ phân giác IG của CIB ˆ , chứng minh 0 60 ˆˆˆˆ ==== CIECIGBIGBIF kết hợp với giả thiết chứng minh ) ( gcgBFIBGI ∆=∆ và ) ( gcgCDICGI ∆=∆ suy ra IF=IG=ID. 1 điểm Câu 4 (2,5 điểm) Với [ ] 1;1 −∈∀ x ta có 2 1 )( ≤ xf , thay x=0, x=1, x= -1 vào baxxxf ++= 2 )( ta có:          −≤+−≤− −≤+≤− ≤≤− ⇒      +−=− ++= = )3( 3 1 2 3 )2( 2 1 2 3 )1( 2 1 2 1 1)1( 1)1( )0( ba ba b baf baf bf Từ (2) và (3) ta được 2 1 2 3 −≤≤− b kết hợp với (1) suy ra 2 1 −= b Thay 2 1 −= b vào (2) và (3) ta được 01 ≤≤− a và 10 ≤≤ a do đó a=0 E A B C D F I K 60 0 G Vậy giá trị của đa thức 33 ba + là 8 1 − . .      ++= ,0 16 7 1 4 7 16 7 1 4 7 4 7 .2)( 22 2 suy ra đa thức không có nghiệm. 1điểm c) Ta có ;3,214 37 >− và 86 69 1 2 1 7 7 1 3 6 1 4: 2 1 3 3. THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7 Câu 1 (3 điểm) a) Ta có ⇔= 0)(xg 0 2004 4 2005 3 2006 2 20 07 1 = + − + − + + + xxxx 0 2004 2008 2005 2008 2006 2008 20 07 2008 = +