De thi HSG toan 9

Vẽ đúng hình chứng minh đợc 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đờng tròn đờng kính SO b.Cm đợc AC2=AB.AE.. y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm..[r]

Phßng GD huyÖn Thanh Oai §Ò thi chän häc sinh giái líp n¨m häc 2014- 2015 Trêng THCS Bình Minh Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: (6®) a Cho biÓu thøc:  x2 P    x x 1  x  x 1  1.Rót gon P 2.Tìm các giá trị x để P= T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b Chøng minh r»ng 1 1      4 3 5 7 79  80 A=  Bµi 2:(4®) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2  x   x2  x  x  x b)Chøng minh r»ng : n2 + 7n + 2014 kh«ng chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n Bµi 3:(3®) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh + x + x + x = y3 b)Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng vµ a+b+c=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= a3 +b 3+ c Bµi 4:(6®) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, từ điểm S ngoài đờng tròn vẽ các tiếp tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm) Kẻ đờng kính AC (O) cắt AB E Chứng minh: a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng đờng tròn b) AC2 = AB.AE c) SO // CB d) OE vu«ng gãc víi SC Bµi 5: (1®) T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn d¬ng cho: a + b2 chia hÕt cho a2b-1 §¸p ¸n + biÓu ®iÓm Bµi 1: a) (4®) 1.(2®) Tìm đợc ĐK: x 0 0,25®  x2  x    x 1   ( x  1)( x  x  1)  x   ( x  x  1)  x    ( x  1)( x  x  1)  x 1 x  ( x  1)( x  x  1)  0,5® 0,5® 0,5® 0,25® x 3( x  x  1) (1®)  x  x  0  x1 4; x2  (TM§K) P= 3.Víi x 0;3( x  x 1)   P 0 , minP=0 x=0 1 x 2 x  1  x x nªn Do đó P ”=” x¶y x=1 VËy maxP= x=1 3( x   1) x Víi x>0,P= v× DÊu 1 1     3 5 79  80 b A=  1 1     4 6 80  81 A>  2A > 1 1 1       1 2 3 4 79  80 80  81 1® 0,5® 0,25® 0,25® 1® 1® 2A >          81  80 2A > 81  9  8  A  (®pcm) Bµi 2:(4®) a) (2®) §K: x>0 0,25® NhËn thÊy x  x  x  x  víi mäi x Biến đổi: 0,5® 0,25® x x 4 x2   x 2x2  x   x2  x  2 x2  x   x2  x  x   0,5® 0,5® x  x   x  x  x x2  x    x  x x  x  2  x  x  x  0   ( x  1)( x  x  x  4) 0  x 1( dox3  x  x   0khix  0) b)(2®) Gi¶ sö n2 +7n +2014 9  n  7n  20143  4n  28n  80563  (2n  7)  80073 2 v× 80073  (2n  7) 3  (2n  7) 9 mµ 8007 kh«ng chia hÕt cho Nªn (2n+7)2+8007 kh«ng chia hªt cho  n  7n  2014 kh«ng chia hÕt cho m©u thuÉn víi gi¶ sö nªn ®iÒu gi¶ sö lµ sai VËy n2+7n +2014 kh«ng chia hÕt cho (®pcm) 0,5® 0,5® 1® Bµi 3: (3®iÓm) a (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+ )2 + >0 11 19 )  20 >0 5x +11x+7=5(x+ 10 Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)<1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3)+(5x2+11x+7)  x3<1+x +x2+x3<(x+2)3 hay x3<y3<(x+2)3 Do đó y3=(x+1)3  x 0  =>(x+1)3=1+x+x2+x3  x(x+1)=0   x  *x=0=>y=1 *x=-1=>y=0 Vậy nghiệm nguyên PT là : (0;1), (-1;0) 0,5® 0,5® 0,5® b) (1,5®) a3  ta cã a>0 nªn 0,25® 0,25® 1 1 a  3 a  27 27 27 27 ( b®t c«si cho sè d¬ng) a  a   27 b c b3   ;c   27 27 t¬ng tù 0,5® , 0,5® ⇒ 3 a +b + c 2  (a  b  c)     9 1 Do đó A Dấu “=” xảy a=b=c= 1  a b c  VËy A=  Bµi 4:(6®) a Vẽ đúng hình chứng minh đợc điểm A,O,S,B cùng thuộc đờng tròn đờng kính SO b.Cm đợc AC2=AB.AE 1,5® 1,5® O S C 1,5® y c Cm đợc SO//CB E 1,5® EC AC EC AC      OCE đồng d Cm  AECđồng dạng  SOA  OA SA OC SA dạng  SAC từ đó suy OE vuông góc với SC Bµi 5: (1®) x  2xy   y ( x  2)xy   x( xy  2)  2( x  y )xy   2( x  y ) xy  §Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi k  Z  Nõu k=1  x  y xy   ( x  2)( y  2) 2 Tìm đợc x=4 ; y=3 Nõu k 2  2( x  y) 2( xy  2)  x  y xy   ( x  1)( y  1) 1 0 v« lÝ (lo¹i) VËy x=4 y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng cho điểm 1,0®