Đang tải... (xem toàn văn)
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) Câu (2.0 điểm) a Rút gọn các biểu thức sau: A = (5 + 21 )( 14 ) 21 ; B= 2 35 25 14 25 7 10 25 b Chứng minh: 2n + 3n + n chia hết cho ( n Z) Câu (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: a x x 2 x 3 b x x 2 Câu (2.0 điểm) x xy 2 a Tìm giá trị nhỏ M = x y 1 2 c Cho x;y > và 2x > y Chứng minh rằng: x y 81 y x y Câu (4.0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB C là điểm cố định nằm trên OA M là điểm di động trên đường tròn a Chứng minh CM BC b Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ tia CN vuông góc với CM (N (O)) Gọi K là trung điểm MN Chứng minh KO2 + KC2 có giá trị không đổi c Kẻ CH vuông góc với MN ( H MN) Tính độ dài CK biết tam giác MCN có chu vi 72cm và CK – CH = 7cm d Từ M kẻ MI vuông góc với AB Trên OM lấy điểm P cho OP = MI Chứng minh M di động trên đường tròn tâm O đường kính AB thì P thuộc đường cố định? Hết./ Họ và tên: Số báo danh (2) Câu PHÒNG GD&ĐT ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 THANH CHƯƠNG MÔN THI: TOÁN Ý Nội dung Điểm a 0.5 A = (5 + 21 ) 2( 5 ( 7 3) 21 =(5 + 0.5 3) 10 21 = 21 ) ( ( 7 21 ) (5+ 3) 3) = (5+ 21 )(10- 21 ) = 2.4 = B = 2 35 25 14 25 2 14 35 Câu b Ta có: P = 2n3 + 3n2 0.5 + n = n( 2n2 + 3n +1) = n(n + 1)( 2n + 0.5 1) Ta thấy P Để c/m P 6 ta cần c/m P 3 Thật vậy: n = 3k (k Z) thì P 3; Nếu n = 3k + (k Z) thì 2n + = 6k + 3 nên P 3, Nếu n = 3k + thì n + = Câu a 3k + 3 nên P 3 2, ĐK x 0.5 (3) 0.5 x x 2 x x2 + 2x + + 2x +1 - 2 x +1 =0 ( x + 1)2 + ( x 1)2 0 Suy phương trình b vô nghiệm x 2 Đặt t = 0,25 x 3 x t3 0.5 0,25 = x + suy x = t3 -3 suy x 3 t3 Ta phương trình đầu tương đương với t 2 t Lập phương vế ta có: t2 – 2t = suy t = t = Từ đó tìm Câu a x = -3; x = x xy 2 M= x y = 0.75 0.25 x xy y ( x y ) (3 x y) x2 y2 x y2 Vậy Min M = -1 đạt b x = -y/3 Vì x, y > và 2x > y 0,25 0 y x nên suy 0,25 (4) 1 2 Lại có: x 0.5 Ta xét trường hợp sau: *) TH1 Nếu 2y 1 0 0 y y suy 1 2 x 2y 0 y x y BĐT đúng *) TH2 Nếu 2y 1 0 y y Ta có VT = 1 2 x 1 1 y y x 8VT = 4 4 1 8 4 x x y x y 1 2 8 y x x y x 81 VT (5) Câu 0.25 M H K N A a B C O Ta có CM OC + OM = OC + OB = BC Ta có tam giác MCN 0.5 vuông, có CK là trung tuyến nên CK = KM (1) Vì K là trung điểm b MN nên suy OK vuông góc với MN nên suy OK2 + KM2 = OM2 = R2 (2) Từ (1) và (2) suy : KO2 + KC2 = R2 = không đổi c Đặt CK = x suy 0.5 MN = 2x, CH = CK – = x – Ta có CM2 + CN2 = MN2 = 4x2 0.5 (1) CM.CN = CH.MN = 2x( x – 7) suy CM.CN = 4x(x – 7) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (CM + CN )2 = 8x2- 28x (3) Mặt khác theo bài ta có: CM + CN + MN = 72 suy CM + CN = 72 – MN = 72 -2x (4) Từ (3) và (4) suy ra: (72 – 2x)2 =8x2 – 28x Tìm 0.5 (6) x = 16 E M P A d I B O Kẻ bán kính OE vuông góc với AB, E cố định Ta có OE = OM = R Vì EO //MI nên ta có IMO EOM ( so le trong) mà OP = MI (gt) nên OEP = MOI suy góc EPO = 900 suy P thuộc đường tròn đường kính OE Lưu ý: - Học sinh giải cách khác mà đúng cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không chấm bài hình (7)