Câu 4: 5 điểm Cho đường tròn O;R và hai đường kính bất kỳ AB, CD sao cho tiếp tuyến tại A cắt các đường thẳng BC, BD thứ tự tại E và F.. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳn[r]
(1)UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD & ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh: √ 6+4 √2 − √3 −2 √ là số nguyên b) Rút gọn biểu thức: C = sin220+sin230+…+sin2880 Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: 3x2 + 4x + 10 = 14x b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x.y - x - y = c) Chứng minh 3n + không là số chính phương (với n N ) Câu 3: (4 điểm) a) Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: b c 16abc b) Giả sử x, y, z là số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P x y z x 1 y 1 z 1 Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB, CD cho tiếp tuyến A cắt các đường thẳng BC, BD thứ tự E và F Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng EA và AF a) Chứng minh O là trực tâm tam giác BEQ b) Chứng minh đường vuông góc với BQ kẻ từ P qua trung điểm đoạn thẳng OA c) Hai đường AB và CD có vị trí nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ đó theo R Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức: 2B A 2 BC + AB.AC - AB = Tính: Chú ý:- Thí sinh bảng B không phải làm câu 2c - Thí sinh không sử dụng máy tính -Hết (2) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG A Câu (4đ) Ý Nội dung 2 (2 2) Biểu điểm ( 1) (2 2) ( 1) 3 a 2đ Do là số nguyên nên ta có đpcm b 2đ Ta biết: Với < α < 900 Ta có sinα = cos(900-α), sin2α + cos2α = C = sin220 + sin230 + … + sin2880 C = (sin220 + sin2880) + + (sin2440 + sin2460) + sin2450 C = (cos2880 + sin2880) + + (cos2460 + sin2460) + sin2450 64 1 87 43 2 C = 1+1+ +1+ = ĐKXĐ: x 2 x 4x 2x 2x = x 0 2x (x 2) ( 2x 7) 0 x x 2 x 0 x b 2đ x 1 y 3 x y ; ; Gi¶i c¸c hÖ nµy ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) -Với n = 2k+1 (k N ), ta có: x y - Với n = 2k, giả sử 32k +4 = p2, suy p lẻ nên p có dạng 2l (l N) (3k ) 4l 4l 4l(l 1) k (3 ) 8r (r N) (3k ) 8q (4đ) a 2đ 0,5 0,25 3n (32k 1 1) 4m (m N ), không phải là scp c 2đ 0,5 (thỏa mãn) Do x, y là các số nguyên nên x -1, y-1 là các số nguyên và là ước Suy các trường hợp sau: x 3 y 1 ; 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: x.y - x - y = x.( y -1) - y = x.(y - 1) - (y - 1) = (x -1).(y - 1) = (6đ) 0,5 0,5 2 ;x 2 3x2 + 4x + 10 = 14x a 2đ 2,0 (q N) Điều này vô lý suy đpcm Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b+c ta có: 0,25 0,25 0,75 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 (3) 1,0 a (b c) 2 a(b c) (a b c)2 4a(b c) 4a(b c) 1,0 (b c) 4a(b c) 16abc b 2đ 0,25 0,5 1 x 1 y 1 z 1 P 3 4 Vậy x y z P x y z x y z 1 Vậy P đạt giá trị lớn là (5đ) 0,5 P= 1 1 1 x 1 y 1 z 1 Ta có 1 P 3 x 1 y 1 z 1 Mặt khác, với x, y, z > 1 Ta có x y z (x 1) (y 1) (z 1) P 0,25 0,25 0,25 x y z Vẽ hình a 2đ b 2đ c 1đ Do Q và O là trung điểm các cạnh AF và AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE Vì BA EQ nên O là trực tâm tam giác BEQ Đường thẳng qua P và BQ cắt AB H, dễ thấy PH//EO Vì P là trung điểm EA nên H là trung điểm AO 1,0 1,0 1,0 1,0 Ta có: 1 AE AF AE AF SBPQ AB.PQ 2R R R AE.AF 2 2 2 Vì AE.AF = AB2 = 4R2 nên SBPQ R 4R 2R Dấu “=” xảy AE = AF hay tam giác BEF vuông cân tai B 0,25 0,25 0,25 (4) Khi đó AB CD 0,25 C A B D Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = BC2 AB(AC AB) (1đ) BC AB AC AB BC Nªn AB > AC Trên AB lấy D cho AC = AD BD = AB – AC BC BD AB BC ABC ~ CBD(c.g.c) ACB CDB (1) CDB A ACD Mặt khác: 0,25 0,25 (2) 180 A ACD Ta có 0,25 (3) 0 ACB A 180 A A 180 2 Từ (1), (2), (3) có : 1800 A 1800 (A B) 1800 A 2C 2B A 2B 600 1800 3A 0,25 (5) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG B Câu (4đ) Ý Nội dung 2 (2 2) Biểu điểm ( 1) (2 2) ( 1) 3 a 2đ Do là số nguyên nên ta có đpcm b 2đ Ta biết: Với < α < 900 Ta có sinα = cos(900-α), sin2α + cos2α = C = sin220 + sin230 + … + sin2880 C = (sin220 + sin2880) + + (sin2440 + sin2460) + sin2450 C = (cos2880 + sin2880) + + (cos2460 + sin2460) + sin2450 64 1 87 43 2 C = 1+1+ +1+ = ĐKXĐ: x (6đ) b 3đ (4đ) a 2đ 2 x 4x 2x 2x = (x 2) ( 2x 7) 0 x x 0 x 2 x 2 x 2x 0 (thỏa mãn) Ta có: x.y - x - y = x.( y -1) - y = x.(y - 1) - (y - 1) = (x -1).(y - 1) = Do x, y là các số nguyên nên x -1, y-1 là các số nguyên và là ước Suy các trường hợp sau: x 3 y 1 ; x 1 y 3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 2 ;x 2 3x2 + 4x + 10 = 14x a 3đ 2,0 x y x y 0,75 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 1,0 ; ; Gi¶i c¸c hÖ nµy ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b+c ta có: 0,5 a (b c) 2 a(b c) 1,0 (a b c)2 4a(b c) 4a(b c) 1,0 (b c) 4a(b c) 16abc b 2đ P= 1 1 1 x 1 y 1 z 1 Ta có 0,5 (6) 1 P 3 x 1 y 1 z 1 Mặt khác, với x, y, z > 1 Ta có x y z (x 1) (y 1) (z 1) 1 x 1 y 1 z 1 P 3 4 Vậy x y z P x y z x y z 1 Vậy P đạt giá trị lớn là P x y z 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình (5đ) a 2đ b 2đ c 1đ Do Q và O là trung điểm các cạnh AF và AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE Vì BA EQ nên O là trực tâm tam giác BEQ Đường thẳng qua P và BQ cắt AB H, dễ thấy PH//EO Vì P là trung điểm EA nên H là trung điểm AO Ta có: 1,0 1 AE AF AE AF SBPQ AB.PQ 2R R R AE.AF 2 2 0,25 2 SBPQ R 4R 2R Vì AE.AF = AB = 4R nên Dấu “=” xảy AE = AF hay tam giác BEF vuông cân tai B Khi đó AB CD 1,0 1,0 1,0 0,25 0,25 0,25 (7) C A B D Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = BC2 AB(AC AB) (1đ) BC AB AC AB BC 0,25 Nªn AB > AC Trên AB lấy D cho AC = AD BD = AB – AC BC BD AB BC ABC ~ CBD(c.g.c) ACB CDB (1) ACD CDB A Mặt khác: 0,25 (2) 180 A ACD Ta có 0,25 (3) 180 A A 180 ACB A 2 Từ (1), (2), (3) có : 1800 A 1800 (A B) 1800 A 2C 2B A 2B 600 1800 3A 0 0,25 (8) (9)