Phuong trinh bac hai

b/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña a trong hai ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 5.[r]

Chủ đề phơng trình bậc hai n

A Kiến thức cần nhớ

I Định nghĩa : Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình có dạng

2

ax bx c 

trong x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số a 0 II Công thức nghiệm ph ơng trỡnh bc hai :

Phơng trình bậc hai ax2bx c 0(a 0)  

2 b 4ac

*) Nếu 0 phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt :

1

b b

x ; x

2a 2a

     

 

*) Nếu phơng trình có nghiệm kép :

1 b x x

2a



*) Nếu phơng trình v« nghiƯm III C«ng thøc nghiƯm thu gän :

Phơng trình bậc hai ax2bx c 0(a 0) vµ b 2b '

2 ' b ' ac

  

*) NÕu  ' phơng trình có hai nghiệm phân biệt :

1

b ' ' b ' '

x ; x

a a

     

 

*) NÕu  ' phơng trình có nghiệm kép :

1 b ' x x

a





*) Nếu ' phơng trình vô nghiƯm IV HƯ thøc Vi - et vµ øng dơng :

1 NÕu x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình

2

ax bx c 0(a 0)   th× :

1

1

b x x

a c x x

a



 

  

 

 

2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :

2

(Điều kiện để có u v S2 4P 0 )

3 NÕu a + b + c = th× phơng trình ax2bx c 0(a 0) có hai nghiÖm :

1

c x 1; x

a

 

NÕu a - b + c = phơng trình ax2bx c 0(a 0)   cã hai nghiÖm :

1

c x 1; x

a

 

V Một số quy tắc, phép biến đổi : - Quy tắc nhân, chia đa thức - Hằng ng thc ỏng nh

- Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Phng phỏp quy đồng mẫu thức hai hay nhiều phân thức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số

- Quy tắc biến đổi phơng trình, bất phơng trình

- Khái niệm bậc hai phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai - Phơng pháp giải hệ phơng trình

B Phơng pháp học làm

- Nm đợc đơn vị kiến thức cần nhớ

- Khi làm tập cần đọc kĩ đề bài, xác định dạng Từ có phơng pháp phù hp gii

C Các dạng hay gặp môn Toán

I Ph ơng trình bậc hai tham số (Bài tập giải phơng trình) 1 Phơng trình bậc hai dạng khuyết :

a/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất : Phơng pháp giải :

- Chuyển hạng tử tù sang vÕ ph¶i

- Chia c¶ hai vế cho hệ số bậc hai đa dạng : x2 = a +) a > phơng trình có nghiệm x a

+) a = phơng trình cã nghiƯm x = +) a < ph¬ng trình vô nghiệm

b/ Phơng trình bậc hai khuyết h¹ng tư tù do :

Phơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung, đa phơng trình tích giải

2 Phơng trình bậc hai đầy đủ : Phơng pháp giải :

- Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải

- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với số phơng trình đặc biệt 3 Phơng trình đa đợc phơng trình bậc hai :

a/ Phơng trình trùng phơng : ax4bx2 c 0(a 0)

Phơng pháp giải : Đặt t = x2(t 0 ) đa dạng : at2bt c 0 b/ Phơng trình chứa ẩn mẫu :

Phơng pháp giải :

- Bc Giải phơng trình vừa nhận đợc

- Bớc Trong giá trị tìm đợc ẩn, loại giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghim ca phng trỡnh ó cho

c/ Phơng trình tÝch

4 Khơng giải phơng trình tính giá trị biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et). II Ph ơng trình bậc hai có tham số

1 Giải phơng trình biết giá trị tham số

2. Tìm tham số biết số nghiệm phơng trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm vô nghiệm)

3.ỏp dng nh lý Vi-et

a/ Tìm tham số biết nghiệm phơng tr×nh

b/ T×m tham sè biÕt dÊu cđa nghiệm (hai nghiệm trái dấu, dấu, dơng cïng ©m)

c/ Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm : - Hệ thức đối xứng

- Hệ thức không đối xứng

d/ Tính giá trị biểu thức nghiệm theo tham sè

e/ Tìm hệ thức độc lập nghiệm phơng trình khơng phụ vào tham số f/ Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm phơng trình

D Mét sè vÝ dơ

Bµi Giải phơng trình sau :

2

a / 2x  0

2

b / 3x  5x 0

2

c / 2x 3x 0 

4

d / x 3x  0

3

e / x 3x  2x 0 

x

f /

x x



 

 

Gi¶i

2 2

a / 2x  0  2x  8 x  4 x2

Vậy phơng trình có nghiệm x2

2

x x

b / 3x 5x x(3x 5) 5

3x x

  

 

      



 

Vậy phơng trình có nghiÖm

5 x 0; x

3

 

2

c / 2x 3x 0

*) Cách : Sử dụng công thức nghiÖm :

2

3 4.( 2).5 40 49 0;

         

1

3 7

x 1; x

2.( 2) 2.( 2)

   

  

 

*) C¸ch : NhÈm nghiƯm :

Ta cã : a - b + c = - - + = => phơng trình có nghiệm :

5 x 1; x

2

  



4

d / x 3x

Đặt t x (t 0)  Ta cã ph¬ng tr×nh : t2 3t 0  a + b + c = + - =

=> phơng trình có nghiệm : t1 0 (tháa m·n);

t

1

  

(lo¹i)

2

t 1  x  1 x1

VËy phơng trình có nghiệm x1

3 2

2

e / x 3x 2x (x 3x ) (2x 6) x (x 3) 2(x 3) (x 3)(x 2) x

x x

x x x

                                 

Vậy phơng trình có nghiệm x3; x

x

f /

x x



 

  (§KX§ : x 2; x 5 )

Phơng trình :

x

3

x x

     2 2

(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)

4 x 6x 3x 30 15x 6x 30 4x 15x

15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17

                                           

=> phơng trình có hai nghiệm :

1

15 17 x

2.( 4)

 

 

 (tháa m·n §KX§)

2 15 17 x 2.( 4) 

(thỏa mÃn ĐKXĐ)

Bài Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2mx m 0   (1) a/ Giải phơng trình với m = -

b/ Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình Tính

2 3

1 2

c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :

2 2 x x 9.

d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm cịn lại f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

g/ LËp hƯ thøc liªn hƯ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào giá trị m

Giải

a/ Thay m = - vào phơng trình (1) ta có phơng tr×nh :

2

2 x 2x

(x 1) x x

  

  

  

 

VËy víi m = - phơng trình có nghiệm x = b/ Phơng trình : x2mx m (1)

2

m 4(m 3) m 4m 12

      

Phơng trình có nghiệm x ; x1 0

Khi theo định lý Vi-et, ta có :

1 2

x x m (a) x x m (b)

 

 

 



*) x12x22 (x1x )2 2 2x x1  ( m)2 2(m 3) m  2 2m 6

*) x13x32 (x1x )2 3 3x x (x1 1x ) ( m)2   3 3(m 3)( m)  m33m29m

c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x ; x1   0

Khi

2 2

1

x x m  2m 6

Do x12x22  9 m2 2m 9   m2 2m 15 0 

(m) (m)

' ( 1) 1.( 15) 15 16 0;

          

=> phơng trình có hai nghiệm :

1 4

m 5;m

1

 

   

Thö l¹i : +) Víi m 5   7 0 => lo¹i.

+) Víi m    3 => tháa m·n

VËy víi m = - phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n :

2 2 x x 9.

Khi theo định lý Vi-et, ta có :

1 2

x x m (a) x x m (b)

 

 

 



HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = (c) Tõ (a) vµ (c) ta cã hệ phơng trình :

1 2 1

1 2 2

x x m 3x 3x 3m x 3m x 3m

2x 3x 2x 3x x m x x 2m

                               Thay

x 3m x 2m

 

 

 

 vµo (b) ta có phơng trình :

2 2

2 (m)

( 3m 5)(2m 5) m

6m 15m 10m 25 m 6m 26m 28

3m 13m 14 13 4.3.14

    

      

    

   

  

=> phơng trình có hai nghiệm phân biÖt :

1

2

13

m

2.3

13 m 2.3        

Thư l¹i : +) Víi m2  0 => tháa m·n

+) Víi 25 m      

=> tháa m·n

VËy víi

7 m 2; m

3

phơng trình có hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = e/ Phơng trình (1) có nghiệm x1  3 ( 3)2m.( 3) m 0     2m 12 0   m 6

Khi : x1x2m x2 m x  x2   6 ( 3) x2 3

VËy víi m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -

f/ Phơng trình (1) có hai nghiƯm tr¸i dÊu  ac 0 1.(m 3) 0   m 0   m 3 VËy với m < - phơng trình có hai nghiƯm tr¸i dÊu

g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có :

1 2

1 2

1 2

x x m m x x

x x x x x x m m x x

                   

E Các gặp đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 những năm gần đây

2

4

2

2

a / x 5x b / x 29x 100 c / x 3x x d /11x 8x 18x

1

e / 4x 8x

x x

  

  

    

    

Bài Cho phơng tr×nh x2 + px - = cã nghiƯm x 1; x2

Hãy lập phơng trình có hai nghiệm hai số đợc cho trờng hợp sau :

1 a / x

vµ x2

1 b / x vµ

2 x

Bài Cho phơng trình : x2 3y22xy 2x 10y (1)    a/ Tìm nghiệm (x; y) phơng trình (1) thỏa mÃn x2 + y2 = 10. b/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình (1)

Bài Cho phơng trình :

2

(x k 3) x   2(k 3)x 3k 9    0 (1)

a/ Giải phơng trình (1) k =

b/ Tìm giá trị k để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng nghiệm âm Bài Giải phơng trình :

2

2 2

a / x 2x x 2x b / 6x 15x 2x 5x 1

c / 8x 8x 12x 12x 2( 2x 2x 1)

     

    

        

Bài Cho phơng trình ẩn x, tham số t : x2 2(t 1)x t  2 (1) a/ Tìm t để phơng trình (1) có nghiệm

b/ Tìm t để phơng trình (1) có hai nghiệm cho tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Bài Cho phơng trình ẩn x, tham số m : mx2 5x (m 5) (1)  

a/ Giải phơng trình (1) m =

b/ Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiệm với giá trị m

c/ Trong trng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo m giá trị biểu thức A16x x1 2 3(x12x ).22 Tìm m để A = 0.

Bài Cho phơng trình ẩn x, tham sè m : (m 3)x 2 2(m23m)x m 312 (1) a/ Tìm số nguyên m nhỏ cho phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tìm số nguyên m lớn cho

2 2

x x lµ mét sè nguyªn.

2 Các tập đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh Bài (Bắc Ninh 1997 - 1998)

Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m lµ tham sè :

2 2( 3) 2 7 0

x  m x m  (1)

b/ Gọi hai nghiệm phơng trình (1) x x1; 2 Hãy tìm m để

1

1 m

x  x  

Bµi (B¾c Ninh 1998 - 1999)

1 Cho

1

;

2 3

a b

 

a/ H·y tÝnh : ab a b

b/ HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm 1;

a b

x x

b a

 

  .

2 Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m tham số :

2 3 3 4 0

x  mx m  (1)

a/ Chøng minh r»ng víi giá trị m phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt ?

b/ Hãy tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1 3 Khi tìm

nghiệm x2 phng trỡnh ú

Bài (Bắc Ninh 1999 - 2000)

1 Cho biÓu thøc

:

a b a b

P

ab b a ab a b b a

  

  

  

  (víi a0,b0,a b )

a/ Rót gän biĨu thøc P

b/ TÝnh sè trÞ cđa biĨu thøc P biÕt a vµ b lµ hai nghiƯm phơng trình

2 8 4 0 x x  .

2 Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m tham số : x2 2x m 0 (1) a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b/ Chøng minh r»ng víi mäi m phơng trình (1) có hai nghiệm sè ©m

c/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = Bài (Bắc Ninh 1999 - 2000)

Cho hai phơng trình bậc hai ẩn x (a tham sè) :

2

3 (1) (2) x x a

x ax

   

  

b/ Chøng minh r»ng víi giá trị a hai phơng trình có hai phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài (Bắc Ninh 2000 - 2001)

Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) :

2 ( ) ( 2) 0 x  m n x m n (1)

a/ Giải phơng tr×nh (1) m = n =

b/ Chứng minh với giá trị m, n phơng trình (1) có nghiệm

c/ Tỡm m, n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình x2 x 0 Bài (Bắc Ninh 2001 - 2002)

Cho phơng trình : x2 2(m1)x2m

a/ Giải phơng trình

5 m

b/ Tìm tất giá trị m để phơng trình cho có nghiệm Bài (Bc Ninh 2001 - 2002)

Cho phơng trình bËc hai :

2 2( 1) 3 2 0

x  m x m  m  (1)

a/ Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

b/ Tìm giá trị m thỏa mÃn

2 2 12

x x  (Trong x x1, 2 hai nghiệm phơng

tr×nh) ?

Bài (Bắc Ninh 2002 - 2003)

Cho hai phơng trình : x2 3x2m (1)

và x2 x 2m10 (2) a/ Giải hai phơng trình với m = -

b/ Tìm giá trị m để hai phơng trình có nghiệm chung

Bµi (B¾c Ninh 2003 - 2004)

a/ Chøng minh r»ng : Nếu phơng trình bậc hai ax2 bx c 0 cã hai nghiƯm lµ

1,

x x th× b x x

a

 

vµ

c x x

a



b/ Tìm hai số biết tổng chúng tÝch cđa chóng -

c/ Tìm số ngun a để phơng trình x2 ax a 2 0 cú nghim.

Bài 10 (Bắc Ninh 2004 - 2005)

Cho phơng trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + = 0 Giải phơng trình với m =

2 Tỡm m để phơng trình có nghiệm kép; vơ nghiệm; có hai nghiệm phân biệt Bài 11 (Bắc Ninh 2005 - 2006)

Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) (m lµ tham số) 1) Giải phơng trình (1) với m =

2) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu 3) Với x1, x2 nghiệm (1) Tính theo m giá trị biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1)

Bài 12 (Bắc Ninh 2006 - 2007)

Cho phơng trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - = (1) 1) Giải phơng trình (1) m = -1

2) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

3) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dơng

Bµi 13 (Bắc Ninh 2007 - 2008)

Cho phơng trình bậc hai x2 2(2m1)x3m2 0 (x lµ Èn) (1)

a/ Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt phơng trình (1) Hãy tìm m để

1 2 x x

Bài 14 (Bắc Ninh 2008 - 2009)

Cho phơng trình x2 - 2x - = cã hai nghiƯm lµ x 1, x2

Tính giá trị biểu thức :

2 1 x x S

x x



Bài 15 (Bắc Ninh 2009 - 2010)

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn :

1

2 x x  .

F Tài liệu ôn thi đáp ứng đợc dạng nào, mức độ khó dễ nh ? - Tài liệu ôn thi cung cấp đợc số đơn vị kiến thức cần nhớ, số tập

- Tuy nhiên có nhiều tập mức độ khó, dạng tập cha phong phú để học sinh luyện tập

G §Ị xt