Tich phan suy rong

Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.. Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn so sánh cho tích phân [r]

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng

-Giải tích

Chương 3: Tích phân suy rộng

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

Nội dung

-3 – Tích phân suy rộng.

Tài liệu:

I Tích phân suy rộng loại Bài tốn

Tìm diện tích S miền vơ hạn giới hạn đường cong: , trục hoành, đường thẳng x = a.y  f x( ) 0

b

( ) a

s  f x dx lim ( )

b b

a

f x dx

 

 

Tích phân suy rộng loại

Tích phân ( )

a

f x dx



 lim ( )

b b

a

f x dx

 

 

khả tích đoạn , với

( )

y  f x  a b,  b a

được gọi tích phân suy rộng loại

Các tích phân sau tích phân suy rộng loại

( ) a

f x dx

 

 lim ( )

a b

b

f x dx

  

 

( )

f x dx



 

 ( ) ( )

a

a

f x dx  f x dx

 

Hai vấn đề tích phân suy rộng

1) Tính tích phân suy rộng (thường phức tạp) 2) Khảo sát hội tụ

( ) lim b ( )

b

a a

f x dx f x dx



  

 

Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz)

( ) lim b ( )

b

a a

f x dx f x dx



  

 

Giả sử F(x) nguyên hàm f(x)  a,

 

lim ( ) ( )

b  F b F a

 

Tích phân tồn tồn lim ( ) : ( )

b  F b F 

( ) ( ) ( ) ( )

a a

f x dx F x F F a

 

   

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn

2

1

y

x

 , trục hoành đường thẳng x =

2

dx S

x

  

2

lim b b

dx x

 

 

1

1 lim

b

b  x

  

  

 

1

lim 1 1

x  b



 

    

 

S miền có diện tích vơ hạn, 

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn

1

y

x

 , trục hoành đường thẳng x =

1

dx S

x

  

1

lim b b

dx x

 

  lim ln | | 1b 

b  x

 lim ln 

x  b

Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn

2

1

1

y

x



 , trục hoành

2 1

dx S

x



  



 2 lim arctanb  x b0 

   

2

2

1

dx x

 



 

Ví dụ Tính tích phân

1

x

I e dx

   

2

1

x

I e dx

   

2

1

2

x

e 



2

2

e  e

 

   

 

1 2e



Ví dụ Tính tích phân 2

ln

e

dx I

x x

  

2

ln

e

dx I

x x



  (ln )2

ln

e

d x

x



 

ln x e



 1

ln( ) ln e

 

   



 

1

Ví dụ Tính tích phân 2

4

dx I

x x

 

 



2

1

( 2)( 3) x x

x  x    

1

x x

 

 

4

1

I dx

x x



 

   

 

 



4

3 ln

2

x I

x

 





3 lim ln ln

2

x

x x

 

   

   

 

 

1 ln1 ln

2

  ln

4

ln | x |  ln | x | 

   

( ) ( )

    Dạng vô định.?

Không phép dùng: lim ( ) lim lim

x  f  g x  f  x  g

Ví dụ Tính

5 10

1

dx I

x x x





 



Đổi biến: Đổi cận:

6

10

1

1

dx I

x

x x

 

 



1

t

x



6 1

dt dx x

 

1 1

x   t 

0

x    t 

0

2

1

dt I

t t



 



 

1

2

0 1/ 3/

dt t



 



   

1

0 ln t 1/ 2 t 1/ 2 3/ 4

Ví dụ Tính

0

cos

x

I e xdx

 

 

Đặt u e 2x du 2e dx 2x

   dv cos xdx  v sin x

2

0

0

sin sin

x x

I e x e xdx

 

 

  

2

0

2 x sin

I e xdx

 

 

Ta có nên lim  2x sin 

x e x



  

2x 2 2x

u e du e dx

   dv sin xdx  v  cos x

 

0

0

2 x cos 4 x cos

I e x e xdx

 

 

    2 4I 2

5

I

Ví dụ Tính

 3/

0 arctan x I dx x     arctan

t  x

Đổi biến:

 3/ arctan x I dx x     2 1 tan 1 cos

x t x

t     Đổi cận: 1 dx dt x    0 0

x   t 

2

x    t  

2 arctan 1 1 x dx x x       / cos t tdt 

  1

2



0

1 a

dx x







Kết (được sử dụng để khảo sát hội tụ)

Trường hợp 1:  1

1 1

1 x a







 



1 1

1 a

 

 



hữu hạn, khác

0

1 a

dx x







Trường hợp 2:  1

1 a

x 



 





 Tích phân phân kỳ.

tích phân hội tụ

Trường hợp 3:  1

0

1 a

dx x





 ln | |x a



Kết (được sử dụng để khảo sát hội tụ)

0

1 1

1 hội tụ, nếu

phân kỳ, a

dx x

 





 



 



2

1 ln

I dx

x  x

  

1,

Neáu   hội tụ.I

1,

Nếu   phân kỳ.I

1, 1,

Nếu     hội tụ.I

1, 1,

Tích phân hàm khơng âm

khả tích

  x a f x ( ) 0, ( ) 0 g x   a,

( ) ( )

f x g x ở lân cận . Khi đó:

1) Nếu hội tụ, hội tụ.( )

a

g x dx



 ( )

a

f x dx





2) Nếu phân kỳ, phân kỳ.( )

a

f x dx



 ( )

a

g x dx





Tiêu chuẩn so sánh

Để khsát hội tụ , thường đem so sánh( )

a

I f x dx

  

với biết kết

a

dx x



Ví dụ Khảo sát hội tụ 2 2

1 sin

dx I

x x

 





Ta có ( ) 2 2 12 ( ) sin

f x g x

x x x

  



Vì 2 hội tụ

1

dx x



 , nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.I

Chú ý (trong tiêu chuẩn 1):

2) Chỉ cần tồn  a  x  ,  f x( ) g x( )

3) Cận tích phân số dương ( )

a

dx x



 a 

Ví dụ Khảo sát hội tụ 2 2

1 sin

dx I

x x

 





Ta có ( ) 2 2 22 ( ) sin

f x g x

x x x

  



Vì 2 hội tụ

1

dx x



 , nên hội tụ theo tchuẩn so sánh 1.I

Ví dụ Khảo sát hội tụ

3

1

ln

5

xdx I

x

 





Ta có ( ) ln3 1 ( )

5

x

f x g x

x x x

   

 

Vì phân kỳ

1

dx x



 , nên phân kỳ theo tchuẩn ssánh 1.I

5

x

Tích phân hàm khơng âm

khả tích

  x a f x ( ) 0, ( ) 0 g x   a,

( ) lim

( ) x

f x K

g x

 

 Khi đó:

nếu hội tụ, hội tụ.( )

a

g x dx



 ( )

a

f x dx





HT PK ( )

a

f x dx



 ( )

a

g x dx





Tiêu chuẩn so sánh

1) K 0 :

2) K hữu hạn, 0 :

nếu hội tụ, hội tụ.( )

a

f x dx



 ( )

a

g x dx





Để khảo sát hội tụ ( )

a

f x dx





Cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh

1) kiểm tra f(x) có hàm không âm (trong lân cận ) 

2) Tìm hàm g(x) cách: tìm hàm tương đương f(x) x tiến dương vô

3) Tính , kết luận lim ( )

( ) x

f x K

g x

  

Hai hàm f(x) g(x) khơng âm: , f x( ) x  g x( )

( ) vaø ( )

a a

f x dx g x dx

 

Hội tụ tuyệt đối

Nếu hội tụ, hội tụ.( )

a

f x dx



 ( )

a

f x dx





Định lý

Nếu hội tụ, gọi hội tụ tuyệt đối( )

a

f x dx



 ( )

a

f x dx





Định nghĩa

Nếu hàm f(x) có dấu tùy ý, để khảo sát hội tụ

( )

a

f x dx





( )

a

f x dx





ksát HT tích phân hàm khơng âm

Ví dụ Khảo sát hội tụ

1 ln

dx I

x x

 





Ta có ( ) 11/ 2

5 ln

x

f x

x x x

  

  Chọn 1/

1 ( )

g x

x



Khi đó: lim ( )

( ) 5

x

f x g x

   hữu hạn, khác

Tích phân hội tụ hay phân kỳ

1

( )

f x dx





1

( )

g x dx





Vì phân kỳ ( ), nên tích phân I phân kỳ

1

( )

g x dx



Ví dụ Khảo sát hội tụ 3

1

3

2 sin

xdx I

x x

 





Ta có ( ) 3 3 3 32

2 sin 2

x

x x

f x

x x x x

 

 

 

Chọn g x( ) 12

x

 lim ( )

( ) 5

x

f x g x

 

  hữu hạn, khác

Tích phân hội tụ hay phân kỳ

1

( )

f x dx





1

( )

g x dx





Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ

1

( )

g x dx



Ví dụ Khảo sát hội tụ 2

1

arctan

2 2ln

xdx I

x x

 





Ta có ( ) arctan2

2 2ln

x

x f x

x x

  

 

Chọn g x( ) 12

x

 lim ( )

( )

x

f x g x



 

  hữu hạn, khác

Tích phân hội tụ hay phân kỳ

1

( )

f x dx





1

( )

g x dx





Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ

1

( )

g x dx



   2

2

2 2x 4x

 

Ví dụ Khảo sát hội tụ

0 (3 1)

dx I

x x

 

 



Ta có ( ) 13/ 2

3 (3 1)

x

f x

x

x x

  

   Chọn 3/

1 ( )

g x

x



Khi đó: lim ( )

( )

x

f x g x

   hữu hạn, khác

Tích phân hội tụ hay phân kỳ

0

( )

f x dx





0

( )

g x dx





Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ

0

( )

J g x dx



 

2

  

Ví dụ Khảo sát hội tụ

0 (3 1)

dx I

x x





 



Ta có ( ) 13/ 2

3 (3 1)

x

f x

x

x x

  

   Chọn 3/

1 ( )

g x

x



Khi đó: lim ( )

( )

x

f x g x

  

hữu hạn, khác

Tích phân hội tụ hay phân kỳ

1

( )

f x dx





1

( )

g x dx





Vì HT ( ), nên I1 HT, suy I HT

1

( )

g x dx



   32

Cách giải đúng!

1

1 (3 1) 1 (3 1)

dx dx

I I I

x x x x



   

   

 

Ví dụ Khảo sát hội tụ

1

x

I e dx

 

 

  x ( ) f x e x2  e x g x( )

1

1

x x

e dx e

e





 

 

 HT

1

( )

g x dx 

 

Tích phân cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh

Ví dụ Khảo sát hội tụ 1/

1

1 cos

x

I e dx

x



 

   

 



2

1/

( ) x cos

f x e

x

  12 12 32

2 2

x  x  x

Ví dụ Khảo sát hội tụ

1

x

e

I dx

x

 

 

Ta có:   x 1 ex  x 1x 1

e x

 

2 1 1

( ) x ( )

f x g x

xe x

    Tích phân cho hội tụ

Ví dụ Khảo sát hội tụ

3

3

1

3

x x

I dx

x x



 



 



3 3/

3 3/

1

( )

3

x

x x x

f x

x x x x

 

 

 

Ví dụ Khảo sát hội tụ arctan x x I dx e     arctan ( ) ( ) 2 2 x x x x

f x g x

e e



 

  

 

Tính HT, nên tích phân cho HT.0

0

1

x x

e dx e 



 

 



Ví dụ Khảo sát hội tụ

3 3/ 2arctan x x I dx e       3/ 2arctan x x e    3/ / arctan

1 x x e          

Ví dụ Chứng minh tích phân hội tụ tính

2

3

dx I

x x









2

1

( )

1

x

f x

x

x x

  



   2 1 nên tích phân I hội tụ

2

1

t   x  t2 x2 1  2tdt 2xdx

2

3

xdx I

x x

 





 

2

tdt t t

 





2

1 ln

1

t t

 





1

ln1 ln ln3

3

Ví dụ Chứng minh tích

phân hội tụ tính

80 dx I x x     

1 1/ 3/

4

1 1

( ) x f x x x x x       

 3 1 nên I hội tụ

2

  

4 1

t   x  t4 x2 1  4t dt3 2xdx

4 2 80 xdx I x x        t dt t t   

 2

9

Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ tính giới hạn x e I dx x 

  lim

t x x x e dt t e   

 ( ) ( )

x

e

x f x g x

x x

    

1

( )

g x dx



 FK nên I phân kỳ

Giới hạn có dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital     ' ' lim t x x x e dt t e           lim x x x e x e     1 lim x  x

 0

Ví dụ Khảo sát hội tụ 2 sin ln xdx I x x     Hội tụ sin ( ) ln x f x x x   ( ) x g x x    

Sai! f(x) có dấu tùy ý, khơng sử dụng so sánh Xét tích phân hàm khơng âm 2

1 sin ln x J dx x x     Hội tụ sin ( ) ln x f x x x   ( ) x g x x    

Tích phân cho hội tụ tuyệt đối

Ví dụ Khảo sát hội tụ

1

sin xdx I

x

  

Tích phân phần:

2

1

sin x cos x cos x

I dx dx

x x x



 

    

2

1

u du dx

x x

  

sin cos

dv  xdx  v  x

cos1

1 J

 

Xét tích phân 2

cos x

J dx

x



  cos2 x 12

x x hội tụ

Ví dụ Khảo sát hội tụ

1

sin xdx I

x

  

Xét tích phân hàm khơng âm

1

sin x

J dx

x

  

sin sin cos 2

x x x

x x x



 

1 1

1 cos cos

2 2

x dx x

dx dx

x x x

  



 

    I1 I2

1

1

dx I

x



  phân kỳ 2

1

cos 2

xdx I

x



  hội tụ (tương

Chú ý:

1) Với tích phân có điểm suy rộng

( )

a

f x dx



 tách có dạng vơ định

  

( ) a ( ) a

G x   H x 

vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ 2) Với tích phân có hai điểm suy rộng

( )

f x dx



 

 tách thành tích phân ( ) ( )

a

a

f x dx f x dx



 



 

I Tích phân suy rộng loại hai Định nghĩa

Điểm x0 gọi điểm kỳ dị đường cong y = f(x),

0

lim ( )

x x f x 

Tích phân suy rộng loại hai f(x) đoạn [a,b]

( ) : lim ( )

b t

t b

a a

f x dx f x dx



 

 

I Tích phân suy rộng loại hai

Tích phân suy rộng loại hai f(x) đoạn [a,b]

( ) : lim ( )

b b

t a

a t

f x dx f x dx



 

 

I Tích phân suy rộng loại hai

Tích phân suy rộng loại hai f(x) đoạn [a,b]

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx  f x dx  f x dx

  

Giả sử đoạn [a,b] hàm y = f(x) có điểm kỳ dị c  a b, 

lim t ( ) lim b ( )

t c a f x dx t c t f x dx

 

   

I Tích phân suy rộng loại hai

Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống tích phân suy rộng loại

Khái niệm hội tụ tuyệt đối tương tự tích phân suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối hội tụ

Tích phân tồn tồn lim ( ) : ( )

t b F t F b



 

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

f x dx F x F b F a

  



Tính tích phân suy rộng (cơng thức Newton – Leibnitz)

( ) lim ( )

b b

t b

a a

f x dx f x dx



 

 

Giả sử F(x) nguyên hàm f(x)  a b, 

 

lim ( ) ( )

t b F b F a



 

Cho x0 = b điểm kỳ dị f(x) [a,b]

Ví dụ Tính tích phân

4

2

dx I

x







4

2

dx I

x







 

4

1/ 2

( 2) lim

2

t t

d x x







 



4

2

lim 2

t

t  x



 

2

2 lim

t  t



  

Theo định nghĩa

2



Theo công thức Newton – Leibnitz (gọn hơn)

4

2

dx I

x





Ví dụ Tích phân

3

0

dx I

x







3

0

dx I

x





 ln | x  1| 30

Sai! có điểm kỳ dị x = đoạn [0,3]

ln ln1 ln

  

1

0 1

dx dx

I

x x

 

 

 

1

1

lim

1

t

dx I

x





 

 tlim ln |1  t 1|



 

1

I I

 

Xét tích phân  

Vậy tích phân phân kỳ.I1

Ví dụ Tính tích phân

1

0 (2 )

dx I

x x



 



Đặt 1 x t  1 x t 2 dx  2tdt

Đổi cận: x  0 t 1 x  1 t 0

0 (2 )

dx I

x x



 

  

0

2

2

tdt t t

 



1

2

2

dt t

 

0

2arctan

I  t 2 arctan1 arctan 0  

2



Tích phân hàm khơng âm

khả tích

  x a f x ( ) 0, ( ) 0 g x   a b, 

( ) ( )

f x g x ở lân cận trái b Khi đó:

1) Nếu hội tụ, hội tụ.( )

b

a

g x dx

 ( )

b

a

f x dx



2) Nếu phân kỳ, phân kỳ.( )

b

a

f x dx

 ( )

b

a

g x dx



Tiêu chuẩn so sánh

Trường hợp x0 = b điểm kỳ dị

Tích phân hàm khơng âm

khả tích

  x a f x ( ) 0, ( ) 0 g x   a b, 

( ) lim

( ) x b

f x K

g x





 Khi đó:

nếu hội tụ, hội tụ.( )

b

a

g x dx

 ( )

b

a

f x dx



HT PK ( )

b

a

f x dx

 ( )

b

a

g x dx



Tiêu chuẩn so sánh (x0 = b điểm kỳ dị nhất)

1) K 0 :

2) K hữu hạn, 0 :

nếu hội tụ, hội tụ.( )

b

a

f x dx

 ( )

b

a

g x dx



Kết (được sử dụng để khảo sát hội tụ)

 

1 1

1 phân kỳ,

hội tụ, nếu b

a

dx

x a 

 

 





 



 

1 1

1 phân kỳ,

hội tụ, neáu b

a

dx

b x 

 

 





 



Ví dụ Khảo sát hội tụ

2

2

1

dx I

x







Ta có

 

1

1/

1

( )

( 1)( 1) 2 1

x

f x

x x x



 

   

Chọn

 1/

1 ( )

1

g x

x





( ) lim

( ) 2

x

f x g x

 

  hữu hạn,

khác

Tích phân hội tụ hay phân kỳ

2

1

( )

f x dx 

2

1

( )

g x dx 

Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ

2

1

( )

g x dx

Ví dụ Khảo sát hội tụ   ln 1 x x dx I e    

 

3/

2 /

ln 1

( )

1 ( 0)

x x x x f x x e x     

   hội tụ

1

1

  

Ví dụ Khảo sát hội tụ

3 2 x dx I x      ( )

3 (3 )

x f x

x x



  hội tụ

Ví dụ Khảo sát hội tụ tan x x I dx x x    

3 0 1/

3 5/

5

tan / ( 0)

x

x x x

x x x x



 



   phân kỳ

5

1

  

Ví dụ Khảo sát hội tụ

4 dx I x    ( ) f x x 

 phân kỳ

1   4 ( 4) x x     3

tan ( )

3

x

x x x    x  x

Ví dụ Khảo sát hội tụ 2

0

sin xdx

I

x



 

Ta có

2

sin

( )

x

g x

x x 

Vì HT , nên I1 HT, suy I HT

1

( )

g x dx





1 2

1

2

0

sin xdx sin xdx

I I I

x x



    

I1 khơng tích phân suy rộng mà tích phân xác định nên HT

2

2

sin

lim 1

x

x x

I Tính tích phân sau

3

1 1)

(x 1)(x 2) dx

 

 

2

1 2)

(x 1)(x 2)(x 3) dx

 

  

2

(5 3) 3)

( 2)(3 1)

x

dx

x x x

 



  

2

3

( 1) 4)

( 1)

x

dx x x

 





 

2

5)

1 ( 1)

dx

x x

 

 

1 ln 2 2

ln 2 3

1 2

ln 5 ln 2

4 3

 

11 1

ln 2 ln 3 5  5

3 17 ln 2

16 128

2

1 6)

2 dx

x x

 

 

2

3 7)

( 1)

x

dx

x x x

 



 

6

8)

1

x

dx x

 



2

9)

4

dx

x x

 

 

0

10) x dx x

e e



 



arctan 2 4

2 7

arctan 7 7

3 3

ln 3

2 18





6



4

0

1 11)

x x dx

e e

 



2

1 12)

(ln 1) dx

x x

 



2

1 13)

cosh ( )x dx

 

2

14)  xe dx x 

6

15)

( 3)

dx x x

 



1 4

2 2ln 2

2



1

4

16)

1

x

dx e

 



0

2 17)

4

x

x dx

 



0

18)

1

x

dx e

 



2 2

19)

1

dx

x x

 



1

20)

sinh

dx x

 

1



1 ln

1

e e



 

 



 

4ln



3

21) e dx x 

2

22)

ln

e

dx

x x

 

0

23)

2x

xdx

 

1

24)

(1 )

dx

x x

 



3

25)

1

xdx x

 



2



2 1 3e

1

2 1 ln 2

ln 7 1 5

arctan

6 3 2 3



 

   

 

26)

1

dx

x x

 

 

0

27) e x cos3xdx



2

28)

( 1)

dx

x x



  

 

2

0

29)

(4 1)

dx

x x

 

 

 

2

1

12 30)

1

x

dx x

  



3 9



2 3 3 13

4 3 3



13 4

 

1

31)

2

dx x

 



3/ 2

32)

( 3)

dx x

 



0

33)  x e dx x 

3

ln

34) xdx

x

 

 5

1

1 35)

1 dx

x

 



1 4 1 10 2 5

5 1 3

 3 

1

5

2

36) x x dx

x

 



2

37)

(4 )

dx

x x

 

 

4

2

2

38)

(1 )

x dx

x x

 

 

2

1

39)

1

dx x x





2

40)

1

dx x x





2



625 187 15



5 5







3

3/

1

1

1) ln ,

x

e

dx 



   

 

  

 

0

arctan 2)

(2 )

x dx

x 

 

  1

I Tìm tất giá trị để chuỗi hội tụ 

không tồn

2

1 3)

2 dx

x x

 



1

4) x x dx

e x

 



1

1 5)

2 dx

x x

 











1

  ln 6) x x dx e    

 

7)

ln(1 )

dx

x x x 

    ( 1) 8) x dx x x      

 

9)

sin

dx

x x x

   1 10) cosh cos x e x dx x x       

5 