tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
TÍCH PHÂN SUY RỘNG BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 NỘI DUNG TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI TÍNH CHẤT CHUNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI VÀ GIÁ TRỊ CHÍNH CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 Tích phân suy rộng loại Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx ĐỊNH NGHĨA 1.1 Cho hàm số f (x) xác định ∀x a khả tích đoạn [a, b] Khi [a, +∞) xác định hàm số Φ(b) = b f (x)dx Giới hạn a I = lim Φ(b) = lim b→+∞ b→+∞ a b f (x)dx gọi tích phân suy rộng loại hàm số +∞ f (x) [a, +∞) ký hiệu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG f (x)dx a TP HCM — 2016 / 89 Tích phân suy rộng loại Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx ĐỊNH NGHĨA 1.2 b Nếu giới hạn I = lim b→+∞ a f (x)dx tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I khơng tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học Ý NGHĨA HÌNH HỌC Nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn giới hạn x = a, trục Ox đồ thị hàm f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học CHÚ Ý Từ ý nghĩa hình học tích phân suy rộng, ta f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞) tồn giới hạn hữu hạn khác lim f (x) = A = 0, x→+∞ f (x) khả tích đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) +∞ tích phân suy rộng f (x)dx phân kỳ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 b f (x)dx Định nghĩa tích phân dạng −∞ Tích phân suy rộng loại ĐỊNH NGHĨA 1.3 Cho hàm số f (x) xác định ∀x b khả tích đoạn [a, b] Khi (−∞, b] xác định hàm số Ψ(a) = b f (x)dx Giới hạn a I = lim Ψ(a) = lim a→−∞ a→−∞ a b f (x)dx gọi tích phân suy rộng loại hàm số b f (x) (−∞, b] ký hiệu f (x)dx −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 Tích phân suy rộng loại b f (x)dx Định nghĩa tích phân dạng −∞ ĐỊNH NGHĨA 1.4 b Nếu giới hạn I = lim a→−∞ a f (x)dx tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I không tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học Ý NGHĨA HÌNH HỌC Nếu f (x) 0, ∀x ∈ (−∞, b], giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn giới hạn x = b, trục Ox đồ thị hàm f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 89 Tích phân suy rộng loại +∞ Định nghĩa tích phân dạng −∞ ĐỊNH NGHĨA 1.5 Nếu hàm số f (x) xác định R khả tích đoạn [a, b] ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại hàm f (x) (−∞, +∞) xác định c +∞ f (x)dx = −∞ +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx c Tích phân suy rộng gọi hội tụ hai tích phân vế phải hội tụ khơng phụ thuộc lẫn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 10 / 89 Tích phân suy rộng loại Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại Với ∀x ∈ (0, 2], ta có |f (x)| = Do x1/3 cos x x = | cos x| x x1/3 dx hội tụ nên |f (x)|dx hội tụ Vậy f (x)dx hội tụ tuyệt đối TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 75 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ TIÊU CHUẨN CAUCHY ĐỊNH LÝ 3.1 Để tích phân suy rộng loại hàm f (x) hội tụ [a, +∞) điều kiện cần đủ với ∀ε > 0, tồn số δ(ε) a cho với ∀b , b > δ(ε) ln có bất đẳng thức b b TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx < ε TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 76 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ TIÊU CHUẨN CAUCHY ĐỊNH LÝ 3.2 Để tích phân suy rộng loại hàm f (x) hội tụ [a, b), với b điểm kỳ dị điều kiện cần đủ với ∀ε > 0, tồn số δ(ε) a cho với ∀η , η ∈ (0, δ) ln có bất đẳng thức b−η b−η TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx < ε TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 77 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ ĐỊNH LÝ 3.3 Để tích phân suy rộng loại hàm f (x) hội tụ [a, +∞) điều kiện cần đủ Φ(x) = bị chặn với x cho Φ(x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x f (t)dt a a, có nghĩa tồn ∃M > x f (t)dt M, a TÍCH PHÂN SUY RỘNG ∀x a TP HCM — 2016 78 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ ĐỊNH LÝ 3.4 (DẤU HIỆU DIRICHLET ) Nếu hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) hàm Φ(x) bị chặn [a, +∞), có nghĩa tồn M > cho x |Φ(x)| = f (t)dt M, a ∀x a hàm g(x) khả vi liên tục, đơn điệu [a, +∞) lim g(x) = x→+∞ +∞ tích phân f (x)g(x)dx hội tụ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 79 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ VÍ DỤ 3.1 +∞ sin x dx, xm Khảo sát hội tụ I = (m > 0) Hàm f (x) = sin x khả tích đoạn [1, b] ⊂ [1, +∞) hàm x Φ(x) = x f (t)dt = − cos t = cos − cos x 1 bị chặn [1, +∞) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 80 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ khả vi liên tục, đơn điệu xm [1, +∞) lim g(x) = Hàm g(x) = x→+∞ Do đó, theo dấu hiệu Dirichlet, I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 81 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ DẤU HIỆU ABEL ĐỊNH LÝ 3.5 Nếu hàm f (x) khả tích đoạn +∞ [a, b] ⊂ [a, +∞) f (x)dx hội tụ a hàm g(x) khả vi liên tục, bị chặn đơn điệu [a, +∞) +∞ tích phân f (x)g(x)dx hội tụ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 82 / 89 Tính chất chung tích phân suy rộng loại Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng hội tụ VÍ DỤ 3.2 Khảo sát hội tụ +∞ I= sin x arctan xdx, xm Hàm f (x) = (m > 0) sin x khả tích đoạn xm +∞ [1, b] ⊂ [1, +∞) f (x)dx hội tụ Hàm g(x) = arctan x khả vi liên tục, bị chặn đơn điệu [1, +∞) Do đó, theo dấu hiệu Abel, I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 83 / 89 Giá trị tích phân suy rộng ĐỊNH NGHĨA 4.1 Cho hàm số f (x) xác định R khả tích +∞ đoạn [a, b] ⊂ R Tích phân f (x)dx phân kỳ Nếu tồn −∞ giới hạn hữu hạn lim R R→+∞ −R f (x)dx giới hạn gọi giá trị tích phân suy rộng Kí +∞ hiệu V p f (x)dx −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 84 / 89 Giá trị tích phân suy rộng VÍ DỤ 4.1 +∞ Tính I = V p −∞ R I = lim R→+∞ −R 1+x dx + x2 1+x dx = lim arctan x R→+∞ + x2 R −R = π = lim (2 arctan R) = = π R→+∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 85 / 89 Giá trị tích phân suy rộng ĐỊNH NGHĨA 4.2 Cho hàm số f : [a, b]\{c} → R, lim f (x) = ∞ Tích phân x→c b f (x)dx phân kỳ Nếu với ε > đủ nhỏ tồn a c−ε tích phân b f (x)dx tồn giới hạn hữu f (x)dx, a c−ε hạn lim c+ε b f (x)dx giới hạn f (x)dx + ε→0+ a c+ε gọi giá trị tích phân suy rộng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 86 / 89 Giá trị tích phân suy rộng VÍ DỤ 4.2 Tính I = V p dx x−1 1−ε I = lim ε→0+ dx + x−1 = lim ln |x − 1| ε→0+ = lim ln ε→0+ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1+ε 1−ε dx = x−1 + ln |x − 1| | − ε|.2 |ε| TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1+ε = = ln TP HCM — 2016 87 / 89 Giá trị tích phân suy rộng VÍ DỤ 4.3 Tính I = V p −1 dx x2 0−ε dx I = lim + ε→0+ x2 −1 0+ε dx = lim − ε→0+ x2 x −ε −1 − x ε = = +∞ ε→0+ ε = −2 + lim Giá trị I khơng tồn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 88 / 89 Giá trị tích phân suy rộng CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 89 / 89