Giải pháp rèn luyện kỹ năng tư duy logiccho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS lê đình chinh, huyện ngọc lặc khi học về bất đẳng thức

MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 3 14 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 15 15 16 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong q trình dạy học Tốn cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết vô quan trọng việc học tốn Chính bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em số vốn kiến thức thông qua việc làm tập nhiều, tốt, khó hay mà phải cần thiết rèn luyện khả sáng tạo,tư logic toán cho học sinh Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp người có kinh nghiệm Tơi nhận thấy việc giảng dạy mơn tốn cịn nhiều mảng kiến thức mà học sinh cần nghiên cứu thêm nữa, đặc biệt tốn bất đẳng thức Trong q trình giảng dạy học tập mơn Tốn tập chứng minh bất đẳng thức loại tập khó Cái khó loại tập này, theo tơi chỗ, có cách tiếp cận riêng, cách giải riêng độc đáo Chứa đựng chúng kiến thức sâu rộng kĩ phức tạp, địi hỏi cần phải có tư linh hoạt, kĩ thục tới độ “linh cảm” Mặc dù biết nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết, phương pháp qui nạp, phương pháp đánh giá đại diện, phương pháp phản chứng ; có nhiều kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - Si để chứng minh bất đẳng thức phong phú như: kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân từ trung bình nhân sang trung bình cộng , kĩ thuật tách ghép nghịch đảo, kĩ thuật chọn điểm rơi (trọng số), kĩ thuật ghép đối xứng, kĩ thuật đổi biến số, Nhưng gặp tập bất đẳng thức nói chung học sinh lại lúng túng bắt đầu Trong nội dung bất đẳng thức trường phổ thơng lại đóng vai trị quan trọng việc rèn luyện tư duy, khả linh hoạt óc sáng tạo; đồng thời giúp học sinh rèn luyện tính cần cù, tinh thần vượt khó Hơn nữa, bất đẳng thức cách chứng minh bất đẳng thức có vẻ đẹp lộng lẫy sức hấp dẫn kì lạ người nghiên cứu chúng nên việc nghiên cứu chúng cịn có tác dụng kích thích say mê học tập mơn Tốn mơn học khác Bên cạnh đó, sau giải xong tập bất đẳng thức, câu hỏi đặt với cịn cách khác giải khơng? Trong thực tế cho thấy tìm kiếm lời giải khác tốn giúp ta thêm hứng thú học toán G.Polya (1887 – 1985) nhà toán học nhà sư phạm người Mỹ khuyên “ngay lời giải mà ta tìm tốt rồi, tìm lời giải khác có lợi Thật sung sướng thấy kết tìm xác nhận nhờ hai lí luận khác nhau, thích biết vật nhờ hai giác quan khác Có chứng cớ cịn muốn tìm thêm chứng cớ nữa, muốn sờ vào vật mà ta trông thấy” Cho nên tâm huyết chọn sáng kiến kinh nghiệm “Giải pháp rèn luyện khả tư logic cho học sinh giỏi lớp trườngTHCS Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc học bất đẳng thức” 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giúp học sinh có nhìn tổng qt dạng toán chứng minh bất đẳng thức, để học sinh sau học xong chương trình tốn THCS nắm loại tốn biết cách giải chúng Rèn luyện cho học sinh khả tư duy, logic xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lịng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng dạng toán bất đẳng thức Học sinh thấy mơn tốn gần gũi với môn học khác thực tiễn sống Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú học mơn tốn Để rèn luyện khả sáng tạo học toán bất đẳng thức, trước tập cho học sinh tìm hiểu nhiều cách giải từ tìm cách giải hợp lí Sau sở toán cụ thể hướng dẫn học sinh xây dựng toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9A1 9A2 trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc, tỉnh Thanh Hóa (20 học sinh) 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu: Tìm tịi, hệ thống kiến thức thu thập - Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy kiểm tra nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần nhiều hình thức khác - Tổng hợp phân tích thu thập Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận Từ trường năm 2006 đến thân nhận thấy làm tập đòi hỏi tư logic học sinh ngại làm Bởi tập địi hỏi tính sáng tạo, tính tư logic , tính tưởng tượng, tính cần cù chịu khó để giải tốn cần sử dụng nhiều đơn vị kiến thức Khi làm toán bất đẳng thức học sinh có cảm giác “bơi biển lớn”: sợ, khơng biết định hình làm nào? Trong đề thi học sinh giỏi thường có câu bất đẳng thức, học sinh thường để điểm thi phần Theo tâm lí học, tư tích cực, độc lập sáng tạo học sinh thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Có óc hồi nghi, ln đặt câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách khác khơng? Các trường hợp khác kết luận cịn hay khơng? … - Tính độc lập cịn thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết Do vậy, việc tìm quy luật khai thác toán theo nhiều dạng tập khác trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo gặp dạng tự tin gặp đề thi có tập liên quan 2.1.1 Định nghĩa bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức (BĐT) gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức A ≥ B ⇔ A − B ≥  A ≤ B ⇔ A − B ≤ 2.1.2 Các tính chất bất đẳng thức a) Tính bắc cầu : a > b ; b > c ⇒ a > c b) Cộng hai vế bất đẳng thức với số : a > b ⇒ a + c > b + c c) Nhân hai vế bất đẳng thức với số : a > b ; c > ⇒ ac > bc a > b ; c < ⇒ ac < bc d) Cộng vế hai bất đẳng thức chiều, bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho : a>b;c>d ⇒ a+c>b+d Chú ý : Không trừ vế hai bất đẳng thức chiều e) Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều,được bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ: a>b;cb–d f) Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm : a > b ≥ ; c > d ≥ ⇒ ac > bd g) Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức : a > b > ⇒ an > bn ; a > b ⇔ an > bn n lẻ ; n n a > b ⇔ a >b n chẵn h) So sánh hai luỹ thừa số với số mũ nguyên dương : Nếu m > n > : a > ⇒ am > an ; a = ⇒ am = an ; < a < ⇒ am < an i) Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu : 1 a > b ; ab > ⇒ < a b Chú ý : Ngoài bất đẳng thức chặt, chẳng hạn a > b hay a < b, ta cịn gặp bất đẳng thức khơng chặt, chẳng hạn a ≤ b hay a ≥ b Trong tính chất trên, nhiều dấu > (hoặc a ≥ b (hoặc diễn đạt a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ ) a a a+c a a a +c 1⇔ > với a, b, c dương b b b+c b b b+c a a+c c a c < với < b, d > g) < b d b b+d d f) 2.1.4 Bất đẳng thức Cô-si * Dạng đơn giản : Với a ≥ 0, b ≥ ta có : (dấu “=” xảy a = b) * Biến dạng : ( a + b) a+b ≥ ab ; a2 + b2 ≥ 2ab 2 a +b ≥ 4ab hay  ÷ ≥ ab Dấu “=” xảy a = b   a b + ≥ với a, b > ; Dấu “=” xảy a = b b a a b + ≤ −2 với a, b < ; Dấu “=” xảy a = b b a 1 + ≥ với a, b > a b a+b 2.1.5 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-Cốpx-ki * Dạng đơn giản : Với hai cặp số a, b ; x, y ta có : ( a + b2 ) ( x + y2 ) ≥ ( ax + by ) a b Dấu “=” xảy x = y a b2 ( a + b ) * Suy : + ≥ x y x+y a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+y+z 2.2 Thực trạng vấn đề Qua trắc nghiệm hứng thú học tốn học sinh tơi thấy 15% em thực có hứng thú học tốn (có tư sáng tạo), 50% học sinh thích học tốn (chưa có tính độc lập, tư sáng tạo) 35% cịn lại khơng Qua gần gũi tìm hiểu em cho biết muốn học song nhiều học cách thụ động, chưa biết cách tư để giải toán cách sáng tạo, lí điều kiện khách quan địa phương nhà trường, học sinh bồi dưỡng thời gian định, học sinh chưa có hứng thú học tốn có “cảm giác sợ” gặp phải toán bất đẳng thức 2.3 Giải pháp tổ chức thực - Đưa số toán → Hướng dẫn học sinh giải theo nhiểu cách khác → chốt lại - Đưa toán → giải toán → khai thác tốn theo nhiều cách khác thành tốn khác Sau giáo viên cho học sinh làm kiểm tra đánh giá từ rút hiệu sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ mong muốn học sinh rèn luyện khả sáng tạo, tìm nhiều cách giải, thân người giáo viên phải người tìm nhiều cách giải Việc tìm nhiều cách giải cho toán giúp học sinh giáo viên ghi nhớ áp dụng triệt để, linh hoạt kiến thức học giải toán Xin nêu tốn quen thuộc sau làm ví dụ Bài tốn 1: Cho x, y ≥ Chứng minh rằng: x3 + y3 ≥ x2y + xy2 Hướng dẫn Từ giả thiết cho x,y ≥ gợi ý cho học sinh làm theo cách sau: Cách 1: Xét hiệu: (x3 + y3) – (x2y + xy2 ) = (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = (x + y)(x – y)2 ≥ với ∀ x, y ≥ Vậy x3 + y3 ≥ x2y + xy2 với ∀ x, y ≥ Dấu “=” xảy x = y Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: x + xy ≥ x y ; y + yx ≥ xy ⇒ x3 + xy + y + yx ≥ x y + xy ⇒ x3 + y ≥ x y + xy Để chứng minh toán ta nghĩ đến hai phương pháp để chứng minh bất đẳng thức phương pháp dùng định nghĩa phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi Vậy câu hỏi đặt từ bất đẳng thức ta có bất đẳng thức khác? Khai thác toán Ta biết từ bất đẳng thức ta thực quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân với số khác nên từ bất đẳng thức cho ta biến đổi sau: toán Với ∀ x, y > ta có x3 + y3 ≥ x2y + xy2 ⇔ x3 + y x + y 3 ≥ x + y ≥ xy(x + y) ⇔ Từ ta có tốn1.1 sau xy Bài toán 1.1: Cho x, y, z > Chứng minh rằng: x3 + y y + z z + x3 + + ≥ x+ y+z xy yz zx Hướng dẫn Khi giải toán 1.1 học sinh tư logic sử dụng kết tốn ta có x3 + y3 x + y  ≥ xy  y + z y + z  x3 + y y + z z + x3 ≥ + + ≥ x + y + z (đpcm) ⇒ yz  xy yz zx z + x3 z + x  ≥  zx  Dấu ‘=’ xảy x=y=z Ta cộng hai vế bất đẳng thức với số nên ta biến đổi bất đẳng thức cho theo cách khác sau: từ toán Với ∀ x, y, z > ta có x3 + y3 ≥ x2y + xy2 ⇔ x3 + y3 + xyz ≥ x2y + xy2 + xyz ⇔ x3 + y3 + xyz ≥ xy(x + y + z) ⇔ 1 ≤ x + y + xyz xy ( x + y + z ) Từ ta có tốn 1.2 sau : Bài toán 1.2: Cho x, y, z > Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 3 3 x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz Hướng dẫn Học sinh nhận thấy từ bất đẳng thức (bài toán 1) x3 + y3 ≥ x2y + xy2 ⇔ x3 + y3 + xyz ≥ x2y + xy2 + xyz( cộng hai vế với xyz) ⇔ x3 + y3 + xyz ≥ xy(x + y + z) ⇔ 1 ≤ x + y + xyz xy ( x + y + z ) Tương tự ta có  1 ≤  x3 + y + xyz xy ( x + y + z )   1 ≤  3  y + z + xyz yz ( x + y + z )  1 ≤  3  z + x + xyz zx ( x + y + z ) 1 ⇒ + + 3 x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz 1 ≤ + + xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) zx( x + y + z ) z x y = ( + + )= xyz x + y + z x + y + z x + y + z xyz 1 1 Vậy x3 + y + xyz + y + z + xyz + z + x + xyz ≤ xyz với x, y, z > Dấu ‘=’ xảy x=y=z Ở toán 1.2 đơn giản biểu thức ta đặt a = x ; b = y3 ; c = z3 cho thêm điểu kiện xyz = ta lại có tốn 1.3 sau: Bài toán 1.3: Cho a, b, c > thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≤1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 Hướng dẫn: học sinh sử dụng kết toán toán 1.2 *Ta lại biến đổi toán theo cách sau: Với ∀ x, y > ta có x3 + y3 ≥ x2y + xy2 ⇔ 3x3 ≥ (x3 - y3) + (x3 + x2y + xy2) 3x3 ⇔ 3x3 ≥ (2x – y)(x2 + xy + y2) ⇔ ≥ x − y (1) x + xy + y Từ ta có toán 1.4 sau Bài toán 1.4: Cho x, y, z > Chứng minh rằng: 3x3 y3 3z + + ≥ x+ y+z x + xy + y y + yz + z z + zx + x Hướng dẫn Học sinh sử dụng kết toán biến đổi (1) 3x3 y3 3z ≥ x − y ; ≥ y − z ; ≥ 2z − x Ta có: x + xy + y y + yz + z z + zx + x 3x3 y3 3z3 ⇒ + + ≥ (2 x − y ) + (2 y − z ) + (2 z − x) x + xy + y y + yz + z z + zx + x 3x3 y3 3z ⇒ + + ≥ x + y + z (đpcm) 2 2 x + xy + y y + yz + z z + zx + x Dấu ‘=’ xảy x=y=z Như qua tập học sinh rèn luyện cách chứng minh bất đẳng thức theo cách khác nhau.Và từ tập 1,theo cách biến đổi khác thu số bất đẳng thức mới( toán 1.1, toán 1.2,bài toán 1.3; toán 1.4).Các bất đẳng thức nhìn khơng liên quan với thực có chung từ bất đẳng thức gốc bất đẳng thức tập Từ học sinh thấy bất đẳng thức mảng rời rạc mà khối liên hệ với nhau.Làm cho học sinh khơng cịn cảm thấy sợ (đi từ bất đẳng thức quen thuộc) lập luận suy nghĩ logic mà học sinh chủ động tìm cách làm tập tưởng trừng khó Hồn tồn tương tự cho học sinh tập sau Bài tập 2: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c ) ≤ abc Ở tập ta thấy trung bình cộng hai số có tích vế trái thừa số vế phải ( a + b − c ) + ( a − b + c ) = a  ( a + b − c) + (−a + b + c ) = 2b ( a − b + c) + (−a + b + c ) = 2c  Tức xuất tích hai số tổng hai số nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Côsi Tuy nhiên để sử dụng bất đẳng thức Cơ si cần điều kiện số khơng âm tốn ta làm sau: Hướng dẫn Khơng tính tổng qt, ta giả sử a = max{a, b, c} Khi a + b – c ≥ a – b + c ≥ Nếu – a + b + c < bất đẳng thức cho Do ta cịn xét ba khơng âm Cách Theo bất đẳng thức Cô – Si:  a +b−c + a −b+c  (a + b − c)(a − b + c ) ≤  ÷ =a    a −b+c −a +b+c  (a − b + c)(−a + b + c ) ≤  ÷ =c    −a + b + c + a + b − c  (−a + b + c)(a + b − c ) ≤  ÷ =b   Do hai vế bất đẳng thức không âm, nên nhân vế với vế ta được: [ (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c)]2 ≤ (abc ) Hay: (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c ) ≤ abc (đpcm) Đẳng thức xảy a = b = c a + b − c = a + (b − c ) Ta lại có  a − b + c = a − (b − c) Nên tích (a + b – c)(a – b +c) tích tổng hai số với hiệu hai số (a b-c) Tương tự với số cịn lại có tích vế trái Từ ta nghĩ đến đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B) Mà A2 – B2 ≤ A2 Vậy ta nghĩ đến giải tập theo cách sau: Cách Ta có bất đẳng thức hiển nhiên a2 – (b – c)2 ≤ a2 hay (a + b – c)(a – b + c) ≤ a2 Tương tự ta có thêm hai bất đẳng thức (−a + b + c)(a + b − c ) ≤ b (a − b + c)(−a + b + c ) ≤ c Do hai vế bất đẳng thức không âm, nên nhân vế với vế ta được: [ (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c)]2 ≤ (abc ) Hay: (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c ) ≤ abc (đpcm) Đẳng thức xảy a = b = c Như để chứng minh toán ta quan tâm đến số (a + b – c); (a + c – b); (b + c – a) khơng âm hay nói cách khác ta có a + b ≥ c; a + c ≥ b; b + c ≥ a, điều gợi nhớ cho ta đến bất đẳng thức tam giác Dấu “=” bất đẳng thức (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c ) ≤ abc xảy a = b = c nên từ tốn ta chuyển thành đề toán sau Bài toán 3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ≥ abc Chứng minh tam giác tam giác Hướng dẫn Theo kết tốn ta có (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c ) ≤ abc Dấu “=” xảy a = b = c Kết hợp với điều kiện (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ≥ abc ta có (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c) = abc Vậy a = b = c hay tam giác tam giác Tương tự cách khai thác toán 1, cách: biến đổi đồng nhất, sử dụng thêm bất đẳng thức quen thuộc khác vào hai vế bất đẳng thức có, phối hợp đẳng thức bất đẳng thức quen thuộc vào hai vế bất đẳng thức biết, cho thêm giả thiết tốn tơi hướng dẫn học sinh khai thức toán theo hướng sau Khai thác toán Thực nhân số vế trái ta có (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c) = a (b + c) + b (a + c) + c (a + b) − (a + b3 + c + 2abc) Như vậy: (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c ) ≤ abc ⇔ a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) (2) Do ta có tốn 2.1 Bài toán 2.1 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) Hướng dẫn: sử dụng toán biến đổi (2) *Từ toán biến đổi vế phải a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Ta được: a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)(3) Như ta có tốn 2.2 Bài toán 2.2 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Hướng dẫn: sử dụng toán biến đổi (3) * Cộng 3abc vào hai vế bất đẳng thức toán 2.1, ta lại có: a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca)(4) Đây đề toán 2.3 10 Bài toán 2.3 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca) Hướng dẫn: sử dụng toán 2.1 biến đổi (4) *Áp dụng đẳng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) vào vế trái bất đẳng thức toán 2.3, ta lại thu được: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) + 9abc ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca) hay (a + b + c)3 + 9abc ≥ 4(a + b + c)(ab + bc + ca)(5) ta toán 2.4 Bài toán 2.4 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: (a + b + c)3 + 9abc ≥ 4(a + b + c)(ab + bc + ca) Hướng dẫn: sử dụng toán 2.3 biến đổi (5) *Nếu thêm a + b + c > từ bất đẳng thức tốn 2.4, ta có 9abc (a + b + c) + ≥ 4( ab + bc + ca ) a+b+c 9abc 2 ≥ 2(ab + bc + ca ) (6) toán 2.5 Suy ra: a + b + c + a+b+c Bài toán 2.5 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 9abc a2 + b2 + c2 + ≥ 2(ab + bc + ca ) a+b+c Hướng dẫn: sử dụng toán 2.4 biến đổi (6) *Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si: 3abc ≤ a + b3 + c3 vào vế trái bất đẳng thức tốn 2.1, 2.2, 2.3 (7) ta có toán 2.6 Bài toán 2.6 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: 2(a3 + b3 + c3) ≥ a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) Hướng dẫn: làm theo hướng dẫn (7) *Ta có: a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (8) nên tốn 2.6 cịn chuyển thành toán2.7 sau Bài toán 2.7 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: 2(a3 + b3 + c3) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Hướng dẫn: sử dụng toán 2.6 biến đổi (8) *Lại có: ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) Nên toán từ toán 2.7, ta cộng hai vế bất đẳng thức với 2abc ta có tốn 2.8 Bài toán 2.8 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: 2(a3 + b3 + c3) + 3abc ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca) 11 Hướng dẫn:sử dụng toán 2.7 biến đổi cộng hai vế với 2abc *Biến đổi bất đẳng thức toán 2.1 thành a( a + b)(a + c ) + b(b + a )(b + c) + c (c + a )(c + b) + 4abc ≥ 2(a + b)(b + c )(c + a ) V a b c 4abc + + + ≥ (9) ớia,b,cdương : b + c c + a a + b (a + b)(b + c )(c + a ) Ta toán 2.9 Bài toán 2.9 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c 4abc + + + ≥ b + c c + a a + b (a + b)(b + c )(c + a ) Hướng dẫn: sử dụng toán 2.1 biến đổi (9) *Cho thêm giả thiết a + b + c = 1, thay vào tốn ta có: (1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c) ≤ abc(10).ta có toán 2.10 Bài toán 2.10 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: (1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c) ≤ abc Hướng dẫn: sử dụng toán biến đổi (10) *Khai triển bất đẳng thức toán 2.10 với ý a + b + c = 1, ta có: 4(ab + bc + ca) ≤ 9abc + 1(11) toán 2.11 Bài toán 2.11 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 4(ab + bc + ca) ≤ 9abc + Hướng dẫn: sử dụng toán 2.10 biến đổi (11) *Theo bất đẳng thức: 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)2 = Kết hợp với bất đẳng thức toán 2.11 ta thu được: 7(ab + bc + ca) ≤ 9abc + (12), toán 2.12 Bài toán 2.12 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 7(ab + bc + ca) ≤ 9abc + Hướng dẫn: sử dụng toán 2.11 biến đổi (12) *Thay a + b + c = vào bất đẳng thức toán 2.1: a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a (1 − a ) + b (1 − b) + c (1 − c) Biến đổi ta được: 2(a3 + b3 + c3) + 3abc ≥ a2 + b2 + c2 (13) toán 2.13 Bài toán 2.13 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 2(a3 + b3 + c3) + 3abc ≥ a2 + b2 + c2 Hướng dẫn: sử dụng toán 2.1 biến đổi (13) a+b+c *Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si : abc ≤  ; kết hợp ÷ =   27 với bất đẳng thức toán 2.11 ta có 12 Vì 4(ab + bc + ca) ≤ 9abc + ⇔ 4(ab + bc + ca) – 8abc ≤ abc + 1 + hay ab + bc + ca – 2abc ≤ suy ra: 4(ab + bc + ca) – 8abc ≤ (14) 27 27 toán 2.14 Bài toán 2.14 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca – 2abc ≤ 27 Hướng dẫn: sử dụng toán 2.11 biến đổi (14) *Từ toán 2.11: 4(ab + bc + ca) ≤ 9abc + ⇔ 4(ab + bc + ca) – 4abc ≤ abc + 1 suy ra: 4(ab + bc + ca) – 4abc ≤ + hay ab + bc + ca – abc ≤ (15) 27 27 toán 2.15 Bài toán 2.15 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca – abc ≤ 27 Hướng dẫn: sử dụng toán 2.11 biến đổi (15) *Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: 1 a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 = , 3 kết hợp với bất đẳng thức toán 2.13 ta : 6(a3 + b3 + c3) + 9abc ≥ 1(16) toán 2.16 Bài toán 2.16 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 6(a3 + b3 + c3) + 9abc ≥ Hướng dẫn: sử dụng toán 2.13 biến đổi (16) * Ta thay 1 ab + bc + ca = [(a + b + c)2 – (a2 + b2 +c2)] = 1 − (a + b + c )  2 Vào bất đẳng thức tốn 2.14 ta có 13 ⇔ a + b + c + 4abc ≥ 1 − (a + b + c )  – 2abc ≤ (17) 27 27 Bài toán 2.17 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 13 2 Chứng minh rằng: a + b + c + 4abc ≥ 27 Hướng dẫn: sử dụng toán 2.14 biến đổi (17) *Ta thay 1 ab + bc + ca = [(a + b + c)2 – (a2 + b2 +c2)] = 1 − (a + b + c )  2 13 Vào bất đẳng thức tốn 2.15 ta có 11 ⇔ a + b + c + 2abc ≥ 1 − (a + b + c )  – abc ≤ (18) 27 27 ta có tốn 2.18 Bài toán 2.18 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 11 2 Chứng minh rằng: a + b + c + 2abc ≥ 27 Hướng dẫn: sử dụng toán 2.15 biến đổi (18) *Vẫn từ toán 2.11: 4(ab + bc + ca) ≤ 9abc + 1 Vì 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)2 nên ab + bc + ca ≤ ; 8(ab + bc + ca) ≤ 9abc + + 4(ab + bc + ca) ≤ 9abc + + = 9abc + (19) 3 Nên ta có tốn 2.19 sau: Bài toán 2.19 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 8(ab + bc + ca) ≤ 9abc + Hướng dẫn: sử dụng toán 2.11 biến đổi (19) *Thay ab + bc + ca = [(a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2)] = [1 – (a2 + b2 + c2)] (20)vào toán 2.19 ta được: 4(a2 + b2 + c2) + 9abc ≥ toán 2.20 Bài toán 2.20 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 4(a2 + b2 + c2) + 9abc ≥ Hướng dẫn: sử dụng toán 2.19 biến đổi (20) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Thông qua việc xây dựng, đề xuất tốn nêu trên, góp phần hình thành cho học sinh kỹ tư logic, kĩ tìm tịi, khám phá kĩ phối hợp nhiều kĩ thuật phức tạp tập dần hình thành tư linh hoạt cho học sinh Bên cạnh từ cách suy bất đẳng thức từ bất đẳng thức biết giúp em hình thành phương pháp hiệu để chứng minh bất đẳng thức Phương pháp quy lạ quen Chẳng hạn ta xét toán sau: “ Cho ba số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z + xyz ≥ 14 Rõ ràng tốn khơng giống toán ta nêu giả thiết x + y + z = 3, ta đặt x = 3a, y = 3b, z = 3c giả thiết là: a, b, c không âm a + b + c = 1, điều cần chứng minh (3a ) + (3b) + (3c) + 3a.3b.3c ≥ 4 ⇔ a + b + c + 3abc ≥ (**) Rõ ràng bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức toán 2.18 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cô – Si vào vế trái (**) ta có: ≤ a + b + c + 3abc = a + b2 + c + 2abc + abc a+b+c ≤ a + b + c + 2abc +  ÷   = a + b + c + 2abc + 27 2 11 − = (đây bất đẳng thức Bài toán 2.18) 27 27 Từ ví dụ nêu trên, làm cho học sinh thấy rằng, đơi nhìn tốn nói hồn tồn khác nhau, qua việc phân tích cho ta thấy tốn lại có nguồn gốc giống Hơn nữa, qua mở cho ta hướng để ta đề xuất thêm nhiều toán từ toán nêu cách đặt ẩn phụ cách thích hợp Khi chưa thực đề tài nhận thấy nhiều học sinh gặp phải toán bất đẳng thức thường thấy “sợ” thường bỏ qua đề thi Qua lần kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên lớp, trường , Phịng giáo dục em có điểm 10, điều chứng tỏ học sinh làm dạng tập khó Cụ thể ,trong năm 2020-2021 nhà trương phân cơng cho tơi dạy tốn lớp 9A1, 9A2 kết thu sau : 2 Hay a + b + c + 2abc ≥ Làm tốt, nhanh SL % Làm bài, chưa nhanh SL % Kiểm tra Tổng số HS Lần 20 5,0 11 Lần 20 15,0 Lần 20 30,0 Còn khúc mắc SL % 55,0 40,0 12 60,0 25,0 14 70,0 0,0 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 15 Trên toàn sáng kiến kinh nghiệm: “Giải pháp rèn luyện khả tư logic cho học sinh giỏi lớp trườngTHCS Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc học bất đẳng thức” Qua sáng kiến hướng dẫn cho học sinh biết cách chứng minh hai toán quen thuộc theo nhiều cách từ bất đẳng thức quen thuộc ta suy bất đẳng thức khác cách khác Qua thời gian thực đề tài cách hướng dẫn học sinh giải toán bất đẳng thức theo nhiều cách, phát triển thành toán học sinh hứng thú học với dạng tốn bất đẳng thức Từ em linh hoạt, sáng tạo học toán Mặc dù vậy, người biết, khơng có cách giải giải tốn Khơng thể có kinh nghiệm áp dụng vào tình Kinh nghiệm nhỏ áp dụng vào số tập định Bài viết chắn cịn nhiều thiếu sót nội dung hình thức trình bày, mong nhận thật nhiều góp ý chân thành Hội đồng khoa học cấp 3.2 Kiến nghị Việc vận dụng sáng kiến vào trình giảng dạy dễ dàng hướng khai thác tốn xếp từ dễ đến khó nên học sinh dễ dàng tiếp thu Tuy nhiên, để có hiệu khơng sáng kiến mà Phịng Giáo Dục Đào Tạo nên triển khai sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao, áp dụng vào trường THCS tồn huyện thơng qua lớp chun đề Ngọc Lặc, ngày 20 tháng năm 2021 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam kết sáng kiến tự làm, không sử dụng chép coppy người khác Người viết Nguyễn văn Kiệm 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các đề thi học sinh giỏi toán huyện tỉnh tỉnh khác mạng intenet(chủ yếu trang https://dethi.violet.vn/present/list/cat_id/1178) [2] Sách nâng cao phát triển Toán tập - tác giả Vũ Hữu Bình [3] Sách nâng cao phát triển Toán tập - tác giả Vũ Hữu Bình [4] Sách nâng cao chuyên đề Đại số 9- tác giả Vũ Dương Thụy [5] Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán – tác giả Bùi Văn Tuyên 17 ... sáng kiến kinh nghiệm ? ?Giải pháp rèn luyện khả tư logic cho học sinh giỏi lớp trườngTHCS Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc học bất đẳng thức? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giúp học sinh có nhìn tổng qt... sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Giải pháp rèn luyện khả tư logic cho học sinh giỏi lớp trườngTHCS Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc học bất đẳng thức? ?? Qua sáng kiến hướng dẫn cho học sinh biết cách chứng minh... cho học sinh tìm hiểu nhiều cách giải từ tìm cách giải hợp lí Sau sở tốn cụ thể hướng dẫn học sinh xây dựng toán 1.3 Đối tư? ??ng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9A1 9A2 trường THCS Lê Đình Chinh, huyện