Giai PT bac cao mot an

Trong néi dung nghiªn cøu khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö t«i thêng híng dÉn häc sinh sö dông c¸c ph¬ng ph¸p sau:.. Nhãm nhiÒu h¹ng tö d.[r]

(1)

A - đặt vấn đề

1 Lời nói đầu:

Toỏn hc l mt mụn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết lĩnh vực sống, từ xa xa ngời biết đến tốn học thơng qua việc o c, tớnh toỏn

Môn toán tảng cho môn khoa học tự nhiên khác

Trong nhà trờng, mơn tốn giữ vai trị quan trọng, mơn tốn có tính trừu tợng cao, tính logic, xác khơng bỏ tính thực nghiệm Vì vậy, làm để học giỏi tốn, câu hỏi đặt nhiều hệ học sinh, thầy cô cha mẹ học sinh hay quan tâm đến giáo dục dạy học

Phơng trình dạng tốn quan trọng, xun suốt q trình học tốn từ cấp II đến cấp III cấp cao Bởi vậy, em học sinh cần phải trang bị cho kiến thức thật vững phơng trình

Trong chơng trình toán THCS nay, sách giáo khoa đa cách giải phơng trình bậc bậc hai đơn giản Đối với em học sinh việc giải phơng trình khơng gây khó khăn nhiều Nhng gặp số phơng trình bậc cao em thờng lúng túng, cha tìm đợc cách giải cho toán Ngay giáo viên THCS gặp nhiều khó khăn việc giải ph-ơng trình

Vì vậy, tơi xin đề xuất số phơng pháp giải phơng trình bậc cao chơng trình tốn THCS tập minh họa

2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài.

- Phơng pháp giải phơng trình bậc cao ẩn: Bằng cách đa ph-ơng trình biết cách giải dạng quen thuộc

- C¸c vÝ dơ minh ho¹

- Rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao ẩn - Củng cố hớng dẫn hc sinh lm bi

3 Đối t ợng nghiªn cøu

- Học sinh lứa tuổi 14 - 15 trờng THCS đa số em chăm học, thích học tốn bớc đầu thể lực tiếp thu cách tơng đối ổn định

Đối tợng khảo sát Học sinh lớp trờng THCS xã Bình Lơng huyện Nh Xuân -Thanh Hoá đợc phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém

4 Ph ¬ng pháp nghiên cứu - Tham khảo, thu thập tài liệu - Ph©n tÝch, tỉng kÕt kinh nghiƯm

- KiĨm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học

(2)

(3)

B Nội dung đề tài

I Một số kiến thức sở ph ơng trình bậc cao I.1.Cơ sở lý luận

1> Khái niệm ph ơng trình ẩn :

Cho A(x) B(x) hai biểu thức chứa biến x Khi nói A(x) = B(x) phơng trình ta hiểu phải tìm giá trị x để giá trị tơng ứng hai biểu thức

BiÕn x gäi lµ Èn

Giá trị tìm đợc ẩn gọi nghiệm Mỗi biểu thức vế phơng trình Việc tìm nghiệm gọi giải phơng trình 2> Định nghĩa hai ph ơng trình t ơng đ ơng

Hai phơng trình gọi tơng đơng tập hợp nghiệm chúng

3> Các phép biến đổi t ơng đ ơng ph ơng trình

Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng phơng trình: Biến đổi phơng trình cho thành phơng trình khác tơng đơng với nó, nhng đơn giản gọi phép biến i tng ng

a) Định lý 1:

Nu cộng đa thức chứa ẩn số vào hai vế phơng trình đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình cho

VÝ dơ: 3x= 27  3x + 2x = 27 + 2x

Hệ 1: Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế phơng trình đồng thời đổi dấu hạng tử đợc phơng trình tơng đơng với ph-ơng trình cho

VÝ dô:

5x + = 16x -  5x - 16x = -3 -7

Hệ 2: Nếu xóa hai hạng tử giống hai vế phơng trình đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình cho

VÝ dô:

7x3 + 8x - 5=14 + 7x3 8x -5 = 14 b Định lý 2:

Nu nhõn số khác vào hai vế phơng trình đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình cho

VÝ dơ:

2 x+9=2x 10x+18=4x 20

(4)

1.1 Định nghĩa:

Phơng trình dạng ax + b = 0, với a b hai số cho a  0, đợc gọi phơng trình bậc ẩn

1.2 Tập xác định:

Tập xác định ca phng trỡnh l R

1.3.Cách giải

Phơng tr×nh bËc nhÊt ax + b = cã nghiƯm x=b

a

2.Ph ơng trình bậc hai ẩn số :

2.1.Định nghĩa:

Phơng trình bậc hai có ẩn số phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0

trong x ẩn số, a, b, c hệ số cho, a 

Nghiệm phơng trình bậc hai giá trị mà thay vào vế trái phơng trình ta đợc giá trị vế trái

2.2 Cách giải

- Ta dựng cỏc phộp bin i tơng đơng, biến đổi phơng trình cho dạng phơng trình biết cách giải (phơng trình bậc nhất, phơng trình dạng tích) để tìm nghiệm phơng trình

- Khi nghiªn cøu vỊ nghiệm số phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

( a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số  phơng trình:

 = b2 - 4ac

 gäi biệt số phơng trình bậc hai biểu thøc  = b2 - 4ac quyÕt

định nghiệm số phơng trình bậc hai Ta thấy có khả sau xảy :

a)  < phơng trình bậc hai vô nghiệm

b) =0 phơng trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiÖm trïng )

x1=x2=−

b 2a

c) >0 phơng trình bậc hai có hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1=− b+√Δ

2a ; x2=

− b −√Δ 2a

2.3 HÖ thøc Viet.

Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm x

1, x2 tổng

tớch hai nghim ú l : S = x1+x2 = - b

a

P = x1.x2 = c

a

3 Ph ¬ng tr×nh bËc cao mét Èn

(5)

Phơng trình tổng quát bậc n có dạng:

anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = (an 0)

Trong đó: x ẩn số,

an, ,a0 : hệ số

i vi phng trình bậc cao bậc khơng có cơng thức tổng qt để tìm nghiệm Ngay trờng hợp phơng trình bậc bậc có cơng thức nhng việc tìm nghiệm phơng trình phức tạp nằm ngồi chơng trình THCS, THPT

Ta có hệ thức Viet liên quan nghiệm phơng trình đại số bc cao

3.2 Định lí Viet cho ph ơng trình bậc n ẩn :

Cho phơng trình bËc n: anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = (an 0)

Giả sử phơng trình có n nghiệm x1, ,xn, nghiệm đợc kê

số lần bội nó, ta có hệ thức Viet sau:

x1+ +xn=−an −1

an

x1x2+x3x4+ +xn −1xn=−an −2

an

−1¿k

∑

xi

xik

an − k

an ¿

víi 1i1<i2< <ik

−1¿na0

an x1x2 xn=¿

Đảo lại: Cho trớc n số x1x2, xn

Đặt S1 = x1+ +xn

S2=x1x2 + x3x4 + +xn-1xn

Sk=

∑

xi

xik

Sn=x1x2 xn

Khi x1x2, ,xn nghiệm phơng trình sau:

xn- S

1xn-1 + S2xn-2+ +(-1)kSn = Ví dụ:

Định lý Viet cho phơng trình bậc ba có dạng sau: Cho phơng tr×nh bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d = cã nghiÖm x

1 , x2 , x3

Khi đó:

x1+x2+x3=−

b a x1x2+x2x3+x3x4=

(6)

x1x2x3=−d

a

- Hệ thức Viet cho phơng trình bậc : ax4 + bx3 +cx2 +dx +e =0

Cã d¹ng nh sau:

x1+x2+x3+x4=−b

a

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=c

a x1x2x3+x1x3x4+x1x2x4+x2x3x4=−d

a x1x2x3x4=c

a

II Một số ph ơng pháp giải số loại ph ơng trình đại số bậc cao ẩn : Khi gặp phơng trình đại số bậc cao ẩn có nhiều cách giải song đề tài đề cập đến hai phơng pháp để giải phơng trình đại số bậc cao

Đó là:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình dạng phơng trình tích + Đặt ẩn phụ

II.1 Sử dụng ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1.Cơ sở lý luận:

Ta biết phơng trình:

f(x).g(x)=0

f(x)=0 ¿

g(x)=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vì phơng trình bậc cao ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử đa phơng trình dạng phơng trình tích nhân tử có bậc thấp hơn, dạng phơng trình quen thuộc biết cách giải

2 Néi dung

Trong nội dung nghiên cứu phân tích đa thức thành nhân tử thờng hớng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp sau:

a t nhõn t chung b Dùng đẳng thức c Nhóm nhiều hạng tử d Tách hạng tử

e Thªm bít cïng mét hạng tử đ Phối hợp nhiều phơng pháp

Ví dụ: Giải phơng trình sau:

(7)

7x(x2 -9)=0

⇔ 7x (x-3)(x+3)=0 ⇔

x=0 ¿

x −3=0 ¿

x+3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔

x=0 ¿

x=3 ¿

x=−3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phơng trình cho có nghiệm: x=0; x=3; x=-3 b) x3 -6x2 + 12x - =0

⇔ (x-2)3 =0

⇔ x-2=0 ⇔ x=2

Vậy phơng trình cho có nghiệm x=2; c)x3 - 3x2 + 6x - 18 = 0

⇔ (x3 - 3x2 ) + ( 6x - 18 ) = 0

⇔ x2 (x-3) + 6( x-3) = 0

⇔ ( x2+ )(x-3) = ( 1)

V× x2 0 ∀x nªn x2 +  6 ∀x ⇒ x2 + > 0 ∀x ( 2)

Từ (1) (2) ⇒ x-3=0 ⇒ x=3 Vậy phơng trình cho có nghiệm : x= d) x4 + 3x2 - 28 =

⇔ x4 + 7x2 - 4x2 - 28 =0 ⇔ x2(x2 -4) + 7(x2 -4) = 0 ⇔ (x2 + 7)(x2 - 4) =0

⇔ (x2 +7 )(x-2)(x+2)=0 (1)

Vì x2 0 x nên x2 +  7 ∀x ⇒ x2 + > 0 ∀x ( 2)

(8)

⇒

x −2=0 ¿

x+2=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒

x=2 ¿

x=−2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phơng trình cho có nghiệm x=2; x=-2 e) x3 - 7x-6 =0

⇔ x3 + -7x - 6- 8=0

⇔ (x3 + 8) -(7x+14)=0

⇔ (x+2)(x2 -2x+4) - 7(x+2) =0

⇔ (x+2)(x2 -2x-3)=0

⇔

x+2=0 ¿

x2−2x −3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔

x+2=0 ¿

(x −1)(x+1)−2(x+1)=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔

x+2=0 ¿

x+1=0 ¿

x −3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔

x=−2 ¿

x=−1 ¿

x=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy phơng trình cho có nghiệm x=-1; x=-2; x=3

* Ngoài phơng pháp ta cịn sử dụng định lí Bơzu giúp em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử

Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x- a số giá trị f(a) f(x) x=a

- Khai th¸c c¸ch nhÈm nghiƯm :

anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = (1) (  Z )

+) NÕu an + an-1 + +a1+ a0 = th× phơng trình (1) có nghiệm x =

+) Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ phơng trình (1) có nghiƯm x = -

+) NÕu sè h÷u tØ x = p

q ( p , q nguyên tố ) nghiệm phơng

trình (1) p ớc a0 , q lµ íc cđa an

(9)

Ta thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ nên phơng trình (*) nhận x =- 1lµ nghiƯm

Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải phơng trình (*) chia hết cho x + 1, phơng trình (*) viết đợc dới dạng :

(x +1 ) ( x3 - 3x2 + 4x - ) = 0

x + = (1) x3 - 3x2 + 4x - = (2)

(1)  x+1 =  x = - (2)  x3 - 3x2 + 4x - =

T a thử ớc thấy x = nghiệm (2), nên (2) phân tích đợc thành : ( x - 2) ( x2 -x + ) = 0

x -2 = x =

x2 - x + = ' : vô nghiệm

Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm x = -1 ; x = Bài toán áp dụng:

1 Giải phơng trình: a) 3x4 -12x2 = 0

b) x3 + 14x2 - 4x - 56 =0

c) 2x3 + 11x +9 =0

d) x16 +x8 -2 =0

e) 2x4 + 5x3 -35x2 + 40x-12=0

2 Cho phơng trình : 2x3 -(1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x -2m2 + 3m -2=0

a Xác định m để phơng trình cho có nghiệm dơng phân biệt b Giải phơng trình với m=1

H

íng dÉn

2a) 2x3 -(1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x - 2m2 +3m -2 =0 (*)

⇔ 2x3 -x2 -4mx2 + 2x(2m2 -3m+2+m)-2m2 +3m-2=0

⇔ x2(2x - 1) -4mx2 + 2mx +2x(2m2 -3m+2) -(2m2 -3m +2)=0

⇔ x2(2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m2 -3m+2)=0

⇔

2x −1=0 ¿

x2−2 mx

+2m2−3m+2=0 ¿

¿ ¿ ¿

(1) ⇔ 2x-1=0 ⇔ x=1

2

(2) ⇔ x2 -2mx+2m2-3m+2=0

Ta thÊy ph¬ng trình (*) có nghiệm x=1

2

⇒ ⇒

(10)

Muèn phơng trình (*) có nghiệm dơng phân biệt phơng trình (2) phải

có nghiệm dơng phân biệt khác

2

Đặt f(x)=x2 -2mx +2m2 -3m +2 f(x) phải thỏa mÃn điều kiện sau: ¿

f(1

2)≠0 Δ'>0

S>0

P>0 ¿{ { {

¿

⇔

8m2−16m+9≠0

−m2

+3+3m>0

2m>0

2m2−3m

+2>0 ¿{ { {

⇔

m−1¿2+1≠0 ¿

−(m−1)(m −2)>0 ¿

¿

m>0

8¿

⇔

1<m<2

m>0 ¿{

1<m<2

Vậy với 1<m<2 phơng trình (2) có nghiệm dơng phân biệt khác

2

⇒ Phơng trình (*) có nghiệm dơng phân biệt 1<m<2 II.2 Sử dụng ph ơng pháp đặt ẩn phụ

1.C¬ së lÝ luËn

Khi giải phơng trình bậc cao ta cịn dùng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn để đa phơng trình dạng phơng trình quen thuộc biết cỏch gii

2 Nội dung ph ơng pháp

Trong chơng trình THCS học sinh thờng gặp dạng phơng trình sau: 2.1 ơng trình trùng phPh ơng:

a Dạng tổng quát:

Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng: ax4 +bx2 +c =0 (1) (a  0)

Trong đó: x ẩn s

a, b, c hệ số b.Cách gi¶i:

Khi giải phơng trình loại ta thờng dùng phơng pháp đổi biến số Đặt y=x2 ( y  0) (2)

(11)

Giải phơng trình bậc hai trung gian thay giá trị tìm đợc y vào (2) ta đợc phơng trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0) Giải phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình trùng phơng ban đầu

c.VÝ dô:

* VÝ dô 1: Giải phơng trình x4 -3x2 +2 =0 (1)

Giải : Đặt y=x2 (y 0).

Phơng trình (1) trë thµnh : y2 -3y +2 =0

⇔ (y-1)(y-2)=0

⇒

y −1=0 ¿

y −2=0 ¿ ¿ ¿ ¿

⇒

y=1 ¿

y=2 ¿ ¿ ¿ ¿

Cả hai nghiệm thỏa mãn y + Với y=1 ta có x2 =1 ⇒ x

1=1

x2=-1

+ Víi y=2 ta cã x2 =2 ⇒ x

3 = √2

x4= −√2

Vậy phơng trình cho có nghiệm là: x1=1;x2=-1; x3 = √2 ; x4= −√2

* Ví dụ : Xác định a để phơng trình: ax4 - ( a - ) x2 + 3a = (a  ) (1)

Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời nghiệm nhỏ -2 ; ba nghiệm lớn -1 Giải :

Đặt y= x2 0

(1) ay2 - ( a - ) y + 3a = (2)

Gi¶ sư (2) cã nghiƯm y1 y2 (1) có nghiệm phân biÖt :

-

√

y

√

y

√

y

√

y

Muốn phơng trình (1) có đồng thời nghiệm nhỏ -2 ; ba nghiệm lớn -1 :

-

√

y

√

y

VËy phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y1 , y2 tho¶ m·n :

 y1   y2

a f(0)  a 3a  3a2  0  a f(1)   a (a -a +3 +3a )   3a2 + 3a  0

a f(4)  a ( 16a - 4a + 12 + 3a )  15a2 -12a 

(12)

 3a ( a + )   -  a   -

5  a 

3a ( 5a + )  -

5  a 

VËy víi a  ( -

5 , ) phơng trình cho có bốn nghiệm phân

biệt , nghiệm nhỏ - ba nghiệm lớn hn -

Bài tập áp dụng:

1) Giải phơng trình : 4x4 -5x2 +1 =0

2) Cho phơng trình:x4-2(2m-1)x2 +4m2-3 =0 (*)

a Với giá trị m phơng trình có nghiệm phân biệt b Giải phơng trình với m=

10

H

íng dÉn: 2a) Đặt y=x2 (y 0) phơng trình (*) trở thành:

y2 -2(2m-1)y +4m2 -3 = (1) ’=(2m-1)2 -4m2 +3 = -4(m-1)

Để (*) có nghiệm phân biệt (1) phải có hai nghiệm dơng phân biệt tøc lµ (1) tháa m·n:

¿

Δ'>0

af(0)>0

S 2>0

¿{ { ¿

⇔

m<1

4m2−3>0

2m−1>0 ¿{ {

⇔

m<1

m<−√3

2 ; m>1

2 m>√3

2

¿{ {

⇒√3

2 <m<1

2.2 Ph ơng trình bậc bốn đối xứng : a

Dạng tổng quát :

Phng trình bậc bốn đối xứng phơng trình dạng:ax4 +bx3 +cx2 +bx +a=0 (a  0)

b

Cách giải :

Vì x=0 nghiệm phơng trình nên ta chia hai vế

ph-ơng trình cho x2 đặt: y=x+1

x (|y|≥2)

c VÝ dô

*VÝ dụ 1: Giải phơng trình: 3x4 +2x3 -34x2 +2x +3=0

Gi¶i:

(13)

3x2 +2x -34 +

x+ x2=0 3(x2+

x2)+2(x+

1

x)34=0

Đặt x+1

x=y x

2

+

x2=y

2

−2, ta cã: 3(y2 -2) +2y-34 =0

⇔ 3y2 +2y -40 =0

⇔y1=−4; y2=

10

Víi y= - th× x+1

x=−4 ⇔ x2 + 4x + 1=0

⇒ x1=−2+√3 x2=−2−√3 Víi y=10

3 th× x+

x=

10

3 ⇔ 3x2 - 10x + =0 ⇔ x3=

1

3; x4=3 Vậy phơng trình cho có nghiệm: x1=−2+√3 ; x2=−2−√3 ;

x3=1

3; x4=3

* VÝ dơ 2: Gi¶i phơng trình : 2x5 +5x-13x2 +5x +2 =0 (1)

Gi¶i:

Ta thấy x=-1 nghiệm phơng trình (1) Phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình sau: (x+1)(2x4 +3x3 -16x2 +3x +2) = 0

⇒

x+1=0 ¿

2x4

+3x3−16x2+3x+2=0 ¿

¿ ¿ ¿ ¿

(2) ⇔ x+1=0 ⇒x=−1

(3) ⇔ 2x4 +3x3 -16 x2 +3x+2 =0

Ta thÊy x=0 không nghiệm phơng trình (3) Chia hai vế phơng trình (3) cho x2 ta có:

2x2+3x −16+3

x+ x2=0

⇔2(x2+

x2)+3(x+

x)16=0

Đặt y=x+1

x y

2

−2=x2+

x2 (|y|≥2)

(14)

Ta cã: 2(y2 - 2) +3y -16 =0 ⇔ 2y2 + 3y - 20 = 0

Ta cã Δ =9+160=169 ⇒y1=5

2 ; y2=−4 + Víi y1=5

2 ta cã: x+

x=

5

2 ⇔2x2−5x+2=0

Δ =25-16=9 ⇒x1=1

2; x2=2 +Víi y= - ta cã:

x+1

x=−4⇔x

2

+4x+1=0

Δ'=4−1=3

⇒x3=−2+√3; x4=−2−√3 Vậy phơng trình cho có nghiệm:

⇒x1=1

2; x2=2 ; x3=−2+√3; x4=−2−√3 ;x5=-1

d

Bµi tập áp dụng :

1 Cho phơng trình: x4 +mx3 +3mx2 +mx +1 =0 (1)

a) Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm b) Giải phơng trỡnh

2 Giải phơng trình : x4 +2x3 + 4x2 +2x +1 = 0

Híng dÉn:

1a) x=0 không nghiệm (1) nên chia hai vế (1) cho x2 ta đợc:

x2+mx+3m+m

x+ x2=0 ⇔

(

x

x2

)

m

(

x

1

x

)

m

y

x

x ( |y|2

Phơng trình (1) trở thành : y2+ my + 3m - = (2) ( |y|2

Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có mét nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn |y|≥2

Ta xét tốn tìm giá trị m để phơng trỡnh (2) vụ nghim:

+ Phơng trình ( 1) vô nghiệm phơng trình (2) vô nghiệm phơng trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2)

+ Phơng trình (2) vô nghiệm: <0

(15)

+ Phơng trình (2) có nghiệm thuéc (-2,2):

Tøc

¿

Δ≥0 af(−2)>0

af(2)>0(f(y)=y2+my+3m−2)

−2<m

2<2

¿{ { { ¿

⇔

m2−12m

+8≥0

2+m>0

2+5m>0

−2<m

2<2

¿{ { {

⇔

m≤6−2√7;m≥6+2√7

m>−2

5 −4<m<4

¿{ { {

⇒−2

5<m627

Vậy phơng trình (1) vô nghiệm 2

5<m<6+2√7

Do phơng trình (1) có nghiệm khi: m −2

5 hc m>6+2√7

Chó ý:

a)Trong phơng trình đối xứng, a nghiệm 1/a nghiệm b) Phơng trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm x=-1 c) Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa phơng trình bậc n cách đặt ẩn phụ

2.3 Ph ơng trình bậc bn phn i xng a

Dạng tổng quát :

Phơng trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 bx +a =0 ( a 0) gọi phơng tr×nh

bậc bốn phản đối xứng b

Cách giải:

Vì x=0 không nghiệm phơng trình nên chia vế phơng trình

cho x2 đặt y=x −1

x

c VÝ dô

*VÝ dô : Giải phơng trình : x4 + x3 +x2 - x +1 =0 (1)

Giải

Vì x=0 không nghiệm phơng trình (1) Chia hai vế cña (1) cho x2

ta cã:

x2+x+1−1

(16)

⇔

(

x

+

x2

)

(

x −

1

x

)

Đặt y=x 1

xy

2

+2=x2+

x2

Thay vµo ta cã: y2 +2+y+1= (2)

⇔ y2 +y+ 3=0

Δ =1 - 12 < Phơng trình (2) vô nghiệm Phơng trình (1) vô nghiệm

*Ví dụ 2: Cho phơng trình : x4 -ax3-(2a+1)x2 +ax + 1=0 (1)

Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt ? Giải:

Vì x=0 nghiệm (1) nên chia vÕ cña (1) cho x2 ≠ ta cã:

x2−ax−(2a+1)+a

x+ x2=0

⇔(x2+

x2) a(x

1

x)(2a+1)=0

Đặt y=x −1

x (*) ⇒x

2

+1

x2=y

2

+2

Ta đợc phơng trình: y2 + – ay –( 2a+1) =0

y2ay2a

+1=0 (2)

Ta thấy phơng trình (*) có nghiệm với y

Để (1) có nghiệm phân biệt (2) phải có nghiÖm kÐp: ⇔ Δ=0

⇔ a2 +8a -4=0

Δ' =16+4=20 ⇒√Δ'=2√5

⇒a1=−4−2√5 a2=−4+2√5

VËy víi a=425 a=4+25 phơng trình (1) có

nghiệm phân biệt d)

Bài tập áp dụng

Giải phơng trình: 1) x4-3x3-6x2+3x+1=0

2) x5-4x3+2x2+2x-1=0

3) 6x4-35x3+62x2+35x+6=0

H

íng dÉn

2) x5-4x3+2x2+2x-1=0 (1)

Ta thÊy x=1 lµ nghiƯm cđa (1)

(17)

x4 +x3 -3x2 –x +1= (3)

(2) ⇔ x - 1=0 ⇒ x = (3) ⇔ x4

+x3−3x2− x+1=0

Vì x= không nghiệm (3) Chia hai vÕ cña (3) cho x2≠ ta cã:

x2

+x −3−1

x+ x2=0

(

x

x2

)

(

x

)

Đặt y=x −1

x⇒y

2

+2=x2+

x2

Ta đợc phơng trình :y2+2+y-3=0

⇔ y2 + y -1 =0

Δ=4+1=5

⇒y1=−1+√5

2 ; y2=

−1−√5

+ Víi y=−1+√5

2 ⇒x −

1

x=

−1+√5

⇔(−1+√5)x=2x2−2

⇔2x2

+(√5−1)x −2=0

Δ=6−2√5+16=22−2√5

⇒x1=1−√5+

√

−

4 ; x2=

1−√5−

√

−

⇒x −1

x=

−1−√5

2 + Víi y =

−1−√5

2

⇔−(1+√5)x=2x2−2

⇔2x2+(1+√5)x −2=0

Δ=6+2√5+16 = 22+2√5

⇒x3=−1−√5+

√

4

⇒x4=−1−√5−

√

4

Vậy phơng trình cho có nghiệm:

{

;

−

√

−

4 ;

1−√5−

√

−

4 ;

1−√5+

√

4 ;

1−√5−

√

4

}

(18)

Ngoài dạng phơng trình nêu trên, số kỳ thi học sinh giỏi vào trung học phổ thông học sinh cịn gặp số dạng phơng trình sau:

2.4.1 Ph ơng trình dạng : ax2n + bxn +c = ( a ≠ 0) a)

C¸ch gi¶i:

Đặt xn = y sau đa phơng trình bậc hai biến y: ay2 + by + c = 0

b)

VÝ dụ minh hoạ:

* Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh: x6 - 3x3 + = (1)

Giải :

Đặt x3 = y Phơng trình ( 1) trë thµnh y2 -3y +2 =0 ⇒ y1=1

y2=2

Thay trë l¹i ta cã : y1=1 ⇒ x3 = ⇒ x=1

y2 = ⇒ x3 = ⇒ x= √32

Vậy phơng trình cho có nghiệm x1=1 ; x2=

3

√2

*VÝ dô : Cho phơng trình : x10 + ( m-1)x5 + =0 (2)

Tìm m để phơng trình ( 2) có nghiệm Tìm nghiệm ? Giải

Đặt x5 = y

Phơng trình ( 2) ⇔ y2 + (m-1)y + = ( 3)

Để phơnh trình (2 ) có nghiệm phơng trình ( ) phải có nghiệm kép hay Δ=0 :

⇔ (m-1)2 - 4.4 =0

⇔ (m-1-4)(m-1+4)=0 ⇔ (m-5)(m+3)=0

⇔

m−5=0 ¿

m+3=0 ¿ ¿ ¿ ¿

⇔

m=5 ¿

m=−3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

VËy với m = m= - phơng tr×nh (2) cã nghiƯm nhÊt T×m nghiƯm

+ Víi m=5 ⇒ (3) ⇔ y2 +4y+4 =0

⇔ (y+2)2 =0

⇔ y+2=0 ⇔ y=-2

Víi y=-2 ⇒ x5 = -2 ⇒ x=

√

−

(19)

⇔ (y-2)2=0

⇔ y-2=0 ⇔ y=2

Víi y=2 ⇒ x5 = ⇒ x=

√2

KÕt luËn :

Víi m = phơng trình có nghiệm x=

Với m=-3 phơng trình cã nghiÖm nhÊt x=

√2

c)

Bài tập áp dụng : Giải phơng trình:

1)7x6 + x3 +1 =0

2)12x10 – 15x5 +3=0

2.4.2 Ph ơng trình dạng : (x+a)4 + (x+b)4 =c (1)

a)

Cách giải:

Đặt y=x + a+b

2 Ta có:

x+a = y+ a− b

2

x+b=y- a− b

2

Khi phơng trình ( 1) trở thành: 2y4 + 12

(

a −b

)

2

y2

+2

(

a − b

2

)

4

− c=0

Đây phơng trình trùng phơng mà ta biết cách giải b)

VÝ dô :

*VÝ dô 1: Giải phơng trình: (x+5)4 + (x+9)4 =82 (1)

Đặt y=x+7 phơng trình ( 1) trở thành: (y-2)4 + (y+2)4 =82

⇔ 2y4 + 48y2 + 32 = 82

y4 +24y2 -15=0

Đặt t=y2 với t 0

Ta có phơng trình: t2 + 24t -25 =0

⇒

t=1 ¿

t=−25 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Víi t=1 ta cã : y2 =1 ⇔ y=1 hc y=-1

NÕu t=1 ⇒ x+7 = ⇒ x= -

NÕu t =- ⇒ x+7= -

(20)

⇒ x=-8

Vậy phơng trình cho có nghiệm : x=-6; x=-8

*Ví dụ 2: Cho phơng trình sau: (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n (1)

a.Tìm điều kiện m n để phơng trình có nghiệm b.Giải phơng trình vi m=3, n=2

Giải

a.Giải phơng trình (1) (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n ( 2)

Đặt y =x+m+1

Phơng trình trở thành: (y-1)4 + (y+1)4 =n

⇔ 2y4 +12y2 +2-n=0 (3)

Đặt t=y2 ta c: 2t2 +12t +2-n=0(4)

Để phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (4) phải có nghiệm không âm

Ta thấy: S=t1 + t2 =

-12

2 =−6<0

VËy muèn ph¬ng trình (4) có nghiệm không âm : P=t1.t2= 2− n

2 ≤0⇔n ≥2

VËy víi n phơng trình (1) có nghiệm

b Khi m=3, n=2 phơng trình ( 1) trở thành: (x+3)4 + (x+5)4 =2

Đặt y=x+4

phơng trình ( 1) ⇔ 2y4+12y2 +0=0 ⇔ y2(y2+6)=0

⇔

y2

=0 ¿

y2+6=0 ¿ ¿ ¿ ¿

y=0 ( y2 0x nên y2 + 6∀x )

víi y=0 ⇒ x+4=0 ⇒ x=-4 VËy phơng trình có nghiệm x=-4 c)Bài tập áp dụng :

Giải phơng trình: 1)(x+1)4 + (x+3)4 =16

2)(x+5)4 + (x+9)4 = 1

3)(x-6)4 + (x-8)4 = 4

2.4.3 Ph ơng trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m.Trong a+d=b+c a)Cách giải:

(21)

Do a+d=b+c ⇒ đặt x2 +(a+d)x+k=t ( k ad hoc bc)

Ta đa phơng trình d¹ng: t2+nt-m=0

Giải phơng trình ta tìm đợc t Sau thay t vào giải tiếp phơng trình : x2+ (a+d)x+k=t

Ta tìm đợc nghiệm phơng trình ban đầu b)Ví dụ :

*VÝ dơ :

Giải phơng trình :(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9(1)

Ta thy 1+7=3+5 ta biến đổi phơng trình (1) nh sau: [(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]=9

(x2 +8x+7)(x2+8x+15)=9 (2)

Đặt y=x2 +8x +7

(2) ⇔ y(y+8)=9 ⇔ y2+8y-9=0

⇔

y=1 ¿

y=−9 ¿ ¿ ¿ ¿

+ Víi y=1 ⇒ x2 +8x+7=1 ⇔ x2+ 8x+6=0

Δ'=16−6=10

⇒x1=−4+√10

x2=−4−√10

+ Víi y=-9 ⇒ x2 +8x+7=-9

⇔ x2 +8x+16=0

⇔ (x+4)2=0

⇔ x+4=0 x=-4

Vậy phơng trình (1) có nghiệm: x1=−4+√10 ; x2=−4−√10 ; x3 = -4

*VÝ dô 2:

Cho phơng trình: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm b.Giải phơng trình với m=-6

Giải

a Phơng trình (*) (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m (x2+2x-3)(x2 +2x-8)=m

Đặt x2+2x-3=y (1) ta có:

(22)

Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm:

Ta xét tốn phủ định tìm m để phng trỡnh (*) vụ nghim :

Phơng trình (2) vô nghiệm phơng trình ( 2) có nghiệm nhng phơng trình (1 ) vô nghiệm :

+ Phơng trình ( ) vô nghiệm : 2<0 ⇔ 25+4m<0

⇔ m< −25

+ Ph¬ng trình ( ) có nghiệm, phơng trình (1) vô nghiÖm:

⇔ ¿

Δ≥0 Δ1<0 ¿{

¿

⇔

25+4m≥0

4+12+4y<0

⇔

¿m≥ −25

4 y<−4

¿{

⇔

¿

m≥ −25

4 f(−4)>0

S 2<−4

¿{ { ¿

⇔

m ≥−25

4 16+20−m>0

5 4<−4

¿{ {

VËy ph¬ng trình (*) vô nghiệm m< 25

Phơng trình (*) có nghiệm m 25

b Thay m=-6 vµo (*) ta cã: (x-1)(x+32)(x-2)(x+4)=-6

Khi (2) ⇔ y2- 5y - = 0 ⇒

y=−1 ¿

y=6 ¿ ¿ ¿ ¿

+ Thay y =-1 vµo (1) ta cã :

Δ'=1+2=3⇒√Δ'=√3

⇒ ⇒

+Thay y = vµo (1) ta cã : x2 + 2x - = 6

(v« lý)

x2 + 2x - =-1

⇔ x2+ 2x - = 0

x1 = -1 + √3

(23)

⇔ x2 + 2x - = 0

Δ' = + = 10 ⇒ √Δ'=√10

⇒ x1 = -1 + √10

x2 = -1 - √10

VËy với m = -6 phơng trình (*) có nghiệm :

c) Bài tập áp dụng : Giải phơng trình :

a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = b) (x + 2)(x - 3)(x + 1)(x + 6) = - 96 c) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297

2 Giải phơng trình : (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m a Tìm m để phơng trình có hai nghim

b Giải phơng trình m = 40 H

íng dÉn :

a Nhãm (x + 1)(x + 4) vµ (x + 2)(x + 3) b Nhãm (x + 2)(x + 1) vµ (x -3)(x + 6) c Nhãm (x - 1)(x + 5) vµ (x - 3)(x + 7) 2.a) (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m ⇔

Đặt x2 + 14x + 45 = y (*)

Ta cã : y (y + 3) = m ⇒ y2 + 3y - m = (2)

Để phơng trình (1) có hai nghiệm phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt phơng trình (*) phải có nghiệm kép phơng trình (2) có nghiệm kép phơng trình (*) có hai nghiệm phân biÖt

2.b) Thay m = 40 vào (2) sau giải phơng trình: y2 + 3y - 40 = 0

Tìm y thay trở lại (*) t×m x

x1 = -1 + √3 ; x2 = -√3

x3 = -1 + √3 ; x4 =

-[(x+5)(x+9)] [(x+6)(x+8)] = m

(24)

C kÕt luËn

Đề tài ''Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao ẩn'' vấn đề khó rộng nhng trình tìm hiểu nhờ hớng dẫn thầy cô giáo, thấy đề tài hữu ích cho giáo viên tốn trờng THCS

Trong đề tài này, nêu số phơng pháp giải phơng trình bậc cao đa phơng trình bậc bậc hai chơng trình giảng dạy mơn tốn lớp lớp mà thân đúc kết trình giảng dạy

Trớc áp dụng phơng pháp thấy hầu hết học sinh lúng túng khơng tìm đợc hớng giải gặp phơng trình bậc cao

Sau áp dụng đề tài, học sinh khắc phục đợc nhiều nhợc điểm, tỷ lệ làm đợc tăng, học sinh hng thỳ tớch cc hc hn

Sau bảng thống kê kết kiểm tra dạng toán trên:

Nm hc ỏp dng ti Kt qu kim tra

giỏi khá TBình yếu kém

2003 - 2004 cha ¸p dơng 5% 15% 35% 37,5% 7,5%

2004 - 2005 áp dụng 15% 27,5% 37,5% 17,5% 2,5%

Tuy nhiên, để đạt đợc kết nh mong muốn, đòi hỏi ngời giáo vien cần hệ thống, phân loại tập thành dạng Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung học sinh

Ngời thầy cần trọng phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh từ giúp em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hớng giải toán đắn Làm đợc nh góp phần nâng cao chất lợng giáo dục nhà trờng

Đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đợc góp ý bổ sung quý thầy cô, bạn để viết đợc hoàn chỉnh hấp dẫn

Để hoàn thành đề tài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tơi cịn đợc giúp đỡ đồng nghiệp, thầy, cụ giỏo

Tôi xin chân thành cảm ¬n /

Ngêi viÕt

Vũ Thị Thuý

D tài liệu tham kh¶o

(25)

2 Giáo trình thực hành giải toán hệ cao đẳng s phạm Phạm Gia Đức - Hồng Ngọc Hng - Đặng Đình Lăng (NXB Giỏo dc)

3 172 toán có chứa tham số Lê Khắc Bảo (NXB Giáo dục)

4 Giải toán Đại số sơ cấp Vũ Thiện Căn - Võ Anh Dũng (NXB Giáo dục) Bồi dỡng học sinh đại số Vũ Hữu Bình - Tơn Thân - Đỗ Quang Thiều (NXB Giáo dục)

6 255 toán chọn lọc đại số Vũ Dơng Thuỵ- Trơng Công Thành - Nguyễn Ngọc Đặng

(26)

E Giáo án tiết dạy chuyờn

Tiết 54 : Phơng trình quy phơng trình bậc hai I Mục tiêu:

- Hc sinh biết giải số phơng trình biến đổi dạng phơng trình bậc hai

- RÌn luyện kỹ giải phơng trình quy phơng trình bậc hai - Phát triển t học sinh

II Chuẩn bị

Bài soạn số kiến thức bổ tự cho giảng

Học sinh : ôn cách giải phơng trình bậc hai, phơng trình chứa ẩn mẫu, phơng trình tích

III Tiến trình dạy : A Kiểm tra cũ :

Phơng trình bậc hai ẩn số ? Viết công thức nghiệm phơng trình bậc hai ?

Trong phơng trình sau phơng trình phơng trình bậc hai ẩn : x3 +7x2 -8x=0 (1) x2 -7x -8=0 (2)

1 x+

1

x −1=1 (3) x2 -3x +1=0 (4)

x4 -5x2 +4 =0 (5)

Hãy giải phơng trình bậc hai ?

Đặt vấn đề : Các phơng trình (1), (3), (5) khơng phải phơng trình bậc hai Tuy nhiên để giải đợc phơng trình nh ta biến đổi đa dạng phơng trình bậc hai 

B- Tæ chøc cho häc sinh tiÕp nhËn néi dung kiÕn thøc : VÝ dô : Giải phơng trình :

x3 +7x2 -8x =0

⇔ x(x2 +7x -8 ) = 0

Ta đa giải hai phơng trình x=0 ; x2

+7x-8=0

Vậy phơng trình cho có nghiệm : x1=0 ;x2=1 ;x3 =-8

- GV nªu vÝ dơ :

- Phơng trình cho phơng trình bậc ? Giải cách ?

Nếu học sinh khơng trả lời đợc, GV gợi ý

+ Cã nhËn xÐt g× vỊ hạng tử vế trái ?

+ Đặt nhân tử chung vế trái ?

(27)

Ví dụ : Giải phơng trình :

1 x+

1 x −1=1

TX§ : x ; x

 x-1 +x =x(x-1)

x2 -3x +1=0 = (-3)2 -4 =5>0



¿

x1=3+√5

2 ∈

¿

TX§

¿

x2=3−√5

2 ∈

¿

TX§

Vậy phơng trình cho có hai

nghiÖm : x1=3+√5

2 ; x2=

3−√5

Ví dụ : Giải phơng trình : x4 -5x2 +4 =0 (*)

Đặt x2 = X ( X0)

(*) ⇔ X2 -5X +4 = 0

Vì a+b+c =1-5+4=0 nên X1 =1 ; X2 =4 ( TM§K)

* X1 = ⇒ x2 =1 ⇒ x {-1 ;1}

* X2 = ⇒ x2 =4 ⇒ x {-2 ;2}

Vậy phơng trình cho có nghiệm :

x1=-1 ;x2=1 ;x3=-2 ;x4=2

Chó ý : SGK/92

tích thành nhân tử có nhân tử bậc 1nhân tử bậc hai Việc giải ph-ơng trình cho quy việc giải phph-ơng trình bậc hai

- GV nªu vÝ dơ :

- Cho biÕt dạng phơng trình ? - Nêu cách giải phơng trình chứa ẩn mẫu ?

- HS lên bảng giải

- HS lớp nhận xét, bỉ sung

- GV : nªu vÝ dơ

- GV : phơng trình x4 -5x2 +4 =0

là phơng trình bậc 4, ta đa phơng trình phơng trình bậc hai cách t n ph : x2 =X

- Tìm điều kiƯn cđa X ?

- Khi phơng trình cho trở thành ? - Giải phơng trình X2 -5X +4 =0 ?

- VËy x= ?

- GV : Phơng trình x4 -5x2 +4 =0 gọi là

phơng trình trùng phơng

Tổng quát : Phơng trình có dạng :

ax4 +bx2 +c=0 (a0) gọi phơng trình

trùng phơng C Củng cố, luyện tập :

* Học sinh làm tập sau: - Giải phơng trình sau:

a) (x2 -5x-4).(2x2 -7x+3)=0

b) (2x2 -x-1)2 -(x2 -7x+6)2=0

(28)

d)

2(x −1)+

3 x2−1=

1

- Lµm bµi tËp 5a( SGK/92)

* Các tốn giải phơng trình mà ta làm tiết học hơm có đặc điểm chung ? ( quy phơng trình bậc 2)

- GV chốt lại: ví dụ để giải phơng trình bậc lớn ta đa ph-ơng trình tích có nhân tử bậc

ë vÝ dơ : Việc giải phơng trình chứa ẩn mẫu ta quy giải phơng trình bậc hai

ở ví dụ : để giải phơng trình trùng phơng ta hạ bậc cách đặt ẩn phụ để giải phơng trình bậc hai lu ý ẩn phụ có điều kiện khơng âm

D H íng dÉn vỊ nhµ :

- Xem lại ví dụ tập làm

- Lµm bµi tËp 1(a ;d) ; bµi ; bµi ; bµi ; bµi 5b - GV híng dÉn bµi 5b

- Khai thác số nghiệm phơng trình trùng phơng thơng qua phơng trình đợc đặt ẩn phụ

Thanh Hoá, ngày tháng năm 2005