tªn ®ò tµi h¬íng dén häc sinh mét vµi ph¬¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lëp ph¬¬ng tr×nh s¸ng kiõn kinh nghiöm – gi¶i to¸n b»ng c¸ch lëp ph­¬ng tr×nh tªn ®ò tµi h​­íng dén häc sinh mét vµi ph​¬ng ph

§Ó kh¾c phôc nh÷ng thiÕu sãt trªn vµ gióp häc sinh cã c¸ch nh×n tæng qu¸t h¬n, t«i chØ nªu mét vµi kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n thêng gÆp mµ häc sinh c[r]

Tên đề tài: Hớng dẫn học sinh vài phơng pháp giải bài toán cách lập phơng trình

Phần một: Đặt vấn đề

I.Lêi mở đầu

Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trình thực tế khơng khó số đối tợng học sinh giỏi, nhng dễ với đối tợng học sinh không dễ với đại đa số học sinh Trong nhiều năm nghiên cứu giảng dạy khối THCS thấy rằng, gặp loại toán phận học sinh giỏi làm đợc, nhng lúng túng, lập luận thiếu sót, cha chặt chẽ, cách suy diễn vấn đề cịn sơ sài khơng mang tính sâu sắc, bao trùm, đại đa số học sinh hiểu đợc lý thuyết bớc tiến hành giải tốn cách lập phơng trình lớp Song thực tế vào giải cịn gặp nhiều khó khăn Cơ phải nắm tổng quát vấn đề, tốn cho biết cần tìm Cách chọn ẩn số cho xác, đặt điều kiện cho ẩn tìm đợc mối quan hệ kiện cho, lập đợc phơng trình điều quan trọng nhất, việc giải biện luận, trả lời phần đơn giản Tuy q trình giải tốn cách lập phơng trình, qua bớc học sinh cịn bộc lộ nhiều hạn chế phơng pháp giải, cách chọn ẩn số, cách lập luận thiếu lơgíc, cha chặt chẽ Trong cách giải, biện luận nhiều sơ suất dẫn đến nghiệm phơng trình Để khắc phục thiếu sót giúp học sinh có cách nhìn tổng qt hơn, tơi nêu vài kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp giải số tốn thờng gặp mà học sinh cịn hay lúng túng Hy vọng cách h-ớng dẫn ,giải thích tơi phần giúp học sinh nâng cao phơng pháp giải toán Trong trình nghiên cứu hớng dẫn chắn khơng tránh khỏi phần thiếu sót, kính mong đợc bạn bè đồng nghiệp trao đổi, góp ý giúp công tác giảng dạy học sinh

II.Thùc trạng học sinh tình hình học tập giải toán cách lập ph

ơng trình

1 Thực trạng tình hình học tập häc sinh

* Với môn tốn với nhiều nội dung kiến thức chơng trình đa dạng, trừu tợng, học sinh cha thực nắm vững, cha làm chủ đợc kiến thức, nói riêng mơn tốn mà tơi nghiên cứu phần dạng tốn lập phơng trình mà học sinh lúng túng giải

Tuy học sinh có nắm đợc bớc giải nhng vào phần cụ thể nh chọn ẩn, đặt điều kiện cha chuẩn Cách sử dụng giả thiết, mối liên hệ với để lập phơng trình cịn đơn giản cha thể buộc kiện

Khi nhận xét chọn kết học sinh quên với điều kiện ẩn dẫn đến lấy nghiệm khơng xác

* Phần đa học sinh khơng có liên tởng với thực tế làm tốn khơng hiểu đợc lơgíc giải tốn, thờng suy nghĩ rời rạc, khơng đặt mối quan hệ công việc, vật, tợng không gian thời gian nên th-ờng khó lập luận để dẫn đến lập phơng trình Vấn đề chỗ phải hớng dẫn, khắc phục cho học sinh tồn thiếu sót trên, xây dựng cho em trở thành kỹ q trình giải loại tốn

2.Kết đánh giá chất lợng học sinh nội dung giải toán cách lập phơng trình

Trớc nghiên cứu tơi khảo sát, nắm bắt tình hình, qua kiểm tra đối t-ợng học sinh cho thấy chất lt-ợng nhiều hạn chế

Qua khảo sát lớp với 40 học sinh kết nh sau:

TT Xếp loại Số lợng häc sinh TØ lƯ % Ghi chó

1 Giái 0

2 Kh¸ 10

3 Trung b×nh 14 35

4 Ỹu 22 55

Từ thực trạng mạnh dạn nghiên cứu cải tiến phơng pháp, hớng dẫn cho học sinh số cách giải, cách đặt vấn đề để lập đợc phơng trình, tiến tới giải tốn cách bình thờng

Phần hai: Giải vấn đề

1.C¬ sở lý thuyết b ớc giải toán cách lập ph ơng trình

B

ớc : Lập phơng trình a Chọn ẩn số

b Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết c Lập phơng trình biểu thị mối tơng quan đại lợng B

B

íc : Kiểm tra nghiệm phơng trình (nếu có), nghiệm thoà mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận

Bây giải số toán cách lập phơng trình thông thờng

Bi toỏn1: Mt ngi i xe đạp dự định từ tỉnh A đến tỉnh B dài 60 km thời gian định Sau đợc nửa quãng đờng AB, anh nhận thấy vận tốc thực tế

3 vận tốc dự định nên đoạn đờng lại anh tăng vận tốc thêm km/h Tuy anh đến B chậm 40 phút Hỏi vận tốc dự định ngời xe đạp ?

L

u ý : Thơng thờng loại tốn này, u cầu tốn ta chọn yêu cầu làm ẩn số tiến hành đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

Đây tốn chuyển động nên ta dựa vào mối liên hệ quãng đờng, vận tốc, thời gian (s = v.t, v = s

t , t = s

v ) để tìm mối liên hệ đại lợng

Trên sở đó, dựa vào kiện tốn để lập phơng trình Khi giải ý vận dụng bớc giải phơng trình, tìm đợc nghiệm cần so sánh với điều kiện ẩn, loại nghiệm lấy nghiệm trả lời

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi vận tốc dự định ngời xe đạp x Điều kiện : x > đơn vị tính x km/h

Khi biết vận tốc quãng đờng ta xác định đợc thời gian Do thời gian ngời xe đạp dự định hết quãng đờng AB là: 60

x (giê)

Vận tốc thực tế nửa quãng đờng AB là:

3 x (km/h) Và thời gian thực tế nửa quãng đờng AB là:

3 x= 45

x ( giê)

Vận tốc nửa quãng đờng AB lại là: x+3 (km/h) Thời gian nửa quãng đờng AB lại là: 30

x+3 (giê)

Do chËm 40 b»ng

3 cộng với thời gian dự định thời gian thực tế Do ta có phơng trình sau 45

x +

30

x+3=

60

x +

2

B

ớc 2: Giải phơng trình 45

x +

30

x+3=

60

x +

2

⇔45 3(x+3)+30 3x=60 3(x+3)+2.x(x+3)

135x+405+90x=180x+540+2x2+6x

2x239x

+135=0

Phơng trình có nghiệm x1=15 x2=4,5

B

ớc 3: Đối chiếu với điều kiện toán ta thấy x=4,5 km/h khơng thích hợp thời gian nửa quãng đờng AB trớc lại thời gian nửa quãng đờng sau tăng vận tốc Vậy vận tốc dự định ngời xe đạp 15km/h

2 Chọn ẩn số, đặt điều kiện cho ẩn số yếu tố quan trọng

Để lập đợc phơng trình ta phải khéo trọn ẩn số tìm liên quan đại lợng, thông thờng ta chọn ẩn gắn liền với yêu cầu (nh toán 1) Trong q trình giải tốn ta gặp mà chọn ẩn theo yêu cầu có giải khó dài Thậm chí có khó tìm lời giải, ta chọn ẩn số yếu tố (đại lợng) khác có liên quan mật thiết với yêu cầu bài, tốn sau thí dụ

Bài tốn2: Một tàu thuỷ từ bến sông A đến bến sông B hết Từ bến sông B bến sông A tàu hết Hỏi bè đợc thả trơi theo dịng sơng từ bến A đến bến B hết ? Biết lợt nh lợt tàu thuỷ không dừng lại chỗ giữ nguyên vận tốc riêng (vận tốc riêng vận tốc nớc yên lặng)

Phân tích: Nếu thơng thờng ta chọn ẩn theo yêu cầu toán gọi x thời gian bè trơi theo dịng sơng từ A đến B tốn có mối liên hệ đại lợng quãng đờng, vận tốc thời gian, nhng ta cha biết cụ thể quãng đ-ờng s (từ A đến B) vận tốc dòng nớc, nên muốn giải ta phải đặt ẩn phụ dài dài

Ta dựa vào mối quan hệ vận tốc tàu thuỷ, vận tốc dòng nớc với thời gian, quãng đờng đơn giản

Cụ thể ta không chọn ẩn thời gian bè trôi từ A đến B Mà ta chọn ẩn x khoảng cách (quãng đờng) từ A đến B Điều kiện ẩn x>0, tính km

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi x khoảng cách từ bến sông A đến bến sông B Điều kiện x>0, đơn vị tính km Từ ta vận dụng mối tơng quan đại lợng để tìm vận tốc ng-ợc xuôi tàu thuỷ nh sau:

VËn tốc xuôi dòng tàu thuỷ vx = x Vận tốc ngợc dòng tàu thuỷ vn= x

Từ ta có : vxi =vtàu+vnớc vngợc=vtàu- vnớc

Suy vxu«i - vngợc = 2vnớc

Theo ta có phơng tr×nh x -

x

7 = 2vníc

B

ớc 2: Giải phơng trình x -

x

7 = 2vníc ⇔2vn ­íc=7x −5x

35

⇔vn ­íc= x

35⇔x=35vn­íc

x: quãng đờng, vnớc: vận tốc, t=35

B

ớc3: Nh với quãng đờng x, vận tốc dịng nớc vnớc mảng bè trơi với vận tốc dịng nớc từ A đến B phải thời gian 35 toán ta khơng giải cụ thể ẩn đặt (có tìm rõ x) ẩn x trung gian, đến công thức x=35vnớc nh khẳng định tốn với vận tốc dịng nớc vậy, qng đờng phải hết 35 Đây coi đáp số tốn sau ta lý giải yếu tố

3 H ớng dẫn cho học sinh cách lập ph ơng trình sở tìm mối liên hệ giữa yếu tố, đại l ợng toán.

Thực tế học sinh phải nắm vững kiến thức chơng trình học mơn tốn cơng thức tốn học phép tính để lập phơng trình, mối quan hệ đại lợng với Chẳng hạn liên quan mơn vật lí (s,v,t), thành phần tỉ lệ chất trong mơn hố học, thực tế đời sống, lao động sản xuất nh tốn cơng việc, vịi nớc chảy tự nhiên, tốn dịng nớc vv Trong dạng nú cng cú nhng c trng riờng

Bài toán 3:Toán liên quan thành phần hoá học.

Ngi ta đổ thêm 200g nớc vào dung dịch chứa 40g muối nồng độ dung dịch giảm 10% Hỏi trớc đổ thêm nớc dung dịch chứa nớc?

Phân tích: Muốn làm tốt tốn học sinh phải nắm vững cơng thức tính nồng độ phần trăm dung dịch

C%=số gam chất tan/khối lợng dung dịch

Nm đợc liên hệ nồng độ dung dịch trớc sau đổ thêm nốc để có sở lập phơng trình

Gi¶i:

B

Ta có nồng độ phần trăm dung dịch 40

x+40

Sau đổ thêm 200g nớc vào khối lợng dung dịch: x+40+200=x+240 Do nồng độ phần trăm dung dịch sau đổ nớc là: 40

x+240

Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phơng trình sau: 40

x+40 -

40

x+240 =

10 100

B

íc 2: Giải phơng trình 40

x+40 -

40

x+240 =

10 100

⇔400(x+240)−400(x+40)=(x+40)(x+240)

⇔400x+96000−400x+16000=x2+40x+240x+9600

x2+280x 70400=0

Phơng trình có nghiệm x1=160 x2=-440 (loại)

B

c 3: i chiếu với điều kiện toán ta thấy x=160 hợp lệ trớc đổ thêm nớc dung dịch có 160g nớc

Bài tốn 4: Tốn liên quan đến công việc

Hai đội thuỷ lợi đào mơng Nếu đội làm m-ơngthì thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm cơng việc hồn thành Tính xem đội làm xong mơng bao lâu?

Phân tích: loại tốn ta xác định hồn thành tồn cơng viẹc công việc sở ta xác định hai đội làm đợc cơng việc Vì ta tìm đội làm đợc cơng việc Vậy ta chọn ẩn thời gian làm việc đội (hoặc đội kia) sở phân tích lơgíc Ta chọn ẩn số xác định mối tơng quan yếu tố để giải tốn

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi x thời gian đội (gọi đội I) làm xong mơng x>0 đơn vị tính

Thì thời gian làm đội (đội II) 25-x Trong đội I lm c

x công việc (xong mơng)

Đội II làm đợc

25− x c«ng viÖc

Ta biết hai đội làm c

6 công việc Vậy theo ta có phơng trình

x +

1

25 x =

Giải phơng tr×nh

x +

1

25− x =

1

6 MÉu sè chung 6x(25-x)

⇔6(25− x)+6x=x(25− x)

⇔150−6x+6x=25x − x2

⇔x2−25x

+150=0

Phơng trình có nghiệm x1=15 vµ x2=10

B

ớc 2: Đối chiếu với điều kiện hai nghiệm thoã mãn

Nếu đội I làm hết 15 giờ, đội II làm hết 10 Nếu đội I làm hết 10 giờ, đội II làm hết 15

Bài tốn 5: Tốn liên quan đến vịi nớc

NÕu mở hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55 phút bể đầy nớc Nếu mở riêng vòi vòi thứ nhát làm đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?

Phõn tớch: õy ta xỏc định

Trong giê vßi thø chảy phần bể ?

Vũi th hai chảy phần bể, hai vòi chảy phần bể.? Ta giúp học sinh thấy đợc lơgíc, mối liên hệ đại lợng đợc xác định rõ ràng, nên dẫn đến lập phơng trình khơng có phức tạp Học sinh có khả khái quát, trù tợng, với thực tế công việc, sống việc làm đơn giản

Gi¶i:

B

ớc 1: Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể x, x>0, đơn vị tính

Thời gian vịi thứ hai chảy dầy bể x+2 (giờ) Cả hai vòi chảy đầy bể hết 55 phút đổi 35

12 Vậy vịi thứ chảy đợc

x (bĨ )

Trong vòi thứ hai chảy đợc

x+2 (bÓ)

Trong hai vòi chảy đợc 35 12 bể Theo ta có phơng trình

x +

1

x+2 =

35 12

B

ớc 2: Giải phơng trình

x +

1

x+2 =

⇔35x+70+35x=12x(x+2)

⇔70x+70=12x224x

⇔12x2−46x −70=0

⇔6x −23x −35=0

Ph¬ng trình có nghiệm x1=5 x2=-

6 (loại)

B

ớc 3: Trả lời kết hợp điều kiện toán phơng trình x=5 thoà mÃn Vậy: vòi thứ chảy năm bể đầy

vòi thứ hai chảy bể đầy

4 C¸c biƯn ph¸p tỉ chøc thùc hiƯn

- Sau thấy tình hình học tậpcủa học sinh nội dung tơi có kế hoặch khảo sát tình hình chất lợng học sinh

- Khi nghiên cứu thực tơi chia thành tổ nhóm phân loại đối tợng học sinh, nắm bắt tình hình xem em nắm bắt lý thuyết giải tóan nào, ph-ơng pháp giải Khả học sinh học sinh đến đâu.?

- Cho häc sinh tù nghiªn cứu phơng pháp giải số dạng cho em làm tìm chỗ bế tắc thắc mắc em

- Hớng dẫn cho lớp, tổ dạng bài, phơng pháp giải theo logic dạng

- Kiểm tra tình hình học tập làm tập em Đánh giá tiến em

Phần 3: Kết luận

1 Kết nhiªn cøu

* Sau mét thêi gian nghiªn cứu thực nội dung, ph ơng pháp giải toán

bng cỏch lp phng trỡnh, tụi nhn thấy đạt đợc số kết sau:

- Học sinh phần có ý thức trách nhiệm việc tự học chịu khó nghiên cứu

- Đã biết cách phân tích tóm tắt tốn để tìm đờng lối giải

- Đối với tốn lập phơng trình học sinh chủ động khơng lúng túng nh cha nghiên cứu hớng dẫn nội dung

- Học sinh biết vận dụng lý thuyết giải, biết chọn ẩn số biết tìm mối liên hệ kiện tốn

- Lập đợc phơng trình, giải phơng trình trả lời tốn xác * Đánh giá kết qua kiểm tra có nhiều tiến bộ

Cụ thể :

TT Xếp loại Trớc khảo sát Sau khảo sát Tăng(Giảm) Ghi

chú Số lợng TØ lƯ Sè lỵng TØ lƯ Sè lỵng TØ lƯ

1 Giái 0 5% 5%

3 Tr b×nh 14 35% 16 40% 5%

4 YÕu 22 55% 15 37,5% 17,5%

* Bµi häc kinh nghiƯm

- Nắm vững phân loại đối tợng học sinh cụ thể giỏi, khá, trung bình, yếu, - Tìm nguyên nhân khách quan chủ quan dạng, quan tâm gia đình ý thức học tập em

- Nắm bắt tâm lý, hứng thú mơn học học sinh, từ tìm hiểu tạo điều kiện giúp em yêu thích mơn học

- Tìm chơng trình, toán ngắn gọn, dễ hiểu, dễ gần với đời sống sinh hoạt ngời

- Híng dÉn c¸c em phải rõ ràng, cụ thể dễ hiểu dễ tiếp thu g©y høng thó cho häc sinh

- Đánh giá đợc tiến em, khuyến khích em thi đua học tập

2 Kiến nghị đề xuất

Khi ngiên cứu thực đề tài tơi cha có khoảng thời gian dài tích luỹ nên dù q trình thực khơng tránh khỏi thiếu xót Kính mong bạn bè đồng nhiệp góp ý để tơi rút kinh nghiệm