h­íng dén häc sinh khai th¸c kõt qu mét sè bµi to¸n néi dung vý dô 1 bµi to¸n 1 t×m ­íc chung nguyªn tè cña n 8 vµ 2n 5 n n gi¶i gäi d ­c n 8 2n 5 vµ d lµ sè nguyªn tè n 8 d vµ 2n 5 d 2n

[r]

Néi dung:

VÝ dô 1:

Bài toán 1 : Tìm ớc chung nguyên tố n + 2n - (n  N).

Gi¶i: Gäi dc (n + 8; 2n - 5) d số nguyên tố.

 n + d vµ 2n -  d

 2n + 16  d vµ 2n -  d

 (2n + 16) - (2n - 5)  d

 21  d  d = hc d = 7,

Nhận xét: Ta biết phân số a

b đợc gọi tối giản UCLN (a,b) = 1 hay a, b nguyên tố nhau, hay a, b không chứa thừa số nguyên tố chung Từ ú ta cú bi toỏn sau:

Bài toán 2:

Tìm n N để phân số

2

n n



 tèi gi¶n?

Gi¶i:

Từ kết toán trên, để

8

2

n n



 tối giản n + n +  7

( 2n -  2n -  7).

 n  3k - hay n  3m + (m  N)

vµ n  7k - hay n  7u + (u  N)

Nhận xét: Qua toán ta thay “tối giản” “rút gọn đợc” sao? Bài tốn 3:

Tìm nN để phân số

2

n n



 rút gn c?

Đáp số: n = 3k +

hc n = 7m - (k, m  N).

Nh vËy: ph©n sè a

b rút gọn đợc a b có ớc chung nguyên tố.

Trờng hợp đặc biệt a b có ớc chung b, hay nói cách khác a  b

a b gọi gì?

Bài toán 4:

Tìm nN để phân số

2

n n



 số tự nhiên?

Giải: Để

8

2

n n



 số tự nhiên thì: n + 2n - (1)

vµ 2n - > Khi n +  2n -  n + - ( 2n - 5)  2n -5

 13 - n  2n - 5, kÕt hỵp víi (1) ta cã:

n + + (13 - n)  2n -5 hay 21 2n -5

+ 2n - =  n = + 2n - =  n = + 2n - =  n = 6

+ 2n - = 21  n = 13

Nhận xét: ta thấy 21 2n - ta suy 2n - = 1;3;7; 21 để

2

n n



 số dơng Nhng không để ý đến

8

2

n n

số dơng hay âm 21

2n - ta có 2n - =    1; 3; 7; 21 Vậy từ ta có tốn: Bài tốn 5:

Tìm nN để

2

n n



 lµ sè nguyên?

Đáp số: n = -8; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 13

Chú ý: toán ta định đợc n để

8

2

n n



số tự nhiên Cụ thể n nhận

trong giá trị: 3; 4; 6; 13

Ta biết số nguyên tố số số tự nhiên lớn 1, có hai íc lµ vµ chÝnh

nó Hãy xét xem ứng với giá trị vừa tìm đợc n

8

2

n n

số nguyên tố, từ

ý tởng ta có tốn sau: Bài toán 6:

Xác định nN để

2

n n



số nguyên tố.

Đáp số: n = 3;6

Chú ý: Khi giải toán 2; 3; 4; 5; ta sư dơng tÝnh chÊt:

 Tổng (hiệu) số nguyên tố với phân số tối giản phân số tối giản Do nhiều ta gặp tốn ta đa dạng tổng (hiệu) số nguyên tố với phân số từ ta có cách giải gọn hơn, nhanh

Ví dụ: Tìm n để a =

18

n n



 số tự nhiên?

Giải: Ta có: a =

18 15

1

3

n

n n



 

Để a N n + lµ íc cđa 15  n + = 1;3;5;15

 n = 0; 2;12

ë líp ta cịng thêng gỈp toán tính tổng dÃy số có quy luật đa dÃy số có quy luật

VÝ dô: * VÝ dô 2:

Muốn viết tất số tự nhiên từ đên 99 phải dùng chữ số 1? Giải:

Cách 1: Ta liệt kê số chứa chữ số là:

Đếm chữ số ta đợc 20 chữ số Nhận xét:

Trong cách giải ta liệt kê số chứa chữ số đếm số chữ số cách giải hợp lệ Tuy nmhiên ta khơng lịng với cách giải trên, đặc biệt trờng hợp số lợng số phải liệt kê lớn (chẳng hạn, đếm chữ số số tự nhiên từ đến 999)

Có quy luật dãy số mà ta liệt kê khơng? Phải khơng tìm thấy quy luật để đếm chữ số Cách 2:

Bây ta xét riêng chữ số hàng đơn vị chữ số đợc lặp lại sau 10 chữ số (1; 11; 21; …; 91) có 10 chữ số hàng đơn vị Lại xét riêng chữ số hàng chục chữ số có mặt 10 lần số từ 10 đến 19 Vậy chữ số có mặt 20 lần

Ta tìm đợc cách đếm chữ số theo phơng pháp “bổ dọc” (đếm hàng đơn vị hàng chục) Chúng ta vận dụng phơng pháp để tìm chữ số tốn sau:

Bµi to¸n 2:

Khi viết tất số tự nhiên từ đến 999 phải dùng chữ số 1? Giải: Các số chứa chữ số hàng đơn vị là:

1; 11; 21; …; 991 gåm:

991

1 100 10



 

số (100 chữ số hàng đơn vị) Các số chứa chữ số chứa chữ số hàng chục:

10; 11; 12; …; 19 - gåm 10 sè 110; 111; 112; …; 119 - gåm 10 sè …………

910; 911; 912; …; 919 - gåm 10 sè Các số chứa chữ số hàng trăm lµ:

100; 101; 102; …; 199 Gåm 100 số (100 chữ số hàng trăm) VËy cã 100 + 100 + 100 = 300 ch÷ sè

Với cách giải thay “chữ số 1” chữ số a khác ta tìm đợc kết tốn Các bạn giải toán tổng quát cho toán 2: thay “chữ số 1” chữ số a khác (kt qu khụng thay i)

Bài toán thay chữ số chữ số sao? Bài toán 3:

Khi vit tt c cỏc số tự nhiên từ đến 999 phải dùng chữ số 0? Giải:

Rõ ràng số lợng chữ số số lợng chữ số khác 0, cụ thể là: - hàng đơn vị chữ số (không vit s 0)

- hàng chục 10 chữ số (không viết 00; 01; ; 09) - hàng trăm 100 chữ số (không viết 000; 001; ; 099)

ít tất là: + 10 + 100 = 111 ch÷ sè

Nh vậy, viết số tự nhiên từ đến 999, số lợng chữ số khác 300, số lợng chữ số 300 - 111 = 189 số

NhËn xÐt:

Ta thấy bổ sung chữ số vào để số từ đến 999 có chữ số, chữ số từ đến bình đẳng, số lợng chữ số nh Do ta có thêm cách để giải toán 1, cách để giải toán 2, toán 3:

+ XÐt c¸c sè tõ 000  999 ta cã 1000 sè gåm 3.1000 = 3000 ch÷ sè.

Mỗi chữ số từ là: 3000 : 10 = 300 Tổng quát ta có toán:

Khi vit tt c cỏc s tự nhiên từ đến 999…9 (n chữ số 9) phải dùng chữ số 1? Bao nhiêu ch s 0?

Đáp số:

n 00…0 ch÷ sè (n - ch÷ sè 0)

n 000…0 - 111…1 ch÷ sè (n - ch÷ sè 0) (n - ch÷ sè 1)

Ví dụ 3:

Khi giải toán:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc.

Gi¶i:

a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3- 3a2b - 3b2 + c3-3abc

=    

3 3

a b c ab a b c

      

 

=

a b c  a b2 c a b  c2 3ab a b c 

        

 

=   

2

2

a b c a   ab b  ac bc ca 

=   

2 2

a b c a  b c  ab bc ca 

=        

2 2

1

2 a b c   a b  b c c a

Từ toán ta giải toán sau:

Bài toán 1: (BT 70 sách Nâng cao phát triĨn to¸n T1”)

Chøng minh r»ng nÕu a3 + b3 + c3 = 3abc vµ a, b, c số dơng a = b = c

Giải:

Từ toán ta có nhËn xÐt: NÕu a3 + b3 + c3 = 3abc th× a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

        

2 2

1

0 a b c   a b  b c  c a  



0

a b c a b c

   



  

V× a, b, c >  a + b + c >  a = b = c Từ kết toán ta có kết luËn:

3 3 a b c

a b c abc

a b c

   

    

 

 (*)

Từ kết ta dễ dàng giải toán sau: Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3

b, (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 +z2)3

Khi ta có: a + b + c = x - y + y - z + z - x = Từ kết luậ toán ta có:

a + b + c =  a3 + b3 + c3 = 3abc

Hay (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x- y)(y- z)(z- x)

b Ta cã: (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 +z2)3

= (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (- y2 - z2)3

Đặt a = x2 + y2; b = z2 – x2; c = - y2 - z2

Khi ta có: a + b + c = x2 + y2 + z2 – x2 - y2 - z2 =

Nh vËy ta cã ngay:

(x2 + y2)3 + (z2 – x2) + (- y2 - z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 – x2) (- y2 - z2)

= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x2 – z2)

= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x – z)

VËy (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 +z2)3 = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x – z)

Từ ý tởng câu b ta đến toán: Bài toán 3:

Giải phơng trình: (3x 2)3 (x 3)3 = (2x + 1)3

Ta biến đổi để đa phơg trình bậc ẩn x sau phân tích đa thức thành nhân tử để giải nhng nh không thuận tiện Giải:

(3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3

 (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0

 (3x – 2)3 + (- x + 3)3 + (-2x - 1)3 = (1)

Bin i v trỏi:

Đặt a = 3x 2; b = - x + 3; c = - 2x –

Ta cã: a + b + c = 3x – – x + – 2x – =

Khi đó: (3x – 2)3 + (- x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 3(3x – 2)(- x + 3)(-2x - 1)

Do (1)  3(3x – 2)(- x + 3)(-2x - 1) = 0



2

3 3

3

2 1

2

x x

x x

x

x

  

 





    

 



   

  

Vậy tập nghiệm phơng trình là: S =

2

;3;

3

 



 

 

Kết (*) đợc ứng dụng nhiều toán: Bài toán 4:

Cho

1 1

x y z  TÝnh: P = 2

xy yz zx z  x  y Gi¶i:

Đặt a =

1

x; b =

1

y ; c =

1

z V× a + b + c =

1 1

Nh vËy:

1 1

x yz  3

1 1

x y z xyz

   

Ta cã: P = 2 xy yz zx

z  x  y = 3

1 1

xyz

z x y

 

 

 

  =

3

xyz xyz

 

 

  = 3

VËy P = Bµi to¸n 5:

Cho abc  ; a3 + b3 + c3 = 3abc

Tính giá trị biểu thøc: A =

1 a b c

b c a

     

  

     

     

Gi¶i:

Tõ kÕt qu¶ (*)

3 3 a b c

a b c abc

a b c

   

    

  

+ NÕu a + b + c =  a + b = - c; b + c = - a; a + c = - b

A =

1 a b c a b b c a c

b c a b c a

  

           

   

           

           

= c a b b c a

  

= -1 + NÕu a = b = c th×:

A =

1 a b c

b c a

     

  

     

      = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8.