So chinh phuong

Mçi ngêi gi¸o viªn chóng ta cÇn n¾m v÷ng ch¬ng tr×nh ®æi míi, nghiªn cøu kü ch¬ng tr×nh vµ tÝch cùc ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc, lÊy häc sinh lµm nh©n vËt trung t©m, tæ chøc híng dÉn hä[r]

một số phơng pháp giải toán vỊ sè chÝnh ph¬ng

A Đặt vấn đề 1/ Giới thiệu

Dạy toán dạy hoạt động tốn học cho học sinh giải tốn hình thức chủ yếu Chính việc dạy học sinh giải tập điều vô quan trọng đặc biệt trọng đến thực hành.Thực hành giải tốn khơng thực tập thực hành mà quan trọng luyện tập rèn kỹ năng,vận dụng vào thực tế qua hình thành phát triển cho học sinh t lô gíc phơng pháp luận khoa học

Để phát triển khả t sáng tạo việc học tốn giải tốn bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức, ngời giáo viên cần phải hình thành cung cấp cho học sinh tri thức phơng pháp để giúp học sinh có khả thích ứng với thay đổi nội dung hay nói cách tạo dựng cho học sinh phơng pháp học khả phát triển tốn từ tốn thơng thờng nhằm mở rộng khả t duy, từ tạo cho em lực nghiên cứu hứng thú tìm tịi việc học tốn

Qua q trình giảng dạy tơi thấy hầu hết học sinh cịn hạn chế việc khai thác, phát triển khả t duy, đứng trớc toán học sinh thờng lúng túng việc tìm lời giải, cha có kinh nghiệm đúc kết ph-ơng pháp thờng bị bó hẹp mang tính chất khn mẫu, lực phát triển mở rộng khai thác kiến thức thờng hạn chế gặp tốn địi hỏi tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn cha có khả đáp ứng đợc tốn có liên quan đến số phơng

cách đơn lẻ Điều khiến để tâm trình giảng dạy muốn trao đổi đồng nghiệp

2 Thùc tÕ + Víi häc sinh

Trong chơng trình Tốn lớp 6, em đợc học toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên đặc biệt đợc giới thiệu số phơng, số bình phơng số tự nhiên (VD: ; ; 4; ; 16 ; 25 ; 100 ; 144 ; ) Kết hợp kiến thức trên, em giải tốn chứng minh số phơng Đây cách củng cố kiến thức mà em đợc học Những tốn làm tăng thêm lịng say mê mơn tốn cho em

+ Víi gi¸o viªn

Là giáo viên dạy Tốn, tơi nhận thấy tốn liên quan đến số phơng hay quan trọng em học sinh trung học sở Đặc biệt em học sinh lớp làm quen với loại tốn chứng minh phơng pháp để giải cịn nhiều hạn chế Tôi muốn em học sinh “tháo gỡ” vấn đề

3 Phạm vi ti

Trong phạm vi viết này, muốn hớng dẫn em học sinh giỏi toán lớp số phơng pháp tập “Sè chÝnh ph¬ng”

B Néi dung I Chuẩn bị

Trong trình giảng dạy nh bồi dỡng học sinh giỏi, bám sát kiến thức , trọng tâm lu ý học sinh:

- Nắm vững định nghĩa số phơng

- Nắm vững kiến thức phép chia hết chia có d N - Có kĩ tìm chữ số tận luỹ thừa, biểu thức số - Có kĩ tách ( thêm, bớt ) sè

Chøng minh mét sè số phơng. 1 Xét chữ số tËn cïng

Theo định nghĩa, số phơng bình phơng số tự nhiên nên số phơng phải có chữ số tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; Ta cú bi toỏn sau:

Bài toán 1: Chứng minh số:

A = 1234567891011121314151617181920212223 Không phải số phơng

Giải:

Ta thấy số phơng có chữ số tận chữ sè ; 1; 4; 5; 6; Mµ sè A có chữ số tận nên A số phơng

Bài toán 2: Chøng minh r»ng sè:

B = 20072 + 20084 + 20096 - 2009

Không phải số phơng Giải:

Ta dễ dàng thấy chữ số tận số 20072 ; 20084 ; 20096 lần lỵt

là ; ; Do số B có chữ số tận (khác 0; 1; 4; 5; 6; 9) nên số B khơng phải số phơng

2 Sư dơng phÐp chia hÕt.

Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nhng khơng phải số phơng Khi phải lu ý:

NÕu sè chÝnh ph¬ng chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2

Ta có toán 3: Bài toán

Ta thy số 12345678910 chia hết cho (vì chữ số tận 0) nhng khơng chia hết cho 25 (vì chữ số tận tạo thành số 10 không chia hết cho 25) Do số 12345678910 khơng phải số phơng

Chó ý:

Có thể lí luận số 12345678910 chia hết cho ( chữ số tận 0) nhng không chia hết cho ( chữ số tận tạo thành số 10 khơng chia hết cho 4) Do số 12345678910 khơng phải số phơng

Nh vậy, ta khẳng định: "Một số phơng có tận chữ số hàng chc l 2"

Bài toán 4:

Chng minh số có tổng chữ số 2010 số khơng phải số phơng

Gi¶i:

Ta thấy tổng chữ số số 2010 nên số 2010 chia hết cho mà khơng chia hết số có tổng chữ số 2010 chia hết cho mà khơng chia hết cho 9, số khơng phải số phơng

Ngồi ra, ta để ý chút phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chính thế, khai thác nhận xét trên, ta có phát biểu tổng quát sau:

NÕu sè chÝnh ph¬ng chia hÕt cho pn (víi p số nguyên tố, n lẻ) phải

chia hÕt cho pn+1.

Nhờ ta giải đợc tốn khó sau: Bài tốn 5: Chứng minh số:

M = 332007 + 552008 + 772009

Không phải số phơng

Phân tích: Nếu xét chữ số tận M có tận nên hớng làm không thực đợc Nhng ta để ý chút ta chứng minh đợc M chia hết cho 112007 M khơng chia hết cho 112008 Từ ta kết luận đợc M không

HS tự trình bày lời giải Nhận xét:

Ta đặt vấn đề toán tổng chữ số không chia hết cho (chẳng hạn 2011) ta làm nh ? Khi phải nghĩ tới điều ? Vì tốn cho tổng chữ số nên chắn phải nghĩ tới phép chia cho cho Vậy ta nghĩ tới việc xét số d chia số cho Theo em số phơng chia cho d ? Chúng ta có thêm phơng pháp để giải loại toán

XÐt sè d số phơng chia cho số Bài to¸n 6:

Chøng minh mét sè cã tỉng c¸c chữ số 2011 số phơng

Gi¶i:

Vì số phơng chia cho có số d (ta dễ dàng chứng minh đợc) Do tổng chữ số số 2011 chia cho d nên số có tổng chữ số 2011 chia cho d Chứng tỏ số cho khơng phải số phơng

T¬ng tù chóng ta có tập sau: Bài toán

Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2007 khơng phải số phơng

Híng dÉn:

TÝnh tỉng b»ng 2015227 chia cho d Bài toán 8: Chứng minh số:

D = 20102007 + 20102008 + 20102009 + số

ph-¬ng

Híng dÉn:

20102007 ; 20102008 ; 20102009 chia hết cho chia cho d 2

=> D chia cho d

Ta có toán sau:

Bài toán 9: Chứng minh số:

M = 4444 + 444444 + 44444444 + 2011

* Nhận xét: ta làm tơng tự đợc Vậy ta xét số d M chia cho , số d Một số phơng chia cho có số d nh nào? Chúng ta chứng minh đợc d d Nh việc giải tốn khơng có khó

Gi¶i:

M = 4444 + 444444 + 44444444 + 2011

= 4444 + 444444 + 44444444 + 2008 +3

Ta thấy 4444 ; 444444 ; 44444444 2008 chia hết cho

Nªn M chia cho d mà số phơng chia cho có số d Vậy M số phơng

Sử dụng phơng pháp kẹp:

chng minh số khơng số phơng, ta cịn chứng minh cho số nằm hai số phơng liên tiếp Tức là:

Víi n x hai số tự nhiên mà n2 < x < (n+1)2 x số

chÝnh ph¬ng.

Bài tốn 10: Chứng minh số 4025025 khơng số phơng *Nhận xét: Số 4025025 có chữ số tận 25, chia hết cho 3, cho chia cho d nên ta làm tơng tự đợc Vậy phải tìm hớng làm khác

* Gi¶i

Ta cã: 20062 =4024036; 20072 = 4028049

=> 20062 <4025025 < 20072

Nh số 20062 20072 không số phơng nào.

Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp (khác 0)không số phơng

Giải:

Gọi số tự nhiên liên tiếp n ; n+1 ( n  N* )

Ta cã : n2 < n(n+1) < (n+1)2

=> n(n+1) không số phơng Chứng minh số số phơng 1 Xét chữ số tận cùng

Bài toán 1: Chứng minh số phơng có chữ số tận chữ số hàng chục

Giải:

Gọi A số phơng có tận => A cã d¹ng a5

Ta cã A = a5 2 = ( 10a + )2 = 100a2 + 100a +25

Vì chữ số hàng chục 100a2 100a nên chữ số hàng chục

A

Bài toán 2: Chứng minh số phơng có chữ số tận chữ số hàng chục số lẻ

Giải:

Đặt M = a2 Vì M có chữ số tận nên a có chữ số tận 4

hc

- Nếu a có chữ số tận , a có dạng b4 Ta có: b4 2 = ( 10b + )2 = 100b2 + 80b + 16

V× chữ số hàng chục 100b2 80b số chẵn nên chữ số hàng

chục M số lẻ

- Nu a cú ch s tận , a có dạng b6 Ta có: b6 2 = ( 10b + )2 = 100b2 + 120b + 36

V× chữ số hàng chục 100b2 120b số chẵn nên chữ số hàng

chục M số lẻ

Bài toán 3: Chøng minh r»ng sè :

số phơng Giải:

Ta có

Vậy A số phơng

Bài toán 4: Chứng minh rằng: u = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + lµ số phơng với số tự nhiên n

Gi¶i:

Ta cã: u = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) +

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

V× n N nên n2 + 3n + số tự nhiên

=> u số ph¬ng

Trớc kết thúc bàiviết tơi đa số tập để em luyện tập: Bài 1:

Chøng minh r»ng c¸c sè sau số phơng A = 12345678910111213141516171819202122

B = 246810121416182022242628 Bµi 2:

Chøng minh r»ng víi mäi k  N* th× sè:

C = + 92k + 772k + 19772k số phơng.

Bài 3:

Chứng minh tổng bình phơng số lẻ số phơng

Bài 4:

Chứng minh D = n(n+1)(n+2)(n+3) số phơng với n N*

Bài 5:

Chøng minh r»ng sè E = 235 + 2312 + 232003 số

chính phơng

Bài 6: Chứng minh : Tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng

Bài 7:

Chøng minh r»ng sè 333333 + 555555 + 777777 số chính

phơng Bài 8:

Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + là

số phơng Bài 9:

Chøng minh r»ng, víi mäi sè tù nhiên n >3 n! + 2009 số phơng

Bài 10:

Cho sè A gåm 2m ch÷ sè 1, sè B gåm m ch÷ sè Chøng minh A + B + số phơng

Bµi 11:

Biết a + 2a + (a  N) đồng thời số phơng Chứng minh a chia hết cho 24

Bµi 12:

Có hay khơng số tự nhiên n để 2002 + n2 số phơng?

III Kết đạt đợc

duy toán học, hình thành phơng pháp giải tốn Từ tạo hứng thú cho học sinh học tập môn, nâng cao khả tự học, tự nghiên cứu toán học, nâng cao lực giải tình thực tế tạo

Trong trình thực theo sáng kiến kinh nghiệm trên, tơi thờng xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu học sinh tng giai on:

- Đợt 1: Kiểm tra kiến thức số phơng

- Đợt 2: Kiểm tra kỹ giải tốn số phơng mức độ đơn giản

- Đợt 3: Kiểm tra khả giải tốn số phơng mức độ nâng cao

- Trong đợt có khảo sát trớc sau thực đề tài Kết thu đợc nh sau: Đối tợng: 40 HS lớp chất lợng cao Toán

Sè TT Sè HS tham dù kiÓm tra

Số HS đạt từ điểm trở lên Số % tăng so với tr-ớc thực hin

ti

Trớc Sau

Đợt 40 20/40 = 50% 40/40 = 100% 50%

Đợt 40 18/40 =45 % 36/40 = 90% 45%

Đợt 40 8/40 =20% 28/40 = 70% 50%

Những học rút ra:

Dy toỏn dạy học sinh giải toán, giúp nâng cao khả t học sinh Vậy để học sinh biết cách giải toán, nâng cao đợc khả t đòi hỏi ngời giáo viên phải biết lựa chọn phơng pháp dạy học phù hợp, thiết kế dạy theo trình tự t hợp lý, tổ chức học sinh học tập tích cực, chủ động Biết tổng hợp, khai thác, phát triển từ vấn đề

C KÕt luËn

Với suy nghĩ thực nh hớng dẫn học sinh lớp thấy em hào hứng say mê giải tập dạng tơng tự cách linh hoạt sáng tạo Trớc toán chứng minh số phơng, em khơng tỏ lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức sử dụng thành thạo phơng pháp học để làm

Trên số trao đổi nhỏ với đồng nghiệp số tốn số phơng Rất mong góp ý, giúp đỡ từ đồng nghiệp để tơi hồn thiện có nhiều kinh nghiệm giảng dy

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tân Lễ, ngày 29 tháng năm 2009 NhËn xÐt cđa ban gi¸m hiƯu Ngêi viÕt :

Vị Träng Qun

bá phÇn díi

Bài 1: Tìm x để biểu thức 24      x x x x

y nhận giá trị nguyên.

học sinh đọc lớt qua thấy thật dễ ?

Rất nhiều học sinh giải: y1 x2 2x2và yêu cầu (x2 + x + 2) ớc Mà quên x  R biểu thức x2 + x + khơng phi lỳc no cng

có giá trị nguyên

x2 + x + > nên em thử dùng miền giá trị để xét xem y cú th

nhận giá trị nguyên nhé! Giải : 24 2 2

2          x x x x x x

y nhận giá trị nguyên

2 2 x x

nhận giá trị nguyên Mµ x2 + x + ≥

4

=> 2 2 78

  

Vậy giá trị nguyên 2 2

x

x lµ

2 21

 x

x => x2 + x + =

=> x1 = ; x2 = -

Khi y1 = y2 = + =

Vậy giá trị cần tìm x : , -1 giá trị nguyên y

Bµi 2: Cho biÓu thøc C = xx 1 x3 1 xx11        

Rót gän biĨu thøc

Tìm x để C nhận giá trị nguyên

Ta dễ dàng thu đợc kết rút gọn C = xx13 ( x 0)

Khi C = - x41 nhận giá trị nguyên x41 nhận giá trị nguyên Mà x

 nªn

0 < x41 4 giá trị nguyên có x

4

 lµ 1, 2, 3,

*)x41 =1  x =3 C=0 *)x41 =2  x = C = -1

*)x41 =3  x =13 C = -2 *)x41 = 4 x = C = -3 Vậy giá trị nguyên C 0, -1,-2, -3 giá trị tơng ứng x

lµ 3, 1, 31 ,

Ngoài việc tìm giá trị nguyên biểu thức phải tìm miền giá trị hàm số giúp cho tìm cực trị biểu thức

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) cđa hµm sè: y x42x1

 

Giải: Giả sử y0 giá trị hàm số, tồn giá trị x để

y0 =x 1 x

2

 phơng trình y0x2 - 4x +y0 = có nghiƯm

*)XÐt y0=0 ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x =

*)Xét y0 phơng trình có nghiệm ' =4 -y02 

 ymin = -2, ymax=2

Trớc kết thúc bàiviết đa số tập để em luyện tập:

Bài 1: Tìm x  Z để biểu thức nhận giá trị nguyên  32

 

x x A

52

2     x x x C

41

3     x x x E

22 31    x x B

2 31

x x D

2 53 45      x x x x F

Bài 2: Tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên: a)  31

x x y

b) y xx2 xx 11     

b) 12 3 x

x y

d)y 23xx2 xx 11    

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc

a) 2 1 x x y    b) x2

1 x y 

c)y x xx 1    

d)y x x22x1 2

   

III KÕt lu©n :

Với suy nghĩ thực nh hớng dẫn học sinh lớp thấy em hào hứng say mê giải tập dạng tơng tự cách linh hoạt sáng tạo Trớc toán giá trị nguyên biểu thức , em khơng tỏ lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức sử dụng thành thạo phơng pháp học để làm

Trên số trao đổi nhỏ tơi với đồng nghiệp tốn giá trị nguyên biểu thức Rất mong góp ý , giúp đỡ từ đồng nghiệp để tơi hồn thiện có nhiều kinh nghiệm giảng dạy

Th¸ng 4/2006

NhËn xÐt cđa ban gi¸m hiƯu Ngêi viÕt :