Chứng minh một số không phải là sốchính phơng Phơng pháp 1. Nhìn chữ số tận cùng: - Vì sốchính phơng bằng bình phơng của một số nên suy ra.Số chính phơng phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải đợc các bài toán dạng sau đây: Bài toán 1. Chứng minh số: n = 2004 2 + 2003 2 + 2002 2 - 2001 2 . Không là sốchính phơng. LG. - Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 2004 2 ,2003 2 ,2002 2 ,2001 2 lần lợt là 6,9,4,1. Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là sốchính phơng. Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhng vẫn không phải là sốchính phơng, khi đó ta phải lu ý thêm: Nếu một sốchính phơng chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p 2 Bài toán 2. Chứng minh số: 1234567890 không phải là sốchính phơng. LG. - Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải là sốchính phơng. Chú ý: - Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là sốchính phơng. Bài toán 3. Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là sốchính phơng. LG. Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là sốchính phơng. Phơng pháp 2. Dùng tính chất của số d. Bài toán 4. Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là sốchính phơng LG. - ở đây ta không gặp trờng hợp nh bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác. Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 d 2 nên ta có lời giải sau: - Vì số chíng phơng khi chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1 mà thôi ( đây là kết quả của bài toán mà ta dễ dàng chứng minh đợc). - Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 d 2. Nên số đó không phải là sốchính phơng. Bài toán 5. ( Tơng tự bài toán 4) Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là sốchính phơng. Bài toán 6. Chứng minh số: 2004 4 + 2004 3 + 2004 2 + 23 không phải là sốchính phơng. Phơng pháp 3. Tình huống chứng minh n không là sốchính phơng nhng n chia cho 3 vẫn d 0 hoặc 1. VD: Bài toán 7. Chứng minh số: n = 4 4 + 44 4 + 444 4 + 4444 4 + 15 không là sốchính phơng. Nhận xét: - Nếu chia n cho 3 số d sẽ là 1. Vậy không giải đợc theo cách của bài toán 3,4,5,6. - Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không giải đợc theo cách của bài toán 1,2. Vậy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta có thể cm): Một sốchính phơng khi chia cho 4 thì số d chỉ có thể là 0 hoặc 1. Lúc đó ta sẽ giải đ- ợc bài toán này. Phơng pháp 4. Phơng pháp kẹp giữa hai sốchính phơng liên tiếp: n 2 và (n+1) 2 . Ta thấy: Nếu n và k N và thỏa mãn điều kiện: n 2 < k < (n+1) 2 thì lúc đó k không phải là sốchính phơng. Bài toán 8. Chứng minh số 4014025 không phải là sốchính phơng. Nhận xét: Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 d 1 và chia cho 4 cũng d 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên. LG. Ta thấy: 2003 2 = 401209; 2004 2 = 4016016. Nên 2003 2 < 4014025 < 2004 2 . Chứng tỏ số 4014025 không phải là sốchính phơng. Bài toán 9. Chứng minh: A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là sốchính phơng với mọi n N, n 0 Nhận xét: Nếu đã quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là sốchính phơng ( bài toán lớp 8) nhng lớp 6,7 có thể giải theo cách sau. LG. Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1 = (n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 +3n +1) 2 Mặt khác (n 2 + 3n) 2 < (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) = A Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ (n 2 + 3n) 2 < A < A+1= (n 2 +3n +1) 2 . Suy ra A không phải là sốchính phơng. Một số bài toán khác. Bài 10. Chứng tỏ số: 23 5 +23 12 +23 2003 không là sốchính phơng. Gợi ý: Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4 Bài 11. Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh đợc ghi một trong các số từ 1 đến 1001 (không có mảnh nào ghi khác nhau). Chứng minh rằng không thể ghép tất cả các mảnh bìa đó liền nhau để đợc một sốchính phơng. Bài 12. Chứng minh rằng tổng bình phơng của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là sốchính phơng. Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4 Một số bài toán liên quan về sốchính phơng Bài 1. Chứng minh rằng tổng của n số lẻ đầu tiên là một sốchính phơng. LG. Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên: S = 1 + 3 + 5 + 7 + .+ (2n - 3) + (2n - 1). Lúc này ta phải xét hai trờng hợp: n chẵn và n lẻ. Trờng hợp 1: n chẵn S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+ . Có n/2 số hạng , mà mỗi số hạng có giá trị là 2n Vậy S = 2n. 2 n = n 2 . Trờng hợp 2: n lẻ Để tính S ta cũng ghép nh trờng hợp trên nhng ta đợc 2 1 n số hạng, mỗi số hạng có giá trị là 2n. Nên tổng S = 2 1n .2n + n = 2 2n2n2n 2 + = n 2 Vậy S = 1 + 3 + 5 + 7 + .+ (2n - 3) + (2n - 1) = n 2 nên S là một sốchính phơng. Từ bài toán trên ta cũng có nhận xét tổng quát: Tổng các số lẻ đầu tiên thì bằng bình phơng của số các số ấy Bài 2. Chứng minh một số là sốchính phơng khi và chỉ khi số ớc của nó là một số lẻ. Bài 3. Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm nh sau: Số đó là sốchính phơng, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì đợc một số cũng là sốchính phơng. Tìm số xe của bạn Hùng.