Bài giảng Hàm số và hệ phương trình

Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.Lý Thuyết. 1.Lý thuyết cơ bản: *ĐN: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức : y=ax+b Trong đó a,b là các số thực xác định và a ≠0. *Tính chất: - Hàm số bậc nhất y=ax+b xác định với mọi giá trị x thuộc R và có tính chất sau: a)Đồng biến trên R, khi a>0. b)Nghịch biến tren R, khi a<0. *Đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠0) Đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là b, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -b/a, song song với đường thẳng y=ax nếu b≠0 và tỷùng với đường thẳng y=ax nếu b=0. Chú ý : Đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠0) cũng được gọi là đường thẳng y=ax+b , b được gọi là tung độ gốc củ đường thẳng. 2.Kiến thức nâng cao: a.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm. Điểm A(x A ; y A ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y A = f(x A ). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax 2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4). Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2 2 a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) b.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên. c.Quan hệ giữa hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng : (d 1 ) : y = a 1 x + b 1 . (d 2 ) : y = a 2 x + b 2 . a) (d 1 ) cắt (d 2 ) a 1 a 2 . b) d 1 ) // (d 2 ) Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn c) d 1 ) (d 2 ) d) (d 1 ) (d 2 ) a 1 a 2 = -1 d.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . e.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx 2 (c 0). 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: cx 2 = ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx 2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P). 2.Tìm điều kiện để (d) và (P). a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt. b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép. c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm . f.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết. 1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x 0 ;y 0 ) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x 0 ;y 0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b. 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 0 ;y 0 ) và tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0). +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x 0 ;y 0 ) nên có phương trình : y 0 = ax 0 + b (3.1) +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên: Pt: cx 2 = ax + b có nghiệm kép (3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b. g.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x 0 ;y 0 ) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x 0 ;y 0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x 0 ;y 0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x 0 ;y 0 . Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn 3.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số. 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. 3.Bài tập minh hoạ: Bài tập 1: Cho đường thảng d: y = (a-1)x – 2a + 3 và đường thảng d’: y = (2a + 1)x + a +4. Định a để. a/ (d) và (d’) cắt nhau b/ (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. c/ (d) và (d’) song song d/( d) và (d’) vuông góc e/ (d) và (d’) trùng nhau Giải a/ (d) và (d’) cắt nhau khi a - 1 ≠ 2a + 1 hay a ≠ -2 b/ d cắt Oy tại điểm (0; -2a +3) (d’) cắt Oy tại điểm (0; a + 4) Để (d) và (d’) căt nhau tại một điểm trên trục tung thì -2a + 3 = a + 4 hay a = -1/3 c/ (d) và (d’) song song khi và chỉ khi 1 2 1 2 3 4 a a a a − = +   − + = +  hay a = -2 d/ (d) vuông góc (d’) khi và chỉ khi (a-1)(2a+1) = -1 hay a = ½ e/ Không có a để (d) trùng (d’) Bài 2 : Cho hàm số y = (m - 3)x + m + 2 (*) a) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3. b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = -2x + 1 c) Tìm m để đồ thị hàm số (*) vuông góc với đường thẳng y = 2x -3 Giải: a) Để đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + 2 (*) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3. ⇒ x = 0; y = - 3 Ta có: -3 = (m-3).0 + m + 2 ⇔ m + 2 = 3 ⇔ m = 1 Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 3 b) Để đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + 2 (*) song song với đường thẳng y = - 2x + 1 ⇔ 3 2 2 1 m m − = −   + ≠  ⇔ 2 3 1 2 m m = − +   ≠ −  ⇔ 1 1 m m =   ≠ −  ( t/m) Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + 2 (*) song song với đường thẳng y = - 2x + 1 c) Để đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + 2 (*) vuông góc với đường thẳng y= 2x - 3 ⇔ a.a’ = -1 ⇔ (m – 3) .2 = -1 Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn ⇔ 2m – 6 = -1 ⇔ 2m = 5 ⇔ 5 m = 2 Vậy với 5 m = 2 đồ thị hàm số y = (m - 3)x + m + 2 vuông góc với đường thẳng y = 2x - 3 Bài 3 : Cho hàm số ( ) y = (2k +1)x + k - 2 * a) Tìm k để đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Tìm k để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y= 2x + 3 c) Tìm k để đồ thị hàm số (*) vuông góc với đường thẳng y = 1 3 x – 3 Giải: a) Để đồ thị hàm số y = (2k +1)x + k - 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3. ⇒ x = 0; y = - 3 Ta có: 0 = ( 2k + 1 ).2 + k - 2 ⇔ 4k + 2 +k - 2 = 0 ⇔ 5k = 0 ⇒ k = 0 Vậy với k = 0 thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 b) Để đồ thị hàm số y = (2k +1)x + k - 2 song song với đường thẳng y= 2x + 3 ⇔ 2 1 2 2 3 k k + =   − ≠  ⇔ 2 2 1 3 2 k k = −   ≠ +  ⇔ 2 1 5 k k =   ≠  ⇔ 1 2 5 k k  =    ≠  t/m) Vậy với 1 2 k = thì đồ thị hàm số y = (2k +1)x + k - 2 song song với đường thẳng y= 2x + 3 c) Để đồ thị hàm số y = (2k +1)x + k - 2 vuông góc với đường thẳng y = 1 3 x – 3 ⇔ a.a’ = -1 ⇔ (2k + 1) . 1 3 = -1 ⇔ 2k + 1 = - 3 ⇔ 2k = -4 ⇔ k = -2 Vậy với m = 5 2 đồ thị hàm số y = (2k +1)x + k - 2 vuông góc với đường thẳng y = 1 3 x - 3 Bài 4: Cho hàm số y = (a -1)x + a (1) a/ Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 b/ Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3 c/ Vẽ đồ thị hai hàm số với giá trị của a vừa tìm được ở câu a/ và b/ trên cùng mọt hệ trục tạo độ và tìm giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ. Giải a/ Đồ thị hàm số cắt trục tung có tung độ bằng 2 nghĩa là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ bằng (0;2) Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn Thay tọa độ trên vào (1) ta có 2 = (a+1).0 + a suy ra a = 2 Vậy đồ thị cần tìm là y = 3x + 2 (d1) b/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành có hoành độ bằng -3 nghĩa là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ bằng (-3;0) Thay tọa độ trên vào (1) ta có 0 = (a+1).(-3) + a suy ra a = -1,5 Vậy hàm số cần tìm là y = -0,5x – 1,5 (d2) c/ GV: Hướng dẫn vẽ ĐTHS như bài 1, yêu cầu 2 em lên vẽ. Hai em khác tìm tọa độ giao điểm theo 2 cách. y -1 1 2 3 4 -2 -3-4 -2/3 d2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 -1,5 O d1 A (-1;-1) x Cách 1 : Giao điểm của (d1) và (d2) trên đồ thị là A (-1;-1) Cách 2 : Giải phương trình tương giao 3x + 2 = 0,5x + 1,5 suy ra x = -1, thay x = -1 vào (d2) ta được y = -1 Vậy toa độ giao điểm của (d1) và d2 là A (-1;-1) Bài 5: Cho hai hàm số y = (k + 1)x + k (k 1−≠ ) (1) y = (2k - 1)x - k (k 2 1 ≠ ) (2) Với giá trị nào của k thì a. Đồ thị các hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song. b. Đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại gốc toạ độ. Giải: a. Để đồ thị hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song khi 2 0 2121 =⇒    ≠ = ⇔    −≠ −=+ k x k kk kk (thoả mãn đk) b. Đồ thị hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt nhau tại gốc toạ độ khi và chỉ khi. Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn 0 0 2 01 121 =⇒    = −≠ ⇔    =−= −≠+ k k k k kk (thoả mãn đk) Vậy * k = 2 thì đồ thị hàm số (1) song song với đồ thị hàm số (2) * k = 0 thì đồ thị hàm số (1) cắt đồ thị hàm số (2) tại gốc toạ độ. Bài 6: Cho hai hàm số bậc nhất y = 1 3 2 +       − xm (1) y = (2 - m)x - 3 (2) Với giá trị nào của m thì a. Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt. b. Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song. c. Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 4. Giải: a. Đồ thị hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt nhau khi        ≠ ≠ ≠ ⇔        −≠− ≠− ≠− 3 4 2 2 3 2 3 2 02 0 3 2 m m m mm m m Vậy 3 4 ;2; 3 2 ≠≠≠ mmm thì đồ thị (1) cắt đồ thị (2) b. Đồ thị của hàm số (1) và (2) l hai đường thẳng có tung độ gốc khác nhau (1 3−≠ ) do đó chúng song song với nhau khi và chỉ khi        −=− ≠− =− mm m m 2 3 2 02 0 3 2        ≠ ≠ ≠ ⇔ 3 4 2 3 2 m m m Vậy m = 3 4 thì đồ thị (1) song song với đồ thị (2) II.BÀI TẬP (TỰ LUYỆN) 1.Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8 a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ? c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ? d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn e, Tính f(- 4); f(0); f(5) Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k 2 -3) (d) a, Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ b, Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng có phương trình y=-2x+10 Bài 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình : y=k 2 x+(m+3),và đường thẳng (d’) có phương trình : y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đường thẳng trùng nhau Bài 4:Cho 2 hàm số : y=(k-1) x+3 và y= (2k+1)x -4 a,Xác định k để 2 đường thẳng cắt nhau b, Xác định k để 2 đường thẳng song song với nhau c, Hai đường thẳng có trùng nhau được không? Vì sao? Bài 5: Cho 3 đường thẳng: y=kx-2 (d 1 ) ; y=4x +3 (d 2 ) ; y=(k-1)x+4 (d 3 ) Tìm k để : a, (d 1 ) song song với (d 2 ) d, (d 1 ) vuông góc với (d 3 ) b, (d 1 ) song song với (d 3 ) e, (d 2 ) cắt (d 3 ) c, (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số ? Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2 b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6) c, Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 d,Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và trục tung Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k) a, Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng Bài 9: Cho 3 đường thẳng: y=2x-7 (d 1 ) ; y=x +5 (d 2 ) ; y=k x+5 (d 3 ) a,Tìm toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) b, Tìm k để 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5 (1) ; y=4x (2) ; y= 4 1 x (3) b, Gọi giao điểm của đường thẳng có phương trình (1) với các đường thẳng có phương trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao? d, Tính S ∆ ABO =? 2.Bài tập nâng cao. BàI T ập 1 . cho parabol y= 2x 2 . (p) a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đường thẳng y= 3x-1. b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đường thẳng y=6x-9/2. Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn c. tìm giá trị của a,b sao cho đường thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2). d. tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2). e. biện luận số giao điểm của (p) với đường thẳng y=2m+1. ( bằng hai phương pháp đồ thị và đại số). f. cho đường thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để +(p) không cắt (d). +(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt. +(p) cắt (d). Bài tập 2. cho hàm số (p): y=x 2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3). a. viết phương trình đường thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho. b. viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P). c. viết phương trình đường thẳng d 1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P). d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2. Bài tập 3. Cho (P): y=x 2 và hai đường thẳng a,b có phương trình lần lượt là y= 2x-5 y=2x+m a. chứng tỏ rằng đường thẳng a không cắt (P). b. tìm m để đường thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm được hãy: + Chứng minh các đường thẳng a,b song song với nhau. + tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b. + lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d). Bài tập 4. cho hàm số xy 2 1− = (P) a. vẽ đồ thị hàm số (P). b. với giá trị nào của m thì đường thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B. c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. Bài tập5. cho hàm số y=2x 2 (P) và y=3x+m (d) a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d). b. tính tổng bình phương các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m. Bài tập 6. cho hàm số y=-x 2 (P) và đường thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k. a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung. Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn b. gọi (x 1 ;y 1 ); (x 2 ;y 2 ) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x 1 +y 1 +x 2 +y 2 đạt giá trị lớn nhất. Bài tập7. cho hàm số y= x a. tìm tập xác định của hàm số. b. tìm y biết: + x=4 + x=(1- 2 ) 2 + x=m 2 -m+1 + x=(m-n) 2 c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? tại sao. d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6 Bài tập 8. cho hàm số y=x 2 (P) và y=2mx-m 2 +4 (d) a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2 ) 2 . b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập 9. cho hàm số y= mx-m+1 (d). a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố định ấy. b. tìm m để (d) cắt (P) y=x 2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3 . Bài tập 10. trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đường thẳng (d) y=ax+b. a. tìm a và b để đường thẳng (d) đI qua các điểm M, N. b. xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng MN với các trục Ox, Oy. Bài tập 11. cho hàm số y=x 2 (P) và y=3x+m 2 (d). a. chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. b. gọi y 1 , y 2 kà các tung độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y 1 +y 2 = 11y 1 .y 2 Bài tập 12. cho hàm số y=x 2 (P). a. vẽ đồ thị hàm số (P). b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. hãy viết phương trình đường thẳng AB. c. lập phương trình đường trung trực (d) của đoạn thẳng AB. d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P). Bài tập 13 a. viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x 2 tại điểm A(-1;2). Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn b. cho hàm số y=x 2 (P) và B(3;0), tìm phương trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B. c. cho (P) y=x 2 . lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P). d. cho (P) y=x 2 . lập phương trình d song song với đường thẳng y=2x và tiếp xúc với (P). e. viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x 2 tại điểm có hoành độ bằng (-1). f. viết phương trình đường thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x 2 tại điểm có tung độ bằng 9. CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯỢNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng : ax + b = 0 (a ≠ 0) có nghiệm duy nhất x = b a − Ví dụ : Phương trình 2x + 3 = 0 có nghiệm duy nhất x = 3 1,5 2 − = − ; * Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (1) trong đó a,b và c là các số đã biết, (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0). Ví dụ: Các phương trình 3x - 2y = 2, x + 5y = 0, 0x + 4y = 3, x + 0y = 10 là những phương trình bậc nhất hai ẩn. * Phương trình (1) có nghiệm là cặp số (x 0 ; y 0 ) thỏa mãn ax 0 + by 0 = c Ví dụ: Cặp số (3 ; 5) là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.3 – 5 = 1 * Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ (x 0; y 0 ) 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: (I) ax + by = c a'x + b'y = c'    Ví dụ 1: 2x + y = 3 3x + y = 1    ; 2y = 3 2x +4 y = 1    ; 2x + y = 0 3x = 1    là các hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. [...]... 3 y = 4 2 x − 6 y = 1 Bài 3: Cho hệ phương trình:  Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất? Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 3 x − y = 5 5 x + 2 y = 23 a)  3 x + 5 y = 1  2 x − y = −8 b)  Bài 2: Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình  2 x + by = −4  bx − ay = −5 có nghiệm là (1;-2) Bài 3:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) 3...  a b c = ≠ a' b' c' a b Hệ có nghiệm duy nhất khi ≠ a' b' Hệ vô nghiệm khi 3.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Dạng 1: Hệ phương trình chỉ có một nghiệm Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: (I ) x − 3y = 2    −2 x + 5 y = 1  ( 1) ( 2) Giải Bước 1: Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y, ta có x = 3y + 2 ( *) Thế phương trình ( *) vào phương trình (2), ta được : -2 (3y... 3  x = 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5) II BÀI TẬP (TỰ LUYỆN) 1 .Bài tập cơ bản Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không: a) (-4 ; 5) 7 x − 5 y = −53  − 2 x + 9 y = −53 b) (3 ; 11) x − y = 2  − 2 x + y = 3 Bài 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ và cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau 5 x... 7 (2) Giải phương trình (1) ta được x = 2 thay x = 2 vào phương trình (2) ta được 2.2 –y = 7  y = -3 Ta trình bày lời giải như sau: 3 x + y = 3  2 x − y = 7 5 x = 10 x = 2 ⇔  ⇔ 2 x − y = 7  y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3) * Dạng 3: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau nhưng có một hệ số là bội của hệ số kia của... 2: Hệ phương trình có vô số nghiệm Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: ( I)  4 x − 2 y = −6   −2 x + y = 3 Giải: Ta có:  4 x − 2 ( 2 x + 3) = −6 ( I) ⇔    y = 2x + 3  x ∈ R ⇔  y = 2x + 3  y = 2x + 3 ⇔ 0 x = 0 Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương. .. 4(2) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  Nhận xét: Hệ số của ẩn x ở phương trình (1) là bội của hệ số của ẩn x của phương trình (2) Ta nhân hai vế của PT (2) với 2, ta được 4x + 2y =8 4 x + 3 y = 6 (Dạng 1) 4 x + 2 y = 8 Ta được hệ  Ta trình bày lời giải như sau: 4 x + 3 y = 6 4 x + 3 y = 6  y = −2  y = −2 ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y = 4 4 x + 2 y = 8 2 x + y = 4 x = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy... = 5 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: ( IV )  Giải: Nhận xét : Ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho hệ số của x hoặc của y 4  4  4 y = − 5 x + 4  x+ y =4  y = − x + 4 5 ⇔ ⇔ ( IV ) ⇔  5  2 x + 2,5 y = 5  2 x + 2,5(− 4 x + 4) = 5  0 x = −5 ( * )    5  Không có x thoả mãn phương trình ( *) Vậy hệ phương trình (IV) vô nghiệm 4.Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại... *Dạng 1: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  4 x + 7 y = 16   4 x − 3 y = −24 Nhận xét: Hệ số của ẩn x bằng nhau, trừ vế với vế hai phương trình ta được: Chuyên đề bồi dưỡng, Phụ đạo học sinh lớp 9 – Nhóm Toán Trường THCS Phượng Sơn (1) 10 y = 40  Giải phương trình (1) ta được y = 4 Thay y = 4 vào phương  4 x + 7 y = 16 (2) trình (2) ta được... y = 5 b)  Bài 10 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 3y = 7 và (d2): 3x + 2y = 13 2 .Bài tập nâng cao: 2 x − ay = b ax + by = 1 Bài 1: Cho hệ phương trình  a)Giải hệ khi a=3 ; b=-2 b)Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y) = ( 2 ; 3 ) c)Tìm a;b để hệ có vô số nghiệm ax − y = 2  x + ay = 3 Bài 15: Cho hệ phương trình  Giải hệ khi a=... − 1 Bài 20:Cho hệ phương trình  a)Giải hệ khi 2 mx − y = m − 2 m=2 b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà 1 3 khi m= ) 4 2  x + my = 2 Bài 21:Cho hệ phương trình  mx − 2 y = 1 P=xy đạt giá trị lớn nhất (max P= a)Giải hệ khi a=2 b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y . 0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x 0 ;y 0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ. 2 ). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b. 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm